专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本初中数学讲义聚焦一元二次方程的应用，系统梳理“审设列解验答”六步骤，整合几何面积、销售利润、增长率、行程工程四大应用模型，结合核心易错警示，构建从解题流程到实际模型再到避错策略的完整学习支架。 资料以分层题型设计为亮点，涵盖基础必考到拔高综合题，例题与变式题结合中考真题，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过同步检测查漏补缺，强化知识应用能力。

专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题六大步骤 1 【知识点二】四大必考应用模型及核心公式 2 【知识点三】核心易错警示 3 二.题型精析 3 【题型 1】几何面积静态问题（基础必考） 3 【题型 2】梯子下滑几何问题（教材原型） 4 【题型 3】增长率问题（基础高频） 5 【题型 4】销售利润问题（中档核心） 6 【题型 5】直角三角形动点面积问题（拔高题型） 7 【题型 6】行程与工程问题（综合） 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理解读 【知识点一】列一元二次方程解应用题六大步骤 一元二次方程应用题是中考必考解答题型，解题流程固定，严格遵循“审、设、列、解、验、答”六步法： 1. 审：通读题目，梳理已知条件、未知量，找准题目隐藏的等量关系； 2. 设：合理设未知数，优先直接设所求量，复杂题型可间接设元，注明单位； 3. 列：根据核心等量关系，列出标准一元二次方程； 4. 解：选用合适方法解方程，求出方程的两个实数根； 5. 验（关键步骤）：双重检验，一是检验根是否满足方程，二是检验根是否符合实际意义，舍去负数、超出取值范围、不符合生活逻辑的根； 6. 答：规范书写答案，完整带单位、回应题目问题。 【知识点二】四大必考应用模型及核心公式 模型一：几何图形面积与动点问题 核心依托常见图形周长、面积、勾股定理建立等量关系，包含静态图形计算、动态动点面积两类题型。 1. 矩形：， 2. 直角三角形：， 3. 梯形： 4. 动点题型：用运动时间表示动态线段长度，结合面积、勾股定理列方程。 模型二：销售利润问题（中考高频） 核心公式固定，所有利润题型均可套用： 单件利润 售价 进价 总利润 单件利润 销售数量 变化规律：涨价则销量减少，降价则销量增加，根据题目倍率列出变化后的销量表达式。 模型三：增长率与降低率问题 设初始基数为，平均增长率/降低率为，经过次变化后总量为： 增长率模型： 降低率模型： 初中题型以两年变化为主，即。 模型四：行程与几何静态问题 主要包含梯子下滑、航海相遇、线段平移等题型，依托“线段总长不变、直角三角形边长关系”建立方程，是教材重点拓展题型。 【知识点三】核心易错警示 1. 忽略实际验根：一元二次方程两根往往一正一负或两正一舍，必须舍去不符合实际的根； 2. 利润问题搞反增减：涨价对应销量减少，降价对应销量增加，切勿列式颠倒； 3. 增长率问题错用基数与次数，混淆单次变化与两次变化公式； 4. 几何动点忽略线段取值范围，出现动点超出图形边界的无效解； 5. 解题不写单位、答非所问，步骤不完整导致扣分。 二.题型精析 【题型 1】几何面积静态问题（基础必考） 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026七年级下·山西太原·专题练习）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图，在一幅长、宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为_________． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【题型 2】梯子下滑几何问题（教材原型） 【例题2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？    【变式1】（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等设为x，求梯子顶端下滑的距离是多少米？_________（只列方程）    【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，一条长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，回答下列问题： （1）梯子顶端下滑米，则底端滑动几米？ （2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端滑动的距离？ 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 【题型 3】增长率问题（基础高频） 【例题3】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某超市3月份的利润为20000元，5月份的利润为24200元．若3月份到5月份利润的月平均增长率相同． （1）求该超市这两个月的月平均增长率； （2）在（1）的条件下，请通过计算预测该超市7月份的利润能否超过30000元？ 【题型 4】销售利润问题（中档核心） 【例题4】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． （1）每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ （2）若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． （1）每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【题型 5】直角三角形动点面积问题（拔高题型） 【例题1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【题型 6】行程与工程问题（综合） 【例题6】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【变式2】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【变式3】（2024·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 3．（25-26九年级下·重庆·期中）年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 7．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．若设最小的奇数为x，则可列方程为________． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 13．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为_________． 14．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 15．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． （2）每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·北京昌平·期末）某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 18．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 19．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 20．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； （2）求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； （3）若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.4 一元二次方程的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理解读 1 【知识点一】列一元二次方程解应用题六大步骤 1 【知识点二】四大必考应用模型及核心公式 2 【知识点三】核心易错警示 3 二.题型精析 3 【题型 1】几何面积静态问题（基础必考） 3 【题型 2】梯子下滑几何问题（教材原型） 5 【题型 3】增长率问题（基础高频） 8 【题型 4】销售利润问题（中档核心） 10 【题型 5】直角三角形动点面积问题（拔高题型） 13 【题型 6】行程与工程问题（综合） 17 三.同步检测 19 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 19 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 24 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 28 一.知识梳理解读 【知识点一】列一元二次方程解应用题六大步骤 一元二次方程应用题是中考必考解答题型，解题流程固定，严格遵循“审、设、列、解、验、答”六步法： 1. 审：通读题目，梳理已知条件、未知量，找准题目隐藏的等量关系； 2. 设：合理设未知数，优先直接设所求量，复杂题型可间接设元，注明单位； 3. 列：根据核心等量关系，列出标准一元二次方程； 4. 解：选用合适方法解方程，求出方程的两个实数根； 5. 验（关键步骤）：双重检验，一是检验根是否满足方程，二是检验根是否符合实际意义，舍去负数、超出取值范围、不符合生活逻辑的根； 6. 答：规范书写答案，完整带单位、回应题目问题。 【知识点二】四大必考应用模型及核心公式 模型一：几何图形面积与动点问题 核心依托常见图形周长、面积、勾股定理建立等量关系，包含静态图形计算、动态动点面积两类题型。 1. 矩形：， 2. 直角三角形：， 3. 梯形： 4. 动点题型：用运动时间表示动态线段长度，结合面积、勾股定理列方程。 模型二：销售利润问题（中考高频） 核心公式固定，所有利润题型均可套用： 单件利润 售价 进价 总利润 单件利润 销售数量 变化规律：涨价则销量减少，降价则销量增加，根据题目倍率列出变化后的销量表达式。 模型三：增长率与降低率问题 设初始基数为，平均增长率/降低率为，经过次变化后总量为： 增长率模型： 降低率模型： 初中题型以两年变化为主，即。 模型四：行程与几何静态问题 主要包含梯子下滑、航海相遇、线段平移等题型，依托“线段总长不变、直角三角形边长关系”建立方程，是教材重点拓展题型。 【知识点三】核心易错警示 1. 忽略实际验根：一元二次方程两根往往一正一负或两正一舍，必须舍去不符合实际的根； 2. 利润问题搞反增减：涨价对应销量减少，降价对应销量增加，切勿列式颠倒； 3. 增长率问题错用基数与次数，混淆单次变化与两次变化公式； 4. 几何动点忽略线段取值范围，出现动点超出图形边界的无效解； 5. 解题不写单位、答非所问，步骤不完整导致扣分。 二.题型精析 【题型 1】几何面积静态问题（基础必考） 【例题1】（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． （1）若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米；（2）解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． （1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 【变式1】（25-26八年级下·广西百色·期末）如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 【变式2】（2026七年级下·山西太原·专题练习）“指尖上的非遗——麻柳刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．如图，在一幅长、宽的麻柳刺绣的四周镶嵌宽度相同的边框，制成一幅矩形挂图，且整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为_________． 【答案】 【分析】根据题意，设边框的宽度为，则长为，宽为，列出方程为：，由此得到答案． 解：根据题意，设边框的宽度为， 则整个挂图的长为，宽为， 列出方程为：． 【变式3】（25-26八年级下·山东威海·期末）园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 【题型 2】梯子下滑几何问题（教材原型） 【例题2】（23-24九年级上·河南郑州·阶段检测）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为．问：当梯子的顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等？    【答案】2米 【分析】利用勾股定理算出未滑动前梯子底端距墙的水平距离，设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动，利用勾股定理列方程，即可解答． 解：未滑动前梯子底端距墙的水平距离为， 设梯子顶端向下滑动，则梯子底端也滑动， 此时梯子的顶端距地面的垂直距离为，梯子的底端距墙面的垂直距离为， 可得方程：， 解得，（舍去）， 当梯子的顶端下滑2米时，梯子底端滑动的距离和它相等． 【点拨】本题考查了勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意得到等量关系列方程是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，一个长为的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等设为x，求梯子顶端下滑的距离是多少米？_________（只列方程）    【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的实际应，根据“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”，即可列出方程．注意梯子在下滑过程中，梯子长度不会改变． 解：设梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离为x， 可列方程为：， 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，一条长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为米，如果梯子的顶端下滑米，那么底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离相等吗？若相等，请说明理由；若不相等，回答下列问题： （1）梯子顶端下滑米，则底端滑动几米？ （2）梯子顶端下滑多少米正好等于底端滑动的距离？ 【答案】不相等；（1）米；（2）米 【分析】本题考查勾股定理的运用，解一元二次方程，掌握勾股定理是解题的关键． （1）梯子长度始终不变，设底端滑动x米，滑动后，梯子和墙仍能构成直角三角形，用勾股定理解三角形即可； （2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离， 同（1）根据勾股定理列出方程求解． 解：底端滑动的距离与梯子顶端滑动的距离不相等． 由题意知，，，， ． （1）设底端滑动x米， 由题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 即梯子顶端下滑米，则底端滑动米； （2）设梯子顶端下滑y米正好等于底端滑动的距离， 由题意得，， 解得，（不舍题意，舍去）， 即梯子顶端下滑2米正好等于底端滑动的距离． 【变式3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个长为15m的梯子AB斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的距离为12m，若梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端向后滑动的距离相等，求梯子顶端下滑的距离是多少m？ 【答案】梯子顶端下滑的距离是3米． 【分析】利用勾股定理求得OB的长，设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x，然后根据勾股定理即可列方程求解； 解：在直角△AOB中，OB=（m）． 设这个距离是x，则OA'=12x，OB'=9+x， 在Rt∠A'OB'中，根据勾股定理得，（12x）2+（9+x）2=225； 解得：x=0（舍）或x=3． 答：当梯子的顶端从A处沿墙AO下滑的距离是3m时，与点B向外移动的距离有可能相等； 【点拨】本题考查了勾股定理应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确的求出下滑的距离． 【题型 3】增长率问题（基础高频） 【例题3】（25-26八年级下·浙江温州·期末）某市机器人产业2023年总产值约为100亿元，到2025年增长至约144亿元． （1）求这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率． （2）该市2026年机器人产业总产值的目标是180亿元，若机器人产业总产值年平均增长率保持不变，请通过计算说明该市能否完成目标． 【答案】（1）；（2），所以该市不能完成目标 【分析】（1）设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x，根据题意列出方程，解方程进而取符合题意的解，即可求解； （2）计算2026年机器人产业总产值，与亿元，比较大小，即可求解． （1）解：设这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为x， 由题意得：，解得，（舍去） 答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为． （2）略 【变式1】（25-26八年级下·山东淄博·期末）某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 【变式2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）新能源汽车具有环保节能、经济性高、驾驶体验佳等等优点，深受消费者的青睐．据统计到2024年底全国新能源汽车保有量约为2020万辆，预计2026年底将达到4000万辆，若设新能源汽车的年平均增长率为x，则可列方程为_________． 【答案】 【分析】设新能源汽车的年平均增长率为，从2024年底到2026年底共经过2年，结合已知的2026年底预计保有量即可列出方程． 解：设新能源汽车的年平均增长率为，则2025年底全国新能源汽车保有量为万辆，2026年底全国新能源汽车保有量为万辆， 根据题意可列方程为． 【变式3】（25-26八年级下·江苏泰州·期末）某超市3月份的利润为20000元，5月份的利润为24200元．若3月份到5月份利润的月平均增长率相同． （1）求该超市这两个月的月平均增长率； （2）在（1）的条件下，请通过计算预测该超市7月份的利润能否超过30000元？ 【答案】（1）；（2）该超市7月份的利润不能超过30000元． 【分析】（1）设该超市这两个月的月平均增长率为，根据题意列方程，据此求解即可； （2）求得该超市7月份的利润，据此判断即可． （1）解：设该超市这两个月的月平均增长率为， 根据题意得， 解得或（舍去）， 答：该超市这两个月的月平均增长率为； （2）解：∵5月份的利润为24200元，月平均增长率为， ∴， 答：该超市7月份的利润不能超过30000元． 【题型 4】销售利润问题（中档核心） 【例题4】（25-26八年级下·浙江湖州·期末）某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． （1）每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ （2）若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】（1）株时，平均单株的盈利是元；（2）或株 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． （1）解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； （2）解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 【变式1】（2026·云南昭通·模拟预测）某文创店销售一种纪念徽章，原定价销售每枚徽章盈利12元，平均每天可售出80枚．市场调研发现：若每枚徽章降价1元，则平均每天可多售出10枚．为了尽快减少库存，店主决定降价促销．销售一段时间后发现，平均日盈利为910元．假设每天售出徽章的数量相同，设每件商品降价x元，依题意可列方程（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际利润问题，解题核心是利用“总盈利等于每枚徽章盈利乘以销售量”的关系，根据降价情况分别表示出降价后的每枚盈利和销售量，即可列出方程． 解：∵设每件商品降价元， ∴降价后每枚徽章的盈利为元， ∵每降价元平均每天可多售出枚， ∴降价元后，每天的销售量为枚， 又∵平均日盈利为元， ∴可列方程为． 【变式2】（25-26八年级下·浙江温州·期中）以“诗画山海，共享绿色生活”为主题的温州园博园于4月15日正式开园迎客．园内售卖一款定制文创产品，每件文创产品的进价为元．当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该产品每件售价每上涨元，每天销售量就会减少件．若每天销售该文创产品的总利润为元，设每件文创产品上涨了元，根据题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】根据总利润等于每件利润乘以销售量的等量关系，分别表示出涨价后的每件利润和销售量，即可列出方程. 解：设每件文创产品上涨了元，列方程得： . 【变式3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）一款服装每件进价为70元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装每降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元． （1）每天销售量增加____________件，每件服装盈利_______________元（用含x的代数式表示）； （2）在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1600元？ 【答案】（1）；（2）降价30元 【分析】（1）根据每件降价1元，多售出2件，降价x元则销售量增加件，原每件盈利50元，降价后每件盈利元； （2）根据每件利润×销售量=总盈利列一元二次方程，求解后结合让利于顾客的条件选择较大的降价幅度． （1）解：∵每件降价1元，多售出2件， ∴降价x元，则销售量增加件， ∵原每件进价为70元，销售价为120元， ∴原每件盈利50元， ∴降价x元，则每件服装盈利元． （2）解：由题意可知：每件服装的销售利润为元，平均每天的销售量为件，     则由题意得：，整理得：，     解得：． 又∵需要让利于顾客， ．    答：每件服装降价30元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1600元． 【题型 5】直角三角形动点面积问题（拔高题型） 【例题1】（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： （1）几秒后，的面积等于？ （2）的面积能否等于？说明理由． 【答案】（1）当出发1秒后，的面积等于；（2）解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． （1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 【变式1】（25-26九年级上·四川宜宾·阶段检测）如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 【变式2】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）在中，，，，现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动，如果点P的速度是，点Q的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒． （1）求运动时间为多少________秒时，P、Q两点之间的距离为． （2）当t为________时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似． 【答案】 2秒 或 【分析】本题主要考查了动点问题，相似三角形的判定，勾股定理，解一元二次方程等，解题的关键是掌握分类讨论的思想． （1）设运动时间为秒，，根据勾股定理，列出方程，求解即可； （2）根据相似三角形的判定定理，分两种情况进行讨论，列出一元一次方程求解即可． 解：（1）点从到的运动时间为，点从到的运动时间为， 设运动时间为秒，，根据题意得， ，， ∴， 由勾股定理得， 即， 解得或（舍去）， 故答案为：2秒； （2）当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 当时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似， ∴结合（1）得，， 解得； 综上，或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． （1）填空：______，______．（用含t的代数式表示） （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ （3）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】（1），；（2）点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于；（3）点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． （1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 【题型 6】行程与工程问题（综合） 【例题6】（25-26八年级下·浙江杭州·期末）把一个足球垂直地面向上踢，（秒）后该足球的高度（米）适用公式． （1）经过多少秒时球的高度为米？ （2）试问球在上升过程中，球的高度能否达到米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由． 【答案】（1）秒或秒；（2）不能，理由如下： ∵据题意得，整理得， ∴， ∴一元二次方程无解， ∴球的高度不能达到米． 【分析】（1）将代入即可求解； （2）将代入，求出判别式即可求解． 解：（1）当时，， 整理得：， 解得：，； ∴经秒或秒时球的高度为米； （2）略 【变式1】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）已知一架飞机在跑道起点处着陆后的滑行速度v（单位：）与滑行时间t（单位：）之间满足一次函数关系．而滑行距离，，其中是初始速度，是t秒时的速度，当飞机在跑道起点处着陆后滑行了，则此时飞机的滑行速度（   ）． A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．根据题意可得，令得到关于t的方程，求出t的值，即可求解． 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 当时，， 整理得：， 解得：（舍去）， 此时， 即此时飞机的滑行速度． 故选：C 【变式2】（23-24九年级上·山西临汾·期中）飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 ________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将题中所给数据代入进行求解即可． 解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【变式3】（2024·上海闵行·二模）北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产（x+20）箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，（舍去） 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点拨】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期末）宁波市轨道交通发展助力绿色出行，2023年宁波轨道交通运营里程约186公里，2025年增长至约262公里．设这两年运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据年平均增长率的计算方法，从2023年的初始里程推出2025年的里程表达式，结合已知2025年的里程即可列出方程． 解：∵2023年运营里程为公里，年平均增长率为.， ∴2024年运营里程为，2025年运营里程为.， 又∵2025年运营里程为公里， ∴可列方程为 ． 2．（23-24九年级上·全国·期中）若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 3．（25-26九年级下·重庆·期中）年重庆城市足球超级联赛（渝超）某赛区采用了单循环赛制（每两队之间只比赛场）、该赛区一共进行了45场比赛，若设该赛区共有支球队参赛，则根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该赛区共有支球队参赛，根据该赛区一共进行了45场比赛列方程即可． 解：设该赛区共有支球队参赛， ∵每支球队需要和除自身外的支球队各赛场，每场比赛由支球队共同参与，直接计算会对每场比赛重复计算次， ∴实际总比赛场数为， ∵总比赛场数为， ∴可列方程． 4．（24-25九年级上·山西临汾·阶段检测）如图，在中．，，，点从点出发以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，同时，点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度向终点A移动．当一点到达终点时，另一点也停止移动．若的面积等于4，则它们移动的时间是（　　） A．1秒或4秒 B．2秒或4秒 C．2秒 D．1秒 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可． 解：设运动时间为秒， 由题意得：，， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴不符合题意， ∴当的面积等于4时，经过了1秒， 故选：D． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·阶段检测）如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为时，输入的值为（   ） A．3或 B．6或 C．1或3 D．48 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意列出方程，即可解答． 解：当输出结果为时， 解得：或， 故选：B． 6．（25-26八年级下·浙江台州·期末）南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 7．（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 8．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）甲、乙两种品牌的智能机器人采摘苹果，它们原来每分钟采摘的个数相同，现它们都提高采摘速度，其中甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是，乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是．提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出原来的采摘个数，根据甲品牌智能机器人连续两次提速的百分率都是列出，再根据乙品牌智能机器人一次性提速的百分率是列出，最后根据提速后甲品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数是乙品牌智能机器人平均每分钟采摘的苹果个数的倍列出方程求解即可． 解：设甲、乙原来每分钟采摘苹果的个数为，其中， 根据题意列方程：， ，两边约去得：， 展开整理得：， 因式分解得：， 解得，（舍）， 答：的值为． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25九年级上·重庆秀山·期末）某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 10．（25-26八年级下·江苏南通·期末）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步．设阔步，根据题意可列方程为___________． 【答案】 【分析】先根据宽与长的数量关系表示出矩形的长，再利用矩形面积公式即可列出方程． 解：设矩形的阔为步，则矩形的长为步， 由题意得，． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）三个连续奇数的平方和为251，求这三个数．若设最小的奇数为x，则可列方程为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程在数字问题中的应用. 相邻奇数之间相差，所以三个连续的奇数分别为，，，根据题意得到等量关系列出方程. 解：最小的奇数为 另外两个连续奇数分别为，． 根据它们的平方和为，可列方程为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了55次手，这次会议到会的人数是____人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设到会人数为x人，根据握手问题公式，总握手次数为，据此列一元二次方程求解． 解：设这次会议到会的人数为人，根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 故答案为：11． 13．（25-26九年级上·上海·期中）已知点是线段上一点，并且，如果，那么的长为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查一元二次方程的解法、线段和与差，设，根据线段的和与差与条件建立一元二次方程求解即可． 解：设，则． 由，得， 整理得， 解方程，得， 由于为线段长度，取正值，故． 故答案为：． 14．（25-26八年级下·福建福州·期末）在综合实践活动课上，小磊同学经过思考将宽为的矩形卡纸剪成如图1所示的四块图形，若用这四块图形恰好能够拼成如图2所示的正方形，且正方形的边长比矩形的宽多1，则该矩形卡纸的宽______cm． 【答案】 【分析】根据线段之间的关系，用含a的式子表示出正方形的边长和矩形的长，再根据矩形和正方形的面积相等，列方程，求解检验即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用，正确地列出方程是解题的关键． 解：由图1可得，直角三角形①的较短直角边和梯形②的上底重合，直角三角形①的较长直角边和梯形②的高之和是矩形的长，梯形②的下底是矩形的宽，即在图2中，，， ∴矩形的长为， 根据矩形和正方形的面积相等，得， 整理得， 解得，（舍去）， ∴． 15．（2026·内蒙古通辽·三模）如图，一个养殖户用米长的围栏围成一排一面靠墙、大小相等且彼此相连的三个矩形鸡舍，要使鸡舍的总面积为平方米，那么每个鸡舍的长为______． 【答案】米或米 【分析】设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米，根据题意得，然后解方程即可． 解：设每个鸡舍垂直于墙面的一边为米，则平行于墙面的一边为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，则每个鸡舍的长为米； 当时，，则每个鸡舍的长为米； 综上可得：每个鸡舍的长为米或米． 16．（24-25九年级上·全国·随堂练习）某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． （2）每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】（1）；；（2）1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． （1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·北京昌平·期末）某区成功举办公路自行车骑行赛事，2024年该赛事约有2000人参赛，2026年参赛人数达到约2420人，若这两年参赛人数的年平均增长率保持一致，求参赛人数的年平均增长率． 【答案】 解：设参赛人数的年平均增长率为， 则， 解得：，（舍）， 答：参赛人数的年平均增长率为． 18．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）某物流园区的货运停车场为矩形，其面积为，停车场内共设计了如图所示的40个停车位，每个停车位的尺寸都一样，其长比宽的2倍还多．停车场内所有横、纵向的通车道的宽度均相等．设每个停车位的宽为． （1）请用含的代数式表示横向通车道的长； （2）求该停车场的每个停车位的宽． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先根据长比宽的2倍多表示出停车位的长，再结合图形中横向停车位的排列数量，加上通车道宽度相关的部分，得到横向通车道的长的表达式； （2）结合图形分别表示出整个停车场的长和宽，利用停车场面积为建立方程，并解方程，结合实际意义对根进行取舍，得到停车位的宽即可． （1）解：∵每个停车位的宽为，且长比宽的2倍多， ∴停车位的长为， 观察图形可得横向通车道的长为4个停车位的宽与两个停车位长的和， ∴横向通车道的长为； （2）解：由题意得： 整理得： 解得：，（舍去） 答：货运停车场的每个停车位的宽为． 19．（25-26八年级下·浙江湖州·期中）如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． （1）填空： ， ．（用含的代数式表示） （2）当五边形的面积等于时，求此时的值． （3）是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1；（3）存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． （1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 20．（25-26八年级下·河北石家庄·期末）问题情境： 八年级（1）班的同学，对石家庄梨膏糖食品厂出产的“梨膏糖”每日生产和销售的情况进行了信息整理，结果如下： 信息1：这款“梨膏糖”日产量x（千克）的范围是． 信息2：这款“梨膏糖”每千克的生产成本（元）与日产量x（千克）之间关系如下表所示． 信息3：这款“梨膏糖”每千克的售价（元）与日产量x（千克）之间的关系式为：． 日产量x（千克） 30 60 90 120 每千克的生产成本（元） 55 50 45 40 问题解决： （1）根据表格信息，这款“梨膏糖”每千克生产成本是x的一次函数，求此函数关系式； （2）求这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是多少元； （3）若该厂每日生产的“梨膏糖”当天会全部售完． ①该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1200元，如果你是生产部经理，当日该产品的日产量应该定为多少比较合理？为什么？ ②该厂计划将某日这款“梨膏糖”的销售利润定为1500元，能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】（1）；（2）80元；（3）①日产量定为60千克；②不能实现 【分析】（1）利用待定系数法，代入表格数据求解一次函数解析式； （2）根据一次函数的增减性，结合自变量取值范围求的最大值； （3）①先根据总利润每千克利润日产量，得到总利润关于的二次函数，再令求解即可； ②令，通过方程解的情况判断目标利润能否实现． （1）解：设与的函数关系式为， 从表格中选取两组数据，即；， 代入得，解得， 则有， 经检验，其余点均满足该解析式，结合的取值范围，得函数关系式为； （2）解：已知 ， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，最大值为， 即这款“梨膏糖”每千克的售价的最大值是80元； （3）解：由题意，每日生产的梨膏糖全部售完，设总利润为W， 则， ①当时，得方程， 整理得，解得，均满足， 在获得相同利润时，日产量为60千克比120千克投入的人力和原材料更少，成本更低， 因此选择60千克更合理， 答：当日该产品的日产量应该定为60千克． ②当时，得方程， 整理得，配方得， 任何实数的平方都大于等于0，因此方程没有实数解，即不存在满足条件的日产量，因此不能实现目标利润， 答：不能实现利润为1500元的计划． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $