６.３.3 余角和补角 学案 2025-2026学年人教版七年级数学上册

该初中数学导学案围绕余角和补角展开，核心内容包括概念理解、性质掌握及应用。通过观察三角尺引导学生发现角的数量关系，结合课前预习阅读课本与自测搭建基础，课堂从定义辨析到性质推理形成知识链，例题与练习连接概念与实际应用，构建从具体到抽象的学习支架。 资料特色在于注重数学核心素养培养，以观察三角尺培养数学眼光，性质推导环节强化推理意识与几何语言表达，练习设计分层且含实际问题如测量围墙角度，帮助学生发展抽象能力，提升运用数学思维解决几何问题的能力。

余角、补角 一、学习目标 1. 理解余角和补角的概念，会判断两个角是否互余或互补。 2.掌握同角（等角）的余角相等，同角（等角）的补角相等的性质，并能用数学语言表示和简单推理。 3.能熟练求出一个角的余角和补角。 4.能运用余角、补角的性质解决一些简单的几何问题。 二、课前预习 1. 观察思考： 观察一副三角尺，每个三角尺的三个角之间有什么数量关系？ 2. 阅读课本： 认真阅读课本第176-177页。 圈画出“互为余角”、“互为补角”的定义。 理解“同角（等角）的余角相等”、“同角（等角）的补角相等”的性质，并思考为什么。 尝试独立分析例4的解题思路。 3. 预习自测： ∠A=35°，则∠A的余角是 ______，∠A的补角是 ______。 若∠α的补角是120°，则∠α= ______。 三、课堂学习 (一) 概念形成 1. 余角和补角的定义 互余： 如果 两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，简称互余。其中一个角是另一个角的余角。 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∴ ∠1 与 ∠2 互余。 互补： 如果 两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角，简称互补。其中一个角是另一个角的补角。 几何语言： ∵ ∠α + ∠β = 180°，∴ ∠α 与 ∠β 互补。 注意： · 互余、互补是指两个角之间的数量关系，与位置无关。 · 强调“互为”，即若∠1是∠2的余角，则∠2也是∠1的余角。 2. 余角和补角的性质 思考： （课本P176） ∠1与∠2，∠3都互为余角，∠2与∠3的大小有什么关系？ 与同一个角互补的两个角的大小有什么关系？ 性质： 同角（等角）的余角相等。 同角（等角）的补角相等。 几何语言： ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠1 + ∠3 = 90° ∴ ∠2 = ∠3.( ) ∵ ∠1 + ∠2 = 90°，∠3 + ∠4 = 90°，且 ∠1 = ∠3 ∴ ∠2 = ∠4.( ) 例1 如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC。图中哪些角互为余角？ 解：∵ 点A，O，B在同一条直线上， ∴∠AOC 和 ∠BOC 互为补角。即 ∠AOC + ∠BOC = 180°。 又∵ 射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC， ∴∠COD = ∠AOC，∠COE = ∠BOC。 ∴∠COD + ∠COE = (∠AOC + ∠BOC) = × 180° = 90°。 ∴∠COD 和 ∠COE 互为余角。 同理，∠AOD 和∠BOE，∠AOD 和 ∠COE，∠COD 和 ∠BOE 也互为余角。 (教师引导学生分析思路，强调“同角的补角的平分线所成的角互余”这一模型) 例2已知一个角的补角比这个角的余角的2倍还多30o，求这个角的度数。 分析： 设这个角为x°，则它的补角是(180-x)°，余角是(90-x)°。 根据等量关系式“补角-2×余角=30o”建立方程 四、课堂练习 1. 若∠α=42°，则∠α的余角是 ______，补角是 ______。 2. 一个角的补角是25°，则这个角的度数是 ______。 3. 若∠1与∠2互余，且∠1:∠2=2:3，则∠1= ______，∠2= ______. 4. 如图，∠AOC=∠BOD=90°，下列结论中错误的是（ ） A. ∠AOB=∠COD B. ∠AOD=∠BOC C. ∠AOD与∠BOC互补 D. ∠COD与∠AOB互补 5. 已知∠α是锐角，∠1与∠2互补，∠1与∠3互余，则∠2-∠3的值等于（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 6.图中给出的各角中，哪些互为余角?哪些互为补角? 7.一个角是70°39',求它的余角和补角。 8.∠α的补角是它的3倍，∠α是多少度? 9.如图，要测量两堵围墙所形成的∠AOB的度A数，但人不能进入围墙，如何测量? 10.如图，已知∠AOD和∠BOC都是直角. (1) 试说明∠AOB与∠DOC的关系，并说明理由。 (2) 若∠DOC=32°，求∠AOC的度数。 五、课后练习 一、填空题 1. 30°角的余角是 ______，补角是 ______。 2. 若一个角的度数是x°，则它的余角是 ______°，补角是 ______°。 3. 若∠α的补角是它的3倍，则∠α= ______。 4.若∠A与∠B互余，且∠A=(3x+10)°，∠B=(x+20)°，则x= ______。 二、选择题 1. 一个锐角的补角与这个角的余角的差是（ ） A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 平角 2. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点O，则∠AOB+ ∠COD的度数为（ ） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 4. 下列说法：①锐角的补角一定是钝角；②一个角的补角一定大于这个角；③如果两个角是同一个角的余角，那么它们相等；④互余的两个角一定都是锐角。其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于点O，OF平分∠AOE，∠1=25°30'，则下列结论中不正确的是（ ） A. ∠2=45° B. ∠1=∠3 C. ∠AOD与∠1互为补角 D. ∠1的余角等于65°30' 三、解答题 1. 已知∠1的度数是∠2的度数的2/3，且∠2的补角比∠1的余角的3倍大15°。求∠1的度数。 2. 如图，已知O是直线AB上一点，∠AOC=63°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°。 (1) 求∠BOD的度数。 (2) 请说明OE是否平分∠BOC. 3. 如图，已知∠AOE=100°，∠BOF=80°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，求∠EOF的度数。 4. 【综合探究】 已知∠AOB=90°，射线OC在∠AOB的外部，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。 (1) 如图1，当射线OC在∠AOB的右侧时，求∠MON的度数。 (2) 当射线OC在∠AOB的左侧时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $