1.3 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形讲义-2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦矩形判定核心知识点，系统梳理分层判定逻辑，包括平行四边形基础上的“一个直角”或“对角线相等”判定，以及直接判定任意四边形的“三个直角”“对角线相等且互相平分”方法，结合角、对角线、边条件分类解题路径，搭建清晰学习支架。 该资料亮点在于分层梳理知识体系培养数学眼光，分类解题思路发展推理意识，例题与变式覆盖不同图形情境提升应用能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过实例巩固，查漏补缺，强化知识运用。

证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形讲义 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形讲义 考点目录 证明四边形是矩形 添一个条件使四边形是矩形 考点一 证明四边形是矩形 【知识点解析】 一、核心知识点 矩形的判定遵循分层判定逻辑：可以先证明四边形是平行四边形，再补充矩形专属条件；也可以直接通过角、对角线的完整条件，直接判定任意四边形为矩形。 1. 平行四边形基础上的判定（需先证平行四边形） · 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。 1. 直接判定任意四边形为矩形（无需先证平行四边形） · 角判定：三个角是直角的四边形是矩形。 原理：四边形内角和为 ，三个角为直角可推出第四个角也为直角；且同旁内角互补可推出两组对边分别平行，天然满足平行四边形条件。 · 对角线判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 本质：对角线互相平分 四边形是平行四边形；对角线相等 升级为矩形。 1. 判定核心逻辑：矩形必须同时满足“平行四边形的共性”和“有直角/对角线相等”的特性；三个直角、对角线相等且平分本身已经包含了平行四边形的构成条件，可直接判定。 二、解题思路 根据已知条件的类型，选择最短的判定路径： 1. 已知角相关条件 · 若条件覆盖三个内角为直角：直接用“三个角是直角的四边形是矩形”判定，无需额外证平行四边形。 · 若只有一个直角、或邻角垂直：先通过角的互补关系、对边平行关系证明四边形是平行四边形；再结合直角条件，用定义判定矩形。 1. 已知对角线相关条件 · 若仅已知对角线相等：先证明对角线互相平分（即先证平行四边形），再结合相等关系，用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定。 · 若已知对角线同时具备平分和相等特征：直接用“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”一步判定。 1. 已知边相关条件 · 先通过边的平行/相等关系证明四边形是平行四边形；再补充一个内角为直角、或对角线相等的条件，升级判定为矩形。 1. 通用证明步骤 ① 分析已知条件，确定判定路径：直接判定四边形，还是先证平行四边形再升级为矩形； ② 逐步推导判定定理所需的全部条件，每一步都要有几何依据； ③ 结合对应判定定理，写出最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先结合平行四边形性质和判定证明四边形为平行四边形，再根据垂线定义，以及矩形的判定定理即可证明四边形是矩形； （2）设，利用勾股定理建立方程求出的值，再结合平行四边形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）略 （2）解：设， ，， ， ， ， 解得， 的面积． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) 证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 即， 在和中， ， ； (2)解：四边形是矩形，理由如下： 由（1）知：， 又， 四边形是平行四边形， ，， 是的一个外角， ， 又， ， ， ， 是矩形． 【分析】（1）平行四边形对边相等，先证明，得到，从而得到，再证明； （2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，用三角形外角和已知条件得到，进行得到，对角线相等的平行四边形是矩形． 【详解】（1） 略； （2） 略． 例3．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中，，求矩形的面积 (3)连接，交于点F，连接，若，，的长为 ． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形； (2) (3) 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再证明四边形为矩形； （2）根据菱形的性质得出，，，证明为等边三角形，得出，根据勾股定理得出，最后根据矩形的面积公式求出结果即可； （3）根据菱形的性质得出，，根据矩形的性质得出，，，根据勾股定理得出，证明，得出，根据直角三角形的性质求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为菱形，，， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵为直角三角形， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ． 