四川省泸州市泸县第一中学2024-2025学年高三一诊模拟数学试题

**基本信息** 聚焦核心素养，以“一诊”模拟为导向，通过金针菇新鲜度（第7题）等真实情境题及“好点”新定义题（第19题），考查函数、数列、三角等知识，体现数学应用与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、充要条件|基础概念辨析，如第3题充要条件判断| |多选题|3/18|等差数列、三角函数图象|多维度考查，如第10题三角函数性质综合| |填空题|3/15|向量投影、等比数列、极值点|简洁性与综合性，如第14题导数极值点范围| |解答题|5/77|三角恒等变换、数列通项、导数应用|分层设计，如第17题锐角三角形外接圆面积最小值（数学眼光），第19题“好点”新定义（数学思维）|

高2022级2024年秋期“一诊”模拟考试 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1．已知集合，则（     ） A． B． C． D． 2．若复数z满足（i为虚数单位），则z的模（     ） A． B．1 C． D．5 3．已知，，为实数，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．如图，若D点在三角形ABC的边BC上，且，则的值为（     ） A．0 B． C． D．1 5．已知，且满足，则的最小值为（     ） A．3 B． C．6 D．9 6．下列函数为奇函数且在上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 7．金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度与其来摘后时间（天）满足的函数解析式为.若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为；若采摘后天，金针菇失去的新鲜度为.现在金针菇失去的新鲜度为，则采摘后的天数为（     ）（结果保留一位小数，） A． B． C． D． 8．已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。） 9．已知等差数列的前项和为，则（     ） A． B． C．数列为单调递增数列 D．取得最大值时， 10．已知函数（，，），其部分图象如图所示，则下列关于的结论正确的是（     ） A．在区间上单调递增 B．， C．若是偶函数，则正实数m的最小值为 D．的图象可由函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再把所得图象向右平移得到. 11．已知函数的定义域为R，且，的图象关于对称.当时，，若，则下列说法正确的是（     ） A．的周期为4 B．的图象关于对称 C． D．当时， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 ． 13．已知等比数列满足，则 ． 14．已知函数，若f (x)有两个极值点，则实数a的取值范围是 ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知函数的最小值为. (1)求的值； (2)若，，求的值. 16．（15分）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，函数在区间上的最大值与最小值的差为1，求m的值. 17．（15分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 (1)求角的大小； (2)若，求△ABC外接圆的面积的最小值. 18．（17分）设正项数列的前项和为，且，当时， (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和. 19．（17分）设是函数的导函数，我们把使的实数x叫做函数的好点，已知函数， （1）若0是函数的好点，求a； （2）若当时，函数无好点，求a的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C D C B C BD ABC 题号 11 答案 AB 1．B 【详解】，解得或，解得或， 故， 又，故. 故选：B 2．B 【详解】由， 得， 所以. 故选：B. 3．A 【详解】，充分性成立， 时，可能有，此时，即不一定成立，必要性不满足， 所以是充分不必要条件， 故选：A． 4．C 【详解】因为， 所以， 所以，，所以. 故选：C. 5．D 【详解】， ， ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：D 6．C 【详解】对于A项，，定义域为，，所以为奇函数， 当时，，且在上单调递减，故A项错误； 对于B项，因，定义域为,且为奇函数， 它的递增区间可由求得，故显然该函数在上必不是增函数，故B项错误； 对于C项，，显然该函数定义域为R，且为奇函数，又，故幂函数在上为增函数，故C项正确； 对于D项，的定义域为R，且，则函数为偶函数，故D项错误. 故选：C. 7．B 【详解】由题可得，两式相除可得， 则，， ∵，解得， 设天后金针菇失去的新鲜度为， 则，又， ∴，，，， 则， 故选：B. 8．C 【详解】由，有， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 又时，， 如图可知之间存在三个不相等的实数，，， 使成立. 故选：C 9．BD 【详解】设等差数列的公差为，由， 得，解得，故A选项错误； ，B选项正确； 由，，等差数列为单调递减数列，C选项错误； ，由二次函数的性质可知，取得最大值时，，D选项正确. 故选：BD 10．ABC 【详解】由函数最大值可知：，， ∴，∴， 由五点法可得时，，则， ∴， 令，则（）， ∴在区间（）上单调递增， 当时，在区间上单调递增.A选项正确； 的对称轴为：（），当时，是的一条对称轴， ∴，∴成立，B选项正确； 若是偶函数，则，即（），当时，取最小正实数，C选项正确； 函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到，再把所得图象向右平移得到与不符，D选项错误. 故选：ABC 11．AB 【详解】因为的图象关于对称，所以， 又，所以，所以， 所以的周期为4，故A正确； 因为的图象关于对称，所以的图象关于对称， 因为，所以关于对称，所以的图象关于对称， 又的周期为4，所以可得的图象关于对称，故B正确； 因为关于对称，所以， 又的图象关于对称，所以，所以， ， 又，所以，解得, 所以当时，， ，故C错误； 当，则， 因为，所以，故D错误. 故选：AB. 12． 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故答案为：. 13． 【详解】设公比为. 因为，故，解得或者， 若，则且，此时， 若，则且，此时， 故答案为：. 14． 【详解】函数定义域为R，求导得， 由有两个极值点，得有两个变号零点，由，得， 令，因此直线与函数的图象有两个交点， 求导得，当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，恒成立，因此， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 15．(1)；(2) 【详解】（1）解：由函数， 因为函数的最小值为，可得，解得. （2）：由（1）知，， 因为，可得，所以， 又因为，可得， 因为，可得，所以， 则. 16．（1）详见解析  （2） 【详解】解：（1） 若当时，； 当时.，所以在上单调递增，在上单调递减 若.在R上单调递增 若，当时，；当时.，所以在上单调递增，在上单调递减 （2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增 则 又，所以 所以，故 17．(1)； (2). 【详解】（1）由题设及正弦边角关系，有， 所以， 即，则， 由且，则或（舍）， 所以，即. （2）由外接圆半径，要使外接圆的面积最小，只需最小， 而， 当且仅当时取等号，此时，则， 所以外接圆的面积的最小值为. 18．(1) (2) 【详解】（1）当时，，则， 因为为正项数列的前n项和，且， 则，，可得， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列， 所以，则有， 当时，， 又也适合， 故数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 根据的定义可知， 则， 所以. 19．（1）1；（2）. 【详解】（1）∵， ∴， 由，得， 即， ∵0是函数的好点， ∴，∴. （2）， 由，得， 即， 令，将问题转化为讨论函数的零点问题， ∵当时，，若函数不存在好点， 等价于没有零点，即的最小值大于零， 由得，， 因为，则由得， ∴当时，；当时， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， 又当且仅当，即时，， ∴无零点，无好点； a的取值范围为. ( 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $