第1章 2 课时2 菱形的判定&微专题1 对角线互相垂直的四边形的面积-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

学升·同步练测·九年 参芳答乳 第一章特殊平行四边形 1认识特殊平行四边形 【基础巩固练】 1.A 2.平行四边形菱形有一组邻边相等的平行四边形是菱形 3.D 4.矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形 5.B6.D7.B 8.(2,-3)(4,0) 【能力提升练】 1.C2.C 3.证明：：AE⊥BG,CF⊥BG, .∠AEB=∠BFC=90°， .∠ABE+∠BAE=90. ·ABCD为正方形， .∠ABE+∠CBF=90°， ∴.∠BAE=∠CBF. r∠AEB=∠BFC, 在△BAE和△CBF中， ∠BAE=∠CBF, LAB=BC. .△BAE≌△CBF(AAS), .BE CF,AE BF, ∴.CF-AE=BE-BF=EF 2菱形的性质与判定 课时1菱形的性质 【基础巩固练】 1.D 2.70° 3.证明：四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD,∠B=∠D. r∠AEB=∠AFD, 在△ABE和△ADF中 ∠B=∠D, LAB=AD, .△ABE≌△ADF(AAS),.BE=DF 4.C5.B 6.27.24 8.解：(1)：四边形ABCD是菱形，.AD=AB, ∠DAC=∠CAB,AO=CO,AC⊥BD,B0=DO. ,E为AB的中点，DE⊥AB,∴.AD=BD, ,AD=AB=DB,∴.△ABD是等边三角形， ∴.∠DAB=60°，∠CAB=30°. (2).AC=43,A0=C0=23, ∴.AB2-B02=A02,且AB=20B,故3B02=12, ∴.BO=2,∴.DB=4=AD=AB,∴.AE=BE=2, .DE=√/DB2-BE2=W16-4=25. 9.C[解析]四边形AECF是菱形，，AE=EC.设AE=x, 则EB=EC-BC=x-2.:四边形ABCD是矩形，·.∠ABC =90°，.∠ABE=90°.在Rt△ABE中，AE2=AB2+BE2,即 2=32+(x-2),解得x=菱形ABCF的面积=3× 参考答案及解析 级数学·上册·北师版 案及解析 号-翠故选C 10.15 【能力提升练】 1.D2.C3.D [解析]：四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD相 于点0，AC⊥BD,A0=C0,B0=D0,.∠A0B=90°. A0=4,B0=3,.AB=√A02+B02=√4+32=5， AC=2A0=8,BD=2B0=6.:DH⊥AB于点H,.S菱#ABCD =AB,DA=子AC·BD,5DH=子×8x6,解得Dm -24 51 5.8cm和4.8cm 6.1[解析]：四边形ABCD是菱形，D0=B0=1,CD∥ AB,.∠ODF=∠OBE,∠OFD=∠OEB,∴.△DOF≌ △BOE,.△D0F的面积=△BOE的面积，∴△AOE与 △D0F的面积之和=△B0A的面积=之×2×1=1 7.12 8.解：，四边形ABCD是菱形， AD∥BC,AB=BC,AC⊥BD,LAB0=∠ABC, BD =2BO ∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°， ,△ABC是等边三角形，.AC=AB=2cm, ∴A0=子4C=1am,B0=VE2-A0=5m, .∴.BD=2B0=2√3cm. 9.解：(1)成立[解析]过点E作EG∥BC交AB于，点G.四 边形ABCD为菱形，.AB=BC.又：∠ABC=60°，.△ABC 是等边三角形，AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°.EG∥ BC,.∠AGE=∠ABC=60°.又.∠BAC=60°，..△AGE是 等边三角形，.AG=AE=GE,BG=EC.:CF=AE,.GE =CF.∠AGE=∠ACB=60°，∴.∠BGE=∠ECF=120°， .△BGE≌△ECF,∴.BE=EF (2)结论BE=EF成立.证明如下： 过点E作EQ∥BC交AB的延长线于点Q. 四边形ABCD为菱形，.AB=BC. 又：∠ABC=60°，△ABC是等边三角形， ·AB=AC,∠BAC=∠ACB=60. :EQ∥BC,.∠AQE=∠ABC=60 又：∠BAC=60°，.△AQE是等边三角形， ∴AQ=AE=QE,.BQ=EC. CF =AE,..QE =CF. 又：∠ECF=∠ACB=6O°，∴∠BQE=∠ECF, .△BQE≌△ECF,∴，BE=EF 课时2菱形的判定 【基础巩固练】 1.5有一组邻边相等的平行四边形是菱形 。1· 同步练测·九年级数学·上册·北师版 2.(1)证明：根据题意，得CD=C'D, ∠C'DE=∠CDE,CE=CE. .·AD∥BC,∴.∠CDE=∠CED, ∴.∠CDE=∠CED,.CD=CE ∴CD=C'D=C'E=CE, ∴.四边形CDCE是菱形 (2)解：当BC=CD+AD时，四边形ABED是平行四边形 证明如下： 由(1)知CE=CD .BC=CD +AD,.'.BE =AD. 又.·AD∥BC,.四边形ABED是平行四边形 3.对角线互相平分对角线互相垂直 4.证明：AB=5,0A=4,0B=3, .AB2=25=16+9=0A2+0B2, .∠A0B=90°， ∴.AC⊥BD, .口ABCD是菱形 5.46.①②③ AB =AD. 7.(1)证明：在△ABC和△ADC中，BC=DC, AC=AC, ∴.△ABC≌△ADC(SSS),∴.∠BAC=∠DAC rAB =AD, 在△ABF和△ADF中， ∠BAF=∠DAF, LAF=AF, .△ABF≌△ADF(SAS),∴.∠AFB=∠AFD. ∠AFB=∠CFE,∴.∠AFD=∠CFE. (2)证明：：AB∥CD,∴.∠BAC=∠ACD. 又.∠BAC=∠DAC,∴.∠CAD=∠ACD,∴.AD=CD AB=AD,CB=CD,..AB=CB=CD=AD, ∴.四边形ABCD是菱形 (3)解：当EB⊥CD时，∠EFD=∠BCD.理由如下： 四边形ABCD为菱形，∴.∠BCF=∠DCF BC=DC. 在△BCF和△DCF中， ∠BCF=∠DCF CF =CF, ∴.△BCF≌△DCF(SAS),∴.∠CBF=∠CDF BE⊥CD,∴.∠BEC=∠DEF=90°， .∠EFD=90°-∠EDF=90°-∠CBF=∠BCD. 【能力提升练】 1.C 2.AC1BD(答案不唯一)3.124.①② 5.解：(1)2a[解析]PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE为 平行四边形，∴AD=PE,DP=AE.AB=AC,∠B=∠C. ,PD∥AC,∴，∠DPB=∠C,∴.∠B=∠DPB,∴BD=DP ∴，四边形ADPE的周长为2(AD+DP)=2(AD+BD)=2AB =2a. (2)当点P运动到BC的中点时，四边形ADPE是菱形.理 由如下： 如答图①，连接AP. ,PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE为平行四边形 ,AB=AC,P为BC的中点，∴，∠PAD=∠PAE. .PE∥AB,∴.∠PAD=∠APE, ,∠PAE=∠APE,.EA=EP, 四边形ADPE是菱形 ·2· 5题答图① 5题答图② (3)点P运动到∠BAC的平分线上时，四边形ADPE是 菱形. 如答图②，连接AP. PD∥AC,PE∥AB,∴.四边形ADPE是平行四边形. AP平分∠BAC,∠1=∠2. AB∥EP,.∠1=∠3，∴∠2=∠3， .AE=EP,.平行四边形ADPE是菱形 微专题1对角线互相垂直的四边形的面积 1AC.OB 1.解：Sa形aD=SAe+SaBc=子AC·0D+ =24C(0D+0B)=24C.BD=7×20×15=150. 2.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠OAF=∠OCE. .EF垂直平分AC,∴.EF⊥AC,OA=OC r∠OAF=∠OCE, 在△AOF和△COE中，OA=OC, ∠AOF=∠COE. .△AOF≌△COE(ASA),.OE=OF. OA=OC,.四边形AECF是平行四边形 又，EF⊥AC,.平行四边形AECF是菱形. (2)解：725 3矩形的性质与判定 课时1矩形的性质 【甚础巩固练】 1.D2.D3.24cm2 4.证明：(1)：四边形ABCD为矩形， .∠ABE=∠DCF=90°，AB=CD. AB=CD. 在△ABE和△DCF中， ∠ABE=∠DCF, BE=CF. .△ABE≌△DCF(SAS). (2):△ABE≌△DCF,.∠EAB=∠FDC. 四边形ABCD为矩形， ∴.∠BAD=∠CDA=90°， ∴.∠BAD+∠EMB=∠CDA+∠FDC, .∠EAD=∠FDA. 5.C 6.解：.四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB. 又：AE平分LBAD.BAE=号∠BMD=45, .∠AEB=45°，∠BAE=∠BEA,∴.AB=BE. .:∠CAE=15°， ∴.∠CAB=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°， .△ABO是等边三角形， ∴.AB=OB,∠AB0=60°，∴.OB=BE,∠OBE=30°， LB0B=7×(180°-∠0BE)=7×(180°-30)=750 7.A8.(1)8(2)70同步练测·九年级数学·上册·北师版 课时2 菱形的判定 《基础巩固练> [答案PI] 知限点（①根据定义进行菱形的判定 细银点④菱形的性质与判定的综合运用 1如图，在口ABCD中，AB=9cm,BC=4cm,将CB 5如图，在∠MOW的两边上分别截取OA,OB,使 沿BA方向平移得到EF(点F在边AB上)，则当 OA=OB,分别以点A,B为圆心，OA的长为半径 BF= cm时，四边形DAFE是菱形，依 作弧，两弧相交于点C,连接AC,BC,AB,OC.若 据是 AB=2cm,四边形OACB的面积为4cm2,则OC 的长为 cm. 1题图 知跟点②根据边进行菱形的判定 5题图 6题图 2如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC,AD> 6如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AE CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在 ⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF,下列说 AD上的点C处，折痕DE交BC于点E,连接 法：①若AE=AF,则平行四边形ABCD是菱形； C'E. ②若△AEF是等边三角形，则∠B=60°；③若平 (1)求证：四边形CDCE是菱形； 行四边形ABCD是菱形，则∠AEF=∠AFE.其中 (2)若BC=CD+AD,试判断四边形ABED的形 说法正确的是一·（请填写序号） 状，并加以证明。 7如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E 是CD上一点，连接BE交AC于点F,连接DF (1)求证：∠BAC=∠DAC,∠AFD=CFE; (2)若AB∥CD,求证：四边形ABCD是菱形； (3)在(2)的条件下，试确定点E的位置，使 2题图 ∠EFD=∠BCD,并说明理由. 知限点③根据对角线进行菱形的判定 7题图 3请从对角线的角度在如图的横线上填写应满足 的条件 四边形 平行 四边形 菱形 3题图 4(长春中考)如图，口ABCD的对角线AC,BD相 交于点0，AB=5,OA=4,OB=3.求证：□ABCD 是菱形 4题图 第一章特殊平行四边形 《能力提升练> [答案2] ①下列说法中，正确的是 中点时，△ABF是等边三角形.其中正确的结论 A.一组邻边相等，一组对边平行的四边形是菱形 有 ·（(请填写序号) B.对角线互相垂直的四边形是菱形 5[核心素养]如图①，△ABC为等腰三角形，AB= C.有一条对角线平分一组对角的平行四边形是 AC=a,P是底边BC上的一个动点，PD∥AC交 菱形 AB于点D,PE∥AB交AC于点E. D.对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 (1)用a表示四边形ADPE的周长： 2(龙东地区中考)如图，在平行四边形ABCD中， (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱 对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件 形？请说明理由； ,使平行四边形ABCD为菱形 (3)如果△ABC不是等腰三角形，如图②，其他 条件不变，点P运动到什么位置时，四边形 ADPE是菱形（不必说明理由）？ 2题图 3题图 3如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，AB=CD, 连接AC,BD,E,F,G,H分别是AD,BD,BC,AC 5题图① 5题图② 的中点，若梯形ABCD的周长为24，AD=4,BC =8,则四边形EFGH的周长为 4(教材母题变式)如图，在 口ABCD中，点E,F分别 在边AD,BC上，连接 AC,EF,AF,CE,若EF⊥ 4题图 AC,垂足为O,OA=OC,则下列结论：①△AOE兰 △COF;②四边形AECF为菱形；③当F为BC的 微专题1 对角线互相垂直的四边形的面积 方法指导： 2如图，在口ABCD中，点E,F分别在边BC,AD 对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对 上，AC与EF交于点O,且EF垂直平分AC,连 角线乘积的一半。 接AE,CF 1①如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂 (1)求证：四边形AECF是菱形； 直，垂足为0.若BD的长为15，AC的长为20， (2)若AC⊥AB,∠B=30°，AE=12,则四边形 求四边形ABCD的面积.（请写出求解过程） AECF的面积为 1题图 2题图