四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三一诊模拟数学试题（4）

**基本信息** 泸县一中高2022级一诊数学模拟卷以5G通信香农公式、新定义距离等情境为载体，通过函数、数列、三角等综合题设计，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题及数学语言表达的核心素养，适配一模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、函数图像、等比数列等|第6题结合5G通信香农公式，体现科技前沿情境| |多选题|3/18|向量、函数性质、新定义距离|第11题新定义距离，考查逻辑推理与抽象思维| |填空题|3/15|幂函数、平面向量、解三角形|第14题解三角形求最值，注重知识综合应用| |解答题|5/77|解三角形、数列、导数、三角函数等|第19题函数与数列综合，考查数学语言表达与论证能力|

泸县一中高2022级一诊数学模拟试题（4） 一、单选题:（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1．已知集合，，则( ) A． B． C． D． 2．已知，则在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．函数的图象大致为( ) A． B． C． D． 4．已知，则( ) A． B． C． D． 5．已知等比数列的前项和为，若，，则( ) A． B． C． D． 6．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式， 香农提出并严格证明了在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为( )（参考数据：） A．1559 B．3943 C．1579 D．2512 7．若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数 的图像重合，则的最小值是( ) A． B． C． D． 8．已知，，且满足，则　　 A． B． C． D． 二、多选题:（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知向量，则下列说法正确的是( ) A．若，则 B．不存在实数，使得 C．若向量，则或 D．若向量在向量上的投影向量为，则的夹角为 10．已知，则（    ） A． B． C． D． 11．对于集合中的任意两个元素，若实数同时满足以下三个条件： ①“”的充要条件为“”； ②； ③，都有． 则称为集合上的距离，记为．则下列说法正确的是（    ） A．为 B．为 C．若，则为 D．若为，则也为（为自然对数的底数） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12．已知幂函数在上单调递减，则的值为 ． 13．在等腰直角中，，为线段上的点，则的最小值_____ 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值为 ． 四、解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．(本小题13分)在△ABC中，，A为钝角， (1)求； (2)从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求△ABC的面积． ①② 16．(本小题15分)记为数列前项和为，已知. (1)证明：为等差数列； (2)若，求的前项和. 17．(本小题15分)已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)判断函数是否存在极小值，若存在，请求出极小值；若不存在，请说明理由； 18．(本小题17分)已知函数，． (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点 的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，求的单调增区间． (3)设．若在上有解，求实数的取值范围． 19．(本小题17分)已知函数的图像上有一点列， 点在x轴上的射影是，且，． (1)求数列的通项公式． (2)对任意的正整数n，不等式都成立，求实数t的取值范围． (3)设四边形的面积是，求证：． 泸县一中高2022级一诊数学模拟试题（4） 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A B C C A BCD ACD 题号 11 答案 AC 7.【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像， 即，与函数的图像重合 即，，故 ∴， 所以的最小值为.故选：C. 8. ，，，， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，，，，， 又，， ，，． 9．A选项：，所以，所以，故A错误； B选项：若得，则，显然不成立，故B正确； C选项：因为,若向量， 则或，故C正确； D选项：设的夹角为， 则向量在向量上的投影向量为所以， 又因为向量在向量上的投影向量为， 所以则的夹角为，故D正确． 11.对于A，，即，①，，即，即， 若，则，所以“”的充要条件为“”. ②，，成立， ③，，，故A正确； 对于B，， ①，，即，即， 此时若，则，故B错误；对于C，， ①，即，即，得， 若，则，所以“”的充要条件为“”. ②，，成立； ③，， 故成立，故C正确；对于D，设，，则， ①,若，则，即，，故D错误.故选：AC. 12． 13．取AC的中点为D， 由于为等腰直角三角形，为线段上的点，因此， 所以，即的最小值为． 14．由余弦定理可知，， 由可得， 化简可得， 所以，即， 即， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故： 15.（1）由题意得，因为为钝角，.............2分 则由正弦定理得，则，解得，....4分 因为为钝角，则...............................................................................................................6分 （2）选择①，因为为三角形内角，则，..............8分 则代入得，解得，........................................................9分 ,........................................................................................11分 则.................................................................13分 选择②，则有，解得，..............................................8分 则由正弦定理得，即，解得，..............................9分 因为为三角形内角，则，.......................................................11分 则 ，........................................................................................12分 则................................................................13分 16． 17.（1）当时，，， 所以，， 故在处的切线方程为，即； （2）， 若，则，故在R上单调递减，故无极小值； 若，令得，令得或， 故在上单调递增，在，上单调递减， 故在处取得极小值，极小值为； 当时，令得，令得或， 故在上单调递增，在，上单调递减， 故在处取得极小值，极小值为； 综上，当时，无极小值；当时，极小值为；当时，极小值为； 18．（1）．．．．．．．．．．．．2分 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 则的最小正周期为：，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 ，， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 所以的对称中心的坐标为：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （2） 由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 再向下平移1个单位得到，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到即，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）， 可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 令，在上单调递减，．．．．．．．．．．14分 所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 在上有解，需，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．16分，． 的取值为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．17分 19．（1）∵，∴，又，．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴是以为首项为公比的等比数列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2），．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ∵不等式对正整数恒成立， ∴，而，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ∴是一个减数列，，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 故，解得， 所以实数t的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 （3）．．．．．．．．．．．．．．．11分 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 ∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15分 ∴．．．．．．．．17分 学科网（北京）股份有限公司 $