四边形是平行四边形， ， ， ， ． (2) 四边形为矩形．理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， 又， ， 四边形为平行四边形． 在中，，， ， ， 四边形为矩形． 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，矩形的判定定理． （1）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再利用等角对等边证明． （2）利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明，再根据有一个角是直角的平行四边形为矩形来判定四边形是矩形． 【详解】（1）略． （2）略． 变式2．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 【答案】(1)证明：∵四边形是等腰梯形，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【分析】（1）证明，得到，则可证明； （2）可证明，得到，由平行线的性质得到，则可证明，推出，进而可证明，据此可证明四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 【答案】(1)解：如图， (2)，，，， 【分析】（1）根据垂线的基本作图求解即可； （2）首先证明四边形为平行四边形．再利用三个角是直角的四边形是矩形，证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 考点二 添一个条件使四边形是矩形 【知识点解析】 一、核心知识点 这类题型的核心原则：前提不同，所需添加的条件不同。必须先看清题干给出的四边形基础条件，再对应矩形判定定理，补充恰好缺失的核心条件，条件需充分且不冗余。 按常见题干前提分类： 1. 最高频前提：已知四边形是平行四边形 只需补充矩形特有的一个条件即可，常见答案： · 角类：有一个内角是直角（如 、）； · 对角线类：对角线相等（如 ）。 1. 前提：已知是任意四边形 需要添加包含完整判定要素的一个条件，常见答案： · 角类：三个内角都是直角； · 对角线类：对角线相等且互相平分。 1. 常见中间前提（部分条件已满足） · 前提：对角线互相平分的四边形 添：对角线相等； · 前提：有一个角是直角的四边形 添：四边形是平行四边形（或两组对边分别平行、一组对边平行且相等等）； · 前提：两组对边分别平行的四边形 添：一个角是直角（或对角线相等）。 注：此类题目答案不唯一，只要符合判定定理、能充分推出矩形即可，优先写教材判定定理对应的标准条件。 二、解题思路 1. 定基础：先梳理题干已经给出的条件，判断当前四边形满足了什么层级的性质：是已经是平行四边形，还是仅满足部分边/对角线/角的条件。 1. 找缺失：对照矩形判定定理，定位还缺少的核心要素： · 已经是平行四边形：缺“一个直角”或“对角线相等”，二选一即可； · 是任意四边形：缺“三个直角”或“对角线相等且平分”完整条件。 1. 写条件：写出最直接、最标准的条件，优先使用教材原文的判定表述。 1. 验充分性：将添加的条件代回题干，结合已知条件推导，验证能否完整推出矩形，确保条件不多余、不欠缺。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各个选项，证明的对角线相等或有一个角为即可判断是矩形． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴得到的一组邻边相等，无法判定是矩形．故本选项符合题意． B、∵四边形是平行四边形， ∵，， ∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． C、∵， ∴， ∴是矩形．故本选项不合题意． D、∵， ∴是矩形．故本选项不合题意． 例2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的判定定理和菱形的判定定理逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、添加，能使成为矩形，故符合题意； B、添加，能使成为菱形，故不符合题意； C、添加，能使成为菱形，故不符合题意； D、添加，能使，这是平行四边形本身具有的性质，故不符合题意． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了轴对称图形，矩形的判定等知识．根据矩形的判定与性质添加条件即可． 【详解】解：添加， ∵在中，， ∴是矩形， ∴添加，则为轴对称图形， 故答案为：（答案不唯一）． 例4．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 【答案】6 【分析】根据矩形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴当时，四边形是矩形，此时． 例5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接、，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【答案】(1)证明：四边形是平行四边形， ，即， ， 四边形是平行四边形； (2)（答案不唯一）， 方法一：添加四边形的对角线相等，即， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形； 方法二：添加四边形的一个内角为直角，如， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形． 【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证； （2）平行四边形满足对角线相等或有一个内角是直角，即可判定为矩形，据此即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 若添加，，，均无法证明四边形为矩形； 若添加，可证四边形为矩形． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故选D． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 【答案】是的中点（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 先证，则，同理，再由，证出四边形是平行四边形，然后证，即可得出结论． 【详解】解：， ． 平分， ， ， ． 同理可证， ． 是的中点， ， 四边形是平行四边形． ，， ， 是矩形． 故答案为：是的中点 ． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可） 【答案】AB⊥BC 【分析】证DF、EF都是△ABC的中位线，得DF∥BC，EF∥AB，则四边形BEFD为平行四边形，当AB⊥BC时，∠B＝90°，即可得出结论． 【详解】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点， ∴DF、EF都是△ABC的中位线， ∴DF∥BC，EF∥AB， ∴四边形BEFD为平行四边形， 当AB⊥BC时，∠B＝90°， ∴平行四边形BEFD为矩形， 故答案为：AB⊥BC． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键． 变式5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 【答案】(1) 证明：是的中点， ， 又， ． ，， ∴， ∵为的中点， ， ， 四边形是平行四边形． (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三线合一定理，全等三角形的性质与判定： （1）证明得到，，则，再证明，即可证明四边形是平行四边形． （2）根据三线合一定理当可得，则可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形是矩形． 【详解】（1）略 （2）解：添加，可得平行四边形是矩形，理由如下： ， ， ， 又四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形讲义 证明四边形是矩形、添一个条件使四边形是矩形讲义 考点目录 证明四边形是矩形 添一个条件使四边形是矩形 考点一 证明四边形是矩形 【知识点解析】 一、核心知识点 矩形的判定遵循分层判定逻辑：可以先证明四边形是平行四边形，再补充矩形专属条件；也可以直接通过角、对角线的完整条件，直接判定任意四边形为矩形。 1. 平行四边形基础上的判定（需先证平行四边形） · 定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 · 对角线判定：对角线相等的平行四边形是矩形。 1. 直接判定任意四边形为矩形（无需先证平行四边形） · 角判定：三个角是直角的四边形是矩形。 原理：四边形内角和为 ，三个角为直角可推出第四个角也为直角；且同旁内角互补可推出两组对边分别平行，天然满足平行四边形条件。 · 对角线判定：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 本质：对角线互相平分 四边形是平行四边形；对角线相等 升级为矩形。 1. 判定核心逻辑：矩形必须同时满足“平行四边形的共性”和“有直角/对角线相等”的特性；三个直角、对角线相等且平分本身已经包含了平行四边形的构成条件，可直接判定。 二、解题思路 根据已知条件的类型，选择最短的判定路径： 1. 已知角相关条件 · 若条件覆盖三个内角为直角：直接用“三个角是直角的四边形是矩形”判定，无需额外证平行四边形。 · 若只有一个直角、或邻角垂直：先通过角的互补关系、对边平行关系证明四边形是平行四边形；再结合直角条件，用定义判定矩形。 1. 已知对角线相关条件 · 若仅已知对角线相等：先证明对角线互相平分（即先证平行四边形），再结合相等关系，用“对角线相等的平行四边形是矩形”判定。 · 若已知对角线同时具备平分和相等特征：直接用“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”一步判定。 1. 已知边相关条件 · 先通过边的平行/相等关系证明四边形是平行四边形；再补充一个内角为直角、或对角线相等的条件，升级判定为矩形。 1. 通用证明步骤 ① 分析已知条件，确定判定路径：直接判定四边形，还是先证平行四边形再升级为矩形； ② 逐步推导判定定理所需的全部条件，每一步都要有几何依据； ③ 结合对应判定定理，写出最终结论。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图，在中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的面积． 例2．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）已知：如图，的对角线，相交于点，点，，，在同一直线上，，连接、． (1)求证：； (2)若，判断四边形的形状，并证明你的结论． 例3．（25-26八年级下·内蒙古兴安·期末）如图所示，在菱形中，对角线，相交于点O，过点D作，过点C作． (1)求证：四边形是矩形； (2)已知菱形中，，求矩形的面积 (3)连接，交于点F，连接，若，，的长为 ． 【变式训练】 变式1．（25-26九年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在中，，为边上一点，以、为邻边作，连接、，和相交于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并说明理由． 变式2．（25-26九年级上·山东枣庄·阶段检测）已知：如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点O， 点E、F分别在线段上，，．求证： (1)； (2)四边形是矩形． 变式3．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图，某数学兴趣小组做了以下探究： 在菱形中，对角线、相交于点． (1)尺规作图：在的延长线上截取，连接，再过点作的垂线交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：四边形为矩形． 证明：， ①________． 四边形是菱形， ∴，，，． ， ②________． 又∵， 四边形为平行四边形， ③________， ， ④________， ， 四边形为矩形． 考点二 添一个条件使四边形是矩形 【知识点解析】 一、核心知识点 这类题型的核心原则：前提不同，所需添加的条件不同。必须先看清题干给出的四边形基础条件，再对应矩形判定定理，补充恰好缺失的核心条件，条件需充分且不冗余。 按常见题干前提分类： 1. 最高频前提：已知四边形是平行四边形 只需补充矩形特有的一个条件即可，常见答案： · 角类：有一个内角是直角（如 、）； · 对角线类：对角线相等（如 ）。 1. 前提：已知是任意四边形 需要添加包含完整判定要素的一个条件，常见答案： · 角类：三个内角都是直角； · 对角线类：对角线相等且互相平分。 1. 常见中间前提（部分条件已满足） · 前提：对角线互相平分的四边形 添：对角线相等； · 前提：有一个角是直角的四边形 添：四边形是平行四边形（或两组对边分别平行、一组对边平行且相等等）； · 前提：两组对边分别平行的四边形 添：一个角是直角（或对角线相等）。 注：此类题目答案不唯一，只要符合判定定理、能充分推出矩形即可，优先写教材判定定理对应的标准条件。 二、解题思路 1. 定基础：先梳理题干已经给出的条件，判断当前四边形满足了什么层级的性质：是已经是平行四边形，还是仅满足部分边/对角线/角的条件。 1. 找缺失：对照矩形判定定理，定位还缺少的核心要素： · 已经是平行四边形：缺“一个直角”或“对角线相等”，二选一即可； · 是任意四边形：缺“三个直角”或“对角线相等且平分”完整条件。 1. 写条件：写出最直接、最标准的条件，优先使用教材原文的判定表述。 1. 验充分性：将添加的条件代回题干，结合已知条件推导，验证能否完整推出矩形，确保条件不多余、不欠缺。 【例题分析】 例1．（26-27九年级上·山东青岛·开学考试）如图，在中，再添加一个条件，不能判定是矩形的是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26九年级上·浙江金华·阶段检测）要使成为矩形，需添加的条件是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，对角线，相交于点O，请你再添加一个条件，使得这个为轴对称图形，可以添加的条件是______． 例4．（25-26九年级上·湖南永州·阶段检测）如图，在中，相交于点O，，则当______时，四边形是矩形． 例5．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，在中，点、分别在、上，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接、，请添加一个条件，使四边形是矩形．（不需要说明理由） 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，中，D为边上一点，作，，若四边形为矩形，则应添加条件（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（     ）使它变为矩形． A． B． C． D． 变式3．（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，线段的端点在直线上，过线段上的一点作的平行线，分别交和的平分线于点，，连接，．添加一个适当的条件，使四边形为矩形，则这个条件是_________________（写出一个即可）． 变式4．（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件_________，使四边形BEFD为矩形．（填一个即可） 变式5．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在中，点是边的中点，点是的中点，延长至点，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)给添加一个条件，使得四边形是矩形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $