精品解析：四川省泸州市2026届高三第二次教学质量诊断性考试数学试题

高2023级第二次教学质量诊断性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则（ ） A. 62 B. 64 C. 79 D. 81 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 60 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 8. 三棱锥 的底面为正三角形，侧棱 底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ） A. 极差不相等 B. 中位数相等 C. 平均数相等 D. 标准差可能相等 10. 在锐角中，角的对边分别是 ，已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为 ，若，则的值为___________． 14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列， ，是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 17. 如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面，已知 ，是棱 上的点． （1）若是棱 的中点，求证：平面 ； （2）若二面角 的大小为，求直线与平面所成的角的最大值． 18. 已知函数 ． （1）讨论的单调性； （2）设 ，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的 ． 19. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若的倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为 ，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级第二次教学质量诊断性考试 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集和补集运算求解即可. 【详解】因为全集，集合，则， 又因为集合，所以. 故选：B. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算可得，结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为复数， 所以复数对应的点为，位于第二象限. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. 62 B. 64 C. 79 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】先应用对数转化得出，再平方化简求值即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 则. 故选：A 4. 在等比数列中， ，，则（ ） A. 48 B. 72 C. 96 D. 192 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，结合等比数列性质运算求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，可得， 所以. 故选：C 5. 已知随机变量服从正态分布，若，则 （ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 即， 所以. 故选：C 6. 已知展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ） A. B. C. 15 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式系数和可得，再结合二项展开式的通项运算求解即可. 【详解】因为展开式的二项式系数和为，解得， 且展开式的通项为，， 令，解得，可得， 所以其展开式的常数项为60. 故选：D. 7. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小正周期为1 B. 是偶函数 C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】对于A：根据正弦型函数的最小正周期公式运算求解即可；对于B：利用诱导公式整理可得，进而判断奇偶性；对于C：根据对称轴与函数最值之间的关系分析判断；对于D：以为整体，结合正弦函数单调性分析判断. 【详解】因为函数， 对于选项A：的最小正周期为，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故B错误； 对于选项C：因为，不为最值， 所以的图象不关于直线对称，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且正弦函数在内单调递增，所以在区间上单调递增，故D正确. 故选：D. 8. 三棱锥的底面为正三角形，侧棱 底面，若，则该三棱锥外接球表面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，可得的外接圆半径，，根据直棱柱的外接球半径公式结合二次函数运算求解即可. 【详解】设，则正的外接圆半径， 因为，则， 则该三棱锥外接球半径， 当且仅当时，等号成立， 所以该三棱锥外接球表面积的最小值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知两组样本数据和，其中是的中位数，则这两组样本数据的（ ） A. 极差不相等 B. 中位数相等 C. 平均数相等 D. 标准差可能相等 【答案】BD 【解析】 【分析】不妨设，则，即可得新数据，结合极差、中位数的定义分析判断AB；举反例判断CD. 【详解】不妨设，则， 新数据按升序排列可得， 对于选项A：两组数据的极差均为，即极差相等，故A错误； 对于选项B：两组数据的中位数均为，即中位数相等，故B正确； 对于选项C：例如，则，平均数为， 新数据的平均数为， 显然，所以平均数不相等，故C错误； 对于选项D：例如，则，显然其标准差为0， 新数据的标准差也为0，两者相等，故D正确； 故选：BD. 10. 在锐角中，角的对边分别是 ，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，可判定A正确；由 ，得到，根据正弦定理得到，可判定B错误；由余弦定理和已知条件，化简得到，将，代入求得，可判定C正确；化简得到，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，由正弦定理得， 又因为 ，可得， 所以， 即，可得， 因为，所以或， 即 或（舍去），所以A正确； 对于B，由 ，可得， 由正弦定理得，因为，所以，所以，所以B错误； 对于C，由余弦定理得 ， 因为，代入可得， 整理得，即， 又因为，可得，所以， 所以，所以C正确； 对于D，由，可得，则， 因为 ，可得 ， 因为为锐角三角形，可得，解得， 令，可得在单调递增， 当时，；当时，， 所以， 因为，所以成立，所以D正确. 故选：ACD. 11. 过双曲线左焦点的直线与圆相切于点，与的一个交点为，则（ ） A. 与一定有两个交点 B. 点在的一条渐近线上 C. 若，则的离心率为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于B：分析可知，，进而分析斜率即可；对于A：举反例说明即可；对于C：结合双曲线定义可得，，结合勾股定理运算求解；对于D：根据题意可得，，即可得面积. 【详解】对于选项B：由题意可知：，，， 可得，则直线的斜率， 可知直线即为双曲线的其中一条渐近线，所以点在的一条渐近线上，故B正确； 对于选项A：若，则直线的斜率，且渐近线的斜率为， 可知直线与双曲线的一条渐近线平行，此时与有且仅有1个交点，故A错误； 对于选项C：设双曲线的另一个焦点为， 若，可知点为的中点， 且为的中点，则，，可得， 由勾股定理可得：，即， 可得，所以双曲线的离心率为，故C正确； 对于选项D：若，则，， 所以，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合平面向量的数量积和垂直关系的坐标运算，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得， 因为，所以， 解得. 故答案为：. 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，若，则的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，根据椭圆定义可得，，进而可得，即可得结果. 【详解】由题意可知：，， 设，则，， 若，则，解得， 可得，，所以. 故答案为：3. 14. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知为奇函数，根据对称性可得函数在内恰有2个零点，构造， ，整理可得 与在内恰有2个交点，利用导数分析的单调性和极值，结合函数图象分析求解. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 且，可知为奇函数， 若函数恰有4个零点，则函数在内恰有2个零点， 当 ，则，可得， 令，可得， 构造， ，则 与在内恰有2个交点， 因为， ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近0时，趋近于1；当趋近 时，趋近于 ； 作出函数的图象，如图所示： 由图象可得： ，所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是公差不为0的等差数列， ，是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意，得到和，联立求得的值，即可求得的通项公式； （2）由（1）知，得到，结合裂项法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：设等差数列的公差为， 因为 ，可得， 又因为是和的等比中项，可得，即，即， 因为，所以，代入，可得， 所以，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得， 所以 . 16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【答案】（1）；预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中公式求出关于的线性回归方程，再运用代入法进行求解即可； （2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为； 当， 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. 【小问2详解】 该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ， ， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 17. 如图，四棱锥 的底面为正方形，平面 平面，已知 ，是棱 上的点． （1）若是棱 的中点，求证：平面 ； （2）若二面角 的大小为，求直线与平面所成的角的最大值． 【答案】（1）由平面 平面，且底面为正方形，得，根据面面垂直的性质定理得 平面 ，  因为 ，是 中点，由等腰三角形三线合一，得 ，  又 ，结合 平面 ，得平面 ， 因为平面 ，所以 ，  由于 ，根据线面垂直的判定定理，可得平面 ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式转化为求二次函数的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由二面角 的大小为，结合 平面 ，可知， 如图以 为原点，为轴，为 轴，过 作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 由，得各点坐标： ， 设（ ），则 ，故的坐标为 ， 向量 ，设平面的法向量为 ，由得； 由得 ，令 ，则 ，故法向量 ， 直线的方向向量为 ， 设直线与平面所成角为 ，则， 二次函数 （开口向上），其最小值在顶点处取得，最小值为，故的最小值为， 代入得 的最大值为：， 因此，. 18. 已知函数 ． （1）讨论的单调性； （2）设 ，且．证明： （i）在区间存在唯一的极值点； （ii）对于（i）中的 ． 【答案】（1）当 时，在 上单调递增； 当时，在 上单调递增，在上单调递减. （2）（i）已知 ，定义域 ， 当 时， 单调递减，又因为，所以 单调递增， 而 也单调递增，故在 上单调递增，无极值点； 求导得 ，设 ， ， 因为，所以 在 上为增函数， 而 ， ， 故 在 上存在一个零点，且 时， ， 时， ，故在 上为减函数，在 为增函数， 而 ， ，故在 上存在唯一一个零点， 且 时， 即 ， 时， 即 ， 所以在区间 上存在唯一的极值点 . 所以在区间 存在唯一的极值点； （ii）由（i）得 ，即， 则， 令， ， 求导得， 令 ， 求导得 ， 整理得 因为 ，所以 ，即在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，在 上单调递增， 所以 ， 即 . 【解析】 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负性来讨论函数的单调性，需要对的取值范围进行分类讨论； （2）（i）先求出的表达式，再对求导，根据导数的性质判断在区间 上的单调性，进而证明存在唯一的极值点； （ii）根据（i）中得到的极值点的性质，对 进行化简，然后通过构造函数并利用导数研究函数单调性来证明 . 【小问1详解】 已知函数 ，其定义域为 ， 求导得， 当时，在 上恒成立，所以在 上单调递增. 当时令 ，解得 ， 当时，，单调递增； 当 时，，单调递减； 当 时， 在 上恒成立，即在 上恒成立， 所以在 上单调递增. 综上，当 时，在 上单调递增； 当时，在 上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 19. 设抛物线的焦点为，过的直线与交于两点（点在轴上方），点，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为． （1）若的倾斜角为，求； （2）探究直线是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由； （3）若线段的中点分别为 ，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，结合抛物线关系化简出直线的方程，由于直线过，代入得，由的倾斜角得出斜率关系，得，结合抛物线定义求弦长； （2）结合（1），设，得出，，，得出直线所过定点； （3）结合（1）（2），令，设与轴交于，逐步表示出点的坐标，利用得出的表达式，换元求范围即可. 【小问1详解】 设， 当不与轴垂直时，直线的两点式方程为， 代入整理得， 当与轴垂直时也符合， 故直线的方程为. 由于直线过，代入得 ， 若的倾斜角为，则，则，， 则. 【小问2详解】 设，由（1）同理可得直线的方程为， 由于直线过点，代入得， 设，则直线的方程为， 由于直线过，代入得， 则， 直线的方程为， 即，过定点. 【小问3详解】 由（1）（2），令，则，，， 则，， ，， 设与轴交于， 直线的两点式方程为， 代入得， 则， 设，则， 则， 由于，则单调递增， 则， 的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $