29.3弧长和扇形面积同步练习2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦弧长与扇形面积计算，通过基础公式应用、图形综合变换到实际情境解决的三层设计，强化几何直观与空间观念，适配新授课知识巩固与能力进阶需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|弧长/扇形面积公式直接应用|如单选题3（弧长计算）、填空题14（圆锥侧面积），强化公式记忆与基本运算| |中档|公式与图形变换结合|如单选题2（折叠正方形与扇形）、填空题16（雨刮器扫过面积），培养空间观念与转化思想| |提升|复杂图形分割与跨知识点综合|如解答题22（切线证明与阴影面积）、单选题4（探月徽章面积），发展逻辑推理与应用意识|

29.3弧长和扇形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形(分别以正的三个顶点A，B，C为圆心，长为半径画弧得到的图形)．若已知，则此莱洛三角形的周长为（    ） A．6π B． C．5π D． 2．如图所示，在正方形中，，将正方形对折，使得边与边重合，折痕交于点，交于点，以顶点为圆心，长为半径画弧，交折痕于点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（   ） A．4 B．8 C． D． 4．2025年中国探月工程在载人登月技术验证和月球科学研究双线并进，取得了扎实的突破．为此，某学校科技小组的学生设计了一枚纪念徽章，徽章中心设计图案如下：在一个边长为2的正方形内，以正方形的四个顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，四条弧相交于点O，象征四支火箭轨道汇聚于月球．则四段圆弧围成的阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 5．一个底面半径为的圆锥，展开后的扇形半径为，则这个扇形的圆心角为（   ） A． B． C． D． 6．如图，边长为2的正方形的中心和半径为2的的圆心重合，点E，F分别是，的延长线与的交点，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（   ） A． B． C． D． 8．如图，点，，，都在边长为1的网格格点上，以为圆心，为半径画弧，经过格点，，，三点在同一直线上，，，三点在同一直线上，若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（   ） A． B． C． D． 9．一个圆锥的底面直径是8，母线长是7，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 10．如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 11．如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为（   ） A． B． C． D． 12．《九章算术》是我国古代数学经典著作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式：弧田面积（弦矢矢）．弧田（如图所示）由圆弧和其所对弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦，“矢”指半径长与圆心O到弦的距离（d）之差．若“弦”为24，d为5，根据上述经验公式计算，该弧田的面积为（    ） A．80 B．100 C．104 D．128 二、填空题 13．如图，是的直径，弦，，，则阴影部分图形的面积为_______． 14．已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 15．用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，如图所示，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的侧面积是________． 16．如图①是某汽车的雨刮器，图②是雨刮器摆动的示意图．已知雨刮器的半径，刷子的长度．当雨刮器摆动时，最大旋转角，则雨刮器的刷子扫过的面积（图中阴影部分）为___________（结果保留）． 17．已知一个扇形的面积为，圆心角的度数为，则它的弧长为_____． 三、解答题 18．求阴影部分的面积（单位：厘米）： 19．孙尚任在《桃花扇》中写道：“何处瑶天笙弄，听云鹤缥缈，玉瑕丁冬．”玉佩是我国古人身上常佩戴的一种饰品，现从一块直径为8cm的圆形玉料上刻出一个如图所示圆周角为90°的最大扇形玉佩，求阴影部分的面积．（结果保留） 20．已知网格中每个小正方形的边长都是1，图1中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成的． (1)图1中阴影部分的面积为______（结果保留π）． (2)请你以如图1所示的图案为基本图案，借助轴对称、平移或旋转在网格中设计一个完整的花边图案（要求至少有两种图形变换）． 21．草帽：是用水草、席草、麦秸、竹篾等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品，如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、底面半径为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的高为______，侧面积为______．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 22．如图，在中，，以为直径的分别与，交于点D，E，过点D作交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为8，，求阴影部分的面积． 23．如图，这是圆锥侧面展开得到的扇形，此扇形半径，圆心角，    (1)求的长． (2)求此圆锥高的长． 《29.3弧长和扇形面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D A C B C D B B 题号 11 12 答案 A D 1．C 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长公式，根据题意得，由弧长公式求出的长即可 【详解】解：∵边的长为 ∴此莱洛三角形的周长 故选 C． 2．B 【分析】本题考查了扇形面积公式的求解，由是解决本题的关键． 首先根据扇形的面积公式，将圆心角和半径为2代入公式可求解扇形面积，再根据直角三角形的面积公式可求解的面积，进而可求解阴影面积． 【详解】解：在正方形中，， 由对折可知，点E，F分别为和的中点， 即， 又因为以顶点为圆心，长为半径画弧， 所以可知圆的半径， 在中，由勾股定理可得， 且， 则可得，即， 所以， ， 所以． 故选：B ． 3．D 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶D． 4．A 【分析】先根据正方形边长求出对角线长，从而确定扇形半径；然后计算四个扇形的面积之和；最后利用面积的和差关系，用四个扇形的面积和减去正方形的面积即可得出阴影部分的面积． 【详解】解： 正方形边长为， 正方形面积 ， ∴对角线长为． 扇形半径为对角线长的一半 ， 半径． 四个扇形的圆心角均为 ， 四个扇形的面积之和． ∵正方形被四个扇形完全覆盖，其中阴影部分为两个扇形的重叠部分，空白部分为一个扇形的非重叠部分 ， ． 5．C 【分析】本题考查圆锥侧面展开图的性质，关键是掌握扇形弧长与圆锥底面周长的相等关系． 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长，利用此关系列方程求解圆心角即可． 【详解】解：设扇形的圆心角为， 圆锥底面周长为， 扇形弧长， 圆锥展开后的扇形的弧长等于圆锥底面的周长， ，即，解得． 这个扇形的圆心角为． 故选C． 6．B 【分析】本题考查圆的性质，正方形的性质，求不规则的图形的面积，延长，分别交于M，N，阴影部分的面积就是圆的面积减去正方形的面积的差的四分之一，据此求解即可． 【详解】如图，延长，分别交于M，N， 阴影部分的面积为：． 故选：B． 7．C 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、扇形面积计算．连接，设交于F点，由，求出，利用直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接，设交于F点，如图， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴，，围成的图形的阴影面积为． 故选：C． 8．D 【分析】本题主要考查的知识点是圆锥侧面展开图的性质(圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆的周长)、正方形的性质(正方形的对角线平分内角，角度为)、扇形弧长公式(，其中为圆心角度数，为扇形半径)．先求出扇形的弧长，再根据圆锥底面圆周长等于侧面展开图扇形弧长这一关系，求出圆锥底面半径． 【详解】解：连接， ∵由网格可知：扇形的圆心角， ， 扇形弧长， 设圆锥底面半径为， ， 解方程可得． 9．B 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 首先求得圆锥的底面周长，即侧面的弧长，然后根据扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：底面周长是， 则侧面积是：． 故选：B． 10．B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．A 【分析】此题主要考查了扇形的面积公式，应用与设计作图．连接，则阴影部分面积，依此计算即可求解． 【详解】解：连接， 由题意得，阴影部分面积． 故选：A． 12．D 【分析】本题考查了弧田面积计算问题，也考查了理解与运算能力．根据题意画出图形，结合图形利用直角三角形的边角关系求出矢和弦的值，代入公式计算求值即可． 【详解】解：如图，过点O作于点C， 由题意可知， ∴， 在中， ， ∴矢， ∴该弧田的面积为， 故选：D． 13． 【分析】根据垂径定理可得，根据圆周角定理可得，即可得出，然后解直角三角形得，的长度，然后证明出，得到，最后利用代数求解即可． 【详解】解：如图，设线段、交于点， ∵是的直径，弦，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∴． 14． 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】扇形半径直接作为圆锥母线，直接代入扇形面积公式，得到圆锥侧面积． 【详解】解：由题意可知，扇形纸板的半径就是圆锥的母线长，即，圆心角． ∵圆锥的侧面积等于扇形纸板的面积． ∴． 16． 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．根据刷子扫过的面积为计算即可． 【详解】解：，， ， ， 刷子扫过的面积为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的知识点是扇形的面积公式、弧长公式． 根据扇形的面积公式求出半径，再代入弧长公式计算弧长． 【详解】解：设扇形的半径为， 由扇形的面积公式， 代入已知数据得， 解得， （取正值）， 由弧长公式 ， 得． 故答案为：． 18．平方厘米 【分析】本题考查了不规则图形面积计算，熟练掌握三角形和圆面积计算公式是计算的关键，阴影部分的面积等于，将不规则转化为规则的面积求解． 【详解】解：如下图： 以为直径的半圆面积为：（平方厘米）； 的面积为：（平方厘米）； （平方厘米）， 故阴影部分的面积为：（平方厘米） 答：阴影部分的面积为平方厘米． 19． 【分析】本题考查了扇形的面积计算以及圆周角定理，解答本题的关键根据圆周角定理由根据等腰直角三角形的性质得，然后用圆的面积减去扇形的面积即可求解．． 【详解】解：如图，连接， 由图可知，是的直径． ∵， ∴， ∴， ∴ ． 20．(1) (2)如图（答案不唯一）． 【分析】（1）如图所示，． ，据此即可求解； （2）借助轴对称、平移或旋转即可解决问题． 【详解】解：（1）如图，阴影部分的面积为 ， 故答案为：． （2）所设计的方案如图所示： 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了计算组合图形的面积，运用平移、轴对称和旋转设计图案，解决本题的关键是弄清图中的扇形的半径与圆心，把不规则的图形的面积转化为几个规则图形的面积的和或差来求解． 21．(1)， (2) 【分析】本题考查勾股定理求圆锥的高、圆的周长公式、扇形面积公式等知识，熟记圆锥相关概念、勾股定理及扇形面积公式是解决问题的关键． （1）根据题意，如图所示，由勾股定理求值即可得到高；再由扇形面积公式代值计算即可得到面积； （2）由（1）知侧面积为，设所需扇形卡纸的圆心角的度数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 在中，，，， 则由勾股定理可得； 圆锥底面圆的周长为， 圆锥侧面积为； 故答案为：，； （2）解：由（1）知侧面积为， 设所需扇形卡纸的圆心角的度数， ， 解得， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为． 22．(1) 证明：连接． ∵是的直径， ， ， ， ， ∴是的中位线， ， ， ， ∴是的切线． (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，扇形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分的面积，属于中考常考题型． （1）连接，根据圆周角定理得出，再证明是的中位线，得出，再证明，即可证明是的切线． （2）根据计算即可； 【详解】（1）略 （2）解：连接． ， ， ， ， ， ， ， ∴． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据弧长公式进行求解即可； （2）先求出底面半径，再用勾股定理求出圆锥的高即可． 【详解】（1）解：的长． （2）设的长为r，则，解得． 在中，， 由勾股定理得． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $