第2章 3 一元二次方程的根与系数的关系-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

3 一元二次方程的根与系数的关系 直接利用根与系数的关系进行计算　　 若方程3x2＋7x－9＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2等于(A) A．－ B． C．－3 D．3 (湖北中考)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(D) A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3 (苏州中考)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝－3． (眉山中考)已知方程x2－2x－5＝0的两根分别为x1，x2，则(x1＋1)(x2＋1)的值为－2． 已知x1，x2是一元二次方程4x2＋8x－2＝0的两个实数根，不解方程，求下列式子的值． (1)＋； (2)x＋x； (3)(x1－x2)2. 解：∵a＝4，b＝8，c＝－2， ∴x1＋x2＝－＝－＝－2，x1x2＝＝＝－. (1)＋＝＝＝4. (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－2)2－2×＝5. (3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(－2)2－4×＝6. 一元二次方程的根与系数的关系的应用　　 (河北中考)若一元二次方程x(x＋2)－3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于(C) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 一元二次方程x2－3x－1＝0与x2－2x－3＝0的所有实数根的和等于5． (巴中中考)已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为4． (江苏南通期中)已知α，β是方程x2－2x＋k＝0的两个实数根，且α2－α＋β＝5，则k的值为－3． (南充中考)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根． (1)当x1＝－1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0. (1)解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2， 得m2＝6，∴m＝±， ∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0， ∴(x－4)(x＋1)＝0， ∴x1＝－1，x2＝4， ∴x2＝4，m＝±. (2)证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0. ∵Δ＝9－4(2－m2)＝4m2＋1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． ∵方程(x－1)(x－2)＝m2， 即x2－3x＋2－m2＝0的两根为x1，x2， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2， ∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2. ∵m2≥0，∴－m2≤0，即(x1－1)(x2－1)≤0. 若一元二次方程x2－7x＋5＝0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y＝abx＋a＋b的图象一定不经过(D) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 若关于x的一元二次方程x2－(2m－3)x－m＝0的两个根互为相反数，则m的值为(C) A．－ B．－ C． D． 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5，则原来的方程是(B) A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0 C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0 (广安中考)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为29． 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋m－1＝0的实数根分别是x1，x2，满足3x1x2－x1－x2>2，则m的取值范围是3<m≤5． 设a，b是一元二次方程3x2－2x－7＝0的两根，则3a2－a＋b的值为7． 已知方程5x2＋kx－6＝0的一个根为2，求它的另一个根及k的值． 解：设方程的另一个根是x1，则2x1＝－， ∴x1＝－. ∵x1＋2＝－，∴－＋2＝－，解得k＝－7. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1)(x1＋2)(x2＋2)； (2)＋. 解：根据根与系数的关系，得 x1＋x2＝－2，x1x2＝－. (1)(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－＋2×(－2)＋4＝－. (2)＋＝＝＝ ＝－. [核心素养]已知关于x的一元二次方程x2－(m＋2)x＋2m＝0. (1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且(x1＋2)(x2＋2)＝18，求m的值； (3)如果方程的两个实数根分别为x1，x2，且等腰三角形的三边长分别为x1，x2，3，求m的值． (1)证明：∵b2－4ac＝[－(m＋2)]2－4×2m＝(m－2)2≥0，∴无论m取何值，方程总有两个实数根． (2)解：根据题意，得x1＋x2＝m＋2，x1x2＝2m. ∵(x1＋2)(x2＋2)＝18， ∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝18， 即2m＋2(m＋2)＋4＝18， 整理，得4m＝10，解得m＝. (3)解：①当x1＝3时，3－3<x2<3＋3， 即0<x2<6. ∵x1，x2是方程的两个实数根， ∴3＋x2＝m＋2，3x2＝2m，∴3(m－1)＝2m， 解得m＝3，此时x2＝2，符合题意； 同理得，当x2＝3时，m＝3，此时x1＝2，符合题意； ②当x1＝x2时，即b2－4ac＝0， 由(1)可知此时m＝2， 此时方程的解为x1＝x2＝2，符合题意． 综上所述，m的值为3或2. 学科网（北京）股份有限公司 $