1.4、用一元二次方程解决问题-动点问题，循环赛问题（同步练习） 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用，通过动点问题与循环赛问题的分层设计，构建从基础建模到综合探究的知识巩固路径，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用层|单一动点面积计算、直接循环赛场数|如三角形动点面积求解，直接套用单循环公式，强化方程建模基础| |综合提升层|分类讨论、存在性判断|如矩形动点多阶段运动、循环赛积分问题，渗透分类思想与根的判别式应用| |拓展探究层|复杂情境与动态过程|如动点往返运动、退赛情况，提升实际问题转化与逻辑推理能力|

苏科版九年级数学上 1.4用一元二次方程解决问题-动点问题，循环赛问题（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．（25-26九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．若P，Q两点同时出发，当点Q运动到点C时，P，Q两点同时停止运动． 求： (1)几秒后，的面积等于？ (2)的面积能否等于？说明理由． 2．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 3．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 4．（25-26九年级上·内蒙古通辽·阶段检测）已知：如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，当其中一点到达终点后，另外一点也随之停止运动． (1)如果、分别从、同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)在（1）中，的面积能否等于？请说明理由． 5．（25-26九年级上·广西北海·阶段检测）如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 6．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形中，，，点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，，两点分别从，同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒，的面积等于？ ②的面积能否等于？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点到达后不停止，立即以原速沿返回；点到达后不停止，继续以原速沿射线方向运动，直到点第一次回到时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒的面积等于？ 7．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 8．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）如图，在矩形中，，．点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动．点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为．连接，，． (1)在运动过程中，的长度能否为？若能，求出的值；若不能，请说明理由． (2)当为何值时，的面积为？ 9．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 10．（25-26九年级上·青海·阶段检测）手工制作小组有若干人，他们将自己制作的手工艺品向本组成员各赠送一件，已知全组共互赠手工艺品件，求该小组有多少位同学？ 11．（25-26九年级上·天津河西·阶段检测）列方程解决下列问题． 2023年7月6日～8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 12．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程： ； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 13．（25-26九年级上·云南昭通·期中）为了增强学生体质，开展体育娱乐教学，某校举行了“趣味运动会”，其中一个项目是“单脚拔河”，赛制为单循环形式（每两队之间都比赛一场），共进行了15场比赛，问共有多少个队参加“单脚拔河”比赛？ 14．（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）行知中学举办九年级篮球赛，比赛采用单循环赛制（即每个队伍与其它参赛队伍各比赛1场），以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若有6个参赛队伍，按赛制共进行了几场比赛？ (2)小江的说法有道理吗？请通过计算说明； 15．（26-27九年级上·全国·课后作业）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 乐乐：本次比赛一共进行了40场． 淇淇：你所说的并不正确，按照这个赛制，不应该是40场． 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 16．（25-26八年级下·广西百色·期中）为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版九年级数学上 1.4用一元二次方程解决问题-动点问题，循环赛问题（同步练习）》参考答案 1．(1)当出发1秒后，的面积等于； (2)解：不能， 理由：假设经过t秒后，的面积等于，即， ∴， 整理得：， 由于， 则方程没有实数根， ∴的面积不能等于． 【分析】（1）设出发t秒时，则，， ，根据， 解方程即可求解； （2）令，根据三角形的面积公式列出方程，再根据得出方程没有实数根，从而得出的面积不能等于． 【详解】（1）解：设出发秒时，则， ，． ∴ 即 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴当出发1秒后，的面积等于； （2）略 2．经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 3．2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 4．(1)1秒 (2) 解：的面积不能等于，理由如下： 令，即， ∴， 整理得：， 由于，则该方程没有实数根， 在（1）中，的面积不等于． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，根的判别式判断根的情况，解题的关键是掌握找准等量关系，借助方程求解． （1）设时间为秒，根据面积列出方程求解即可； （2）设时间为秒，根据面积列出方程，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】（1）解：设时间为秒，则，，，（秒） ∴， ， 即 解得：，（不合题意，舍去） 答：1秒后，的面积等于； （2）略 5．(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据点P，Q的运动时间和运动速度可得，的长度，再结合的长度即可求得； （2）根据三角形的面积公式得到，，根据列出方程，求解即可解答． ∵， ∴ 【详解】（1）解：∵点，的速度分别为，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：， （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，四边形的面积等于． 6．(1)①经过2秒或4秒后，的面积等于；②的面积不能等于； (2)当为秒或秒，的面积等于． 【分析】（1）①设运动时间为x秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x秒，的面积等于，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x秒，则，， 又， ∴， 根据题意，得， 解得，． ∴经过2秒或4秒后，的面积等于； ②设运动时间为x秒，的面积等于， 根据题意，得， 整理得， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不能等于； （2）解：设运动的时间为t秒， ①当时，， 由题意，得， 解得：，； ②当时，， 由题意，得， 解得：，（舍去）， 综上所述，当为秒或秒时，的面积等于． 7．(1) (2) 解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）略 8．(1)能为，的值为2 (2)当的值为1或2时，的面积为 【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用． （1）根据点的运动速度表示出、的长度，利用勾股定理列出关于的方程，求解并检验； （2）用矩形面积减去周围三个三角形面积表示出的面积，列出方程求解． 【详解】（1）解：的长度能为， 根据题意，得，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 在中，根据勾股定理， 得， 当时，，即， 这里，，， ∴， ∴， ∴，（不符合题意，舍去）． ∴的长度能为，此时的值为2． （2）解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴ ， 当时，． 解得，． ∴当的值为1或2时，的面积为． 9．6支 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． 10．该小组有名同学 【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用：要全面、系统地弄清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 先求每名同学赠的手工艺品，再求名同学赠的手工艺品，而已知全组共互赠了件，故根据等量关系可得到方程． 【详解】解：设该小组有名同学， 则每名同学所赠的手工艺品为：件， 那么名同学共赠：件， 所以，． 解得：不合题意舍去，， 答：该小组有名同学． 11．共有30支队伍参赛 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用． 设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可． 【详解】解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 12．(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 13．共有6个队参赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握单循环赛制的比赛场数公式是解题的关键．设参赛队伍数量为，根据单循环赛制的比赛场数公式，建立方程求解． 【详解】解：设共有个队参赛， 由题意可得，， 解得：（不符合题意舍去）， 答：共有6个队参赛. 14．(1)有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛 (2) 解：小江说的有道理，理由如下： 设有x个队伍报名参赛，根据题意得， 整理，得：， 解得：（不是整数，不合题意）， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）由题意，得6个队伍需比赛的局数为； （2）设有x个队伍报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得6个队伍需比赛的局数为， 答：有6个参赛队伍，按赛制共进行了15场比赛； （2）略 15．(1) 解：根据题意列一元二次方程得，，整理得，解得，不是整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场，故淇淇的说法正确； (2)10． 【分析】（1）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，列方程，求解即可． （2）设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，此时比赛的场数为，列方程求解即可； 【详解】（1）略 （2）解：设有x人报名参加比赛，根据采用单循环赛制，有一人比赛了4场后退出比赛，还有人继续比赛，其余人继续比赛的场数为， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 16．(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $