第一章 空间向量与立体几何 章末素养试题-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何章末素养卷，覆盖向量运算、线面关系等核心知识，通过传统文化情境（如《九章算术》阳马）、动态问题（动点M）及跨学科素材（球面三角学），考查空间观念、推理能力与模型观念，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|向量线性运算、模长计算、四点共面|基础巩固，如第3题结合阳马考向量表示| |多选题|3|投影向量、基底判定、半正多面体|能力提升，如第11题以阿基米德体考线面角| |填空题|3|三点共线、距离最值、动态轨迹|创新应用，如第13题含参数求向量模最小值| |解答题|5|二面角、线面平行、球面面积|综合探究，如第19题结合球面三角学考截面面积|

第一章 空间向量与立体几何 章末素养试题 2026-2027学年上学期高中数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1．在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，若P，A，B，C四点共面，则（    ） A．3 B． C．7 D． 5．设、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．4 D．3 6．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（    ） A．// B． C．//平面 D．平面 7．已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 8．在直三棱柱中，分别是的中点，，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列结论正确的是（   ） A．已知向量，则在上的投影向量为 B．若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D．若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 10．如图，在正方体中，点M是棱上的动点（不含端点），则（    ） A．过点M有且仅有一条直线与AB，都垂直 B．有且仅有一个点M到AB，的距离相等 C．过点M有且仅有一条直线与，都相交 D．有且仅有一个点M满足平面平面 11．立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半多面体的下列说法中正确的有（   ） A．该半正多面体外接球与原正方体外接球半径相等 B．与所成的角是的棱有18条 C．与平面所成的角 D．直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 三、填空题 12．设，是两个不共线的空间向量，若，，，且，，三点共线，则实数的值为______. 13．如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______． 14．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 四、解答题 15．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． (1)证明：； (2)点F满足，求二面角的正弦值． 16．如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 17．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 18．如图，四棱台中，上､下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.    (1)求证：∥平面； (2)求点到平面的距离； (3)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由 19．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R.A、B、C为球面上三点，劣弧BC的弧长记为a，设表示以O为圆心，且过B、C的圆，同理，圆的劣弧AC、AB的弧长分别记为b，c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角分别为，则球面三角形的面积为. (1)若平面OAB、平面OAC、平面OBC两两垂直，求球面三角形ABC的面积； (2)若平面三角形ABC为直角三角形，，设. ①求证：； ②延长AO与球O交于点D，若直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，S为AC中点，T为BC中点，设平面OBC与平面EST的夹角为，求的最小值，及此时平面AEC截球O的面积. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C D B D A ABC ABC 题号 11 答案 CD 1．A 由向量的线性运算可得结果. . 故选：A. 2．C 将作为基底，利用空间向量基本定理用基底表示，然后对其平方化简后，再开方可求得结果 由题意得，， 因为 , 所以 ， 所以， 故选：C 3．A 根据向量线性运算，以为基底表示出，从而确定的取值. ，， ， ，，，. 故选：A. 4．C 利用空间向量四点共面性质求解即可. 由P，A，B，C四点共面，可得，，共面， 设， 则，解得． 故选：C. 5．D 利用向量共线、垂直的坐标表示求出，再利用向量的坐标运算求出模. 由，得，解得，即， 由，得，解得，即，因此， 所以. 故选：D 6．B 建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答. 在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则，，， 对于A，显然与不共线，即与不平行，A不正确； 对于B，因，则，即，B正确； 对于C，设平面的法向量为，则，令，得，，因此与不垂直，即不平行于平面，C不正确； 对于D，由选项C知，与不共线，即不垂直于平面，D不正确. 故选：B 7．D 利用坐标法，根据点到直线的距离的向量求法即得. 如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以点到直线的距离是. 故选：D. 8．A 建立空间直角坐标系，求直线与的方向向量，利用向量夹角公式求夹角； 以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，所以，， 所以， 故选：A. 9．ABC 利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 因为， 所以在上的投影向量为，故A对； 因为，且，则P，A，B，C四点共面， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对； 是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线， 所以也是空间的一组基底，故C对； 因为直线的方向向量为平面的法向量， 且，则直线或，故D错； 故选：ABC 10．ABC 逐个分析每个选项即可. 对于选项A，设过点M与AB、都垂直的直线为l， ∵， ∴， 又∵，，、面， ∴面， 而过点M作平面的垂线有且只有一条直线，即为：． ∴过点M有且仅有一条直线与AB、都垂直.故选项A正确； 对于选项B，连接MA，， 由题意知，AB面，面， ∴ABMA，，即：MA为点M到AB的距离，为点M到的距离， 在中，， 在中，， 又∵ ∴当时，，即：当M为的中点时，点M到AB、的距离相等，即：有且仅有一个点M到AB、的距离相等.故选项B正确； 对于选项C，如图所示， 连接AC、BD交于点O，连接、交于点，连接交于点N，则面，又因为面，且，，所以连接MN必与交于点G，即：过点M有且仅有一条直线与、都相交.故选项C正确； 对于选项D，设正方体的边长为2，以点D为原点，分别以DA、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，， 设，， 则，，，， 设面的一个法向量为， 当时，取，则，， 当时，取，则，，则， 设面（即：面）的一个法向量为 取，则，，则， 当时，，此时面与面不垂直， 当时，，所以面与面不垂直， 所以不存在过点M满足面面.故选项D错误； 故选：ABC. 11．CD 将半正多面体补成正方体，考虑外接球的球心，可判断A；由两直线所成角的定义可判断B；由线面角的定义可判断C；建立空间直角坐标系，利用向量法结合二次函数的性质求出直线与直线所成角的余弦值的取值范围，可判断D． 设该半正多面体棱长为，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上；将该半正多面体补成正方体，正方体的棱长为2，可得该半正多面体的外接球与原正方体的外接球的球心重合，所以该半正多面体的外接球半径为, 原正方体的外接球的半径，故A错误； 与成的棱有和与面相对的面上的还有和与面相对的面上的共16条，故B错误； 由平面，可得为与平面所成角，由于为等腰直角三角形，所以，故C正确； 建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以; 又设， 则. 令则 所以 故直线与直线所成角的余弦值的取值范围为.故D正确. 故选：CD. 12．/ 由列方程，化简求得的值. ∵，，， ∴， 又∵A，C，D三点共线，∴， ∵，不共线，∴， ∴，∴. 故答案为： 13．/-0.125 根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答. 连接，如图， 因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB， 则平面PAB，又平面PAB，即有， 因M是AC的中点，则，又， ，当且仅当取“=”， 所以的最小值为. 故答案为： 14．①②④ 对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 对于①，连接， ，，，平面，平面， 平面，平面， ，同理，， ，平面，平面， 直线平面，故①正确； 对于②，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故③错误； 对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确. 故答案为：①②④ 15．(1) 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． (2)． （1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． （1）略 （2）不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：    设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 16．(1) (2)存在，当时， （1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. （1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 17．(1)证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . (2)1 （1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. （1）略 （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， .    18．(1) 因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则 ，，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则， 因为， 所以，所以， 又因为平面， 所以∥平面； (2)； (3)存在点，此时. （1）建立空间直角坐标系后，用直线的方向向量和平面的法向量垂直,即可证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系后，用点到平面的距离公式即可求解； （3）假设存在，列出方程求解即可. （1）略 （2）解：由（1）知，， 所以点到平面的距离为； （3）解：假设边上存在点满足条件，， 则， 设直线与平面所成角为， 由题意可得， 化简得，则或（舍去）， 即存在点符合题意，此时. 19．(1) (2) ①证明：由余弦定理有： ，且， 消掉，可得. ②， （1）易得，再由球面三角形ABC面积公式求解； （2）①利用余弦定理和求解；②根据AD是球的直径，论证，则以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立空间直角坐标系，设，分别求得平面OBC法向量和平面EST法向量，由，确定t的取值，设平面AEC中的法向量，确定球心O到平面AEC距离为，设平面AEC截球O圆半径为r，由求解. （1）若平面OAB，OAC，OBC两两垂直，有， 所以球面三角形ABC面积为， （2）①略 ②由AD是球的直径，则，， 且平面BCD， 所以平面BCD，且平面BCD， 则，且平面ABC， 可得平面ABC， 由直线DA，DC与平面ABC所成的角分别为，所以，， 不妨先令，则， 由， 以C为坐标原点，以CB，CA所在直线为x，y轴，过点C作BD的平行线为z轴，建立如图空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，， 则， 设平面OBC法向量， 则 取，则， 可得，， 设平面EST法向量， 则 取，则， 可得， 要使取最小值时，则取最大值， 因为， ， ， 令， 则， 可得， 当且仅当时取等号. 则取最大值，为最小值， 此时点后，可得， 设平面AEC中的法向量， 则 取，则， 可得， 可得球心O到平面AEC距离为， 设平面AEC截球O圆半径为r，则， 所以截面圆面积为. 学科网（北京）股份有限公司 $