第一章作业13动点问题2025-2026学年苏科版九年级数学上册

作业13 用一元二次方程解决问题(动点问题) 基础过关 1.在△ABC中, ,动点 P 从点A 沿线段AB 向点 B 移动,动点Q从点B沿线段BC 向点C 移动，两点同时开始移动，点P 的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，当点Q到达点C时两点同时停止运动.若使 的面积为 则点P 运动的时间是 ( ) A.1s B.4s C.5s或1s D.4s或1s 2.如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC 剪开，再把 沿着AD方向向右平移，得到 .若两个三角形重叠部分的面积为 ，则它移动的距离.AA'等于 () A.0.5cm B.1 cm C.1.5cm D.2cm 3.一个直角三角形的两直角边长的和为7，面积为6，则这个直角三角形的斜边长为 . 4.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=30cm,BC=25 cm,动点 P 从点C出发,沿CA方向运动，速度是2cm/s；同时，动点Q从点 B出发，沿 BC方向运动，速度是1cm/s,，则经过 s后,P,Q两点之间相距25 cm. 5.(徐州中考改编)如图，东西和南北两条街道交于点O，甲沿东西街道由西向东走，速度是 4m/s；乙沿南北街道由南向北走，速度是3m/s.当乙通过点O又继续前进50m时，甲刚好通过点O，两人在甲通过点O之后，经过多少秒相距85 m? 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 能力提升 6.(2024·鼓楼区期末)古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《几何原本》中记载了形如 的方程的图解法：如图,画Rt△ABC,使 再在斜边 AB上截取 则该方程的一个正实数根等于 ( ) A. AD的长 B. AC的长 C. BC的长 D. CD的长 7.(2024·江阴模拟)如图,在矩形 ABCD中,AB=16 cm,BC=6 cm,动点 P,Q分别以3c m/s,2cm /s的速度从点 A，C同时出发，沿规定路线移动. (1)若点 P沿着AB 移动，当点 P 到达点B 时，P，Q两点停止移动.经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm? (2)若点 P沿着AB→BC→CD移动，当点Q到达点D 时，P，Q两点停止移动.试探求经过多长时间,△PBQ的面积为12 cm². 拓展延伸 8.(常州一模)如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC的方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/s，当点 P 到达点 B 时，P，Q两点停止运动.设点 P 的运动时间为t s，解答下列问题： (1)当 t为何值时，△PBQ是直角三角形? (2)是否存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC 面积的 如果存在，求出相应的 t值；如果不存在，说明理由. 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 综合与实践 1.(2024·南通期末)【任务主题】某校数学活动小组探究“西瓜购买、销售方案的选择”. 【数据信息】A超市和 B水果店售卖同品种西瓜. 信息1：A超市西瓜的售价为4元/千克，无论购买多少均不打折； 信息2：B水果店西瓜的售价为5元/千克，若一次购买3千克以上，超过3千克的部分打折销售； 信息3：B水果店销售西瓜的部分小票统计如下表(精确到1千克)： 购买量/千克 1 2 3 4 5 6 … 付款金额/元 5 10 15 18.5 22 25.5 … 【解决问题】 (1)请分别写出在A超市与B水果店购买西瓜的付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数关系式； (2)某酒店承办活动需购买一批西瓜，请通过计算说明选择哪家更合算； (3)已知西瓜的进货成本为3元/千克，市场调研发现：如果A超市以4元/千克销售，平均每天可以售出200千克.为了减少库存，超市决定降价销售，近期销售情况显示：销售单价每降低 0.1元，销售量就会增加20千克.在尽可能减少库存的情况下，该超市将售价定为多少元/千克时，每天的销售利润为168元? 第 3 页 学科网（北京）股份有限公司 2.根据以下素材，完成探索任务.3 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 其农户承包了一块长方形果园ABCD，图①是果园的平面示意图，其中AB=200米，BC=300米.准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果. 出于货车通行等因素的考虑，道路的宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某种草莓的销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果.已知每平方米草莓的平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓.受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价.若每平方米草莓的平均利润下调4元，每月可多销售500平方米，果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 探究果园中道路宽度的设计对种植面积的影响. (1)请直接写出纵向道路宽度x的取值范围； (2)若中间种植园区的面积是 ，则道路宽度的设计是否符合要求? 任务2 解决果园种植的预期利润问题. (总利润=销售利润-承包费) (3)若农户预期一个月的总利润为55.2万元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓的平均利润应该下调多少元? 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 第 6 页 学科网（北京）股份有限公司 作业13 用一元二次方程解决问题(动点问题) 1. A 2. B 3.5 4.10 5.解：设两人在甲通过点O之后，经过 xs相距85m. 根据题意，得OB'=(3x+50)m,OA'=4xm. 由 得 整理，得 解得 (不合题意，舍去)， 答:经过9s相距85 m. 6. A 7.解:(1)过点 P 作PE⊥CD于点E. 设 xs后,P,Q两点之间的距离是10cm. 根据题意，得 解得 答：经过 s或 s,P,Q两点之间的距离是10 cm. (2)连接BQ.设经过 ys后,△PBQ的面积为12cm². 当 时,PB=16-3y, 则 即 解得y=4; 当 时,BP=3y-16,QC=2y, 则 即 解得 (不合题意，舍去)； 当 时,QP=CQ-PC=22-y, 则 即 解得y=18，不合题意，舍去. 综上所述,经过4s 或6s,△PBQ的面积为12cm². 8.解:(1)根据题意,知AP=t cm,BQ=t cm. 在△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°, ∴BP=(3-t) cm. 在△PBQ中,BP=(3-t) cm,BQ=t cm. 若△PBQ是直角三角形,则∠BQP=90°或∠BPQ=90°. 当∠BQP=90°时, 即 解得t=1; 当∠BPQ=90°时, 即 解得t=2.专题3 综合与实践 1.解:(1)A超市::y=4x. B水果店:当0<x≤3时,y=5x;当x>3时，设付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数关系式为y= kx+b,结合表格数据,得 解得 (2)∵4x<5x,∴当0<x≤3时,选择A超市更合算; 由4x<3.5x+4.5解得x<9, ∴当3<x<9时，选择A超市更合算； 由4x=3.5x+4.5解得x=9, ∴当x=9时，选择A 超市和B水果店付款金额相同； 由4x>3.5x+4.5解得x>9, ∴当x>9时，选择B水果店更合算. 综上可知，当0<x<9时，选择A超市更合算； 当x=9时，选择A超市和B水果店付款金额相同； 当x>9时，选择B水果店更合算. (3)设售价定为m元/千克，则 销售量为 根据题意,得(m-3)[200+200(4-m)]=168, 整理，得 解得 (不合题意，舍去). 答：该超市将售价定为3.6元/千克时，每天的销售利润为168元. 2.解:(1)根据题意,得5≤x≤12. (2)根据题意,得(300-2x)(200-2×2x)=44800, 整理，得 解得 (不合题意，舍去). ∵5≤x≤12，∴道路宽度的设计符合要求. (3)设每平方米草莓的平均利润下调y元.根据题意，得 整理，得 解得y₁=12,y₂=48. ∵从购买草莓客户的角度考虑，∴y=48. 答：每平方米草莓的平均利润应该下调48元. 第 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $