第3章 2 课时2 两边成比例且夹角相等的判定方法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

课时2　两边成比例且夹角相等的判定方法 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似　　 如图，下列选项中与△ABC相似的是(C) 　　　 1题图 　 2题图 3题图 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA∶OC＝OB∶OD，则下列结论中一定正确的是(B) A．①和②相似 B．①和③相似 C．①和④相似 D．③和④相似 (河北石家庄期中)如图，在△ABC和△AED中，∠BAD＝∠CAE，要使△ABC与△AED相似，还需要满足下列条件中的(A) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 如图，已知∠ACB＝∠CBD＝90°，AC＝8，BC＝4.当BD的长为2时，△ACB∽△CBD. 4题图 　　　 5题图 (东营中考)如图，在△ABC中，AB＝6，CA＝4，D为AC的中点，点E在AB上，当AE为3或时，△ABC与以点A，D，E为顶点的三角形相似． 如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝2，以AC为边作△ACE，使∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝3，连接DE，则DE的长为． 　　　 (教材母题变式)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D，E在斜边BC上，连接AD，AE，若AE2＝BE·DE，求∠DAE的度数． 解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.∵AE2＝BE·DE，∴AE∶BE＝DE∶AE.又∵∠AED＝∠BEA，∴△AED∽△BEA，∴∠DAE＝∠ABE＝45°. 如图，AB∥DC，点E，F在线段BD上，AB＝2DC，BE＝2DF.求证：△ABE∽△CDF. 证明：∵AB∥DC，∴∠B＝∠D.∵AB＝2DC，BE＝2DF，∴＝＝2，∴△ABE∽△CDF. 　　　　 如图，已知在正方形ABCD中，Q为DC的中点，BP＝3PC.求证：AQ⊥PQ. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AD，∠C＝∠D＝90°.∵Q为DC的中点，∴CQ＝DQ＝CD＝AD.∵BP＝3PC，∴CP＝CB＝CD，∴CP＝DQ，∴＝.又∵∠C＝∠D，∴△CPQ∽△DQA，∴∠QAD＝∠PQC.∵∠D＝90°，∴∠QAD＋∠AQD＝90°，∴∠AQD＋∠PQC＝90°，∴∠AQP＝180°－(∠AQD＋∠PQC)＝90°，∴AQ⊥PQ. 如图，在四边形ABCD中，已知∠ADC＝∠BAC，那么补充下列条件后不能判定△ADC和△BAC相似的是(C) A．CA平分∠BCD B．＝ C．AC2＝BC·CD D．∠DAC＝∠ABC 1题图 　　 2题图 如图，在等边三角形ABC中，D为AC的中点，＝，和△AED相似的三角形有(C) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝AB＝3BD，则AD∶AC的值为． 3题图 如图，在△ABC中，BD，CE分别是AC，AB边上的高，连接ED.求证：△ABC∽△ADE. 4题图 证明：如答图，设BD与CE交于点O. ∵BD，CE分别是AC，AB边上的高， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACE， ∴＝，∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. 4题答图 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE，BC的延长线相交于点F，且＝. (1)求证：△ADE∽△ACB； (2)当AB＝12，AC＝9，AE＝8时，求BD的长． 　5题图 (1)证明：∵＝，∠EFC＝∠BFD，∴△FEC∽△FBD， ∴∠FEC＝∠B.∵∠AED＝∠FEC，∴∠AED＝∠B.又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB. (2)解：∵△ADE∽△ACB，∴＝，即＝， ∴AD＝6，∴BD＝AB－AD＝12－6＝6. [核心素养]如图，在钝角三角形ABC中，AB＝5 cm，AC＝10 cm，动点D从点A出发，运动到点B停止，动点E从点C出发，运动到点A停止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s，如果两点同时运动，那么经过几秒后，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似？ 6题图 解：根据题意，设当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是x s，则AD＝x cm，CE＝2x cm， ∴AE＝(10－2x)cm. ∵∠DAE＝∠CAB， ∴△ADE与△ABC相似，分两种情况讨论： ①若△ADE∽△ABC， 则＝，∴＝，解得x＝2.5； ②若△ADE∽△ACB， 则＝，∴＝，解得x＝4. 综上所述，经过2.5 s或4 s后，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似． 学科网（北京）股份有限公司 $