第2章 一元二次方程 本章考点检测训练-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

一元二次方程的有关概念　　 下列方程：①x2＋1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③x2＋＝3；④＋3y＝1；⑤(x－1)(x＋1)＝(x＋2)(x－2)＋2x－5.其中一定是一元二次方程的有(B) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 若方程(a－1)＋ax＝1是关于x的一元二次方程，则a的值是－1． 把一元二次方程(x－)(x＋)＋(x－2)2＝2化成一般形式为2x2－4x－1＝0． 一元二次方程的解法　　 一元二次方程x2－2x－c＝0能用公式法求解的前提是(C) A．c＝1 B．c≥1 C．c≥－1 D．c≤－1 解下列方程： (1)3(x－1)2＝12； 解：3(x－1)2＝12， 方程的两边都除以3，得(x－1)2＝4. 两边开平方，得x－1＝±2， ∴x1＝3，x2＝－1. (2)x2＋4x－2＝0； 解：x2＋4x－2＝0， 移项，得x2＋4x＝2. 配方，得x2＋4x＋4＝2＋4， 即(x＋2)2＝6. 两边开平方，得x＋2＝±， ∴x1＝－2，x2＝－－2. (3)3x(x－2)＝x－2； 解：3x(x－2)＝x－2， ∴(3x－1)(x－2)＝0， ∴x1＝，x2＝2. (4)x2＋1＝x. 解：原方程可化为x2－x＋1＝0. ∵a＝1，b＝－，c＝1， ∴Δ＝b2－4ac＝(－)2－4×1×1＝2>0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝. 一元二次方程的根的判别式　　 (新疆生产建设兵团中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(B) A．a<1 B．a>1 C．a≤1 D．a≥1 已知a，b，c为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是(B) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 一元二次方程根与系数的关系　　 已知a，b是方程x2＋x－2 025＝0的两个实数根，则a2－b－2 026的值是0． 已知关于x的一元二次方程x2－(m＋1)x＋＝0有两个不相等的实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2之间满足2(x1＋x2)＝x1x2，求m的值． 解：(1)m的取值范围为m>－. (2)∵a＝1，b＝－(m＋1)，c＝， ∴x1＋x2＝－＝m＋1，x1x2＝. ∵2(x1＋x2)＝x1x2，∴2(m＋1)＝， 化简，得m2－8m＝8， 解得m1＝4＋2，m2＝4－2. 由(1)可知m>－， ∴m的值为4＋2. (广西桂林期中)若关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有两个实数根x1，x2. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长，求m的值． 解：(1)根据题意，得Δ＝[－2(m＋1)]2－4(m2＋5)＝8m－16≥0，解得m≥2. (2)由根与系数的关系可知x1＋x2＝2(m＋1)， x1x2＝m2＋5. ∵x1，x2恰好是对角线长为6的矩形的相邻两边的边长， ∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝[2(m＋1)]2－2(m2＋5)＝62， 整理，得m2＋4m－21＝0， 解得m1＝3，m2＝－7. 又∵m≥2，且x1＋x2＝2(m＋1)>0，∴m＝3. 一元二次方程的实际应用　　 (凉山州中考)某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是(C) A．560(1＋x)2＝1 860 B．560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860 C．560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860 D．560＋560(1＋2x)2＝1 860 12题图 (广元中考)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m，则可列方程为(D) A．(12－x)(10－x)＝12×10× B．(12－2x)(10－x)＝12×10× C．(12－x)(10－2x)＝12×10× D．(12－2x)(10－2x)＝12×10× [传统文化]我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑，内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．若设正方形的边长是x步，则列出的方程是(B) 13题图 A．π(x＋3)2－x2＝72 B．π－x2＝72 C．π(x＋3)2－x2＝36 D．π－x2＝36 某商场今年初以每件40元的进价购进一批商品，当商品销售价为60元时，一月份销售64件，二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月底的销售量达到100件，设二、三月份这两个平均增长率不变． (1)求二、三这两个月的月平均销售增长率； (2)从四月起，商场决定采用降价促销，经调查发现，该商品每降价2元，销售量增加20件，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店按原售价的几折出售，商场月获利2 240元？ 解：(1)设二、三这两个月的月平均增长率为x， 根据题意，得64(1＋x)2＝100， 解得x1＝0.25＝25%，x2＝－2.25(不合题意，舍去). 答：二、三这两个月的月平均增长率为25%. (2)设该商品每件降价y元，则每件盈利(60－y－40)元，月销售量为100＋20×＝(100＋10y)件． 根据题意，得(60－y－40)(100＋10y)＝2 240， 整理，得y2－10y＋24＝0， 解得y1＝4，y2＝6. 又∵要尽可能让利于顾客， ∴y＝6，∴×10＝9， ∴该店按原售价的9折出售，商场月获利2 240元． 学科网（北京）股份有限公司 $