广东省湛江市麻章区2026-2027学年九年级上学期第一次月考数学模拟练习

**基本信息** 这份九年级上月考数学模拟卷聚焦二次函数、旋转、一元二次方程核心知识，通过甲流病毒传染、清明上河园虹桥等真实情境，设计基础到综合的梯度试题，考查数学抽象、几何直观与模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数性质（第1题）、中心对称图形（第2题）、一元二次方程应用（第3题）|结合社会热点（甲流传染）与文化素材（博物馆标志）| |填空题|5/15|中心对称坐标（第11题）、《九章算术》门高问题（第12题）、二次函数图象分析（第13题）|融入传统文化与函数综合辨析| |解答题|9/75|旋转动态问题（第18题）、二次函数平移应用（第24题）、几何与代数综合（第23题）|设计分层任务，如第22题从面积计算到最值探究，培养推理与建模能力|

2026-2027学年广东省湛江市麻章区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 2．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC．若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，75° D．逆时针，75° 5．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞6 B．m≤6 C．m＜6且m≠2 D．m≤6且m≠2 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段A′B，则点A′的坐标为（　　） A．（7，4） B．（4，7） C．（1，﹣4） D．（4，﹣1） 7．（3分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB′C′，连接B′C，则△AB′C的周长为（　　） A． B．18 C． D．24 9．（3分）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣1）关于原点中心对称的点的坐标是 　 　 ． 12．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺，两隅相去适十尺．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺，门对角线的长度恰好为10尺，问门的高和宽各是多少？如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为 　 　 ． 13．（3分）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b＝0； ②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根； ⑤不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1； ⑥a＞﹣1． 其中正确的是 　 　 ． 14．（3分）如图所示，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角为 　 　 ． 15．（3分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6，DF＝2，则S△AEF＝　 　 ． 三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分） 16．（6分）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 17．（6分）已知x＝1是关于x的方程x2﹣3ax+a2+8＝0的一个根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 四．解答题（共7小题，满分63分） 18．（6分）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　 ； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　 　 ，　 　 ）中心对称； （4）请计算△ABC的面积． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 21．（8分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　 　 ＝　 　 ； （3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 22．（10分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD的长AD＝50m，宽AB＝32m，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多7m，设每个矩形花坛的宽均为xm． （1）用x的式子表示：每个矩形花坛的长为　 　 m；铺设地砖的面积为　 　 m2； （2）若铺设地砖的面积为1168m2，则求正方形景观空地的面积； （3）若四个角的矩形花坛面积之和为Sm2，则求出当面积S最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，当∠ACD＝70°时，求∠BED的度数； （2）如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G． ①求证：△BCD≌△ECF； ②AC＝2，BC＝3；求△BCE的面积． 24．（12分）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点． （1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度； （2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式； （3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围． 2026-2027学年广东省湛江市麻章区九年级（上） 第一次月考数学模拟练习 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）关于抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3，下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．顶点坐标是（1，3） D．x＞1时，y随x增大而增大 【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3中，根据解析式逐项分析判断如下； A．因为﹣2＜0，所以抛物线开口向下，不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线x＝1，不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是（1，3），符合题意； D．x＞1时，y随x增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 2．（3分）下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A．选项中的图形是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； B．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．选项中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 3．（3分）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则根据题意列出方程是（　　） A．x+x（1+x）＝225 B．1+x+x2＝225 C．1+x+x（1+x）＝225 D．x（1+x）＝225 【分析】由“每轮传染中平均一个人传染了x个人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有225人感染”，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人， ∴第一轮传染中有x人被感染，第二轮传染中有x（1+x）人被感染． 根据题意得：1+x+x（1+x）＝225． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC．若点A的对应点D恰好在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能是（　　） A．顺时针，105° B．逆时针，105° C．顺时针，75° D．逆时针，75° 【分析】由旋转的性质可得将△ABC绕点C顺时针旋转105°，即可求解． 【解答】解：∵∠ACB＝75°， ∴∠ACD＝105°， ∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC， ∴将△ABC绕点C顺时针旋转105°， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 5．（3分）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A．m＞6 B．m≤6 C．m＜6且m≠2 D．m≤6且m≠2 【分析】由根的判别式结合一元二次方程的定义列式计算即可． 【解答】解：由条件可得： Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×1＝16﹣4m+8＝24﹣4m≥0，且m﹣2≠0， ∴m≤6且m≠2． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段A′B，则点A′的坐标为（　　） A．（7，4） B．（4，7） C．（1，﹣4） D．（4，﹣1） 【分析】先利用A、B的坐标求出OA＝3，OB＝4，再结合旋转的性质、直角三角形两个锐角互余证明∠BA′C＝∠ABC，然后证明△A′BC≌△ABO，再求得点A′的坐标． 【解答】解：由题意可得： ∴OA＝3，OB＝4， ∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°，得到线段A′B， ∴∠ABC+∠A′BC＝90°，AB＝A′B， 过点A作x轴的垂线垂足为C， 则∠A'CB＝90°， ∴∠BA′C+∠A′BC＝90°， ∴∠BA′C＝∠ABC， ∴△A′BC≌△ABO， ∴BC＝OA＝3，A′C＝OB＝4， ∴OC＝OB﹣BC＝1， ∴A′（1，﹣4）， 故选：C． 【点评】本题考查了利用旋转的性质求解线段，图形与坐标，全等三角形的判定与性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是利用全等三角形的性质证明线段相等． 7．（3分）坐落于开封清明上河园中的虹桥是一座抛物线型拱桥，被列为中国十大名桥之一．按如图所示建立平面直角坐标系，得到抛物线解析式为，正常水位时水面宽AB为16m，当水位上升3m时，水面宽CD为（　　） A．4m B．8m C．10m D．12m 【分析】根据正常水位时水面宽AB＝16米，找出当x＝8时y＝﹣4，再根据水位上升3米时，代入解析式求值即可． 【解答】解：AB＝16，当x＝8时，y64＝﹣4．当水位上升3米时，y＝﹣1，把 y＝﹣1代入 yx2， 得﹣1x2，解得 x＝±4，此时水面宽CD＝8米，故选：B． 【点评】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键． 8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将△ABC绕点A逆时针旋转90°，得△AB′C′，连接B′C，则△AB′C的周长为（　　） A． B．18 C． D．24 【分析】利用勾股定理求出AC的长，根据旋转的性质得到AB'＝AB＝6及∠BAB'＝90°，进而证得AB'∥BC，通过构造直角三角形求出B′C的长，最后计算周长即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴， 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得△AB′C'， ∴AB'＝AB＝6，∠BAB'＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴AB'∥BC， 过点B'作B′H⊥BC于点H，则四边形ABHB'为矩形， ∴BH＝AB'＝6，B'H＝AB＝6， ∴HC＝BC﹣BH＝8﹣6＝2， 在Rt△B'HC 中，， ∴△AB′C的周长为6+10， 故选：A． 【点评】本题考查了图形的旋转，矩形的性质及判定等，掌握图形的旋转是解题的关键． 9．（3分）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（　　） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【分析】设劳动基地中的道路宽为x米，根据种植面积为480平方米，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：设劳动基地中的道路宽为x米， 由题意得，（34﹣2x）（18﹣x）＝480， 整理得：x2﹣35x+66＝0， 解得：x1＝2，x2＝33（不符合题意，舍去）， 即劳动基地中的道路宽为2米， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的是（　　） A．c＞0 B．4a﹣2b+c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．图象的对称轴是直线x＝2 【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：由图象可得， 图象与y轴交于负半轴，则c＜0，故选项A错误，不符合题意； 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＜0，故选项B正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C错误，不符合题意； 图象的对称轴是直线x3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣4，﹣1）关于原点中心对称的点的坐标是 　（4，1）　 ． 【分析】直接利用关于原点对称点的坐标特点即可得出答案． 【解答】解：点P（﹣4，﹣1）关于原点O中心对称的点的坐标为：（4，1）． 故答案为：（4，1）． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，熟知两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题的关键． 12．（3分）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有一道经典题目：“今有户高多于广六尺，两隅相去适十尺．问户高、广各几何？”其意思为：今有一扇门，高比宽多6尺，门对角线的长度恰好为10尺，问门的高和宽各是多少？如图，若设门的高为x尺，则根据题意可列方程为 x2+（x﹣6）2＝102 ． 【分析】高是x尺，则宽为（x﹣6）尺，根据矩形门的高、宽、对角线构成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程． 【解答】解：设门的高为x尺，则宽为（x﹣6）尺，根据勾股定理得， x2+（x﹣6）2＝102． 故答案为：x2+（x﹣6）2＝102． 【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13．（3分）如图，抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标A（﹣1，3），与x轴的一个交点B（﹣4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a﹣b＝0； ②abc＜0； ③抛物线与x轴的另一个交点坐标是（3，0）； ④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个相等的实数根； ⑤不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1； ⑥a＞﹣1． 其中正确的是 　①⑤⑥　 ． 【分析】①利用对称轴方程进行解答； ②根据抛物线开口向下，得出a＜0，根据抛物线与y轴交点在正半轴，得出c＞0，进而得出答案； ③利用抛物线的对称性质求解便可； ④根据抛物线与直线y＝3的交点情况解答； ⑤根据两函数图象的位置关系解答； ⑥设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2），将A（﹣1，3）代入，得出，进而得出答案． 【解答】解：①由抛物线对称轴知，， ∴2a﹣b＝0，故①正确； ②∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴a＜0， ∴b＝2a＜0， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故②错误； ③设抛物线与x轴的另一个交点坐标是（m，0），根据题意得：， ∴m＝2， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0），故③错误； ④由函数图象可知，直线y＝3与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点， ∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根，故④错误； ⑤根据图象可知，当﹣4＜x＜﹣1时，抛物线在直线y2＝mx+n（m≠0）的上方，即不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集为﹣4＜x＜﹣1，故⑤正确； ⑥设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣2）， 将A（﹣1，3）代入，得出：a（﹣1+4）（﹣1﹣2）＝3， ∴，故⑥正确； 故答案为：①⑤⑥． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解答关键是熟练运用数形结合方法． 14．（3分）如图所示，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置，则旋转角为 　30°　 ． 【分析】根据矩形的性质和旋转的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【解答】解：如图，将长方形ABCD绕其顶点B顺时针方向转到如图所示位置， ∴∠E＝∠A＝90°， ∵∠ABC＝90°，∠EBH＝∠BHF﹣∠E＝150°﹣90°＝60°， ∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°， ∴旋转角为30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，熟练掌握旋转的性质和矩形的性质是解题的关键． 15．（3分）如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，已知AD＝6，DF＝2，则S△AEF＝　15　 ． 【分析】过点A作AH⊥AE交CD的延长线于点H，易证得△ADH≌△ABE（ASA）和△AHF≌△EAF（SAS），根据全等三角形的性质得到EF＝HF，设DH＝BE＝x，则EF＝2+x、CE＝6﹣x，根据EF2＝CF2+CE2列方程，求解x的值，利用S△AEF＝S△AHF进行计算求解即可． 【解答】解：过点A作AH⊥AE交CD的延长线于点H，如图： ∵∠HAE＝∠BAD＝90°， ∴∠HAD＝∠BAE， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（ASA）， ∴AH＝AE，DH＝BE， ∵∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠HAD+∠DAF＝45°， ∴∠HAF＝∠EAF＝45°， 在△AHF和△EAF中， ， ∴△AHF≌△EAF（SAS）， ∴EF＝HF， ∵AD＝DC＝6、DF＝2， ∴CF＝6﹣2＝4， 设DH＝BE＝x，则EF＝2+x、CE＝6﹣x， ∵EF2＝CF2+CE2， ∴（2+x）2＝42+（6﹣x）2， 解得：x＝3， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分12分，每小题6分） 16．（6分）解方程3（x+1）2﹣18＝0． 【分析】先把方程变形为（x+1）2＝6，再把方程两边开方得到x+1＝±，然后解两个一次方程即可． 【解答】解：3（x+1）2﹣18＝0， （x+1）2＝6， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 17．（6分）已知x＝1是关于x的方程x2﹣3ax+a2+8＝0的一个根，求代数式（a+4）（a﹣4）﹣3（a﹣1）的值． 【分析】将x＝1代入原方程，可得出a2﹣3a＝﹣9，再将其代入原式＝a2﹣3a﹣13中，即可求出结论． 【解答】解：将x＝1代入原方程得：12﹣3a×1+a2+8＝0， ∴a2﹣3a＝﹣9， ∴原式＝a2﹣16﹣3a+3＝a2﹣3a﹣13＝﹣9﹣13＝﹣22． 【点评】本题考查了一元二次方程的解以及代数式求值，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 四．解答题（共7小题，满分63分） 18．（6分）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　75°　 ； （2）①如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，旋转角度为α（0°＜α＜180°），当α等于多少度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P顺时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PM重合时，两三角板都停止转动，在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【分析】（1）根据三角板的角度进行计算即可得到结论； （2）①如图，根据PC′⊥PD，∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°，求出结论即可； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，分两种情况：当PC转到与PD重合前和当PC转到与PD重合后，分别列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）①如图，此时，PC′⊥PD， ∴∠DPC＝75°，∠DPC′＝90°， ∴∠CPC′＝75°+90°＝165°， ∴当α等于165度时，两个三角形的边PC与边PD互相垂直； ②设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， 当PC转到与PM重合时，（秒）， 分两种情况： 当PC转到与PD重合前，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝180°﹣∠BPD﹣∠BPM﹣∠APN﹣∠APC＝180°﹣45°﹣2t°﹣3t°﹣60°＝（75﹣5t）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝75﹣5t， 解得：秒； 当PC转到与PD重合后，∠CPD＝∠BPM时， ∴∠CPD＝∠BPD+∠BPM+∠APN+∠APC﹣180°＝45°+2t°+3t°+60°﹣180°＝（5t﹣75）° 当∠CPD＝∠BPM，即2t＝5t﹣75， 解得：t＝25秒； ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是或25秒． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把△ABC向左平移4个单位后得到△A1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1； （2）把△ABC绕原点O旋转180°后得到△A2B2C2，请画出旋转后的△A2B2C2； （3）观察图形可知，△A1B1C1与△A2B2C2关于点（　﹣2　 ，　0　 ）中心对称； （4）请计算△ABC的面积． 【分析】（1）根据点平移的规律即可求解； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征求解即可； （3）连接A1A2，B1B2，C1C2，它们相交于一点，即中心对称点； （4）由题可知：S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△ABD﹣S△AEC﹣S△BCF． 【解答】解：（1）如图，平移后的△A1B1C1即为所求； （2）如图，旋转后的△A2B2C2即为所求； （3）根据题意得：△A1B1C1与△A2B2C2关于点（﹣2，0）中心对称； 故答案为：（﹣2，0）； （4）根据题意得：． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0（k为常数）． （1）求证：不论k为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求k的值和方程的另一个根． 【分析】（1）证明Δ＞0，可得结论； （2）根据方程解的定义求出k的值，再求出方程的根可得结论． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4（2k﹣1）\ ＝k2+4k+4﹣8k+4 ＝k2﹣4k+4+4 ＝（k﹣2）2+4， ∵（k﹣2）2≥0， ∴Δ＞0， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵方程的一个根为3， ∴9﹣3（k+2）+2k﹣1＝0， ∴k＝2， ∴方程为x2﹣4x+3＝0， ∴x1＝3，x1＝1， ∴另一个根为1，k＝2． 【点评】本题考查根与系数关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数关系，属于中考常考题型． 21．（8分）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索： 设（其中a，b，m，n均为整数），则有． ∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： （1）当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　3n2+m2 ，b＝　2mn ； （2）利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：　7+4　 ＝　（2）2 ； （3）若，且a，m，n均为正整数，求a的值． 【分析】（1）根据完全平方公式展开，得，得a＝3n2+m2，b＝2mn，即可作答； （2）根据题意，a＝m2+3n2，b＝2mn，找到一组正整数使成立即可； （3）先得，因为，且m，n均为正整数，故m＝1，n＝2或m＝2，n＝1，即可作答． 【解答】解：（1）， ∵a，b，m，n均为正整数，且， ∴ ∴a＝3n2+m2，b＝2mn， 故答案为：3n2+m2，2mn． （2）∵当m＝2，n＝1时，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4， ∴7+4（2）2， ∴这一组正整数a＝7，b＝4，m＝2，n＝1， 故答案为：7+4，（2）2； （3）依题意，， ∵， ∴ ∴a＝m2+3n2，4＝2mn， ∴mn＝2， ∵m，n均为正整数， ∴m＝1，n＝2或m＝2，n＝1； 当m＝1，n＝2时， a＝m2+3n2＝1+3×22＝13； 当m＝2，n＝1时， a＝m2+3n2＝22+3×12＝7． 答：a的值为13或7． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 22．（10分）某公园要铺设广场地面，其图案设计如图，矩形地面ABCD的长AD＝50m，宽AB＝32m，四周各角留一个矩形花坛，中心建设一个正方形景观空地，其边长等于四个角上每个矩形花坛的宽的4倍，图中阴影处铺设地砖．已知矩形花坛的长比宽多7m，设每个矩形花坛的宽均为xm． （1）用x的式子表示：每个矩形花坛的长为　（x+7）　 m；铺设地砖的面积为　（﹣20x2﹣28x+1600）　 m2； （2）若铺设地砖的面积为1168m2，则求正方形景观空地的面积； （3）若四个角的矩形花坛面积之和为Sm2，则求出当面积S最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m？ 【分析】（1）每个矩形花坛的长＝宽+7，铺设地砖的面积＝长方形的面积﹣4个小矩形的面积﹣正方形空地的面积； （2）取（1）中得到的代数式的值为1168，解方程求得合适的解即可； （3）表示出S，进而根据二次函数的性质和自变量的取值范围可得当面积S最大时，矩形花坛的长和宽各是多少m． 【解答】解：（1）设矩形花坛的宽是x米，则长是（x+7）米，正方形EFGH的边长为4x米， ∴铺设地砖的面积为：50×32﹣4x（x+7）﹣4x•4x＝1600﹣4x2﹣28x﹣16x2＝（﹣20x2﹣28x+1600）m2． 故答案为：（x+7），（﹣20x2﹣28x+1600）； （2）根据题意得：﹣20x2﹣28x+1600＝1168， 整理得：5x2+7x﹣108＝0， 解得：x1＝4，x2（舍去）， ∴x＝4， 此时正方形景观空地的面积：4x•4x＝16x2＝16×16＝256（m2）， 答：正方形景观空地的面积为256m2； （3）根据题意得：S＝4x（x+7）＝4（x2+7x）＝4（x+3.5）2﹣49， ∴抛物线的开口向上， ∵50﹣2（x+7）﹣（32﹣2x）＝4＞0， ∴50﹣2（x+7）＞32﹣2x， 由题意得：， ∴0＜x≤6， ∴x＝6时，S最大， ∴x+7＝13． 答：矩形花坛的长为13米，宽为6米． 【点评】本题考查二次函数的应用．判断出四个角的矩形花坛面积之和最大时，自变量x的取值范围是解决本题的易错点． 23．（11分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连接BE． （1）如图1，当∠ACD＝70°时，求∠BED的度数； （2）如图2，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G． ①求证：△BCD≌△ECF； ②AC＝2，BC＝3；求△BCE的面积． 【分析】（1）由旋转的性质可得，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝70°，根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠CEB＝55°．结合直角三角形的性质，可计算得∠DEC＝∠ABC＝35°，因此∠BED＝∠CEB﹣∠DEC＝20°； （2）①由旋转的性质可得，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，由FG∥AB可得∠A+∠F＝180°，由等腰三角形的性质可得∠A＝∠ADC，结合等角的补角相等得∠F＝∠BDC．由∠BCF＝∠DCE＝90°，通过等量代换可得∠BCD＝∠ECF，从而证明△BCD≌△ECF（AAS）； ②作CH⊥AB于点H，使用勾股定理计算出，容易证明△ACH∽△ABC，从而计算出，，结合等腰三角形的性质可得．由旋转的性质可得CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，从而证明△ACD∽△BCE，则，代入计算即可． 【解答】（1）解：由旋转的性质可得，∠ACD＝∠BCE＝70°，∠ABC＝∠DEC，CA＝CD，CB＝CE， ∴，， ∵∠ACB＝90°， ∴∠DEC＝∠ABC＝90°﹣∠A＝35°， ∴∠BED＝∠CEB﹣∠DEC＝20°； （2）①证明：由旋转的性质可得，CA＝CD，CB＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠A＝∠ADC， ∵FG∥AB， ∴∠A+∠F＝180°， ∵∠ADC+∠BDC＝180°， ∴∠F＝∠BDC， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝180°﹣∠ACB＝90°， ∵∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝90°，∠BCF＝∠BCE+∠ECF＝90°， ∴∠BCD＝∠ECF， 在△BCD和△ECF中， ， ∴△BCD≌△ECF（AAS）； ②解：如图，作CH⊥AB于点H， 在直角△ABC中，， ∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACH∽△ABC， ∴， ∴，， 由旋转的性质可知，∠ACD＝∠BCE，CA＝CD，CB＝CE， ∴， ∴， ∵∠ACD＝∠BCE，， ∴△ACD∽△BCE， ∴， ∴． 【点评】本题考查三角形综合，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（12分）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点A（m，n）为平面直角坐标系内一点． （1）若将点A（m，n）先向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到点A′，求点A的平移距离AA'的长度； （2）将直线l：y＝x+1平移得直线l′，设直线l上任意一点A（m，n）平移后的对应点为A′．若直线l的平移距离，且直线AA′平行于第二、四象限的角平分线，求直线l′的函数表达式； （3）将抛物线沿着射线y＝2x（x≥0）方向平移得到抛物线，当0≤x≤4时，抛物线上的点到x轴的距离都小于8，求抛物线y1的平移距离d的取值范围． 【分析】（1）直接根据勾股定理求解即可； （2）易得平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位或向右3个单位，向下3个单位，据此即可得解； （3）易得，则平移距离为a，再据此求解即可． 【解答】解：（1）由题意可知，AA'5； （2）如图， ∵AA′∥二四象限角平分线， ∴∠A'AM＝∠A“AN＝45°， ∵AA'＝AA“＝3， ∴A'M＝AM＝A“N＝AN＝3， 当直线l向左上方平移时，则平移距离为向左平移3个单位，向上3个单位， ∴y＝（x+3）+1+3＝x+7； 当直线l向右下方平移时，则平移距离为向右平移3个单位，向下3个单位， ∴y＝（x﹣3）+1﹣3＝x﹣5； 综上，直线l′的函数表达式为y＝x+7或y＝x﹣5； （3）， 设抛物线向右平移a个单位，则向上平移2a个单位，得， ∴对称轴为直线x＝2+a，平移距离， 当0≤x≤4时，抛物线上横坐标为0的点离x轴距离最大， 此时， 由题意，a2+6a＜8， 解得， ∴． 【点评】本题主要考查了平移、二次函数的解析式、点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/13 18:27:01；用户：轩；邮箱：15361225968；学号：65446526 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $