29.3 弧长和扇形面积 同步练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 分层清晰，从弧长与扇形面积公式的基础应用到综合创新，适配新授课差异化教学，助力知识巩固与核心素养发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层基础夯实|弧长公式及扇形面积公式基础应用|选择与解答题结合，直接考查公式计算，巩固运算能力| |B层能力进阶|公式与平行线、旋转等知识综合应用|动态几何题（如第9题动点问题），提升推理能力与空间观念| |C层创新挑战|正方形旋转中的面积与长度计算|跨知识探究题（如第12题旋转综合），发展创新意识与应用意识|

三十四　圆锥的侧面积和全面积　 【A层基础夯实】 知识点1　圆锥及侧面展开图 1.(2025·云南中考)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为( ) A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm 2.如图,用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2,侧面积为8π的圆锥,则该扇形的母线的长为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·达州中考)如图,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是　　.  4.已知一个扇形的圆心角是216°,半径是15 cm. (1)求这个扇形的弧长; (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高是多少? 知识点2　圆锥的侧面积和全面积 5.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是( ) A.圆柱的底面积为4π m2 B.圆柱的侧面积为10π m2 C.圆锥的母线AB长为2.25 m D.圆锥的侧面积为5π m2 6.(2024·南通中考)已知圆锥底面半径为2 cm,母线长为6 cm,则该圆锥的侧面积是　cm2.  7.如图,正方形ABCD的边长为4cm,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE,得到扇形ADE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的全面积. 【B层能力进阶】 8.如图,扇形OAB是圆锥的侧面展开图,点O,A,B在格点上.若小正方形方格的边长为2cm,则这个圆锥的底面半径是( ) A.cm B.cm C.cm D.3cm 9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何?”译文:屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,那么这个米堆遮挡的墙面面积为( ) A.平方尺 B.平方尺 C.平方尺 D.45π平方尺 10.若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于( ) A.60° B.120° C.135° D.150° 11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=a,BC=b,且a>b,将△ABC绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲,再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙,记两个圆锥的全面积分别为S甲,S乙,则S甲,S乙的大小关系为S甲　>　S乙.(选填“>”“<”或“=”)  12.(2025·南京期中)如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2),该圆弧所在圆的圆心为P. (1)点P的坐标为　,☉P的半径为　　.  (2)若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径为 　.  【C层创新挑战(选做)】 13.综合与实践 主题:制作圆锥形生日帽. 素材:一张圆形纸板、装饰彩带. 步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料. 步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽. 在制作好的生日帽中,AB=6 cm,l=6 cm,C是PB的中点,现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带,求彩带长度的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十三　弧长和扇形面积　 【A层基础夯实】 知识点1　弧长公式及应用 1.(2025·西藏中考)如图,在☉O中,直径AB=6,BC是☉O的弦,若∠B=60°,则的长为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6π B.4π C.2π D.π 2.如图,AB是☉O的直径,CD是弦,CD∥AB,∠BCD=30°,AB=12,则的长为(C) A.45π B.4π C.2π D.π 3.如图,在半径为6的☉O中,弦AB⊥CD于点E,若∠A=30°,则的长为(C) A.8π B.5π C.4π D.6π 4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E. (1)求证:BE=CE; (2)若AB=6,∠BAC=54°,求的长. 【解析】(1)如图,连接AE. ∵AB是圆O的直径, ∴∠AEB=90°, 即AE⊥BC. 又∵AB=AC, ∴AE是边BC上的中线, ∴BE=CE. (2)连接OD,∵AB=6, ∴OA=3. 又∵OA=OD,∠BAC=54°, ∴∠AOD=180°-2×54°=72°, ∴的长为=. 知识点2　弧长、扇形面积公式的综合应用 5.如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,若∠ABD=72°,AB=20,则图中阴影部分的面积为(C) A.5π B.9π C.10π D.10π+1 6.若扇形的圆心角为150°,弧长为10π,则这个扇形的面积是　60π　.(结果保留π)  7.如图,在△ABC中,AB=AC,以腰AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于点D,E. (1)求证:BD=DE; (2)若∠ABC=60°,AB=2,求阴影部分的面积. 【解析】(1)如图,连接AD, ∵以腰AB为直径画半圆O, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC. 又∵△ABC为等腰三角形, ∴∠BAD=∠CAD, ∴BD=DE. (2)如图,连接OE,过点O作OF⊥AC于点F, ∵AB=2, ∴OA=OB=1. ∵AB=AC,∠ABC=60°, ∴△ABC为等边三角形, ∴∠BAC=60°. 又∵OA=OE, ∴△AOE为等边三角形, ∴∠AOE=60°,OA=AE=1,OF=, ∴S阴影=S扇形AOE-S△AOE =×1×=. 【B层能力进阶】 8. (2025·镇江中考)如图,直线l1∥l2,直线m分别交l1,l2于点A,B,以A为圆心,AB长为半径画弧,分别交l2,l1于直线m同侧的点C,D,∠ADB=35°,AB=9,则的长等于(C) A.5π B.4π C.π D.π 9.如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为  +　.  10.如图,在Rt△ABC中,AB=4,BC=2.将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD,再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE,连接DE,则图中阴影部分的面积是　10-π　.  11.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠D=60°且AB=6,过点O作OE⊥AC交☉O于点F,垂足为E. (1)∠CAB的度数为 _________;  (2)求OE的长; (3)求阴影部分的面积. 【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ACB=90°. ∵∠B=∠D=60°, ∴∠CAB=90°-∠B=30°. 答案:30° (2)∵AB=6, ∴OA=OB=AB=3. ∵OF⊥AC,∴∠AEO=90°. ∵∠BAC=30°,∴OE=OA=. (3) 连接OC. ∵∠AEO=90°,∠CAB=30°, ∴∠AOE=60°,AE=CE. ∵OF=OA, ∴△OAF是等边三角形, ∴OE=EF. ∵∠CEO=∠AEF=90°, ∴△OEC≌△FEA(SAS), ∴S阴影=S扇形OCF. ∵∠B=60°,OC=OB, ∴△OBC是等边三角形, ∴∠BOC=60°, ∴∠COF=180°-∠AOF-∠BOC=60°, ∴S阴影=S扇形OCF==. 【C层创新挑战(选做)】 12.(推理能力、运算能力、应用意识)如图,在正方形ABCD中有一点P,连接AP,BP,旋转△APB到△CEB的位置. (1)若正方形的边长是8,PB=4,求阴影部分的面积; (2)若PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的长. 【解析】(1)∵把△APB旋转到△CEB的位置, ∴△APB≌△CEB, ∴BP=BE,∠ABP=∠EBC, 以点B为圆心,BP长为半径画弧交AB于点F,交BC于点Q,如图, ∴S扇形BFP=S扇形BEQ, ∴S图形ECQ=S图形AFP, ∴S阴影=S扇形BAC-S扇形BPE==12π. (2)连接PE, ∵△APB≌△CEB, ∴BP=BE=4,∠ABP=∠EBC,PA=EC=7,∠BEC=∠APB=135°, ∴△PBE为等腰直角三角形, ∴∠BEP=45°,PE=4, ∴∠PEC=135°-45°=90°, ∴PC===9. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十四　圆锥的侧面积和全面积　 【A层基础夯实】 知识点1　圆锥及侧面展开图 1.(2025·云南中考)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°,母线长为40 cm,则该圆锥的底面圆的半径为(B) A.9 cm B.10 cm C.11 cm D.12 cm 2.如图,用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2,侧面积为8π的圆锥,则该扇形的母线的长为(D) A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2025·达州中考)如图,圆锥的侧面展开图是一个扇形,已知圆锥的底面半径为2,则扇形的弧长是　4π　.  4.已知一个扇形的圆心角是216°,半径是15 cm. (1)求这个扇形的弧长; (2)若用这个扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高是多少? 【解析】(1)弧长是=18π (cm), 答:这个扇形的弧长为18π cm; (2)设圆锥的底面半径为r cm, 2πr=18π,∴r=9, ∴这个圆锥的高是=12(cm), 答:这个圆锥的高是12 cm. 知识点2　圆锥的侧面积和全面积 5.蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如图是一个蒙古包的示意图,底面圆半径DE=2 m,圆锥的高AC=1.5 m,圆柱的高CD=2.5 m,则下列说法错误的是(C) A.圆柱的底面积为4π m2 B.圆柱的侧面积为10π m2 C.圆锥的母线AB长为2.25 m D.圆锥的侧面积为5π m2 6.(2024·南通中考)已知圆锥底面半径为2 cm,母线长为6 cm,则该圆锥的侧面积是　12π　cm2.  7.如图,正方形ABCD的边长为4cm,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE,得到扇形ADE(阴影部分,点E在对角线AC上).若扇形ADE正好是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥的全面积. 【解析】设该圆锥的底面圆的半径为r cm, ∵四边形ABCD为正方形, ∴∠DAC=45°,AD=4 cm, 根据题意得2πr=,解得r=. 圆锥的全面积是π×2+π××4=(cm2). 【B层能力进阶】 8.如图,扇形OAB是圆锥的侧面展开图,点O,A,B在格点上.若小正方形方格的边长为2cm,则这个圆锥的底面半径是(D) A.cm B.cm C.cm D.3cm 9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺,问积及为米几何?”译文:屋内墙角处的米堆为一个圆锥的四分之一(如图),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,那么这个米堆遮挡的墙面面积为(A) A.平方尺 B.平方尺 C.平方尺 D.45π平方尺 10.若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于(B) A.60° B.120° C.135° D.150° 11.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=a,BC=b,且a>b,将△ABC绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲,再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙,记两个圆锥的全面积分别为S甲,S乙,则S甲,S乙的大小关系为S甲　>　S乙.(选填“>”“<”或“=”)  12.(2025·南京期中)如图,在正方形网格中建立平面直角坐标系,一条圆弧经过格点A(0,4),B(-4,4),C(-6,2),该圆弧所在圆的圆心为P. (1)点P的坐标为　(-2,0)　,☉P的半径为　2　.  (2)若扇形PAC是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径为 　.  【C层创新挑战(选做)】 13.综合与实践 主题:制作圆锥形生日帽. 素材:一张圆形纸板、装饰彩带. 步骤1:如图1,将一个底面半径为r的圆锥侧面展开,可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形.制作圆锥形生日帽时,要先确定扇形的圆心角度数,再度量裁剪材料. 步骤2:如图2,把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽. 在制作好的生日帽中,AB=6 cm,l=6 cm,C是PB的中点,现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带,求彩带长度的最小值. 【解析】∵l=6 cm,AB=6 cm, ∴r=3 cm, ∵×2πr×l=, 解得n=, ∴n==180. ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为180°,如图所示. ∴∠A'PC=×180°=90°. ∵PA'=PB=6 cm, ∴PC=PB=3 cm. ∴在Rt△A'PC中, 由勾股定理得A'C===3(cm). ∴彩带长度的最小值为2A'C=6 cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 三十三　弧长和扇形面积　 【A层基础夯实】 知识点1　弧长公式及应用 1.(2025·西藏中考)如图,在☉O中,直径AB=6,BC是☉O的弦,若∠B=60°,则的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.6π B.4π C.2π D.π 2.如图,AB是☉O的直径,CD是弦,CD∥AB,∠BCD=30°,AB=12,则的长为( ) A.45π B.4π C.2π D.π 3.如图,在半径为6的☉O中,弦AB⊥CD于点E,若∠A=30°,则的长为( ) A.8π B.5π C.4π D.6π 4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E. (1)求证:BE=CE; (2)若AB=6,∠BAC=54°,求的长. 知识点2　弧长、扇形面积公式的综合应用 5.如图,已知AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,若∠ABD=72°,AB=20,则图中阴影部分的面积为( ) A.5π B.9π C.10π D.10π+1 6.若扇形的圆心角为150°,弧长为10π,则这个扇形的面积是　60π　.(结果保留π)  7.如图,在△ABC中,AB=AC,以腰AB为直径画半圆O,分别交BC,AC于点D,E. (1)求证:BD=DE; (2)若∠ABC=60°,AB=2,求阴影部分的面积. 【B层能力进阶】 8. (2025·镇江中考)如图,直线l1∥l2,直线m分别交l1,l2于点A,B,以A为圆心,AB长为半径画弧,分别交l2,l1于直线m同侧的点C,D,∠ADB=35°,AB=9,则的长等于( ) A.5π B.4π C.π D.π 9.如图,在扇形AOB中,∠AOB=60°,OD平分∠AOB交于点D,点C是半径OB上一动点,若OA=1,则阴影部分周长的最小值为 .  10.如图,在Rt△ABC中,AB=4,BC=2.将边BA绕点B顺时针旋转90°得线段BD,再将边CA绕点C顺时针旋转90°得线段CE,连接DE,则图中阴影部分的面积是　　.  11.如图,已知AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,∠D=60°且AB=6,过点O作OE⊥AC交☉O于点F,垂足为E. (1)∠CAB的度数为 _________;  (2)求OE的长; (3)求阴影部分的面积. 【C层创新挑战(选做)】 12.(推理能力、运算能力、应用意识)如图,在正方形ABCD中有一点P,连接AP,BP,旋转△APB到△CEB的位置. (1)若正方形的边长是8,PB=4,求阴影部分的面积; (2)若PB=4,PA=7,∠APB=135°,求PC的长. 学科网（北京）股份有限公司 $