内容正文:
2025-2026学年龙湾实验学校九年级(上)第三次月考数学试卷
一、选择题(10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项)
1. 的值等于( )
A. B. C. D. 1
2. 下列各式中,一定是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
3. 若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0,现背面向上,随机抽取一张卡片数字记为a,则能使二次函数的图象开口朝上的概率为( )
A. 0 B. C. D.
4. 若反比例函数的图象经过点,则k的值为( )
A. 6 B. C. D.
5. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7. 在中,,,,则的值是( )
A. B. C. D.
8. 已知,,都在反比例函数的图像上,则a,b,c的大小关系用“<”连接的结果是( )
A. B.
C. D.
9. 如图,在中,,,,则的值是( )
A. B. C. D.
10. 如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本大题5小题,每小题4分,共20分)
11. 已知二次函数图象的顶点坐标是,且与抛物线的形状和开口方向均相同,则这个二次函数的解析式是_______________.
12. 若一个山坡的坡度为,则在水平方向上每前进米,就升高_____米.
13. 反比例函数在第一象限内的图象如下图所示,垂直x轴于点A,如果的面积为4,那么k的值是___________.
14. 如图,,是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点,已知点的坐标为,则关于的不等式 的解集为_______.
15. 如图1,在中,,D为上一点,动点以每秒1个单位的速度从点出发,在三角形边上沿匀速运动,到达点时停止,以为边作正方形.设点的运动时间为,正方形的面积为.当点由点运动到点时,经探究发现是关于的二次函数,并绘制成如图2所示的图象.根据图象信息,求得线段的长为_____.
三、解答题(一)(本大题3小题,16、17、18题各7分,共21分)
16. (1)计算:.
(2)解方程:.
17. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时,电流(单位:)与电阻(单位:)是反比例函数关系,它的图像如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过,那么该用电器的可变电阻至少是多少?
18. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示:
…
0
1
…
…
0
0
…
(1)的值是_____;
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象.
(3)当时,结合函数图象,直接写出的取值范围.
四、解答题(二)(本大题3小题,19、20、21题各9分,共27分)
19. 年广州“十五运”期间,吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱,某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物,由于销售火爆,销售单价上涨到每个元,此时每天可售出个吉祥物.经过市场调查发现:销售单价每降价元,每天多卖出个,网店每个应降价多少元,才能使每天利润达到最大,最大利润为多少元?
20. 一枚运载火箭从地面处发射,当火箭到达点时,从位于地面处的雷达站测得的距离是,仰角为后火箭到达处,此时测得仰角为.求火箭从处到处的平均速度.(结果精确到,参考数据:)
21. 【综合与实践】怎样才能命中篮筐
活动背景:学校组织班级间篮球比赛,九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低,特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(图1),并测量相应的数据进行研究.
模型建立:如图2所示,以小斌的起跳点为坐标原点,水平方向为轴,竖直方向为轴建立平面直角坐标系:篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.
信息整理:
素材1:篮球(P)出手时离地面的高度为米,篮筐中心离地面的高度米,篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米,篮球距地面的最大高度米,此时离篮球出手位置的水平距离米.
素材2:由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半,因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时,篮球的高度(米)满足时,篮球即可命中篮筐;篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定,小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变.
解决问题:在初次投篮时,数学兴趣小组同学测得相关数据为:米,米,米,米.
(1)小斌初次投篮时能否命中篮筐,请说明理由:
(2)再次投篮时,小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮,若保持初次投篮时的出手高度,小斌此次_____命中篮筐(填写:“能”或“不能”)?若能请说明理由;若不能,那么要想命中篮筐,则的取值范围是多少?
五、解答题(三)(本大题2小题,22题13分,23题14分)
22. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出一个直角三角形,在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形).
(1)如图1,在边长为的正方形网格中,每个小正方形的顶点叫格点.的顶点都在格点上,则的值为_____.
(2)观察发现:如图2,不在直角三角形中,并且顶点不在格点处,我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点,,可得,则,连接,那么就变换到格点处,并且恰好在中.可以方便求出的值为;
方法迁移:如图3,在边长为的正方形网格中,与相交于点,则的值为_____.
(3)如图4,在边长为的正方形网格中,与相交于点,求的值.
(4)如图5,若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格,网格顶点称为格点,已知菱形的较小内角为,点,,,都在格点处,线段与相交于点,则的值为_____.
23. 如图,抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当二次函数的自变量满足时,函数的最小值为,求的值;
(3)点是轴上的一个动点,将线段绕点顺时针旋转,得到线段;若线段与抛物线有一个公共点,结合函数图象,请求出的取值范围;
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2025-2026学年龙湾实验学校九年级(上)第三次月考数学试卷
一、选择题(10小题,每小题3分,共30分,每小题只有一个正确选项)
1. 的值等于( )
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查特殊角度的三角函数值,根据求解即可.
【详解】解:,
故选:D.
2. 下列各式中,一定是的二次函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的定义,一般地,形如(其中a、b、c是常数,且)的函数叫做二次函数,据此求解即可.
【详解】解:A、当时,不是的二次函数,不符合题意;
B、中含分式,不是整式函数,不满足二次函数的定义,不符合题意;
C、符合二次函数的一般式,所以是二次函数,符合题意;
D、中有根号,不是整式函数,不满足二次函数的定义,不符合题意.
故选:C.
3. 若有四张完全一样的卡片正面分别写有、2、4、0,现背面向上,随机抽取一张卡片数字记为a,则能使二次函数的图象开口朝上的概率为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式,二次函数的性质.由二次函数图象开口朝上,进而可以求出a的取值范围,然后由概率公式进行计算可以得解.
【详解】解:∵二次函数的图象开口朝上,
∴,
∴,4时,二次函数的图象开口朝上,
∴满足题意的概率为:.
故选:C.
4. 若反比例函数的图象经过点,则k的值为( )
A. 6 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值.
【详解】解:∵反比例函数的图象经过点,
∴将点代入解析式得,,
.
5. 函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的定义,反比例函数的图象与性质,如果两个变量之间的对应关系可以表示成(k为常数,)的形式,那么称y是x的反比例函数;其图像是由两支曲线组成的,当时,两支曲线分别位于第一、三象限内;当时,两支曲线分别位于第二、四象限内.解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识.根据定义确定为反比例函数,由,即可得到答案.
【详解】解:根据定义,为反比例函数
∵
∴两支曲线分别位于第二、四象限内
故选A.
6. 抛物线的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的顶点式,识别顶点式中的h和k是解题关键.
对比顶点式,可直接读出顶点坐标.
【详解】解:∵ 抛物线解析式为,
∴ 顶点坐标为 .
故选 C.
7. 在中,,,,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形,直接利用正弦函数的定义进行求解即可.
【详解】解:在中,,,,
则,
故选:D.
8. 已知,,都在反比例函数的图像上,则a,b,c的大小关系用“<”连接的结果是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质,先求出反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,再进行判断求解即可.
【详解】解:∵反比例函数,,
∴反比例函数的图象两支分别位于第一、三象限,在每个象限内y随x的增大而减小,
∵点都在第三象限,
∵,
∴,
又∵在反比例函数的图象上,
∴,
∴.
故选:A.
9. 如图,在中,,,,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数,勾股定理,理解正弦与余弦的含义是关键;由题意得,由,设,则由勾股定理得,由余弦函数的定义即可求解.
【详解】解:∵,
∴,
∴,
∴,
设(其中x为正数),
则由勾股定理得,
∴,
故选:C.
10. 如图,在平面直角坐标系中,直线与轴交于点,与轴交于点,反比例函数的图象与直线交于第一象限内的点,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了求反比例函数解析式,两点间的距离公式,一次函数和反比例函数交点问题,解题的关键是掌握以上知识点.根据题意,先求出点和点的坐标,进一步得,再根据两点间的距离公式求出点的坐标,最后代入反比例函数解析式即可求值.
【详解】解:直线与轴交于点,与轴交于点,
令,则;
令,则,
即,,
.
,
.
设点,()
.
解得,或(不符合题意,舍去),
,
即点,
将点代入得,
.
故选:C.
二、填空题(本大题5小题,每小题4分,共20分)
11. 已知二次函数图象的顶点坐标是,且与抛物线的形状和开口方向均相同,则这个二次函数的解析式是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标可设二次函数的解析式为,再根据形状和开口方向均相同可得,由此即可得.
【详解】解:二次函数图象的顶点坐标是,
设这个二次函数的解析式为,
又这个二次函数的图象与抛物线的形状和开口方向均相同,
,
这个二次函数的解析式是,
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质,熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键.
12. 若一个山坡的坡度为,则在水平方向上每前进米,就升高_____米.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查的是坡度的定义,掌握坡度是坡面的垂直高度和水平宽度的比是解题的关键.根据坡度比为,得比例关系求解即可.
【详解】解:设升高高度为米,
则根据坡度比得,,
解得,.
故答案为:.
13. 反比例函数在第一象限内的图象如下图所示,垂直x轴于点A,如果的面积为4,那么k的值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义,熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解决问题的关键.设,则,得到,据此求解即可.
【详解】解:∵点在反比例函数第一象限内的图象上,
∴设,
∵垂直x轴,
∴,
∴,
解得,
故答案为:.
14. 如图,,是反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的交点,已知点的坐标为,则关于的不等式 的解集为_______.
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数的交点问题,解题的关键是掌握相关知识.先利用正比例函数图象和反比例函数图象的性质得正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点坐标为,然后利用函数图象,写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可.
【详解】解:点的坐标为,
反比例函数 的图象与正比例函数 的图象的另一个交点,
关于的不等式 的解集为或,
故答案为:或.
15. 如图1,在中,,D为上一点,动点以每秒1个单位的速度从点出发,在三角形边上沿匀速运动,到达点时停止,以为边作正方形.设点的运动时间为,正方形的面积为.当点由点运动到点时,经探究发现是关于的二次函数,并绘制成如图2所示的图象.根据图象信息,求得线段的长为_____.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象,勾股定理,相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是从图中获取信息.
连接,过点D作于点G;当点P在线段上运动时,在中,,则,函数值随t的增大而增大,与点B重合时最大;当点P在线段上运动时,S先减小,再增大,在与点G重合时最小,与点A重合时达到最大;由此得,,由勾股定理求得,再证明,即可求解,
【详解】解:如图,连接,过点D作于点G,
当点P在线段上运动时,
在中,,则,
∴函数值随t的增大而增大,与点B重合时最大;
当点P在线段上运动时,的长度是先减小,到与点G重合时,达到最小,再增大,与点A重合时达到最大,而,
∴S先减小,再增大,在与点G重合时最小,与点A重合时达到最大,
∴结合图象知,,,
∴,
在中,由勾股定理得,
∵,
∴,
∴,
∴,
故答案为:6.
三、解答题(一)(本大题3小题,16、17、18题各7分,共21分)
16. (1)计算:.
(2)解方程:.
【答案】(1)2;(2)
【解析】
【分析】本题主要考查零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数,绝对值,实数的运算,解一元二次方程 ;
(1)根据特殊角的三角函数,绝对值,零指数幂,负整数指数幂的运算性质计算即可.
(2)采用因式分解法解一元二次方程计算即可.
【详解】解:(1)
,
;
(2)
,
,
,
,
,
解得:.
17. 已知蓄电池的电压为定值.使用此蓄电池作为电源时,电流(单位:)与电阻(单位:)是反比例函数关系,它的图像如图所示.
(1)求这个反比例函数的表达式;
(2)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不能超过,那么该用电器的可变电阻至少是多少?
【答案】(1);(2)用电器可变电阻至少.
【解析】
【分析】(1)反比例函数经过点(10,4),代入反比例函数式,即可求得函数解析式.
(2)I≤8时,根据反比例函数的单调递减性质,求电阻R的范围.
【详解】(1)设反比例函数表达式为,
将代入得,,
∴反比例函数表达式为;
(2)对于,当时,,
由图像可知,随着的增大而减小,
∴当时,,
答:用电器可变电阻至少.
【点睛】本题主要考查反比例函数的应用问题,掌握反比例函数的单调性质是解答本题的关键.
18. 已知二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示:
…
0
1
…
…
0
0
…
(1)的值是_____;
(2)在给定平面直角坐标系中画出这个二次函数图象.
(3)当时,结合函数图象,直接写出的取值范围.
【答案】(1)
(2)
解:画图如下:
(3)
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质,画二次函数的图象等知识,掌握二次函数的图象与性质、数形结合是解题的关键.
(1)把,代入二次函数解析式即可求解;
(2)描点、连线即可;
(3)求出当时的函数值,结合函数图象即可求解.
【小问1详解】
解:把,代入中,得;
故答案为:;
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解:由(1)知
当时,,由表知,当时,,
又当时,函数取得最小值,
∴当时,由图象知.
四、解答题(二)(本大题3小题,19、20、21题各9分,共27分)
19. 年广州“十五运”期间,吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱,某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物,由于销售火爆,销售单价上涨到每个元,此时每天可售出个吉祥物.经过市场调查发现:销售单价每降价元,每天多卖出个,网店每个应降价多少元,才能使每天利润达到最大,最大利润为多少元?
【答案】每个应降价元,才能使每天利润达到最大,最大利润为元
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的应用,解题时要能找准等量关系,正确列出二次函数解析式是解题的关键.
先设每个降价元,每天的利润为元,则依题意可得,,再根据自变量的取值范围求最大值即可.
【详解】解:设每个降价元,每天的利润为元,
则依题意可得,
.
且,
.
,
当时,.
答:每个应降价元,才能使每天利润达到最大,最大利润为元.
20. 一枚运载火箭从地面处发射,当火箭到达点时,从位于地面处的雷达站测得的距离是,仰角为后火箭到达处,此时测得仰角为.求火箭从处到处的平均速度.(结果精确到,参考数据:)
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角函数的应用—俯角、仰角问题,理解题意,掌握三角函数的相关概念是关键.在中,由正弦函数关系可求得的长,再由余弦函数关系求出;在中,由正切函数关系求出,再由求出,即可求解.
【详解】解:在中,,
,
,
,
,
在中,,
,
,
,
火箭从处到处的平均速度为,
答:火箭从处到处的平均速度为.
21. 【综合与实践】怎样才能命中篮筐
活动背景:学校组织班级间篮球比赛,九年级2班小斌发现自己投篮命中率较低,特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片(图1),并测量相应的数据进行研究.
模型建立:如图2所示,以小斌的起跳点为坐标原点,水平方向为轴,竖直方向为轴建立平面直角坐标系:篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分.
信息整理:
素材1:篮球(P)出手时离地面的高度为米,篮筐中心离地面的高度米,篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米,篮球距地面的最大高度米,此时离篮球出手位置的水平距离米.
素材2:由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半,因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时,篮球的高度(米)满足时,篮球即可命中篮筐;篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定,小斌在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变.
解决问题:在初次投篮时,数学兴趣小组同学测得相关数据为:米,米,米,米.
(1)小斌初次投篮时能否命中篮筐,请说明理由:
(2)再次投篮时,小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮,若保持初次投篮时的出手高度,小斌此次_____命中篮筐(填写:“能”或“不能”)?若能请说明理由;若不能,那么要想命中篮筐,则的取值范围是多少?
【答案】(1)
解:由题意得:小斌初次投篮时抛物线的顶点坐标为:,
设,
经过点,
,
解得:,
,
当时,,
时,篮球命中篮筐,
小斌初次投篮时不能命中篮筐.
故答案为:不能; (2)不能;
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用,理解题意,求得二次函数解析式是解题的关键;
(1)由题意得抛物线的顶点坐标为:,由此设解析式为顶点式,把点代入即可求得函数解析式,求出当时,的值,判断是否满足即可;
(2)小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时,得抛物线的解析式为:,当时,求出的值,判断不满足则不命中;设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为,当时,,根据列出不等式,求得m的取值范围,根据出手点的坐标为,即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:由题意得:小斌在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮时,
抛物线的解析式为:,
当时,,
不能命中篮筐;
设改变出手点的高度后的抛物线的解析式为:,
当时,,
,
解得:,
出手点的坐标为,
,
.
五、解答题(三)(本大题2小题,22题13分,23题14分)
22. 【网格中的锐角三角函数】求一个锐角的三角函数值,我们往往需要找出(或构造出一个直角三角形,在网格中更有利于我们发现或构造一些直角三角形).
(1)如图1,在边长为的正方形网格中,每个小正方形的顶点叫格点.的顶点都在格点上,则的值为_____.
(2)观察发现:如图2,不在直角三角形中,并且顶点不在格点处,我们可以利用网格画平行线等方法解决此类问题,比如连接格点,,可得,则,连接,那么就变换到格点处,并且恰好在中.可以方便求出的值为;
方法迁移:如图3,在边长为的正方形网格中,与相交于点,则的值为_____.
(3)如图4,在边长为的正方形网格中,与相交于点,求的值.
(4)如图5,若干个形状、大小完全相同的菱形组成网格,网格顶点称为格点,已知菱形的较小内角为,点,,,都在格点处,线段与相交于点,则的值为_____.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】本题主要考查了三角函数的定义,平行线的性质,勾股定理与网格问题,菱形的性质,平行线的性质,解题的关键是数形结合,作出辅助线,熟记三角函数定义.
(1)过点作垂直于的延长线于点,构造直角三角形即可求值;
(2)利用平行线的性质和等腰直角三角形的性质即可求值;
(3)先取格点,连接,,过点作于点,构造直角三角形,再利用平行线的性质即可求值;
(4)先过点作交延长线于点,构造直角三角形,再利用平行线的性质,勾股定理和菱形的性质即可求值.
【小问1详解】
解:如图1,过点作垂直于的延长线于点,
由图可知:,,
.
故答案为:.
【小问2详解】
解:如图2中,取格点,连接,.
,
.
是等腰直角三角形,
,
.
故答案为:.
【小问3详解】
解:如图3中,取格点,连接,,过点作于点,
,
.
.
,,
,
,
,
的值为.
【小问4详解】
如图5中,由题意得,,
.
,,
.
过点作交延长线于点,
,,
,
.
,
.
,
.
的值为.
故答案为:.
23. 如图,抛物线经过点和点,与轴交于点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当二次函数的自变量满足时,函数的最小值为,求的值;
(3)点是轴上的一个动点,将线段绕点顺时针旋转,得到线段;若线段与抛物线有一个公共点,结合函数图象,请求出的取值范围;
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【解析】
【分析】此题重点考查二次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、一元二次方程的解法、旋转的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法.
(1)将、代入,列方程组并且解该方程组求出、的值,即得到抛物线的解析式为;
(2)分两种情况讨论,利用二次函数的图象与性质求解即可;
(3)先由线段绕点顺时针旋转,得到线段,得,,再分两种情况讨论,一是,即点在轴的正半轴上,将、分别代入,求出线段与抛物线有一个公共点时,的最小值和最大值,即得到此时的取值范围;二是,即点在轴的负半轴上,将、分别代入,求出线段与抛物线有一个公共点时,的最小值和最大值,即得到此时的取值范围.
【小问1详解】
解:∵抛物线经过点、点,
∴,
解得,
∴抛物线的解析式为.
【小问2详解】
解:,
∴对称轴为直线,当时,该函数的最小值为,
∴不在范围内,
①当时,即,该函数在范围内,随着的增大而减小,
∴当时,函数取得最小值,
∴,
解得或(舍);
②当时,该函数在范围内,随着的增大而增大,
∴当时,函数取得最小值,
∴,
解得或(舍),
综上:或;
【小问3详解】
解:当时,如图,
∵将线段绕点顺时针旋转,得到线段,
∴
∴,,
当点在抛物线上,如图:
则,
解得,(不符合题意,舍去),
当点在抛物线上,如图:
则,
解得,(不符合题意,舍去),
∴当时,线段与抛物线有一个公共点;
当时,同理可求:,,
如图:当点在抛物线上,
则,
解得,(不符合题意,舍去),
当点在抛物线上,
则,
解得,(不符合题意,舍去),
∴当时,线段与抛物线有一个公共点,
综上所述,的取值范围是或 .
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