第1章 3 课时1 矩形的性质-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

3 矩形的性质与判定 课时1　矩形的性质 矩形的边、角的性质　　 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，则对角线AC的长为(D) A．2 B．4 C．2 D．4 将两个直尺按如图所示方式放置，其中一个直尺的两个顶点与另一直尺的两个顶点重合，点E落在BC边上，若∠1＝30°，则∠2的度数为(D) A．30° B．40° C．50° D．60° 2题图 　　　 3题图 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，BF∥DE.若AD＝12 cm，AB＝7 cm，且AE∶EB＝5∶2，则图中阴影部分EBFD的面积为24 cm2． (无锡中考)如图，在矩形ABCD中，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，且BE＝CF，连接AE，DF.求证： (1)△ABE≌△DCF； (2)∠EAD＝∠FDA. 4题图 证明：(1)∵四边形ABCD为矩形， ∴∠ABE＝∠DCF＝90°，AB＝CD. 在△ABE和△DCF中， ∴△ABE≌△DCF(SAS). (2)∵△ABE≌△DCF，∴∠EAB＝∠FDC. ∵四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠CDA＝90°， ∴∠BAD＋∠EAB＝∠CDA＋∠FDC， ∴∠EAD＝∠FDA. 矩形的对角线的性质　　 矩形具有平行四边形不一定具有的性质是(C) A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对角线互相平分 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠CAE＝15°，求∠BOE的度数． 6题图 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB＝∠ABC＝90°，OA＝OB. 又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝ ∠BAD＝45°，∴∠AEB＝45°， ∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE. ∵∠CAE＝15°，∴∠CAB＝∠BAE＋ ∠CAE＝45°＋15°＝60°， ∴△ABO是等边三角形，∴AB＝OB，∠ABO＝60°，∴OB＝BE，∠OBE＝30°，∴∠BOE＝×(180°－∠OBE)＝×(180°－30°)＝75°. 直角三角形斜边上的中线的性质　　 如图，公路AC，BC互相垂直，M为公路AB的中点，为测量湖泊两侧C，M两点间的距离，工人师傅测得AC＝3 km，BC＝4 km，则M，C两点间的距离为(A) A． km B．3 km C．4 km D．5 km 7题图 　　　 8题图 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，D为AB的中点. (1)若AB＝16，则CD＝8； (2)若∠ACD＝20°，则∠B＝70°． (四川成都期中)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E，F分别是BD，AC的中点． (1)请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明； (2)当AC＝8，BD＝10时，求EF的长． 9题图 解：(1)EF⊥AC.证明如下： 9题答图 如答图，连接AE，CE. ∵∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E为BD的中点，∴AE＝BD，CE＝BD， ∴AE＝CE.又∵F是AC的中点， ∴EF⊥AC. (2)由(1)知AE＝CE＝BD，EF⊥AC. ∵BD＝10，∴AE＝CE＝5. ∵F是AC的中点，AC＝8， ∴CF＝AC4， ∴EF＝＝＝3. (陕西西安期中)如图，小宇用刻度尺测量了一个直角三角形斜边的长度．已知∠ACB＝90°，D为边AB的中点，且点A，B对应的刻度分别为2，8，则CD的长为(B) 1题图 A．4 cm B．3 cm C．3.5 cm D．4.5 cm 如果矩形两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边长度的比是(B) A．3∶2 B．2∶1 C．2∶3 D．1∶1 (西宁中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BC，垂足为E，连接OE.若BD＝6，OE＝，则菱形ABCD的面积是6． 3题图 　　　 4题图 如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝16°，则∠BCG的度数是16°． [核心素养]准备一张矩形纸片，将它进行如下操作： ①如图①，把矩形纸片ABCD对折，得折痕MN，再把纸片展平； ②将纸片过点E沿BE所在直线折叠，使点A落在MN上，对应点为F. 【实践探究】 (1)求证：∠1＝∠2＝∠3； 【拓展应用】 (2)若AB＝4，AD＝6，求FN的长； (3)如图②，延长EF交BC于点G，过点E作EH⊥BC于点H，交BF于点Q，则BQ和FQ的数量关系为BQ＝2FQ． 5题图①　　　　　　5题图② (1)证明：如答图，连接AF，由题意可知MN垂直平分AB， ∴AF＝BF. 由折叠性质可得AB＝BF，∠1＝∠2， ∴AF＝BF＝AB，∴△ABF为等边三角形， 5题答图 ∴∠ABF＝60°.即∠1＋∠2＝60°， ∴∠1＝∠2＝30°.又∵∠ABC＝90°，∴∠3＝30°，∴∠1＝∠2＝∠3. (2)解：由折叠的性质可知AM＝BM，AB＝BF＝4，∴BM＝2，由题意得，MN垂直平分AB.在Rt△BMF中，由勾股定理，得MF＝＝＝2.由对折的性质易得MN＝AD＝6，∴FN＝MN－MF＝6－2. (详细答案见《参考答案及解析》P3) 　遇直角三角形斜边的中点，构造斜边上的中线 方法指导： (1)已知直角三角形斜边的中点时，可以构造斜边上的中线． (2)若两个直角三角形共斜边，则可连接斜边上的中线，构造等腰三角形解题． 如图，在△ABC中，BC＝18，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接DE，F，G分别为BC，DE的中点，若DE＝10，则FG的长为2． 　　　　　 如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝ BE，DG⊥CE于点G. (1)求证：G是CE的中点； (2)若∠B＝70°，则∠BCE的度数为35°． (1)证明：如答图，连接DE. 2题答图 ∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°. ∵CE是△ABC的中线， ∴E是AB的中点， ∴DE＝AB＝BE. ∵DC＝BE，∴DE＝DC. 又∵DG⊥CE，∴G是CE的中点． 学科网（北京）股份有限公司 $