6.3.2 角的比较与运算-导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦角的比较、运算及角平分线，通过类比线段长短比较方法引入角的比较，构建“目测—度量—叠合”的探究脉络，形成从已知到未知的学习支架，帮助学生建立知识联系。 以问题探究为主线，结合三角尺拼角、角度四则运算步骤分解等实例，搭配网格、时钟等情境化变式训练，培养直观想象、数学运算与逻辑推理素养，达标检测覆盖不同难度，助力学生自主学习与教师教学评估。

姓名: 学科: 日期: 6.3.2 角的比较与运算 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：3课时 日期：2026年9月15日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.类比线段的长短比较，经历问题探究，理解与掌握角的大小比较方法，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握角的和与差的概念，并能熟练计算与角度有关的四则运算问题.（数学抽象、数学运算、直观想象•重难点） 3.经历问题探究，认识与理解角平分线的概念及其数学表述，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象、数学抽象、逻辑推理•重难点） 【学习过程】 1、 角的比较 （1） 问题探究 我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较下图中两个角的大小呢？ 探究：类比线段的长短比较，有如下3种方法比较两个角的大小. （1）方法一（目测法）： 通过目测观察可估计 【注】目测有时不一定准确. （2）方法二：度量法(从“数”的角度进行比较) 用量角器分别量出两个角的度数.如下图所示： 通过度量可知， ∵ ∴ （等式基本事实） （3）方法三：叠合法(从“形”的角度进行比较) 将 的顶点 重合，把它们一条边叠合在一起，如下图所示. 由图可知， ∵ 在的内部，由叠合法可知 ∴ . （二）思考 想一想，什么情况下线段小于 ，等于 呢？ 探究： （1） 如下图所示，顶点 重合，一条边叠合在一起， 由图可知， ∵ 在的外部，由叠合法可知 ∴ . （2） 如下图所示，顶点 重合，一条边叠合在一起， 由图可知， ∵重合，由叠合法可知 ∴ . （三）角的大小比较 像上面问题探究这样， 与线段长短的比较类似，可以用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小（度量法）；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小（叠合法）.如下图所示. （4） 实例运用 例1．如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角的比较 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． （5） 变式训练 【变式】小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么_______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角的比较 【分析】本题考查角的大小比较，解题的关键是添加适当的辅助线．取格点E，使，作射线，则，然后比较和的大小，根据等量代换，即可作答． 【详解】解：如图，取格点E，使，作射线， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 2、 角的运算 （1） 角的和与差 类比线段的和与差，在图6.3-7中， （1） 是与的和，记作 （2） 是与的差，记作 类似地， （2） 问题探究：三角尺能组成的角度 借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 探究：利用一副三角尺，结合角的和、差运算，可以画出的角度有 综上所述，可以组成的角度按从小到大排列有15°，75°，105°，120°，135°，150°. （3） 角度的四则混合运算 1. 角度的加法运算 （1）度与度、分与分、秒与秒分别相加； （2）秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 例如，计算58°28′27″+ 47°42′35″. 解：原式=105°70′62″ =105°71′2″ =106°11′2″ 2. 角度的减法运算 （1）度与度、分与分、秒与秒分别相减； （2）从低位算起，秒相减不够向分借1作60，分相减不够向度借1作60. 例如，计算131°- 51°32′15″. 解：原式=130°59′60″- 51°32′15″ =79°27′45″ 3. 角度的乘法运算 （1）先度、分、秒分别与乘数相乘； （2）再把度、分、秒所得积相加，秒逢60向分进1，分逢60向度进1. 例如，计算18°42′35″×3. 解：原式=18°×3 + 42′×3 + 35″×3 =54°126′105″ =54°127′45″ =56°7′45″ 4. 角度的除法运算 （1）先除度数；度数的余数×60，转化成分，和原有分相加； （2）再除分数；分数的余数×60，转化成秒，和原有秒相加； （3）最后除秒.（秒还可以继续保留小数） 例如，计算56°7′45″÷3 解： ①先除度：56°÷3=18°……2° 余数2°=120′，加到原有分：120′+7′=127′ ②再除分：127′÷3=42′……1′ 余数1′=60″，加到原有秒：60″+ 45″=105″ ③再除秒：105″÷3=35″ ∴56°7′45″÷3=18°42′35″ （4） 实例运用 例2如图6.3-9，是直线上一点，，求的度数. 分析：是直线，是平角，与的和是. 解：∵是直线上一点 ∴平角的定义） 又∵， ∴ 答：的度数为. 例3．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 例4． （1）_____________； （2）_____________； （3）_____________； （4）_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． （5） 变式训练 【变式1】利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】先明确一副三角板的所有角度，能画出的角都是这些角度的和或差，因此可画出的角均为的整数倍，据此判断各选项即可． 【详解】解：一副三角板包含的角度为，能画出的角都是上述角度的和或差， ∴可画出的角一定是的整数倍，对选项逐一判断： A. ，可以画出； B. ，可以画出； C. 不是的整数倍，不能画出； D. ，可以画出． 【变式2】计算下列各题： （1）________，________°__________′； （2）__________________′； （3）__________________′； （4）__________________′． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【详解】解：（1），； （2）； （3）； （4）． 3、 角平分线 （1） 角平分线的概念 我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段. 类似地，在图6.3-10中，如果，那么射线把分成两个相等的角.这时有 像上面这样， 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 用数学语言阐述为： ∵射线是的平分线 ∴ （角平分线的定义） （二）角三等分线的概念 一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成三个相等的角的射线，叫作这个角的三等分线. 如下图所示， 用数学语言阐述为： ∵射线是的三等分线 ∴ （三）实例运用 例5把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分. 解：由题意可得 360°÷7= 51°+3°÷7 = 51°+180′÷7 = 51°+180′：7 ≈51°26′. 答：每份是约51°26′的角. 例6 如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】由角平分线的定义得到，于是得到． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． （4） 变式训练 【变式1】射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4、 达标检测 1．如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.9 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 2．如图所示，已知，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题 【分析】先求出的度数，再进行角度求和运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 3．如图，已知，，是的平分线，，则（     ） A．射线的方向为北偏东 B．射线的方向为北偏东 C．射线的方向为南偏西 D．射线的方向为南偏西 【答案】D 【难度】0.66 【知识点】与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据角之间的关系分别求出和的度数，即可求出射线和射线的方位角，根据求出的方位角判断正误即可． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， 射线的方向为北偏东， 故A、B选项错误； ， ， ， ， ， ， 射线的方向为南偏西， 故C选项错误，D选项正确． 4．如图，上午8：30，时针与分针的夹角是（　　） A．75° B．65° C．55° D．45° 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】角度的四则运算、钟面角 【分析】求出时时针和分针的位置，计算夹角即可． 【详解】解：分针每分钟转过 ， ∴从8点到8点30分分针转过， 时，分针指向数字6， 钟面被分成12个大格，每格为 ， 时针每小时走1个大格， ∴时针每分钟转动 ， 从8点到8点30分时针转过了， 时，时针位于数字8和9的正中间， 此时时针与分针的夹角为 ． 故选A． 5．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】与方向角有关的计算题、角平分线的有关计算、方向角的表示、几何图形中角度计算问题 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 6．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 7．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 8．如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． ∵， ∴． 9．射线是的五等分线，，则相邻两个等分射线所成角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角等分线的有关计算． 将进行五等分，即可得相邻两个等分射线所成角的度数． 【详解】解：∵射线是的五等分线，， ∴相邻两个等分射线所成角的度数为． 故选：A． 10．如图，若，，则的度数为________． 【答案】 / 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据平角的定义，进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 11．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 12．计算：＝_______（结果用度、分、秒表示） 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，先将括号内的被减数化为含度分秒的形式，计算括号内的减法，再将结果除以2，即可得到用度分秒表示的结果. 【详解】解： 13．如图，是直线上一点，为射线，若平分，平分，则的度数为____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据角的平分线，平角的定义求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． 14．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 15．如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【难度】0.73 【知识点】三角板中角度计算问题、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 16．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】角度的四则运算、角的单位与角度制 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 17．如图，O为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数． (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由如下 ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴平分． 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算 【分析】（1）利用角平分线的定义可得 ，从而求出的度数； （2）运用角的和差关系求得，从而得到平分． 【详解】（1）∵，平分 ∴ ∴； （2）略 18．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 19．如图， ，平分，求的度数． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．如图，已知O为直线上一点，，，且平分，．求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】先求出，根据，求出，根据平角，求出，因为平分，求出，根据，即可求出． 【详解】解： ，， ， 又， ， ， ， 平分， ， ， ． 21．从点引三条射线，，，若，我们称射线是的完美倍分线，若，我们称射线是的完美倍分线．    (1)如图1，射线是的平分线，则射线_____或的完美倍分线（填“是”或“不是”） (2)如图2，在内部，且射线是的完美倍分线，若，求的度数． (3)如图3，，射线从位置开始，绕点按顺时针以每秒的速度旋转，射线从位置开始，绕点按逆时针以每秒的速度旋转，当到达时，，两射线同时停止运动，设运动时间为秒． ①当时，在内部，且射线是的完美倍分线，则的度数为定值，请求出该定值； ②若射线是的完美倍分线时，求的值． 【答案】(1)不是 (2) (3)①，②或24 【难度】0.35 【知识点】角平分线的有关计算、几何问题(一元一次方程的应用)、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，一元一次方程的实际应用： （1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义，得到，再利用角度的和差关系求出的度数即可； （3）①根据新定义结合角的和差关系推出，再根据，进行求解即可； ②根据新定义，分两种情况，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∴射线不是或的完美倍分线； 故答案为：不是； （2）解：∵射线是的完美倍分线，， ∴， ∴； （3）解：①由题意，得：， 当重合时，，， ∴当时，在的上方， ∴， ∵在内部，且射线是的完美倍分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②点的运动时间为：秒； 当时，，则：， 解得：； 当时，，则：， 解得：； 综上：的值为或24． 22．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【难度】0.4 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ② 略 【点睛】平面内共顶点的角，若，则． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 6.3.2角的比较与运算导学案（学生版） (制作：许鸥 课时：3课时 日期：2026年9月15日 地区：云南省昆明市) 【学习目标】 1.类比线段的长短比较，经历问题探究，理解与掌握角的大小比较方法，并能运用其解决相关 的实际问题.（直观想象·重点) 2.经历问题探究，理解与掌握角的和与差的概念，并能熟练计算与角度有关的四则运算问题. (数学抽象、数学运算、直观想象·重难点) 3.经历问题探究，认识与理解角平分线的概念及其数学表述，并能运用其解决相关的实际问题. (直观想象、数学抽象、逻辑推理·重难点) 【学习过程】 一、角的比较 (一)问题探究 我们已经知道了比较两条线段长短的方法，怎样比较下图中两个角的大小呢？ B B' 0 探究：类比线段的长短比较，有如下3种方法比较两个角的大小. (1)方法一（目测法)： 通过目测观察可估计 【注】目测有时不一定 1 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (2)方法二：度量法（从“数”的角度进行比较） 用量角器分别量出两个角的度数.如下图所示： B B 0 A A 通过度量可知， ∠AOB= ,∠A'O'B'= (等式基本事实) (3)方法三：叠合法（从“形”的角度进行比较） 将∠AOB与∠A'O'B'的顶点O与O'重合，把它们一条边OA与O'A'叠合在一起，如下图 所示. B B O A 由图可知（学生自主完成叠合过程）， .O'B'在∠AOB的 由叠合法可知 2 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (二)思考 想一想，什么情况下线段∠AOB小于∠A'O'B',∠AOB等于∠A'O'B'呢？ 探究： (1)如下图所示，顶点O与O'重合，一条边0A与0'A'叠合在一起， B' 0 A (0) (A) 由图可知， .O'B'在∠AOB的 由叠合法可知 (2)如下图所示，顶点O与O'重合，一条边OA与O'A'叠合在一起， B(B 0(0) A(A) 由图可知， .O'B'与OB 由叠合法可知 (三)角的大小比较 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 像上面问题探究这样， 与线段长短的比较类似，可以用 量出角的度数，然后比较它们的大 小( )；也可以把它们的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的 来比较两个角的大小( ).如下图所示 B B B(B) B 0(0) A(A) 0(0) A(A) 0(0) A(A) ∠AOB<∠A'OB' ∠AOB=∠A'OB' ∠AOB>∠A'OB1 图6.3-6 (四)实例运用 例1.如图，在由相同小正方形组成的网格中有∠α和∠β，估测∠Qα与∠B的大小关系为 A.∠a<∠B B.a=∠B C.∠a>∠B D.无法估测 (五)变式训练 【变式】小正方形网格如图所示，点A、B、C、D、O均为格点，那么∠AOB ∠COD(填“> ”、“<”或“=”) 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 B D 二、角的运算 (一)角的和与差 C B 0 y 图6.3-7 类比线段的和与差，在图6.3-7中， (1)∠AOC是∠AOB与∠BOC的 记作 ∠AOC= (2)∠AOB是∠AOC与∠BOC的 记作 ∠AOB= 6 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 类似地， ∠AOC-∠AOB= (二)问题探究：三角尺能组成的角度 借助一副三角尺的角，结合角的和、差运算，可以画出哪些度数的角？ 30 90° 90° 60° 45 探究：利用一副三角尺，结合角的和、差运算，可以画出的角度 6 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 A或 综上所述，可以组成的角度按从小到大排列有 (三)角度的四则混合运算 1.角度的加法运算 (1)度与度、分与分、秒与秒分别 (2)秒逢 向 进1，分逢 向 进1. 例如，计算58°28′27"+47°42′35” 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 2.角度的减法运算 (1)度与度、分与分、秒与秒分别 (2)从低位算起，秒相减不够向借1作 分相减不够向 借1作 例如，计算131°-51°32'15”. 3.角度的乘法运算 (1)先度、分、秒分别与 相乘： (2)再把度、分、秒所得积 ,秒逢 向进1，分逢 向进1. 例如，计算18°42'35”×3. 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 4.角度的除法运算 (1)先除度数：度数的余数×60，转化成 和原有分 (2)再除分数；分数的余数×60，转化成 和原有秒 (3)最后除秒.（秒还可以继续保留小数） 例如，计算56°7′45”÷3 解： ①先除度：56°÷3= 余数 加到原有分： ②再除分： 余数 加到原有秒： ③再除秒： ∴.56°7′45"÷3= (四)实例运用 例2如图6.3-9，O是直线AB上一点，∠AOC=53°17'，求∠B0C的度数. B 图6.3-9 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 分析：AB是直线，∠AOB是 ∠BOC与∠AOC的和是 例3.一把直尺和一块三角板（含30°，60°角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别 交于A,D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E,F两点，且∠CAD=50°，那么∠BAD的大 小是( A.10° B.20° C.30 D.40° 例4. (1)32°19+165316= (2)180°-126°431"= 10 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (3)53°25'28×5= (4)41°36÷3= (五)变式训练 【变式1】利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是( A.15° B.105° C.145° D.120° 【变式2】计算下列各题： (1)23°30= °，13.6= (2)52°45-32°46= 11 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (3)18.3°+26°34= (4)12°17×4= 三、角平分线 (一)角平分线的概念 我们知道，线段的中点把线段分成两条相等的线段 B y OB是∠AOC的平分线 图6.3-10 类似地，在图6.3-10中，如果 那么射线OB把∠AOC分成 两个 的角.这时有 ㄥAOC= ,∠AOB=∠BOC= 像上面这样， 一般地，从一个角的 出发，把这个角分成两个 的角的射线，叫作 这个角的 用数学语言阐述为： 12 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 射线OB是∠AOC的 (角平分线的定义) (二)角三等分线的概念 一般地，从一个角的 出发，把这个角分成三个 的角的射线，叫作 这个角的 如下图所示， D A ∠AOB=∠BOC=∠COD=3∠AOD, OB,OC是∠AOD的三等分线 图6.3-11 用数学语言阐述为： ,射线OB,OC是∠AOD的 (三)实例运用 例5把一个周角7等分，每份是多少度的角（精确到分）？ 分析：度、分、秒是六十进制的，不能整除时要把剩余的度数化成分. 13 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 例6如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=140度，则∠AOD的度数是 ( ) A.120° B.105 C.75° D.70° (四)变式训练 【变式1】射线OA1,0A2,0A3是∠AOB的四等分线，∠AOB=100°，则∠AOA2的度数为( ) B A3 A A.25 B.50° C.75 D.100° 14 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 【变式2】如图，∠COD=50°，OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,则∠EOF的度数为 D 四、达标检测 1.如图，三角尺的直角顶点在直线1上.若∠1=48°，则22的大小为( 15 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 A.30° B.42° C.45° D.48° 2.如图所示，已知∠COD=30°，∠AOC=∠BOD=90°，则∠AOB的度数是( ) D B A.130° B.140° C.150° D.160° 3.如图，已知∠AON=15°，∠BON=40°，OA是∠BOC的平分线，OD1OB,则( ) C E东 D A.射线OC的方向为北偏东65° B.射线OC的方向为北偏东60° C.射线0D的方向为南偏西45 D.射线OD的方向为南偏西50° 16 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 4.如图，上午8：30，时针与分针的夹角是() 12 9 3 6 A.75° B.65° C.55 D.45° 5.如图射线OA,OB的方向分别为北偏东56°和南偏西76°，射线0C平分∠AOB,则射线0C的方向 为( ) 北 →东 A.北偏西24° B.北偏西28° C.北偏西29 D.北偏西38 6.如图，点0是直线AB上一点，OE⊥OC,OF平分∠AOE,若∠COF=35°，则∠AOC等于 ( A.70° B.20° C.35 D.110° 7.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=140度，则∠AOD的度数是 ( 17 姓名： 学科： 日期： 积陆步，至千里 B A A.145° B.160° C.75 D.105° 8.如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC,OM,ON,且ON始终在OM的右侧，若OM平 分∠BOC,∠BOC=112°，∠MON=70°，则∠BON的度数为( ) M A B O A.14o B.16° C.24° D.28 9.射线OM1,OM2,OM3,OM4是∠MON的五等分线，∠MON=105°，则相邻两个等分射线所成角 的度数为( MM M M -N A.21° B.42° C.63° D.84° 10.如图，若∠3=34°45，∠2=80°，则∠1的度数为 18 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 11.填空： (1)77°42+34°45=： (2)108°18-56°23= (3)180°-34°54+21°33= 12.计算：260°-155°2920"÷2= (结果用度、分、秒表示) 13.如图，O是直线AB上一点，OC为射线，若OD平分∠AOC,OE平分∠BOC,则∠DOE的度数 为 19 姓名： 学科： 日期： 积胜步，至千里 14.如图，在同一平面内，已知直角三角板一边CD在直线AB上，另外两边在直线AB上方，且 ∠DCR=60,∠B=90°.过点C作射线CP,使得∠ECF=年∠DCE,再过点C作射线CM、CN, 使得∠FCM=90°，CN平分∠DCM,则∠BCN的度数为 E D C B 20 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 15.如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起 M (1)若∠EON=130°，则∠FON= (2)求∠EON+∠MOF的度数： (3)比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由. 16.计算： (1)8516-18°47-3522-26521. (2)53°4030×2-72°5728÷2. 17.如图，0为直线AB上一点，∠AOC=60°，OD平分∠A0C,∠DOE=90°. 21 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 E (1)求出∠BOD的度数. (2)试判断OE是否平分∠BOC,并说明理由. 18.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF平分∠BOC. E B (1)若∠BOD=40°，求∠AOF的度数； (2)若∠AOC:∠AOE=1:2,求∠C0F的度数. 19.如图，∠A0C号<B0C=30,OD平分∠A0B,求∠C0D的度数。 D 22 姓名： 学科： 日期： 积胜步，至千里 20.如图，已知0为直线AB上一点，∠BOC=2∠COD,∠BOC+∠D0E=90°，且OF平分∠AOE, ∠B0C=28.求∠DOF的度数. 21.从点O引三条射线OA,OB,OC,若∠AOC=2∠BOC,我们称射线OC是OA,OB的完美倍分 线，若∠BOC=2∠AOC,我们称射线OC是OB,OA的完美倍分线. 0 -B 图1 图2 图3 (1)如图1，射线OC是∠AOB的平分线，则射线OCOA,OB或OB,OA的完美倍分线（填 “是”或“不是”) (2)如图2，OC在∠AOB内部，且射线OC是OA,OB的完美倍分线，若∠BOC=25°，求∠AOB的 度数. (3)如图3，∠AOB=120°，射线OP从OA位置开始，绕点O按顺时针以每秒4的速度旋转，射线OQ 从OB位置开始，绕点O按逆时针以每秒2°的速度旋转，当OP到达OB时，OP,OQ两射线同时停止 23 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 运动，设运动时间为t秒. ①当0<t≤20时，OC在∠POQ内部，且射线OC是OP,OQ的完美倍分线，则∠AOC的度数为定值， 请求出该定值； ②若射线OQ是OB,OP的完美倍分线时，求t的值. 22.已知∠AOB=120°，过点0作射线OC,设∠AOC=a,将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射 线OD D B B D 0 图1 图2 (1)如图1，若∠COD=60°，0°<a<60°，求∠AOD+∠B0C的度数： 24 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (2)如图2，若∠COD=60°，60°<a<120°. ①求∠BOD的度数（用含a的式子表示）； ②若OE平分∠BOC,试探究∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由. 25