第二章 一元二次方程 讲义（1） 2026--2027学年北师大版数学九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程核心知识点，系统梳理从概念（定义要素）到解的应用（逢解必代、整体代入、换元）再到近似解估算的完整脉络，衔接一元一次方程知识，构建基础巩固、精准突破、实战演练的学习支架。 资料特色为分层设计与素养导向，通过定义辨析例题培养抽象能力，解的代入求值强化推理意识，表格数据分析估算渗透数据观念。课中助力教师高效授课，课后便于学生自主练习查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

2026秋季初三数学同步讲义04- 一元二次方程（1） 【基础巩固】 1、一元二次方程的的概念是什么？ 2、一元二次方程的解与估算. 【精准突破】 一．一元二次方程的定义 例1．（认识一元二次方程）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 例2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 例3．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 二．一元二次方程的解 例1．（逢解必代）（1）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． （2）已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ） A． B． C． D． （3）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 例2．（逢解必代+整体代入求值）（1）若m是方程的一个根，则的值为_____． （2） 高次：若a是方程的一个根，则的值为______． 例3．（换元）已知关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，则方程的解为__________． 【实战演练】 1．关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 2．关于x的一元二次方程，若满足，则方程必有一个根是（　　） A． B． C． D． 3．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 4．已知m是方程式的根，则式子的值为________． 5．关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 6．已知方程 的解是，则方程，它的解是（   ） A． B． C． D． 三、估算一元二次方程的近似解 例1．1．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 例2．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【实战演练】 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 2．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B．C． D． 3．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 2026秋季初三数学同步讲义04- 一元二次方程 【基础巩固】 1、一元二次方程的的概念是什么？ 2、一元二次方程的解与估算. 【精准突破】 一．一元二次方程的定义 例1．（认识一元二次方程）下列方程中：①；②；③；④；⑤，是一元二次方程的有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【详解】解：①是整式方程，未知数x最高次数为2，符合； ②中a未指定不为0，若则不是一元二次方程，不符合； ③化简得，为一次方程，不符合； ④是整式方程，未知数x最高次数为2，符合； ⑤分母中含有x，不是整式方程，不符合； ∴只有①和④是一元二次方程，共2个； 故选B． 例2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 例3．已知关于的一元二次方程的常数项是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由得，， ∵的常数项是， ∴，解得：， 故选：． 【实战演练】 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 有两个未知数，不是一元二次方程； B. 当时，是一元一次方程，不是一元二次方程； C. ，是一元二次方程； D. 分母有未知数，不是一元二次方程； 故选：C． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则_____． 【答案】 【详解】解：∵原方程是一元二次方程， ∴未知数最高次数满足，且二次项系数， 解得，即或， 由得， ∴． 二．一元二次方程的解 例1．（逢解必代）（1）若关于的一元二次方程 有一根为0，则的值为______． 【答案】2 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为0， ∴将代入方程得： ， 即， 因式分解得， 解得或， 又∵一元二次方程的二次项系数不能为0，即，得， ∴的值为2． （2）已知方程有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∵， ∴两边同除以得：，即， 故选：D． （3）在一元二次方程的研究中小明发现，小红发现，而小刚听完他们的发现后直接说出了方程的两个解，则这个方程的根为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 当时，代入方程左边得：，已知，即左边右边，所以是方程的一个解． 所以这个方程的根为，． 例2．（逢解必代+整体代入求值）（1）若m是方程的一个根，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：是方程的一个根， ， 整理得， 又， ∴将代入得：原式． （2）高次：若a是方程的一个根，则的值为______． 【答案】2024 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 例3．（换元）已知关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为，则方程的解为__________． 【答案】/ 【详解】解：∵关于的一元二次方程（a，b，c为常数，）的解为， ∴方程中，令 则，即或 解得 即的解为 故答案为： 【实战演练】 1．关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A．1 B． C．1或 D．0 【答案】B 【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0， ∴先把代入，得， 解得， ∵是一元二次方程， ∴， ∴， ∴a的值为， 故选：B． 2．关于x的一元二次方程，若满足，则方程必有一个根是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，， 关于x的一元二次方程满足， ∴此方程必有一个根为， 故选：B． 3．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．2022 B．2021 C．2020 D．2019 【答案】C 【详解】解：由题意得：把代入方程中得：， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．已知m是方程式的根，则式子的值为________． 【答案】2020 【详解】∵m是方程式的根， ∴， ∴，． ， 将代入，得：， 再将代入，得：． 故答案为：2020． 5．关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 6．已知方程 的解是，则方程，它的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 三、估算一元二次方程的近似解 例1．1．下表是随着的不同取值，代数式的值的情况，根据表格中的数据，可知方程的根是（    ） ．．． -1 4 5 6 ．．． ．．． 8 0 0 8 ．．． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵等价于， 从表格中，当时，；当时，， ∴方程的根为，． 故选：C． 例2．观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∵当时，， ∵随的增大而增大， ∴方程的一个解在与之间，即， 故选：C． 【实战演练】 1．根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 2．根据表格中的信息，估计一元二次方程（、、为常数，）的一个解的范围为（   ） A． B．C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴使成立的的范围为， 故选：D． 3．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $