专题6 一元二次方程的其他应用&教材素材拓展 一元二次方程几何解法-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

10.解：设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x) 元，每晚租出的总床位为(100-10x)张 根据题意，得(10+2x)(100-10x)=1120. 整理，得x2-5x+6=0,x1=2,x2=3. 当x=2时，2x=4;当x=3时，2x=6. 答：每床每晚应提高4元或6元 【素养探究创新练】 11.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨.。 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300, ∴.2x-100=2×300-100=500, 故4月份再生纸的产量为500吨： (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)=6000, 整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 故m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y, 5月份再生纸的产量为α吨，则6月份再生纸产量比上月 增长y,依题意，得 1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)×1200(1+y)·a, ∴.1200(1+y)2=1500 即6月份每吨再生纸的利润是1500元. 专题6一元二次方程的其他应用 1.C[解析]由已知护士x人，每两人一班，轮流值班，可得 共有x,山种组合，又已知每8小时换班一次，每天3个 2 班次，由题意，得x1】3=70,解得名=-20（不符 合题意，舍去)，2=21.故选C. 2.A3.34或-34 4.解：设个位数字为x,则十位数字为x2-2 由题意，得10(x2-2)+x-(10x+x2-2)=36, 解得名1=3，x2=-2(不符合题意，舍去)， 十位数字为32-2=7，个位数字为3. 答：原来的两位数为73. 5.512 6.解：设每轮感染中平均1台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81 整理，得(1+x)2=81,∴1+x=9或1+x=-9, 解得1=8，x2=-10(不符合题意，舍去)， .(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：每轮感染中平均1台电脑会感染8台电脑，三轮感染 后，被感染的电脑会超过700台. 7.C8.109.15 10.6[解析]设早餐饮酒x斗，则午餐饮酒(x+1)斗.晚餐 饮酒(x+2)斗.根据题意，得x(x+1)+（x+1)(x+2)+ x(x+2)=146,解得x1=6,x2=-8(不符合题意，舍去). 11.解：(1)设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出x个有益 菌，由题意，得60(1+x)2=24000, 解得x1=19,x2=-21. .x>0,.x=19. 答：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出19个有益菌， (2)由题意，得60×(1+19)3=480000（个）. 答：经过三轮培育后有480000个有益菌. 参考答案及解析 教材素材拓展一元二次方程几何解法 解：(1)C (2)一方面，大正方形的面积可表示为(x+x+2)2, 另一方面，也可表示为4x(x+2)+(x+2-x)2, .(x+x+2)2=4x(x+2)+(x+2-x)2. x(x+2)=35,,(2x+2)2=4×35+4=144. x>0,2x+2=12,.x=5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解， 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出 与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无 法求出负数根. (4)② 第二章易错强化训练 1.B2.C3.-2 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. .a=1,b=-5,c=-1, .b2-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2 -5+29 .x1= 2,2= 5-29 2 2 5.解：(1)x1=1,为=子(2)=3，=2 7 6.解：(1)三配方时，只在方程的左边加上一次项系数一半 的平方，而在右边没有加 (2)移项，得2x2-6x=5. 两边都除以2，得2-3x=2 5 配方，得-3+子=名+是， -只 3 2 =3+厘=3-四 2= 2 7.证明：①当m-1=0, 即m=1时，方程为-x+1=0,解得x=1, ∴此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0，.此时方程有两个实数根 综上，不论m为何值，方程总有实数根 8.B 第二章章未复习 【知识体系构建】 02②>③=④<⑤±⑥-6⑦9 【常考题型训练】 1.C2.A3.54.C 5.解：(1)x=2-万，=2+万。(2)=-7,4=-2 6.A 7,k≤-1[解析]当k=1时，方程的解是x=- 8,不符合 ·13.又全程导练·九年级数学·北师版·上册 专题6一元二次方 题型1计数问题 1.（河南郑州期中)某医院内科病房有护士x人，每 两人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人 同值一班后，到下次两人再同班，最长需要70天， 则x的值为 () A.15 B.18 C.21 D.35 题型2数字问题 2.若一个两位数比它的十位数字与个位数字和的 平方少2，且个位数字比十位数字大1，则这个两 位数是 A.23 B.34 C.23或34 D.-23或-34 3.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的 和等于 4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平 方小2，如果把这个数的个位数字与十位数字交 换，那么所得到的两位数比原来的数小36，求原 来的两位数. 题型3传播问题 5.有一个人患流感，经过两轮传染后共有64个人患 流感.设每轮传染中平均一个人传染x个人，则第 三轮传染后共有 个人患流感， 6.(湖北孝感期中)某种电脑病毒传播非常快，如果 1台电脑被感染，经过两轮感染，就会有81台电 脑被感染.请你用学过的知识分析，每轮感染中平 均1台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效 控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过 700台？ 42 见此图标贸微信扫码进人初中智慧学园自 程的其他应用 [答案P13] 题型4循环问题 7.某校要组织一次篮球联赛，计划每两个队之间赛 两场，共需安排30场比赛，则邀请参加比赛的球 队个数为 ( A.4 B.5 C.6 D.7 8.在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份 礼物，若一共送出了90份礼物，则参加聚会的共 有 人 9.（黑龙江哈尔滨期末)参加足球联赛的每两队之 间都进行两场比赛，共要比赛210场，则参加比赛 的足球队共有 个 题型5其他问题 10.跨学科《李白饮酒》数谜诗—李白每天不离 酒，三餐依次增一斗；三餐斗数两两乘，乘积相加 一四六；要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗.则早 餐饮 斗 11.某生物实验室需培育一群有益菌，现有60个活 体样本，经过两轮培育后，总数达24000个，其 中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目 的有益菌. (1)每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少 个有益菌？ (2)按照这样的分裂速度，经过三轮培育后有多 少个有益菌？ 第二章一元二次方程又 教材素材拓展一元二次方程几何解法 [「答案P13] 【阅读】许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，下面以方程x2+2x-35=0,即x(x+2)=35为例 加以说明. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，一方面，图中大正方 形的边长是(x+x+2),它的面积可利用正方形的面积公式计算；另一方面，这个大正方形的面积又等于四 个全等矩形的面积加上中间小正方形的面积， 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，一方面，图中大正方形的面积为 (x+1)2;另一方面，它又等于35+1.据此可得x=5 x+2 x+2 x+2 图1 图2 【完成任务】 (1)数学家阿尔·花拉子米求解过程中所用的方法与下列哪种方法是类似的？ () A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 (2)根据数学家赵爽的方法求出x的值； 【探究思考】 (3)上述几何解法有何弊端，请说明这种弊端产生的原因； 【拓展延伸】 (4)根据赵爽记载的方法，在下列三个构图中（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上），能够 得到方程x2+3x-10=0的正数解的构图是 (请填写序号). 见此图标毁微信打码进人初中智慧学园自 43