3.1函数表示方法的三种常考题型专题微练 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数三种表示方法，通过分层题型构建从概念理解到实际应用的完整训练体系，培养数学表达与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析法|单选6、多选3、填空2、解答1|以取整函数、实际问题为载体，考查解析式构建与定义域确定|从抽象函数定义到具体情境中的关系建模，体现数学思维的逻辑性| |图象法|单选5、多选3、填空2、解答2|结合实际情境图象（如行程、蓄水量），考查图象识别与解析式还原|从函数图象的直观表示到代数关系的转化，培养数学眼光的几何直观| |列表法|单选4、多选3、填空5、解答1|通过表格数据考查函数对应关系及复合函数求值|从离散数据到函数关系的抽象，强化数学语言的数据表达能力|

函数表示方法的三种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 解析法表示函数 一、单选题 1．已知，函数表示小数点后第位数字，并规定，则（    ） A．1 B．7 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数表示小数点后第位数字， 可得，则. 2．设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】计算出，；，；，，找到规律，得到答案. 【详解】，，故， 所以，， 所以，， ……， ，. 故选：A 3．通过人教版必修一教材74页的详细介绍，[x]表示不超过x的最大整数，f(x)=[x]也称为取整函数.那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据取整函数的定义，结合充分、必要条件的判断方法进行判断即可. 【详解】如果，则有 ， ，所以 是 的充分条件； 反之，如果 ，比如 ，则有， 根据定义， ，即不是必要条件， 故是 的充分不必要条件； 故选：A. 4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分余数为和两种情况分别表示出班级人数和代表人数关系式，再推理即可判断得答案. 【详解】设各班人数除以10的余数为， 当时，，，， ； 当时，，，， ， 所以所求的函数关系为. 故选：B 5．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出等腰三角形的周长的关系式，改写成关于的函数，根据三角形的三边关系求出自变量的范围 【详解】由得：， 又由， 可得， ∴， 又， ∴， 故选：B. 6．某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令班级人数的个位数字为，则（），结合题意讨论写出对应值，由取整函数的定义写出函数关系式. 【详解】设班级人数的个位数字为，令，（）， 当时，，当时，， 综上，函数关系式为. 故选：B. 二、多选题 7．已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对各选项给出的函数，逐一验证是否满足条件即可. 【详解】首先，各选项给出的函数定义域均为. 对A：，，所以成立，故A符合题意； 对B：，，所以成立，故B符合题意； 对C：，，所以成立，故C符合题意； 对D：，，所以不是恒成立，故D不合题意. 故选：ABC 8．设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据“循环函数”的概念逐项判断即可. 【详解】若，则，得为“循环函数”，故A正确； 若，则，得不是“循环函数”，故B错误； 若，则，得为“循环函数”，故C正确； 若，则，得为“循环函数”，故D正确. 故选：ACD. 9．下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】将函数依次代入验证即可. 【详解】对选项A：，正确； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确. 故选：ACD 三、填空题 10．一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为______． 【答案】 【分析】分类讨论和时的函数解析式，由此可求与之间的函数解析式. 【详解】过作于，则，则为等腰直角三角形， 当时，； 当时，， 综上所述，与之间的函数解析式为. 故答案为：. 11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为________.    【答案】, 【分析】由给定的图形，结合等腰梯形的性质求出函数解析式. 【详解】如图，过点C作AD的垂线，交AD于点E，则，    在中，，，则， 而，于是，， 所以，. 故答案为：, 四、解答题 12．一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 【答案】 【分析】求出泳池正常使用时的总水量和随时间变化排出的水量，即可求出与之间的函数解析式. 【详解】由题，泳池正常使用时总的水量为，随时间的推移排出的水量为， 又因为泳池排完所有水总共用时为， 故泳池内水面高度与时间之间的函数解析式为． 02 图象法表示函数 一、单选题 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 【答案】C 【详解】A.一次函数图象是一条完整的直线，A错误， B.二次函数图象是一条抛物线，B错误， 此图象由若干段斜率不一样的线段组成，不同时间段有不同的对应法则， 由分段函数定义可知，C正确. 2．以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由所求集合是由函数的图象上的点组成的集合可得. 【详解】因为函数的图象可以看成函数的图象上的点的集合，即集合的元素为点的坐标， 所以“函数的图象”的集合表示. 故选:D. 3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数定义及表示法逐项判断得解. 【详解】对于A，由图象法表示函数，且该图象符合函数的定义，A正确； 对于B，集合中大于2且小于等于4的数，在集合中没有元素与之对应，不符合函数定义，B错误； 对于C，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，如时，对应值有2个，C错误； 对于D，集合中存在元素，在中与之对应的元素不唯一，且的范围不对，D错误. 故选：A 4．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据图象先计算出的值，然后再计算出的值. 【详解】由图象可知，所以， 故选：D. 5．若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，可得， 又易知，可得， 即，所以. 故选：D 二、多选题 6．下列图象能够作为函数的图象的有（   ） A．   B．   C．     D．   【答案】ACD 【分析】利用函数的定义，结合图象表示法逐项判断即得. 【详解】由函数的定义知，垂直于轴的直线与函数图象最多一个公共点，选项ACD中图形可作为函数的图象， 对于B，存在垂直于轴的直线，如直线与给定图形有2个公共点，B不能作为函数的图象. 故选：ACD 7．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 【答案】BCD 【分析】根据已知图像，逐个选项判断即可. 【详解】由已知得，甲在公园休息的时间是， 所以甲同学从家出发到乙同学家走了，A错； 由图像知，甲从家到公园的时间是，B正确； 甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用时间长， 而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，D正确； 当时，设， 则，解得，C正确. 故选：BCD 8．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【分析】由丙图可知0点到3点每小时进水量为 2 ,据此可以判断A;3点到4点,水量减少了 1 ,据此可以判断B、C;4点到6点水量保持不变,据此可以判断D. 【详解】由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2 , 即 2 个进水口同时进水且不出水, 所以A正确; 从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1 , 所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水, 故 B错,C对; 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变,故D错. 故选：AC. 三、填空题 9．已知函数的图象如图所示，则______. 【答案】 【分析】根据函数的图象，先求得的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，则. 故答案为：. 10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    【答案】④ 【详解】由题意可知，对乌龟而言，从起点到终点都没有停歇，其路程不断增加； 对兔子而言，开始跑得快，所以路程增加得快，中间睡觉路程保持不变，醒来时追赶乌龟路程增加，但晚于乌龟到达终点，故符合题意的是④. 四、解答题 11．作出下列函数的图象： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数的性质作图即可（注意函数的定义域）； （2）由二次函数的性质作图即可. 【详解】（1）函数的图象是直线上所有横坐标为整数的点，如图所示: （2）由于， 故函数的图象是抛物线介于之间的部分，如图所示： 12．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 【答案】. 【详解】当时，函数的图象是一条线段， 故可设， 将点代入，解得, 故; 当时，函数的图象是一条平行于轴的线段， 即； 当时，同理可得. 综上可知，. 03 列表法表示函数 一、单选题 1．函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据表中的对应关系，求解即可得到答案． 【详解】由表格可知，时，， 所以． 故选：D． 2．用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的表格找出满足时的取值，再根据的表格求出当取这些值时的取值，最后判断选项. 【详解】观察的表格： 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 所以满足的取值为； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 当时，由表格可知； 所以的值可以是，或. 故选：C. 3．根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 【答案】A 【分析】根据表先计算出，然后可得的结果. 【详解】由表中数据可知，，所以， 故选：A. 4．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图象､表格还是其它形式.函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用表格中对应的数据依次判断计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 二、多选题 5．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 6．已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 【答案】ACD 【分析】根据表格中的数据得到函数和，然后依次判断即可. 【详解】对于A，由表格可知，，，故A正确； 对于B，函数的定义域是． 则当时，； 当时，； 当时，． 所以函数的值域为，故B错误； 对于C，当时，，，不符合题意； 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意， 综上，方程的解集为，故C正确； 对于D，，，，，，， ∴满足的值为，故D正确． 7．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据函数的定义，结合函数表格与函数图象，运用枚举法逐一判断即可. 【详解】对于A：当时，，不符合题意，故A错误； 对于B：当时，，符合题意，故B正确； 对于C：当时，，不符合题意，故C错误； 对于D：当时，，符合题意，故D正确， 故选：BD. 三、填空题 8．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时，________． （2）则________． 【答案】 1 3 【分析】根据函数和表格中的数据中的对应关系，即可求解. 【详解】根据函数和表格中的数据，可得： 由和，可得，所以； 又由，所以. 故答案为：；. 9．已知函数，分别由下表给出，则方程的解集为__________. 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 【答案】 【分析】通过，得到求解即可. 【详解】因为， 由，可得， 所以或， 所以方程的解集为， 故答案为： 10．某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为________． 【答案】 【分析】由函数的表示方法、定义域的概念即可得解. 【详解】由表格可知，所求函数的定义域为. 故答案为：. 11．已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是______. x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 【答案】 【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案. 【详解】，故，满足要求， ，故，不满足要求， ，故，满足要求， 所以满足的的集合为. 故答案为： 四、解答题 12．将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长的函数关系． 【答案】 这个函数的定义域为， ①解析法：，整理得， ②列表法： 一段铁丝长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和 ③图象法：    【分析】根据题意结合解析法、列表法和图象法分析求解. 【详解】略 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数表示方法的三种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 解析法表示函数 一、单选题 1．已知，函数表示小数点后第位数字，并规定，则（    ） A．1 B．7 C．3 D．2 2．设函数，记，，…，，则（    ） A． B． C． D． 3．通过人教版必修一教材74页的详细介绍，[x]表示不超过x的最大整数，f(x)=[x]也称为取整函数.那么“[x]＝[y]”是“|x－y|<1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于5时再增选1名代表.那么各班可推选的代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（   ） A． B． C． D． 5．已知某等腰三角形的周长是4，底边长是，腰长是，则关于的函数可表示为（    ） A． B． C． D． 6．某校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当班人数除以的余数大于时，再增选一名代表，则各班推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数，如，）可表示为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数的定义域为，且，则的解析式可以为（   ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，若，，则称为“循环函数”．下列函数中，为“循环函数”的有（    ） A． B． C． D． 9．下列函数中，满足的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．一块形状为直角梯形的农田发生病虫灾害，现计划给这块农田喷洒农药，如图所示，，，，工人从点向点移动，并沿着垂直于的方向喷洒农药，记工人距点的距离为，已喷洒农药的农田面积为，则与之间的函数解析式为______． 11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，且.已知为定值l，腰CD与直线BC的夹角为，设等腰梯形的面积为S，高为h，则S关于h的函数解析式为________.    四、解答题 12．一个游泳池的底面是一个正方形，边长为，泳池正常使用时水面高度为，现在为了清洗游泳池，需要把泳池的水全部排掉，已知水流速度是，求泳池内水面高度与时间之间的函数解析式． 02 图象法表示函数 一、单选题 1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是（　　） A．一次函数 B．二次函数 C．分段函数 D．无法确定 2．以下集合表示“函数的图象”，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，设集合，，则下列图象能表示集合到集合的函数关系的是（     ） A．   B．     C．   D．   4．如图，是函数的图象上的三点，其中，则的值为（   ）    A． 0 B． 1 C．2 D．3 5．若函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列图象能够作为函数的图象的有（   ） A．   B．   C．     D．   7．甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程与时间的关系，下列结论正确的是（    ） A．甲同学从家出发到乙同学家走了 B．甲从家到公园的时间是 C．当时，与的关系式为 D．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢 8．一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 三、填空题 9．已知函数的图象如图所示，则______. 10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉.当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点.用，分别表示乌龟和兔子所行的路程，为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是________.    四、解答题 11．作出下列函数的图象： (1)； (2). 12．根据如图所示的函数的图象，写出函数的解析式． 03 列表法表示函数 一、单选题 1．函数由下表给出，则（ ） x 1 2 3 4 2 4 3 1 A．4 B．3 C．2 D．1 2．用列表法表示函数与函数，如下表所示，若，则的值不可能为（   ） 1 2 3 4 4 3 2 1 2 1 4 3 A． B． C． D． 3．根据表中数据，可得（    ） 10 11 12 13 12 11 10 12 A．12 B．10 C．11 D．13 4．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，这个解释说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的和它对应即可，而不管这个对应的法则是公式､图象､表格还是其它形式.函数由下表给出，则的值为（    ） 1 2 3 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．已知定义域为的函数可表示为 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 6．已知函数，分别由下表给出： 则（   ） A．的值为 B．函数的值域为 C．方程的解集为 D．满足的的值是 7．已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线，若，则的值可能为（   ） 0 1 2 3 4 0 2 1 2 0 3 1    A． B．0 C．2 D．4 三、填空题 8．已知函数，分别由下表给出 x 1 2 3 2 3 1 3 2 1 （1）则当时，________． （2）则________． 9．已知函数，分别由下表给出，则方程的解集为__________. 1 2 3 1 3 1 1 2 3 3 2 1 10．某企业去年第一季度生产某种型号机器的数量y（单位：万台）与月份x的函数关系如下表所示： x（月份） 1 2 3 y（万台） 3 5 7 则该函数的定义域为________． 11．已知函数分别由右表给出：满足的x的集合是______. x 1 2 3 x 1 2 3 1 3 1 3 2 1 四、解答题 12．将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长的函数关系． 学科网（北京）股份有限公司 $