30.1.2 圆的切线 同步练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“切线的性质与判定”，分层设计清晰，从基础夯实到创新挑战，覆盖单一知识点到综合应用，梯度合理，适配新授课知识巩固与能力提升，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层基础夯实|切线的判定与性质单一知识点|选择、填空基础题，如切线判定条件辨析、性质简单应用，巩固概念| |B层能力进阶|切线与几何图形（矩形、旋转）综合应用|几何综合题，如矩形旋转与切线结合计算，提升空间观念| |C层创新挑战|多知识点（角平分线、外接圆）综合证明|三问证明题，需多步推理，发展推理能力与创新意识|

三十六　切线的性质与判定　 【A层基础夯实】 知识点1　圆的切线的判定 1.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1) 2.如图,以△ABC的边AB为直径作☉O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E.若要使DE是☉O的切线,则下列补充的条件不正确的是( ) A.AD=CD B.OD∥BC C.∠A=∠C D.OD=DE 3.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　 　cm时,☉M与OA相切.  4.如图,△ABC内接于☉O,过点C作射线CD,使∠ACD=∠ABC.求证:CD与☉O相切. 知识点2　 圆的切线的性质 5.如图,AB是☉O的直径,AP是☉O的切线,PB交☉O于点C,连接OC,若∠AOC=70°,则∠P的度数是( ) A.45° B.55° C.35° D.50° 6.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,圆心O在AB上,☉O与BC相切,C为切点.则∠B的度数为( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 7. (易错警示题·忽略分类讨论)如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动,当☉P与x轴相切时,请写出所有符合条件的点P的坐标为　 　.  8.(2025·天津期中)如图,AB为☉O的直径,BD与☉O相切于点B,C是圆上一点. (1)如图①,若∠DBC=24°,求∠BAC的度数; (2)如图②,若∠DBC=60°,点E在圆上,CE⊥AB,若BC=4,求AE的长. 【B层能力进阶】 9.如图,在矩形ABCD中,BC=8,以AB为直径作☉O,将矩形ABCD绕点B旋转,使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与☉O相切,切点为E,边A'B与☉O相交于点F.若BF=8,则CD长为( ) A.9 B.10 C.8 D.12 10.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 　.  11.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作圆.将射线BA绕点B顺时针旋转,使射线BA与☉O相切,则旋转角的度数是　 .  12.如图,在△ABC中,AB=BC,AB为☉O的直径,AC与☉O相交于点D,过点D作DE⊥BC于点E,CB延长线交☉O于点F. (1)求证:DE为☉O的切线; (2)若BE=1,BF=2,求AD的长. 【C层创新挑战(选做)】 13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,☉O是△BEF的外接圆,交AB于点F,圆心O在AB上. (1)求证:AC是☉O的切线; (2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH; (3)求证:CD=HF. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十七　切线长定理　 【A层基础夯实】 知识点1　利用切线长定理进行计算 1.(2025·绍兴期末)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,OA,OB,AB.若PA=6,∠APB=60°,则下列说法错误的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.PB=6 B.△PAB是等边三角形 C.OP垂直平分AB D.OA=3 2.如图PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD=( ) A.36° B.63° C.126° D.46° 3.如图所示,过半径为6 cm的☉O外一点P引圆的切线PA,PB,连接PO交☉O于F,过F作☉O的切线,分别交PA,PB于D,E,如果PO=10 cm,∠APB=40°,则△PED的周长=　 　.  4.如图,圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆,EF切圆O于P点,交AB,BC于点E,F,求△BEF的周长. 知识点2　与利用切线长定理有关的综合题 5.(2025·北京期末)如图,AB是☉O的直径,PB,PC分别切☉O于B,C.若AB=4,∠BAC=60°,则PC的长是　 　.  6.本题是一道弦外容圆问题:指在勾股形(直角三角形)外与弦(斜边)相切的旁切圆.如图所示,△ABC是直角三角形,∠C=90°,CB=48步,CA=90步,AB正好与☉O相切于点D,CE,CF也与☉O相切,切点分别为点E,F,求☉O的直径. (1)小军在解决本题时,认为线段CF的长就是☉O的半径,请你说明理由; (2)请你帮小军计算☉O的直径. 【B层能力进阶】 7.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△ABP的内心.其中所有正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆,圆心为O,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与CD相交于点E,设正方形ABCD的边长为x,EC长为y,则y与x的函数关系式为　 .  9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E.若AB=15,BC=17,则AD的长为　 　.  10.(2025·广州质检)如图,☉O的半径是3,点P是☉O外一点,且OP=5. (1)请用直尺和圆规作出过点P的☉O的两条切线,切点分别为点A,B.(保留作图痕迹,不写画法和证明) (2)若点C是上任意一点(点C不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点D,E.求△PDE的周长. 【C层创新挑战(选做)】 11.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题: (1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论. (2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径. (3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十六　切线的性质与判定　 【A层基础夯实】 知识点1　圆的切线的判定 1.如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C作一圆弧,点B与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是(B) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.点(0,3) B.点(1,3) C.点(6,0) D.点(6,1) 2.如图,以△ABC的边AB为直径作☉O交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E.若要使DE是☉O的切线,则下列补充的条件不正确的是(D) A.AD=CD B.OD∥BC C.∠A=∠C D.OD=DE 3.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　4　cm时,☉M与OA相切.  4.如图,△ABC内接于☉O,过点C作射线CD,使∠ACD=∠ABC.求证:CD与☉O相切. 【证明】如图,作直径CM,连接BM, ∴∠MBC=90°,∴∠M+∠BCM=90°, ∵∠A=∠M,∴∠A+∠BCM=90°, ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,∠ACD+∠ACB+∠BCN=180°,∠ACD=∠ABC, ∴∠A=∠BCN,∴∠BCN+∠BCM=90°, 即∠OCN=90°,∴OC⊥CD, ∵OC是☉O的半径,∴CD与☉O相切. 知识点2　 圆的切线的性质 5.如图,AB是☉O的直径,AP是☉O的切线,PB交☉O于点C,连接OC,若∠AOC=70°,则∠P的度数是(B) A.45° B.55° C.35° D.50° 6.如图,在△ABC中,∠BAC=30°,圆心O在AB上,☉O与BC相切,C为切点.则∠B的度数为(C) A.20° B.25° C.30° D.35° 7. (易错警示题·忽略分类讨论)如图,已知☉P的半径为1,圆心P在抛物线y=x2-1上运动,当☉P与x轴相切时,请写出所有符合条件的点P的坐标为　(-2,1),(2,1),(0,-1)　.  8.(2025·天津期中)如图,AB为☉O的直径,BD与☉O相切于点B,C是圆上一点. (1)如图①,若∠DBC=24°,求∠BAC的度数; (2)如图②,若∠DBC=60°,点E在圆上,CE⊥AB,若BC=4,求AE的长. 【解析】(1)∵BD与☉O相切于点B, ∴∠ABD=90°, ∵∠DBC=24°,∴∠ABC=66°, ∵AB为☉O的直径,∴∠C=90°, ∴∠A=90°-66°=24°; (2)由(1)同理可得∠OBC=30°,∠ACB=90°, 在Rt△ACB中,BC=4,AC=AB,AC2+CB2=AB2, 即AC2+42=(2AC)2, 解得AC=, ∵CE⊥AB,∴=, ∴AE=AC=. 【B层能力进阶】 9.如图,在矩形ABCD中,BC=8,以AB为直径作☉O,将矩形ABCD绕点B旋转,使所得矩形A'BC'D'的边C'D'与☉O相切,切点为E,边A'B与☉O相交于点F.若BF=8,则CD长为(B) A.9 B.10 C.8 D.12 10.如图,OA是☉O的半径,BC是☉O的弦,OA⊥BC于点D,AE是☉O的切线,AE交OC的延长线于点E.若∠AOC=45°,BC=2,则线段AE的长为 　.  11.(易错警示题·忽略分类讨论)如图,∠ABC=70°,O为射线BC上一点,以点O为圆心,OB长为半径作圆.将射线BA绕点B顺时针旋转,使射线BA与☉O相切,则旋转角的度数是　40°或100°　.  12.如图,在△ABC中,AB=BC,AB为☉O的直径,AC与☉O相交于点D,过点D作DE⊥BC于点E,CB延长线交☉O于点F. (1)求证:DE为☉O的切线; (2)若BE=1,BF=2,求AD的长. 【解析】(1)∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO,∵AB=BC, ∴∠A=∠C,∴∠ADO=∠C, ∴OD∥BC,∵DE⊥BC, ∴DE⊥OD,∵OD是☉O的半径, ∴DE是☉O的切线; (2)如图,过点O作OH⊥BF于点H,则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°, ∴四边形ODEH是矩形, ∴OD=EH,OH=DE, ∵OF=OB,∴BH=FH=1, ∴OD=EH=2, ∴AB=2OD=4,∴OB=2, ∴OH==, ∴DE=OH=, ∴BD==2, ∴AD===2. 【C层创新挑战(选做)】 13.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BE交AC于点E,☉O是△BEF的外接圆,交AB于点F,圆心O在AB上. (1)求证:AC是☉O的切线; (2)过点E作EH⊥AB于点H,求证:EF平分∠AEH; (3)求证:CD=HF. 【证明】(1)如图,连接OE. ∵OB=OE,∴∠OBE=∠OEB, ∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE, ∴∠OEB=∠CBE,∴OE∥BC, ∴∠AEO=∠C=90°,∴AC是☉O的切线; (2)∵∠C=∠BHE=90°,∠EBC=∠EBA,∴∠BEC=∠BEH, ∵BF是☉O的直径,∴∠BEF=90°, ∴∠FEH+∠BEH=90°,∠AEF+∠BEC=90°, ∴∠FEH=∠FEA,∴EF平分∠AEH. (3)如图,连接DE. ∵BE是∠ABC的平分线,EC⊥BC于C,EH⊥AB于H,∴EC=EH. ∵∠CDE+∠BDE=180°,∠HFE+∠BDE=180°, ∴∠CDE=∠HFE,∵∠C=∠EHF=90°, ∴△CDE≌△HFE(AAS),∴CD=HF. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十七　切线长定理　 【A层基础夯实】 知识点1　利用切线长定理进行计算 1.(2025·绍兴期末)如图,P为☉O外一点,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,连接OP,OA,OB,AB.若PA=6,∠APB=60°,则下列说法错误的是(D) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.PB=6 B.△PAB是等边三角形 C.OP垂直平分AB D.OA=3 2.如图PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD=(B) A.36° B.63° C.126° D.46° 3.如图所示,过半径为6 cm的☉O外一点P引圆的切线PA,PB,连接PO交☉O于F,过F作☉O的切线,分别交PA,PB于D,E,如果PO=10 cm,∠APB=40°,则△PED的周长=　16 cm　.  4.如图,圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆,EF切圆O于P点,交AB,BC于点E,F,求△BEF的周长. 【解析】设☉O切AB于M,切BC于N,连接OM,ON, 则∠OMB=∠ONB=90°, ∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°, ∵ON=OM,∴四边形MBNO是正方形, ∵圆O是边长为6的正方形ABCD的内切圆, ∴BM=BN=OM=ON=AB=×6=3, 由切线长定理得:EM=EP,PF=FN, ∴△BEF的周长为BF+EF+BE =BF+PF+PE+BE =BF+FN+EM+BE=BN+BM =3+3 =6. 知识点2　与利用切线长定理有关的综合题 5.(2025·北京期末)如图,AB是☉O的直径,PB,PC分别切☉O于B,C.若AB=4,∠BAC=60°,则PC的长是　2　.  6.本题是一道弦外容圆问题:指在勾股形(直角三角形)外与弦(斜边)相切的旁切圆.如图所示,△ABC是直角三角形,∠C=90°,CB=48步,CA=90步,AB正好与☉O相切于点D,CE,CF也与☉O相切,切点分别为点E,F,求☉O的直径. (1)小军在解决本题时,认为线段CF的长就是☉O的半径,请你说明理由; (2)请你帮小军计算☉O的直径. 【解析】(1)如图,连接OE,OF, ∵CE,CF是☉O的切线, ∴OE⊥CE,OF⊥CF, ∴∠OFC=∠OEC=90°. ∵∠C=90°, ∴四边形OECF是矩形. ∵OE=OF,∴四边形OECF是正方形, ∴CF=OE=OF, ∴CF的长就是☉O的半径. (2) ∵∠C=90°,CB=48步,CA=90步, ∴AB===102步. 设☉O的半径为x步,则CE=CF=x步, ∵BF,BD是☉O的切线, ∴BD=BF=CF-CB=(x-48)步. ∵AD,AE是☉O的切线, ∴AD=AE=CE-CA=(x-90)步. ∵BD+AD=AB, ∴(x-48)+(x-90)=102, 解得x=120, ∴☉O的直径为2×120=240步. 【B层能力进阶】 7.如图,已知PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,线段OP交☉O于点M.给出下列四种说法:①PA=PB;②OP⊥AB;③四边形OAPB有外接圆;④M是△ABP的内心.其中所有正确说法的个数是(D) A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图,以边BC为直径在正方形ABCD内部作半圆,圆心为O,过点A作半圆的切线,与半圆相切于点F,与CD相交于点E,设正方形ABCD的边长为x,EC长为y,则y与x的函数关系式为　y=x　.  9.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A,E.若AB=15,BC=17,则AD的长为　9　.  10.(2025·广州质检)如图,☉O的半径是3,点P是☉O外一点,且OP=5. (1)请用直尺和圆规作出过点P的☉O的两条切线,切点分别为点A,B.(保留作图痕迹,不写画法和证明) (2)若点C是上任意一点(点C不与点A,B重合),过点C的切线分别交PA,PB于点D,E.求△PDE的周长. 【解析】(1)由题意,作图如下: (2)如图,连接OA, ∵PA是☉O的切线, ∴∠OAP=90°, ∴PA==4, 根据切线长定理得:AD=CD,BE=CE,PA=PB=4, 则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PD+DA+BE+PE=2PA=8. 【C层创新挑战(选做)】 11.(推理能力、运算能力、几何直观)探究问题: (1)如图1,PM,PN,EF分别切☉O于点A,B,C,猜想△PEF的周长与切线长PA的数量关系,并证明你的结论. (2)如果图1的条件不变,且PO=10 cm,△PEF的周长为16 cm,求☉O的半径. (3)如图2,点E是∠MPN的边PM上的点,EF⊥PN于点F,☉O与边EF及射线PM、射线PN都相切.若EF=3,PF=4,求☉O的半径. 【解析】(1)△PEF的周长=2PA, 证明:∵PA,PB分别切☉O于A,B, ∴PB=PA, ∵EA与EC为☉O的切线, ∴EA=EC, 同理得到FC=FB, ∴C△PEF=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+EA+FB+PF=PA+PB=2PA; (2)如图1所示,连接OA,OP, ∵PA是☉O的切线, ∴OA⊥PA, ∴∠PAO=90°, ∵△PEF的周长为16 cm, ∴PA=8 cm, ∴OA===6(cm), ∴☉O的半径为6 cm; (3)当☉O在EF右侧时,如图2所示, 设☉O与射线PM、射线PN分别相切于A,B,与EF相切于C, 则AE=CE, 连接OA,OB,OC, ∵EF⊥PN, ∴∠CFB=∠OBF=∠OCF=90°, ∵OC=OB, ∴四边形OCFB是正方形, ∴CF=BF=OC. 设☉O的半径为r, ∴CF=BF=r, ∵EF=3,PF=4,∴PE=5, ∵PA=PB,∴5+AE=PF+BF, 即5+3-r=4+r, ∴r=2. 当☉O在EF左侧时,如图3所示, PE==5, ∴(3+4+5)r=×3×4, 解得r=1. ∴☉O的半径为2或1. 学科网（北京）股份有限公司 $