第一章空间向量与立体几何单元试卷 -2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 人教A版数学选择性必修一第一章空间向量与立体几何单元复习卷，以教材习题改编与原创情境结合，覆盖基础运算到综合应用，适配空间观念、推理能力等核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|空间向量线性表示（如平行六面体、三棱锥中点向量）|改编教材习题（如1.1第5题），变换几何体情境| |多选题|3|法向量、空间直角坐标系、共线共面判断|结合坐标运算考查逻辑推理| |填空题|3|向量垂直、模长计算、异面直线距离|三角板拼接情境体现实践应用| |解答题|5|基底表示、共面证明、法向量、点面距离|递进设计（如正方体中从证明到距离计算），呼应教材例习题|

人教A版数学选择性必修一第一章检测试卷01 姓名：___________班级：___________ 1. 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据代入计算化简即可. 【详解】，故选：B. 2．（改编条件与问题）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】，故选：B. 3．（改编情景描述方式）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加法和中点的性质来表示即可. 【详解】 .故选：A 4．（改编几何体情景）在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图结合空间向量线性运算知识可得答案. 【详解】如图， .故选：B 5．（改编几何体情景）如图，在正四棱台中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量的基底表示向量即可. 【详解】 .故选：D 6．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 7．如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设，则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在梯形中，，所以， 所以. 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ，因为， 所以 所以. 9．（多选）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据空间共线向量的判断可知与是否平行，即可求解. 【详解】A：由题意，，则两个法向量平行，故A正确； B：由题意，不存在实数使得，则两个法向量不平行，故B错误； C：由题意，，则两个法向量平行，故C正确； D：由题意，，则两个法向量平行，故D正确. 故选：ACD 10．（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量坐标的定义，以及相关知识，即可判断选项. 【详解】A. 与点关于x轴对称的点的坐标为，故A正确； B. ，若，则与共线，所以不是空间向量的一组基底，故B错误； C. 在上的投影向量为，故C正确； D.因为，所以，所以或，故D错误.故选：AC 11、（多选）已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 【答案】ABD 【分析】首先求出向量，，，，的坐标.根据可判断选项A；根据可判断选项B；根据可判断选项C；设，求出和的值，从而可判断选项D. 【详解】易知，，，，， 因为，所以 ，故选项 A正确；因为，且四点不共线，所以，故选项B正确；因为，所以 A，B，C三点不共线 ，故选项C错误；易知当时，A，B，C，D共面，即，所以， ，  解得，，所以A，B，C，D共面，故选项D正确. 故选：ABD. 12．设，向量，，，且，，则等于 。 【答案】3 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求出，再根据向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】由题可得，所以向量，，所以， 所以. 13．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 【答案】 【分析】先平方，结合向量的数量积公式求出，从而得到答案. 【详解】为空间两两夹角都是的三个单位向量， ，. 14．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是 ． 【答案】 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，，∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标为.∴ 直线的方向向量，简化为.直线的方向向量，简化为.设异面直线与的公垂线的方向向量为，则，即.令，则， 得，其模长.取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 15. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第2题】如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）； 【分析】（1）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （2）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （3）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式； （4）利用空间向量的加法法则可得出在基底下的表达式. 【解析】（1）， 则； （2），， 所以，； （3）. （4）. 16．【人教A版选择性必修一第1.1.1节例1改编】如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴，∵ ，∴E，F，G，H共面 (2)证明：∵，∴， 又平面EFGH，平面EFGH，∴∥平面EFGH． ∵，∴，又平面EFGH，平面EFGH， ∴∥平面EFGH．又，平面ABCD.所以，平面ABCD∥平面EFGH． 17．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题及变式】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； 【详解】（1）证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图，则根据题意可得： ，即，； （2）由（1）知， 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． 18．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题的变式】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求平面的一个法向量； (2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)若是的中点.求两点之间的距离； 【详解】（1）以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得，， 设平面的法向量，又，，则有，即， 令，则，所以. 故平面的一个法向量为. （2）因为，，则， 因为EF与CG所成角的范围为，所以其夹角余弦值为. （3）因为是的中点，由（1）知，又因为， 所以，即两点之间的距离为. 19．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题的变式】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)在线段BD上是否存在一点P，使平行平面； (2)判断直线是否与平面平行，并说明理由； (3)求点到平面的距离. 【详解】以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得，， （1）存在；为线段FB的三等分点。 （2）直线与平面不平行，理由如下： 因为，，， ∵，，∴是平面的法向量. ∵，∴直线与平面不平行. （3）由因为，，设是平面的法向量， 则，取，则，.∴. ∵，，∴，∴点到平面的距离是. 即点到平面的距离为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版数学选择性必修一第一章检测试卷01 姓名：___________班级：___________ 一、单选题 1. 【人教A版选择性必修一习题1.1第5题】如图，在平行六面体中， AC与BD的交点为M.设，则下列向量中与相等的向量是（　　） A. B. C. D. 2．（改编条件与问题）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 3．（改编情景描述方式）如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（    ） A． B． C． D． 4．（改编几何体情景）在三棱锥中，点是的中点，点在线段上，且．用表示，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（改编几何体情景）如图，在正四棱台中，与的交点为．设，，则下列向量中与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 7.如图，在梯形中，，点O为空间内任意一点，设， 则向量可用表示为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 9．（多选）若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（多选）在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的有（    ） A．与点关于x轴对称的点的坐标为 B．若是空间向量的一组基底，且，则也是空间向量的一组基底 C．已知，，则在上的投影向量的坐标为 D．已知，平面的法向量为，则 11、（多选）已知空间中四点A(1，1，0)，B(0，1，2)，C(0，3，2)，D(－1，3，4)．下列说法中，正确的有（    ） A． B． C．A，B，C三点共线 D．A，B，C，D四点共面 三、填空题 12．设，向量，，，且，，则等于 。 13．若为空间两两夹角都是的三个单位向量，则 ． 14．一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是 ． 四、解答题 15. 【人教A版选择性必修一复习参考题1第2题】如图，在平行六面体中，，，，、、分别是、、的中点，点在上，且．用空间的一个基底表示下列向量： （1）；（2）；（3）；（4）． 16．【人教A版选择性必修一第1.1.1节例1改编】如图，已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引向量，，，． (1)求证：四点E，F，G，H共面； (2)求证：平面ABCD∥平面EFGH． 17．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)求证：； (2)求与所成角的余弦值； 18．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题的变式】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且 (1)求平面的一个法向量； (2)求EF与CG所成角的余弦值； (3)若是的中点.求两点之间的距离. 19．【人教A版选择性必修一习题1.2第7题的变式】如图，在棱长为1的正方体中，分别为的中点，点在上，且． (1)在线段BD上是否存在一点P，使平面； (2)判断直线是否与平面平行，并说明理由； (3)求点到平面的距离. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $