2.3 一元二次方程的根与系数的关系讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），从根的定义出发，通过因式分解展开对比系数和求根公式推导两种思路得出结论，强调使用前提（Δ≥0且a≠0），结合常用变形公式，构建从概念到应用的完整学习支架。 资料亮点在于推导过程注重逻辑推理培养数学思维，例题涵盖代数式求值、几何综合等问题体现数学语言表达，巩固练习联系等腰三角形等实际情境发展数学眼光。课中助力教师清晰授课，课后多样化练习帮助学生查漏补缺。

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 考点1: 一元二次方程的根 1. 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个实数根x＝x1，x＝x2.  2. 反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，那么ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2). 考点2: 一元二次方程的根与系数的关系 1. 思路①：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)， 而a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， 所以ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， 所以，于是 思路②：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时有两个根：x1＝，x2＝ 所以，两根之和为：x1＋x2＝＋＝＝－ 两根之积为：x1·x2＝×＝＝＝ 2. 关系结论：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个结论也称为“韦达定理”.  · 根与系数的关系的使用前提是一元二次方程有根，即注意Δ＝b2－4ac≥0且a≠0. · 解此类题关键在于将代数式化为含x1＋x2，x1·x2的形式，常用变形如下: ①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2；②＋＝；③|x1－x2|＝；④＋＝. 练习1. 1. 设一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(　 　). A．1 B．－1 C．0 D．3 2. 已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则 的值为(　 　). A. B. C.－ D.－ 3. 设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)＋；(2)＋；(3)＋－3x1x2. 考点3: 一元二次方程的根与系数关系的应用： ①不解方程，求与方程的根有关的代数式的值； ②已知一个根，求另一个根； ③与根的判别式结合，考查综合问题. · 有关根与系数的关系的两个重要推论： ①以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0； ②如果方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根是x1，x2那么x1＋x2＝－m，x1·x2＝n. 练习2. 1. 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根为1，则另一个根是(　 　). A.5 B.4 C.3 D.2 2. 当a＝1，b＝m，c＝－15时，若代数式的值为3，则代数式 的值为(　 　). A.5 B.－5 C.1 D.－1 3. 若a，b为一元二次方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式a2－2a＋b的值为(　 　). A.2 B.3 C.5 D.8 4. 已知方程x2－(k－1)x－6＝0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是－3，求k的值及方程的另一个根. 5. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－2)x＋2m－8＝0. (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根. (2)若平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于该方程的两个实数根. ①当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； ②若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 巩固练习： 1. 等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程－x2＋6x－2－m＝0的两个实数根，则m的值为(　 　). A.6 B.7 C.6或7 D.7或10 2. 设x1与x2为一元二次方程x2＋3x＋2＝0的两根，则(x1－x2)2的值为 . 3. 若x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，求(x1－3)(x2－3)的值. 4. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a＋1)x＋a2－2＝0. (1)若该方程没有实数根，求a的取值范围； (2)当该方程的两根互为倒数时，求a的值. 5. 已知关于x的一元二次方程2x2－mx＝1，其中m为实数. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为－1，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 考点1: 一元二次方程的根 1. 如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，那么一元二次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个实数根x＝x1，x＝x2.  2. 反过来，如果x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，那么ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2). 考点2: 一元二次方程的根与系数的关系 1. 思路①：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根x1，x2，ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)， 而a(x－x1)(x－x2)＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， 所以ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)x＋ax1x2， 所以，于是 思路②：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)当b2－4ac≥0时有两个根：x1＝，x2＝ 所以，两根之和为：x1＋x2＝＋＝＝－ 两根之积为：x1·x2＝×＝＝＝ 2. 关系结论：如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.这个结论也称为“韦达定理”.  · 根与系数的关系的使用前提是一元二次方程有根，即注意Δ＝b2－4ac≥0且a≠0. · 解此类题关键在于将代数式化为含x1＋x2，x1·x2的形式，常用变形如下: ①x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2；②＋＝；③|x1－x2|＝；④＋＝. 练习1. 1. 设一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为(　A　). A．1 B．－1 C．0 D．3 2. 已知方程x2－5x＋2＝0的两个解分别为x1，x2，则 的值为(　A　). A. B. C.－ D.－ 3. 设x1，x2是一元二次方程2x2－x－3＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)＋；(2)＋；(3)＋－3x1x2. 解：(1)＋＝；(2)＋＝－；(3)＋－3x1x2＝. 考点3: 一元二次方程的根与系数关系的应用： ①不解方程，求与方程的根有关的代数式的值； ②已知一个根，求另一个根； ③与根的判别式结合，考查综合问题. · 有关根与系数的关系的两个重要推论： ①以x1，x2为根的二次项系数为1的一元二次方程为x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0； ②如果方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根是x1，x2那么x1＋x2＝－m，x1·x2＝n. 练习2. 1. 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0的一个根为1，则另一个根是(　C　). A.5 B.4 C.3 D.2 2. 当a＝1，b＝m，c＝－15时，若代数式的值为3，则代数式 的值为(　B　). A.5 B.－5 C.1 D.－1 3. 若a，b为一元二次方程x2－3x－5＝0的两根，则代数式a2－2a＋b的值为(　D　). A.2 B.3 C.5 D.8 4. 已知方程x2－(k－1)x－6＝0是关于x的一元二次方程，若方程的一个根是－3，求k的值及方程的另一个根. 解：k的值为0，方程的另一个根为2. 5. 已知关于x的一元二次方程x2－(m－2)x＋2m－8＝0. (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根. (2)若平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于该方程的两个实数根. ①当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； ②若AB的长为3，那么平行四边形ABCD的周长是多少？ 解：(1)证明：∵Δ＝(m－2)2－4(2m－8)＝m2－12m＋36 ＝(m－6)2≥0， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； (1)①∵平行四边形AB，CD是菱形，∴AB＝AD，∴Δ＝0，即(m－6)2＝0，解得m＝6， 方程化为x2－4x＋4＝0，解得x1＝x2＝2，∴菱形的边长为2 ②平行四边形ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(2＋3)＝10. 巩固练习： 1. 等腰三角形三边长分别为a，b，4，且a，b是关于x的一元二次方程－x2＋6x－2－m＝0的两个实数根，则m的值为(　C　). A.6 B.7 C.6或7 D.7或10 2. 设x1与x2为一元二次方程x2＋3x＋2＝0的两根，则(x1－x2)2的值为__20__. 3. 若x1，x2是一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两个根，求(x1－3)(x2－3)的值. 解：(x1－3)(x2－3)＝2 4. 已知关于x的一元二次方程x2－2(a＋1)x＋a2－2＝0. (1)若该方程没有实数根，求a的取值范围； (2)当该方程的两根互为倒数时，求a的值. 解：(1)a的取值范围是a＜－；(2)a＝. 5. 已知关于x的一元二次方程2x2－mx＝1，其中m为实数. (1)求证：该方程有两个不相等的实数根； (2)若该方程的一个根为－1，求另一个根； (3)若该方程的一个根大于2，另一个根小于2，求m的取值范围. 解：(1)证明：一元二次方程2x2－mx＝1化为一般形式为2x2－mx－1＝0， ∵Δ＝(－m)2－4×2×(－1)＝m2＋8＞0. (2)x＝；(2) m＞. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $