微专题01函数的概念及其表示（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数概念为起点，通过13类题型系统构建定义域、值域、解析式、分段函数的方法体系，突出概念辨析→性质应用→综合拓展的逻辑链条，培养抽象能力与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数概念及表示全题型|13题型，含多选/嵌套求值等典例|涵盖竖线检验法、换元法等12种核心方法，强调定义域优先与分类讨论|从概念判定到性质应用，形成“定义→求法→综合”的递进链条|

专题01函数的概念及其表示 题型一 函数概念及辨析 1 题型二 相同函数判定 7 题型三 求具体函数的定义域 15 题型四 求抽象函数的定义域 20 题型五 求复合型函数的值域 25 题型六 由函数值域求定义域 30 题型七 换元法（配凑法）求函数解析式 37 题型八 待定系数法求函数解析式 42 题型九 方程组法求函数解析式 48 题型十 简单函数的值域 54 题型十一 求复合型函数的值域（换元法、不等式法、判别式法） 58 题型十二 分段函数问题（求值、解方程、解不等式） 64 题型十三 根据分段函数的值域（最值）求参 72 题型一 函数概念及辨析 1.判断是否为函数的核心依据：根据函数定义，对于定义域内任意一个自变量 ，必须有唯一确定的函数值 与之对应。出现 “一个 对应多个 ” 的情况，一定不是函数。 2.图像判断法（竖线检验法）：在图像上任意作垂直于轴的直线，若直线与图像最多只有一个交点，则该图像可以表示函数；若存在直线与图像有两个及以上交点，则不是函数。 3.集合对应判断：集合为定义域，集合内每一个元素必须有对应，不能出现定义域内的无对应值；只允许多对一，不允许一对多。 4.是整体符号，不是乘，代表时的函数值。 【经典例题】 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【来源】山东省东营市2025-2026学年高三下学期第一次诊断性测试数学试题 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2．（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】山东省枣庄市滕州市2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象，对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念，故选：ABD. 3．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】河北省保定市十八校2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 4．（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】广西玉林市2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】由从集合到集合的函数关系，得集合中的每个元素，按照给定法则，在集合中有唯一元素与之对应，对于A，当时，，A不是；对于B，由，得，则对每个，有唯一，B是；对于C，当时，，C不是；对于D，由，得，则对每个，有唯一，D是.故选：BD 5．（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【来源】湘豫名校联考2025-2026学年高一上学期12月阶段性质量检测数学试题 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系．故选：BD． 6．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】安徽铜陵市2025-2026学年度第一学期期末质量抽测高一数学试题 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，，当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，，当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，，当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 7．（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 【答案】BD 【详解】选项，A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数.选项，对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数.选项，由负数没有平方根，若集合A中的元素取负整数，则集合B中没有元素与之对应，故不是集合A到集合B的函数.选项，对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数. 8．下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】四川省蓬溪中学校2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题 【详解】对于A，不等式的解集为，所以不是的函数，故A错误； 对于B，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故B错误； 对于C，当时，有两个的值与对应，不是的函数，故C错误； 对于D，对于的每一个值，都有唯一值与之对应，是的函数，故D正确. 故选：D. 【巩固练习】 1．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】B 【详解】给定自变量一个值为，根据函数的定义，它一定唯一对应一个数，所以该函数的图象与轴的交点个数为1个.故选：B 2．已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【答案】1 【详解】因为函数的定义域是，则根据函数的定义知函数的图像与直线的交点个数为1.故答案为：1. 3．下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】因为B选项中，当时，一个的值有两个的值与之对应，不符合函数的定义. 又A、C、D均符合函数的定义.故选：B 4．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象，对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象.故选：C. 5．已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】对于A，由函数的定义，选项A可以表示定义域为，值域为的函数，所以A符合题意；对于B，由函数的定义，选项B表示定义域为，值域为的函数，所以B不符合题意；对于C，选项C中存在，有两个与之对应，不符合函数的定义，所以选项C不能表示函数，所以C不符合题意；对于D，选项D中，当时，，所以选项D不能表示函数，所以D不符合题意.故选：A. 6．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【详解】A，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合；B，当时，对于，任意，都有唯一的与之相对应，所以是的函数，符合；C，当时，函数没有意义，所以不是的函数，不符合；D，令，由，得，不符合函数的定义，所以不是的函数，不符合.故选：B 7．给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【来源】山西省太原市四校2025-2026学年高一上学期10月联考数学试卷 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确；对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确；对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误；对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确.故选：C 题型二 相同函数判定 两个函数相等定义域完全相同且对应关系完全相同，与自变量、因变量字母无关,仅值域相同不能判定为同一函数，定义域不同一定不是同一函数； 【经典例题】 1．（多选）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】新疆克拉玛依市2023-2024学年高一上学期基础教育质量监测数学试题 【详解】函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，故不是同一函数，故A错误；函数的定义域为，且，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B正确；函数的定义域为，且，两函数定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故C正确；函数的定义域为， 两函数定义域不同，故不是同一函数，故D错误.故选：BC. 2．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 对于A，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以A不正确； 对于B，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以B不正确； 对于C，函数的定义域为，且对应关系相同，所以与函数是同一函数，所以C正确； 对于D，函数的定义域为，所以与函数不是同一函数，所以D不正确. 故选：C. 3．下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【来源】天津市武清区王庆坨中学2025-2026学年高一上学期第二次统练数学试题 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 4．下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】对于A，当为奇数时，，所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数；对于B，为偶数时，，所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数；对于C，与都可化为，且定义域均为，故是同一个函数；对于D，与的定义域都是，是关于的二次函数，而是关于的函数，当时为一次函数，当时为常数函数，两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 5．（多选）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】贵州省黔东南州联考2025-2026学年高一上学期12月检测数学试题 【详解】对于A，函数，其定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应关系也相同，则它们为同一个函数，故选项A正确；对于B，和的定义域都是，，则其对应关系也相同，是同一个函数，故选项B正确；对于，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项C错误；对于D，对函数，有，解得，则函数的定义域为，对函数，有，解得或，则其定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选项D错误， 故选：AB. 6．下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，函数与的定义域都是，且对应关系也相同，所以两个函数为同一函数，所以A符合题意；对于B，的定义域为，的定义为， 两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以B不符合题意；对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以两个函数不是同一函数，所以C不符合题意；对于D，由函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域和对应关系都不同，所以两个函数不是同一函数，所以D不符合题意.故选：A. 7．下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【来源】黑龙江省佳木斯市第八中学2025-2026学年高一上学期1月期末考试数学试题 【详解】（1）由函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （2）函数的定义域为，函数的定义为， 两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （3）函数的定义为，函数的定义为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数； （4）函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （5）函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以是同一函数； （6）函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以不是同一函数. 故选：A. 【巩固练习】 1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为，值域为， 对于A，，定义域为，值域为，即与函数是同一个函数，故A正确； 对于B，，值域为，值域不同，故B错误； 对于C，，定义域为，定义域不同，故C错误； 对于D，，定义域为，定义域不同，故D错误． 故选：A． 2．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【来源】新疆乌鲁木齐市第三十一中学2025-2026学年高一上学期12月第二次月考数学试题 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同，所以不是同一个函数，故A错误；对于选项B：因为的定义域为，的定义域为，两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误；对于选项C：因为与，即对应关系相同，且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确；对于选项D：因为与，即对应关系相同，且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确；故选：CD. 3．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖北省随州部分学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故A不符合；对于B，的定义域均为，又， 则两个函数的定义域相同，对应关系相同，故为同一函数，故B符合；对于C，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，不是同一函数，故C不符合；对于D，的定义域满足，解得或，即的定义域为，的定义域满足，解得，即的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一函数，故D不符合.故选：B. 4．下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域都为R，且对应法则相同，B是； 对于C，函数的值域为，函数的值域为R，C不是； 对于D，函数的定义域为R，函数的定义域为，D不是. 故选：B 5．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【来源】广西北海市2025-2026学年高一期末教学质量检测数学试题 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误；对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误；对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 6．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省肇庆市2025-2026学年高一第一学期期末综合训练题数学 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，对应法则相同，所以是同一个函数；对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：B 7．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【来源】新疆维吾尔自治区克拉玛依市2025-2026学年高一上学期基础教育质量监测数学试题 【详解】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ，即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确；对于B： 的定义域为 ，而 的定义域为 ，定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故C正确；对于D： 的定义域为 ，对应法则为 ，值域也为，而的值域为，因此，两者不是同一个函数，故D错误.故选：AC 8．（多选）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】BD 【来源】广东省普宁市华侨中学2025-2026学年高一上学期第三次月考数学试卷 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误；对于B，函数的定义域为，且，函数的定义域为，定义域相同且对应关系一致，所以是同一函数，故B正确；对于C，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误；对于D，函数的定义域为，且，函数与函数的定义域且对应关系一致，所以是同一函数，故D正确.故选：BD. 9．（多选）下列每组中的两个函数是相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AC 【来源】贵州省遵义市第一中学2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】A：因为，所以本选项两个函数是相同函数，符合题意； B：由，所以本选项两个函数不是相同函数，不符合题意； C：因为本选项两个函数定义域、值域、对应关系相同，所以本选项两个函数是相同函数，符合题意； D：由，由，或， 所以本选项两个函数不是相同函数，不符合题意，故选：AC 10．（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】宁夏银川市景博中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】对于A，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；对于B，，所以与定义域与解析式完全一致，故两个函数是同一函数；对于C，计算的定义域，得，计算的定义域，得，因此两个函数的定义域相同，又，所以两个函数的对应关系也相同，故两个函数是同一函数；对于D，因为的定义域为R，的定义域为，定义域不同，故不是同一函数.故选：BC. 题型三 求具体函数的定义域 1.分式函数中分母不等于0. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3.一次函数、二次函数的定义域为R. 4.零次幂的底数不能为0. 5.多个式子组合的函数，先提取每一部分对应的限制不等式，再将全部不等式联立成不等式组，最后求解不等式组并取解集的公共交集，即为函数定义域。 6.实际问题：除式子有意义，还要满足符合实际问题的背景约束（人数、长度等）。 【经典例题】 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南大学附属中学等校2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟三） 数学试题 【详解】由.所以函数的定义域为. 2．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 【答案】C 【来源】广东汕尾市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题 【详解】由题意知，，又恒成立， 所以函数的定义域为. 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】河南省开封市五校2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题 【详解】已知，要使函数有意义，需满足被开方数大于0， 即，综上所述，，C正确. 4．函数的定义域为______．（用区间表示） 【答案】 【来源】第二章函数与基本初等函数（综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测 【详解】依题意可知，解得且，所以的定义域为. 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可得：，所以的定义域为． 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东深圳市新安中学（集团）高中部2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】要使函数有意义，则，所以函数定义域为. 7．函数的定义域为________． 【答案】 【详解】函数有意义，则有，解得，的定义域为. 8．已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁县级重点高中协作体2025-2026学年高三下学期4月测试数学试卷 【详解】因为集合，所以，即，或．则. 9．函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题可得，由绝对值三角不等式得，当且仅当等号成立，因此，所以，即，因此函数定义域为. 【巩固练习】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷 【详解】因为，所以的取值范围是，则定义域为：. 2．函数的定义域是_____________． 【答案】 （或） 【来源】天津滨海新区2025-2026学年高二下学期期末检测数学试卷 【详解】要使函数有意义，需同时满足且， 联立约束条件可得，解得，因此该函数的定义域为. 3．函数的定义域为______． 【答案】 【来源】上海市上海中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为，故答案为： 4．函数的定义域为______. 【答案】 【来源】山东潍坊市寿光市第一中学2025-2026学年高一贯通班下学期期中质量监测数学试卷 【详解】要使有意义，则，解得且，的定义域为. 5．函数的定义域为_____________ 【答案】 【来源】北京市石景山区2025-2026学年高二年级下学期期末数学试题 【详解】函数要有意义则：，所以函数的定义域为. 6．函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 【答案】D 【来源】山西晋城市2025-2026学年高一上学期期末自测数学试题 【详解】由题意函数要有意义则：，解得，即函数的定义域为或或，故选：D． 7．函数的定义域是________ 【答案】 【来源】山东德州市陵城区第一中学2026级初高班阶段测试数学试题 【详解】要使函数有意义，需使，即， 所以，即或.故函数的定义域是. 8．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【来源】浙江省9 1联考2025-2026学年高二第二学期学考模拟数学试题 【详解】要使函数有意义，需使，解得且，所以函数的定义域为且. 9．函数的定义域为__________，求__________. 【答案】 【来源】广西河池市罗城仫佬族自治县高级中学2024-2025学年上学期期中测试卷高一数学 【详解】由题意可得，解得，即的定义域为，. 10．函数的定义域是________ 【答案】 【来源】天津市弘毅中学2025-2026学年第二学期第二次过程性诊断高二数学试卷 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件：，，解得且.因此函数的定义域为. 题型四 求抽象函数的定义域 抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. ⚠️特别提醒 1.抽象函数定义域永远指单独的范围，不是中间变量； 2.复合分式和根式组合的函数，所有限制条件必须同时满足，不能遗漏； 3.零次方底数不能为 0 是高频丢分点。 【经典例题】 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】黑龙江黑河市龙西北名校联盟2025-2026学年高二下学期第二次教学质量监测数学试卷 【详解】设，由函数的定义域为，得函数的定义域为， 即，因此，解得．所以的定义域为. 2．已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省株洲市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】函数的定义域为，在中，由，得，所以的定义域为. 故选：A 3．已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【来源】湖南省长沙市同升湖高级中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为的定义域为，则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为.故答案为：. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【来源】河南省南阳地区十校2025-2026学年高一上学期12月阶段联考数学试题 【详解】令，则，因为函数的定义域为， 所以，所以函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【来源】辽宁省凌源市实验中学2024-2025学年高一上学期第三次月考数学试卷 【详解】由题意得，得，则.故答案为：. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江省温州市浙南名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学试题 【详解】函数的定义域为，又是增函数，当时，，所以函数的定义域为，由题意知，，即，所以函数的定义域为， 故选：B. 8．函数的定义域为的定义域为___________． 【答案】 【来源】山东省青岛第十九中学2025-2026学年高一上学期期中模块检测数学试卷 【详解】因为函数的定义域为，令，，所以的定义域为，，即，所以函数的定义域为. 故答案为：. 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省新泰市第一中学2025-2026学年高一上学期第二次质量检测考试数学试题 【详解】函数的定义域为，所以函数的定义域满足， 解得，所以.所以函数的定义域为.故选：B. 10．已知的定义域为，则的定义域为_____． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，所以对于函数，有， 解得，故函数的定义域为．故答案为： 【巩固练习】 1．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则可化为.因为定义域为，即，则中的，即，解得.所以的定义域为. 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省揭阳市惠来县第一中学等校2025-2026学年高一上学期11月期中联考数学试题 【详解】因为函数的定义域为，对于函数，有或，解得或，故函数的定义域为.故选：B. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】新疆生产建设兵团第二中学等校2025-2026学年高一上学期1月期末数学试卷 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为_____． 【答案】 【来源】福建省龙岩市第二中学东山分校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷 【详解】由题意知，，则函数的定义域为．故答案为：． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 【答案】 【来源】安徽省阜阳市太和县第八中学2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为的定义域为，所以，所以则的定义域为，故对于，令解得.故的定义域为.故答案为：. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于的定义域为，故，则，因此，解得， 所以的定义域为.故选：A 7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北省沧州市四县联考2024-2025学年高一上学期第三次月考（11月）数学试题 【详解】因为函数的定义域是，所以，所以的定义域是，故对于函数，有，解得，从而函数的定义域是.故选；A. 8．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】湖南省邵阳市第二中学2025-2026学年高一上学期数学周测（10.29） 【详解】在中，，∴，∴的定义域是，故在中，解得，∴的定义域是.故选：A. 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【来源】陕西省延安市新区高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】因为的定义域为，所以对于，有，则对于，有解得，则的定义域为.故答案为： 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______，函数的定义域为______． 【答案】 【详解】因为由，得，所以的定义域为．由，得，所以函数的定义域为．故答案为：． 题型五 求复合型函数的值域 1. 复合叠加函数，拆分出根式、分式、零次幂等每一部分约束条件； 2. 全部条件联立不等式组，求公共交集，即为最终定义域； 3. 同时包含抽象 + 具体限制，两类条件同时满足，不可遗漏。 【经典例题】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】B 【来源】江西上饶市民校考试联盟2025-2026学年高一上学期阶段测试（二）数学试题 【详解】函数的定义域为，函数有意义，则有且，解得且，所以函数的定义域为且.故选：B 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】因为函数的定义域为，所以若有意义，需满足，解得. 故选：B. 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 【答案】 【来源】吉林省长春市第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】因为函数的定义域是，所以对于有，解得且，所以函数的定义域是.故答案为：. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的定义域为，函数有意义，得，解得，所以所求定义域为.故选：D 5．已知的定义域为，函数的定义域为______． 【答案】 【来源】云南省玉溪市红塔区玉溪师范学院附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】要使函数有意义，须有：，解得且.函数的定义域为.故答案为：. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【来源】四川省南充高级中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】要使函数有意义，则，解得或.所以函数的定义域为.故答案为：. 7．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【来源】河北省博野中学2025-2026学年高一（清北实验班）下学期5月阶段检测数学试题 【详解】在中，，则，所以函数中， 解得. 8．已知函数，则______；的定义域是______. 【答案】 【来源】新疆墨玉县2025-2026学年高一上学期期末数学试题 【详解】因为，所以，所以；因为的定义域为，且，所以，解得所以函数的定义域是. 故答案为：；. 9．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】专题1 函数的概念【讲】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】由.所以函数的定义域为.故选：C 10．若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】福建省福州市某校2025-2026学年高一10月月考数学试题 【详解】因为函数的定义域为，则对于函数，由，解得，所以函数的定义域是．故选：C 【巩固练习】 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】新疆乌鲁木齐市第一中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】函数的定义域是，则在函数中，，解得且， 所以所求定义域为.故选：C 2．已知的定义域为，则的定义域为_________. 【答案】 【来源】福建省宁德市柘荣县第一中学2025-2026学年高三上学期月考（一）数学试题 【详解】由题意得：. 所以所求函数的定义域为：.故答案为： 3．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省郑州市第一中学2025~2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】由题意得，可得，解得，所以的定义域为，解得，则函数的定义域为，解得，所以函数的定义域为.故选：A. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河北省邢台市质检联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】因为函数的定义域为，所以，所以的定义域为， 故函数中的需满足得，故函数的定义域为．故选：A. 5．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷 【详解】因为函数的定义域为，则，所以的定义域是， 所以函数中，解得，故选：B． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】广东省佛山市顺德区国华纪念中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】由函数的定义域为，得当时，， 因此在函数中，由函数有意义，得， 解得，所以的定义域为.故选：D 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【来源】安徽省2025-2026学年高一上学期期中考试数学模拟试题（二） 【详解】因为的定义域为，则，即，所以的定义域为， 又，所以函数的定义域为.故答案为： 8．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】浙江省“南太湖”联盟2025-2026学年高一上学期10月联考数学试题 【详解】由函数的定义域是及有意义，得，解得，且，所以函数的定义域为.故选：C 9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】重庆市育才中学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】因定义域为：，则的定义域满足：，解得：，即定义域为：.故选：D 10．已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题 【详解】因为的定义域为 ，所以的定义域为，因为，所以的定义域为.故选：C 题型六 由函数值域求定义域 1. 将值域条件转化不等式，反解出自变量x的范围； 2. 注意：同一个值域，定义域不唯一； 3. 同族函数解题：解析式、值域相同，定义域不同；先求出每个函数值对应的全部x，每组至少选一个，用组合计数求同族函数个数； 4. 二次函数优先结合图像，利用对称性分析，判断定义域的可行区 【经典例题】 1．已知函数的值域为，则函数的定义域为_____. 【答案】 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 2．已知函数的值域为，则其定义域是________． 【答案】 【来源】上海市嘉定区2019-2020学年高一上学期期末数学试题 【详解】∵，且的值域为，∴，解得，∴函数的定义域为.故答案为：. 3．函数的值域为，则集合___________． 【答案】 【详解】令，解得，令，解得，则集合.故答案为： 4．若函数的值域为，则其定义域为_________． 【答案】 【详解】因为函数的值域为，所以，化简得：， 当时，即当时，不等式成立； 当时，即当时，由， 综上所述：函数的定义域为：.故答案为： 5．已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 【答案】（答案不唯一） 【来源】河南省开封市2023-2024学年高一上学期1月期末调研数学试卷 【详解】令，解得或，则的定义域可以是， 故答案为：（答案不唯一）. 6．（多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】广东省深圳市人大附中深圳学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】先作出函数在R上的图象，如图所示：   结合函数图象可知当函数值域为时，选项A、D正确.故选：AD. 7．已知函数的值域为，则它的定义域可以是________．（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【来源】山东省临沂市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】，取，则；取，则；故定义域可以为：或或.故答案为：. 8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 【答案】 【来源】江苏省连云港市海州区板浦高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】由，可得；由，可得；由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个，至少含、中的一个，至少含、中的一个，而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种，同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为，因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个.故答案为：. 9．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 【答案】D 【来源】山西省怀仁市第一中学2021-2022学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】画出的图象如图所示： 由图可知：，，根据选项可知：当的定义域为，值域为时，的可能值为，，，所以D错误.故选：D. 10．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【来源】江西省景德镇市2021-2022学年高一上学期期中数学试题 【详解】，当时，若，即，解得或； 当时，若，即，解得或，此时.所以，，作出函数的图象如下图所示： 因为函数在区间上的值域为，则当时，区间的长度取最小值； 当时，区间的长度取最大值.所以，区间的长度的取值范围是.故选：BC. 【巩固练习】 1．已知函数的值域为，则函数的定义域为______. 【答案】/ 【来源】人教B版（2019） 必修第一册 学习帮手 第三章 3.1.1 函数及其表示方法（第一课时） 【详解】由函数的值域为，可得，解得， 所以函数的定义域为.故答案为：. 2．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】福建省厦门外国语学校石狮分校、泉港区第一中学两校2023届高三上学期第四次联考数学试题 【详解】由函数的值域是，所以当时，， 当时， 即，解得，所以函数的定义域为：，故选：D 3．已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________. 【答案】. 【来源】云南省云南省昭通第一中学2019-2020学年高一9月月考数学试题 【详解】，由得，即，解得，所以的定义域是.故答案为：. 4．（多选）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【来源】广东省广州市协和中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，故，B正确； C选项，当时，，故，C正确； D选项，当时，，故，D正确. 故选：BCD 5．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】湖南省郴州市桂阳县甘甜中学2022-2023学年高一上学期月考（一）数学试题 【详解】令，解得，令，解得或-2， 可作出函数图象如图： 设定义域为，所以或，故AD正确，BC错.故选：AD. 6．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，解得，令，解得，由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能；而，的定义域不可能是，A不可能.故选：A 7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 【答案】C 【来源】云南省红河哈尼族彝族自治州第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷 【详解】值域为{1,4}，∴其定义域由1，－1，2，－2组成，∴有{1,2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，－2}，{1，－1，2}，{1,2，－2}，{－1，2，－2}，{1，－1，2，－2}，共有9种情况.故选：C． 8．我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【来源】河北省石家庄十七中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题 【详解】根据题意，令，解得，令，解得，故解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”定义域为或，因此只有2个.故选：B. 9．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高一上学期期中数学试题 【详解】解：画出的图象如图所示：由图可知：，，根据选项可知：当的定义域为，值域为时，的可能值为，，.故选：ABC. 10．设，表示不超过的最大整数.如，，.若存在实数，使得，，...，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】河北省张家口市第一中学（实验班）2019-2020学年高二下学期期中数学试题 【详解】因为，故可得；① 因为，故可得；② 因为，故可得；③ 因为，故可得；④ 若要使得上述结果都成立，则， 又因为 则在中最大的值为：， 在中最小的值为：， 显然当时，存在满足题意； 而当时，要满足题意，除了要满足上述①②③④成立外， 还得满足，也即；⑤ 而由④可得，即； ⑥ 结合③和⑥可得，⑦ 显然没有同时满足⑤和⑦.故当时，不存在实数满足题意. 故满足题意的正整数的最大值是.故选：B. 题型七 换元法（配凑法）求函数解析式 1. 使用场景：已知，求 2. 换元法：令，反解出x用t表达，代入原式，得到；必须标注新元t取值范围，最后改写为。 3. 配凑法：把的表达式整理、配凑成以为整体的式子，直接写出，同样注意定义域。 【经典例题】 1．已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 【答案】C 【来源】江西省上饶市2026届高三一模数学试题 【详解】因为，令，解得，所以． 故选：C. 2．若函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】陕西省西安市2025-2026学年高一第一学期期末考试数学试题 【详解】令，则，则有，故.故选：B. 3．已知 ，则函数的解析式为_________. 【答案】， 【来源】黑龙江佳木斯市第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题 【详解】设，那么，则，所以，. 4．已知函数，则__________. 【答案】 【来源】天津市蓟州区杨家楼中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（12月）数学试题 【详解】令，则，，所以，.所以函数解析式为：.故答案为：. 5．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，而，则，可得， 故.故选：B. 6．已知函数，则的解析式为______. 【答案】. 【来源】陕西省榆林中学2025-2026学年高一上学期第二次月考数学试题 【详解】因为函数，且，所以. 故答案为：. 7．已知，则的解析式是__________. 【答案】， 【详解】因为，则，当时，，当且仅当时等号成立，当时，，当且仅当时等号成立，所以，.故答案为：，. 8．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 【答案】C 【来源】湖南省永州市跨世纪天成高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】因为函数满足， 即， 令，则，故.故选：C. 9．已知函数，则函数的解析式是___________． 【答案】， 【详解】，且，所以，． 故答案为：，． 10．已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，且， 所以．故选：B． 【巩固练习】 1．若函数，则__________. 【答案】3 【来源】山东省济宁市2025-2026学年高一上学期模拟选科走班调考数学试题 【详解】.故答案为： 2．已知，则______． 【答案】 【详解】令，得，且由题意知，则故， ∴．故答案为： 3．已知函数满足，则__________. 【答案】 【来源】贵州省安顺市教研共同体2025-2026学年高一上学期第一次质量监测数学试题 【详解】采用换元法，令，则,所以，故.故答案为： 4．已知，则______． 【答案】 【来源】广西南宁市“4 N”联盟学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】令，则，则，∴． 故答案为：. 5．已知，则函数的解析式为______，______． 【答案】 8 【来源】北京市第一七一中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】令则,故，故， 进而，故答案为：；8. 6．若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，所以. 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建省三明市永安九中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷 【详解】由题意知，即，令，因为，故， 则可得，故，故选：A 8．若，则（    ） A． B． C． D．11 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，则. 故选：A 9．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【来源】重庆市开州中学2025-2026学年高一上学期第六次周测数学试题 【详解】，且，所以，故选：B 10．（多选）存在函数满足：对任意都有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【来源】浙江省宁波市镇海中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】对于A选项，令，则，所以任意，都有唯一，使得都有唯一值，故合乎要求；对于B选项，令，则，；所以对任意，都有唯一，使得有唯一值，故合乎要求；对于C选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾，不合乎题意；对于D选项，令，则，对任意，都有唯一，使得有唯一值，合乎题意.故选：ABD 题型八 待定系数法求函数解析式 1. 使用场景：已知函数类型（一次、二次函数） 2. 根据函数类型，设带参数的通用解析式； 3. 将题目已知条件代入表达式，列方程（组）； 4. 解方程组求出系数，回代写出解析式。 【经典例题】 1．已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 【答案】 【详解】由题意可设，所以，解之得，即.故答案为：. 2．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 【答案】 【详解】设，根据题意得，解得，所以 ．故答案为：． 3．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由为一次函数，设，依题意，，整理得，因此，解得，所以．故选：A 4．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则，即为，所以. 故选：C. 5．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【来源】广西壮族自治区桂林市阶段性联考2025-2026学年高一上学期12月教学质量检测数学试题 【详解】设，则， 因为，所以，解得或，所以或. 故选：AC 6．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意可设，由可得， 因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C错误，D错误.故选：A. 7．已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设， 则， 因为，即，则，解得，所以.故选：C. 8．已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【来源】浙江省嘉兴市元济高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】设，则，整理得，所以，解，所以，所以. 故选：A 9．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】福建省福州青鸟北附高级中学2024-2025学年高一上学期适应性诊断（期中）数学试题 【详解】设（），由，则，由，则，整理可得，则，解得， 所以.故选：B. 10．设是二次函数，且，则_____. 【答案】 【详解】由，可得： 代入，所以.故答案为： 【巩固练习】 1．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，由题设有，解得，所以． 故选：B． 2．已知一次函数满足，则______. 【答案】 【来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以.故答案为：. 3．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 【答案】D 【来源】四川省泸州高级中学校2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】由一次增函数，可设，则， 所以，解得或（舍去），当时，，此时，， 故选：D 4．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】依题意可设，由可得， 因此可得，解得或；又因为，所以，即，即A正确，B错误；又可得，令，所以，因此，所以，可得C正确，D错误.故选：AC 5．已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 【答案】 【来源】广东省惠州市东江高级中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题 【详解】设，因为 ，所以，解得， 所以.故答案为： 6．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 【答案】 【详解】由已知设，因为，所以， 因为， ，所以，解得，所以. 故答案为：. 7．已知是二次函数，且，，则______． 【答案】 【来源】福建省三明市第二中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题（B）卷 【详解】设，因为，可得， 又因为，可得， 即，所以, 解得，所以．故答案为：. 8．已知是二次函数，且，，则________． 【答案】 【详解】因为，是二次函数，所以设，又因为， 所以，所以，解得. 故答案为：. 9．已知为二次函数且，，则________． 【答案】 【详解】设，，，．又， .故答案为： 10．已知二次函数，满足，.则______. 【答案】 【来源】河南省郑州市中牟县第一高级中学2023-2024学年高一上学期第三次考试数学试题 【详解】因为，所以，而， 又因为，所以，解得，因此的解析式为. 故答案为：. 题型九 方程组法求函数解析式 1. 使用场景：等式同时出现与或者 2. 将原式中的x替换成或者，构造第二个方程； 3. 将两个等式看成关于（或的二元方程组； 4. 消元，解方程组求出； 5. 同步确定函数定义域。 【经典例题】 1．已知函数对任意的都有，则________． 【答案】 【详解】∵，① ∴，② 由得解得：．故答案为：． 2．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，以替代，可得， 联立，消去，得. 故选：A. 3．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山东省聊城市2025-2026学年高一上学期11月期中教学质量检测数学试题 【详解】由，代替,得，， 令，得，解得.故选：B. 4．已知函数满足，则函数的解析式为_______ 【答案】 【来源】河北安平中学2025-2026学年第二学期学期假期作业测试高一数学试卷 【详解】因为函数满足，所以，解得. 故答案为： 5．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【来源】专题2 函数的表示法【讲】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】因为，① 令，可得.② ①②得，所以.所以.故选：B. 6．设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷 【详解】由可得：， 两式联立可得：，所以，，因为， 所以，所以的值域为，故选：A 7．已知函数满足，则__________． 【答案】 【来源】广东省佛山市南海区石门中学2025-2026学年高一上学期第三次教学质量检测数学试题 【详解】，，解方程组得． 故答案为：． 8．已知函数满足，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以，即，解得.故答案为： 9．已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且.故选：B. 10．函数 _____ _____ 【答案】 【详解】由于①，则，整理得②， 则，整理得③，得， 设，则，则④，则，即⑤，得，则，即.，，有意义可得，则定义域为. 故答案为：；. 【巩固练习】 1．已知函数满足，则______． 【答案】 【来源】湖南株洲市醴陵市第一中学2026届高三下学期一模检测数学试题 【详解】由①，得②． ②①得，得．故答案为： 2．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【来源】甘肃省部分学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题 【详解】以代x，由①，得②， 则①②，得，则．故选：A 3．已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【来源】江苏省无锡市经开区太湖高级中学2025-2026学年 高一上学期期中检测试卷数学试题 【详解】已知对，令得：；令得：. 由，解得：，即.故选：C 4．已知函数满足，则的解析式为_______________． 【答案】. 【来源】江苏省无锡市惠山区锡山高级中学锡西分校2025-2026学年高一上学期10月阶段测试数学试题 【详解】因为，所以，所以，则的解析式为.故答案为：. 5．若函数满足，则_____. 【答案】 【来源】辽宁省朝阳市建平县高级中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷 【详解】由，得，则，所以. 故答案为： 6．已知函数满足，则___________． 【答案】 【来源】重庆市清华中学校2025-2026学年高一上学期12月选科考试数学试题 【详解】用替换得：，，，可得，解得，．故答案为：． 7．若函数满足，则___________． 【答案】 【来源】贵州省六盘水市纽绅中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题 【详解】因为，所以，用替换可得，， 联立可得，所以，故答案为：. 8．已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 【答案】C 【来源】安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】令得，令得，联立解得.故选：C. 9．已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 【答案】 【详解】用代替，得，与联立得，. 故答案为： 10．若，满足，且，则_______． 【答案】8 【来源】山西阳泉市2025-2026学年度第二学期期末教学质量监测高二数学试题 【详解】由，得，联立上述两式解得，，即，而，则，即，所以. 题型十 简单函数的值域 1. 观察法：根据解析式、定义域，直接观察函数输出范围； 2. 配方法：二次函数，配顶点式，结合给定定义域区间找最大、最小值； 3. 单调性法：判断函数增减性，代入区间端点求值域； 4. 对于离散函数，直接枚举全部函数值写值域集合. 【经典例题】 1．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，当时，，故值域为.故选：A 2．若函数的定义域为，则其值域为______． 【答案】 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，．所以值域为． 3．函数的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】北京市房山区2022-2023学年高一上学期期中学业水平调研数学试题 【详解】由可知，函数值域为3的整数倍减1的值，当时，，故C项正确，其余选项均不符合.故选：C 4．函数的值域为________________. 【答案】 【来源】四川省南充高级中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】由于在单调递减，故，故答案为： 5．函数的值域是______. 【答案】 【详解】显然，，则当时，，所以函数的值域为.故答案为： 6．函数，的值域为______． 【答案】 【来源】福建省泉州实验中学港澳中心2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】因为，则又 故函数的值域为故答案为： 7．函数的值域________． 【答案】 【来源】福建省闵师大附中（漳州市第二中学）2024-2025学年高一上学期10月月考数学试卷 【详解】函数的对称轴为，开口向下，且时，；时，；时，，则函数的最小值为0，最大值为4，所以的值域为.故答案为：. 8．函数的值域为______． 【答案】 【来源】四川省成都市成都市玉林中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【详解】由已知定义域为,由幂函数的性质可知， 值域为：.故答案为： 9．函数在的值域为_____________. 【答案】 【来源】云南省丽江润泽高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试卷 【详解】因为，则，可得，所以在的值域为. 故答案为：. 10．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【来源】贵州省黔西南州2022-2023学年高一下学期期末教学质量检测数学试题 【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以函数在上的最小值是3.故选：D 【巩固练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省常熟市2023-2024学年高一上学期期中数学试题 【详解】因为，所以函数的值域为.故选：D 2．函数，的值域为________，函数，的值域为________． 【答案】 【详解】∵，，，∴函数的值域为．∵，∴，∴函数的值域为.故答案为：，. 3．函数的值域为___________； 【答案】 【详解】因为，当且仅当时，等号成立，所以函数的值域为.故答案为：. 4．函数，的值域为______. 【答案】 【来源】北京市第十九中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为，所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，所以函数的值域为. 故答案为： 5．已知，则的值域为________． 【答案】 【来源】天津市滨海新区大港油田第三中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】由，开口向上，对称轴为，当时，，当时，，则的值域为.故答案为：. 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，故， 故函数值域为. 7．若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】河南省新乡市河南师范大学附属中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】函数的定义域为，由，可得，，即函数的值域为.故选：A. 8．若函数的定义域是，则它的值域________． 【答案】． 【来源】河北省保定容大中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【详解】∵函数是反比例函数，则时，，且，所以值域为． 故答案为：． 9．已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】山东省菏泽市2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【详解】由题意得图象的对称轴为，而，故当时，，当时，，函数的值域是，故选：C 10．函数的定义域为，则函数的值域为______． 【答案】 【来源】辽宁省铁岭市昌图县第一高级中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题 【详解】由题意可知，要有意义，则需，即， 即函数定义域为，又，对称轴方程为，所以当时，，当时，，所以函数值域为，故答案为： 题型十一 求复合型函数的值域（换元法、不等式法、判别式法） 1. 换元法：令内层，先求t的取值范围，再把原函数转化为关于t的函数，求值域； 2. 不等式法：利用基本不等式求最值，注意验证等号成立条件； 3. 判别式法：分式二次比二次，整理成关于x一元二次方程，利用求y范围，要检验二次项等于 0 的情况； 4. 口诀：由内向外，先内层求范围，再算外层值域。 【经典例题】 1．若函数的值域是，则函数的值域是________． 【答案】 【详解】，，，，即函数的值域为． 2．函数的值域为______. 【答案】 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即.所以其值域为. 3．函数的最大值为________． 【答案】 【来源】福建漳州市2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷 【详解】由，解得，的定义域为，且.由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】专题8 简单函数值域的求法【练】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】，，，， 设，则，可得， 设，则,，，，，， ，，，，的值域为.故选C. 5．函数的值域为_____. 【答案】 【详解】要使函数有意义，则，所以定义域为. .因为，所以.所以函数的值域为. 故答案为：. 6．若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，则或，当时，，当时，，综上，此函数的值域为． 7．函数的值域是_____. 【答案】 【详解】解法一：（换元法）令，则，，由图可知：，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为,①时，方程不成立；②时，由得， 解得：,,综上：.所以函数的值域为. 8．函数的值域是 . 【答案】 【详解】当时，函数， 当且仅当，即时，等号成立，即函数的值域为. 9．函数的值域为___________. 【答案】 【详解】令，则，，当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立， 所以，所以函数的值域为，故答案为： 10．函数的值域是______． 【答案】 【详解】令，则，原函数化为：，整理得即，当时显然不合题意；当时，，，即，等价于，解得，原函数的值域为. 【巩固练习】 1．函数的值域是__________. 【答案】 【来源】专题8 简单函数值域的求法【练】【题型分类归纳】2026-2027学年高一数学同步（人教A版） 【详解】令，由有意义可得，所以， 则，所以.故答案为：. 2．函数的最大值为______. 【答案】/ 【来源】上海市育才中学2025-2026学年高一上学期12月质量调研考试数学试卷 【详解】令，则，，当时，. 故答案为： 3．函数的值域为_______. 【答案】 【来源】湖南省长沙市岳麓实验中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题 【详解】易得，，， 由二次函数性质易知：当时，有最大值；当或时，有最小值. 所以，即函数值域为.故答案为：. 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校2025-2026学年高一上学期第二次考试数学试题 【详解】对于函数，则有，解得， 故函数的定义域为，因为，且， 当且仅当时，即当时，等号成立，又因为，当且仅当或时，等号成立，所以，又因为，故，故原函数的值域为.故选：C. 5．函数的值域为__________． 【答案】 【来源】云南曲靖市陆良县2025-2026学年高二下学期期末检测数学试题 【详解】令，因为函数在上单调递减，所以，且，所以函数的值域为. 6．若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】浙江省台州市2025-2026学年第一学期高一期末质量评估数学试题 【详解】函数的定义域为，则,或,当时，，当时，,综上，函数的值域为故选：D 7．函数的值域为______． 【答案】 【来源】甘肃省兰州大学附属中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】，，，，即，的值域为.故答案为：. 8．函数的最小值为________ 【答案】5 【来源】天津市第一中学滨海学校2025-2026学年高一上学期12月考数学试题 【详解】由题意得函数，因为，所以.所以，当且仅当，即时，等号成立. 所以，且当时，函数取得最小值，最小值为.故答案为：. 9．函数的值域为__________． 【答案】 【详解】, 所以该函数的值域为. 10．函数的值域为__________； 【答案】 【详解】函数，因为，所以， 所以；所以函数值域为.故答案为：. 11．已知函数，则的最大值为__________. 【答案】/ 【来源】贵州省遵义市县中联盟2025-2026学年高二上学期12月自主命题考试数学试题 【详解】由已知条件得：，所以，即，解得定义域为：， 令，则，，代入得：， 即求在上的最大值，令，其中，则代入得： ，利用三角恒等变换：，因此：， 因为：的最大值为1，当，即（此时）时取得， 因此，综上，的最大值为.故答案为：. 题型十二 分段函数问题（求值、解方程、解不等式） 1. 分段函数是一个函数，定义域为各段定义域的并集，值域为各段值域的并集。 2. 求值（嵌套求值）： 判断自变量落在哪一段，代入对应解析式；多层嵌套，由内向外逐层计算。 3. 解方程： 分段分类，每一段内解方程，检验解是否落在本段自变量区间，舍去无效解。 4. 解不等式：分段列出不等式组，分别求解，所有结果取并集。 【经典例题】 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】，，则． 2．已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】陕西榆林市神木市第四中学2025-2026学年高三下学期适应性演练数学试卷 【详解】当时，，则 当时，，则 当时，，所以，即 3．已知函数，则____________． 【答案】 【详解】由题意可得：. 4．设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【来源】浙江温州市平阳县万全综合高级中学等校2025-2026学年高一下学期第一次联考数学试题 【详解】因为，所以，因为，所以， 所以. 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 【答案】A 【来源】2026年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷 【详解】因为，所以. 6．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【来源】江苏省连云港市2025-2026学年高一数第一学期考试学试题 【详解】当时，，则;当时，，则; 综上：;故选：B 7．已知函数，若，则______. 【答案】或/或 【来源】辽宁大连市第八中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】当时，，解得，则；当时，，解得，则或；综上：或. 8．已知函数，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 【答案】D 【来源】吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷 【详解】当时，，由得，无解； 当时，，由得，解得； 当时，由得，解得，舍去． 故．所以． 故选：D 9．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】陕西商洛市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 10．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】广东广州市部分学校2025-2026学年下学期期末考试高二数学 【详解】因为函数，当且时，. 解不等式组得，；当且时，. 解不等式组得，；当且时，. 解不等式组得，；所以， ①当 时，， 若 ，即 ，则 ，不等式 恒成立，故符合题意； 若，即，则 ， 不等式化为，解得 或 ，所以符合题意，所以 符合题意； ②当 时，，此时，故， 不等式为 ，即 ，解得 ，综合可得符合题意； ③当 时，，，不等式为 ，即 ，无解． 综上所述，实数的取值范围为 ． 【巩固练习】 1．函数，则______． 【答案】3 【来源】浙江宁波市2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题 【详解】由题意可得，，所以. 2．已知函数，则__________. 【答案】1 【来源】四川省宜宾市第一中学校2024-2025学年高一上学期期中联合考试数学试题 【详解】. 3．已知分段函数，，则实数________． 【答案】或2 【来源】天津市红桥区2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷 【详解】当时，，解得； 当时，，解得（舍）或， 所以或. 4．已知，若，则______. 【答案】3 【详解】由题意可得：， 当时，可得，即，解得或（舍去）； 当时，可得，即，方程无解； 综上所述：. 5．设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 【答案】 【来源】四川省广安友谊中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题 【详解】令，则， 若，则，解得； 若，恒成立，解得； 若，则，解得. 综上，或，即或. 若，解得；，解得； 结合的函数图象可知，若，则； 若，，解得. 综上所述，.故答案为：. 6．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】辽宁省抚顺市六校协作体2025-2026学年高三上学期1月期末考试数学试题 【详解】作出函数的图象，如图， 由图可知，若，则分别在轴的负半轴与正半轴上， 所以，所以，解得.故选：A. 7．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】云南省宣威市2026年新高考自主命题冲刺金卷数学试题 【详解】当时，， 令，即，解得（舍去）或； 当时，， 令，即，解得. 综上，的x的取值范围是. 8．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题 【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故； 此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故；此时； 综上，实数的取值范围是.故实数的最小值是. 9．已知函数 ，若实数 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，当时，可得， 所以，解得.故选：C. 10．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市育英中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为，当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为，此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是，此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 题型十三 根据分段函数的值域（最值）求参 1. 画出分段函数图像，分析每一段单调性、值域； 2. 结合题目给定值域、最值条件，列出参数不等式； 3. 重点检验区间端点，端点经常为易错点； 4. 若要求函数存在最小值 / 唯一最小值点，对比各段的最值，建立不等关系，筛选参数范围。 【经典例题】 1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江苏省连云港市灌南县惠泽高级中学少年班2025-2026学年第一学期期末考试高一数学试题 【详解】因为，所以当时，即；要使函数的值域为，所以当时的值域需包含，又，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：D 2．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】北京市育英中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】作出函数的图象，如下图：    可求得两图象交点坐标分别为，当时，解得， 所以当时，由在定义域的值域是， 但是当时，由在定义域的值域就是的真子集， 而此时在定义域的值域为，此时不满足题意，故AC错误； 又当，解得或再当时，在定义域的值域为， 而在定义域的值域就是，此时满足题意，故B错误，D正确； 故选：D. 3．设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】江苏省十校联盟2024-2025学年高一上学期阶段联测数学试卷 【详解】当时，，当且仅当即时等号成立， 当时，为单调递减函数，所以， 若是的最小值，则，解得.故选：B. 4．（多选）若函数存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【来源】山东省菏泽市2023-2024学年高一上学期11月期中考试数学试题（A） 【详解】由开口向上且对称轴为， 当时，在上的值域为；当时，在上的值域为； 由在上递减，值域为；又存在最小值，故满足，或无解，所以.故选：AB 5．已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 【答案】 【来源】江苏省宝应中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题 【详解】如图，   当时，在上能取到最小值， 当时，在上能取到最小值，当时，，所以函数存在最小值时，需满足当时，，即； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为.故答案为： 6．设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 【答案】 【来源】山东省实验中学2025-2026学年高一上学期第一次诊断性考试数学试题 【详解】因为存在唯一的，使对任意都成立，所以函数有最小值且有唯一的最小值点.当时，是一次函数. （1）若，在单调递增，无最小值，且当时，，不符合题意； （2）若时，当时，，当时，单调递增，， 所以函数在定义域内有最小值为0，但最小值点不唯一，故不符合题意； （3）若时，当时，单调递减，所以.当时，， ①若时，函数在上单调递减，在单调递增，要使函数有唯一最小值点， 所以，，解得或， 所以，此时函数在处取得最小值0.如图： ②若时，函数在上单调递增，要使函数有唯一的最小值点， 所以，，解得或，所以，此时函数在处取得最小值.如图： ③若时，此时由，函数无最小值，如图： 综上所述，a的取值范围为或，即.故答案为： 7．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【来源】北京市丰台区2025-2026学年高一上学期11月期中练习数学试题 【详解】因为，作出其图象如图， 由在上的值域为，结合图象得.故答案为：. 8．已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 【答案】 【来源】江苏省南通市崇川区2023-2024学年高一上学期期中质量监测数学试题 【详解】由， 可得分段函数， 画出对应函数图象：  的值域为，且，, 所以的值能使得取得最小值；由图可知：.故答案为：. 9．（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 【答案】BD 【来源】湖北省鄂东南教育联盟2025-2026学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】，图象开口向下，对称轴为.当时，由或； 由时，由，依题意：观察函数与函数的图象，谁的图象在上方就是函数的图象（包含边界）， 如图所示：，当时，，符合题意， ，，当，符合题意， 而，故选项BD正确.故选：BD. 10．定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】当时，解得或，由题意可得当或时，，当时，，即， 作出的图象如图所示： 当时，，令，解得，令，无解， 当时，，令，解得，令，解得， 当时，，令，解得，令，解得， 由图知：当，时，的值域为，此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 因为，所以的最大值为.故答案为：. 【巩固练习】 1．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【来源】江苏省淮安市七校联盟2024-2025学年高一上学期期中调研测试数学试题 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为，由于函数的值域为，则函数在上的值域包含，所以，，解得，故选：AB. 2．若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【来源】上海市虹口区2025届高三上学期11月阶段性练习数学试题 【详解】当时，，当时，，若，则时，，则在上单调递减，在上单调递增，则，此时要满足函数的值域为，则，解得；若，则当时，；当时，，满足函数的值域为；若，则时，，则在上单调递增，则，此时要满足函数的值域为，则，解得； 综上所述，实数的取值范围是.故答案为： 3．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 【答案】A 【来源】山东省青岛第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【详解】当时，在上单调递增，此时无最小值，不合题意； 当时，，当时，，又时，， 存在最小值，满足题意； 当时，在，上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，解得：，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 若存在最小值，则，不等式无解； 综上所述：实数的取值范围为，则的最大值为.故选：A. 4．已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【来源】江苏省镇江市丹阳市2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷 【详解】由于的最小值是，所以在上单调递减，所以，此时单调递增，则，整理得，解得.综上所述，的取值范围是. 故答案为： 5．设，令，若存在实数，则的取值范围是_____. 【答案】 【来源】上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷 【详解】易知函数，的值域为，若函数的值域为，存在实数，则的值域不为，即使函数，的值域为的真子集即可；利用二次函数性质可知当或时，函数值为0，如图，   所以根据图象可知，即的取值范围为.故答案为：. 6．已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 【答案】 【来源】浙江省杭州市钱塘区杭四江东2024-2025学年高二上学期期末数学试题 【详解】当时，由，得，解得，因此；当时，由，得，解得，因此，因此等价于，依题意，，所以的最大值为.故答案为： 7．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】江西省丰城中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】当时，函数在单调递减，，，，，此时函数的值域是，不是，不符合条件，当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，,所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，所以函数的值域是，符合条件；当时，函数的范围为，的范围是，,所以函数的值域不是，不符合条件；所以.故选：D 8．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 【答案】C 【来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题 【详解】根据题意，作出的图象如下所示：   数形结合可知，要使的值域为，且取得最大值， 则只需，即可，故的最大值为.故选：C. 9．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】ABC 【来源】重庆市万州高级中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题 【详解】因为，若函数，所以，如图所示：实线部分为函数的图象，，. 在区间上的值域为，令，解得，即，，解得或（舍去），即，令，即， 令，解得，即，令，解得，即，因为，,所以的长度的最小值为，的长度最大值为.故选：ABC 10．设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】天津市河西区2024-2025学年高一上学期期中质量调查数学试卷 【详解】当时，，不符合题意.当时，.所以，由解得.故选：B 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01函数的概念及其表示 题型一 函数概念及辨析 1 题型二 相同函数判定 4 题型三 求具体函数的定义域 6 题型四 求抽象函数的定义域 8 题型五 求复合型函数的值域 10 题型六 由函数值域求定义域 12 题型七 换元法（配凑法）求函数解析式 14 题型八 待定系数法求函数解析式 15 题型九 方程组法求函数解析式 17 题型十 简单函数的值域 19 题型十一 求复合型函数的值域（换元法、不等式法、判别式法） 20 题型十二 分段函数问题（求值、解方程、解不等式） 22 题型十三 根据分段函数的值域（最值）求参 24 题型一 函数概念及辨析 1.判断是否为函数的核心依据：根据函数定义，对于定义域内任意一个自变量 ，必须有唯一确定的函数值 与之对应。出现 “一个 对应多个 ” 的情况，一定不是函数。 2.图像判断法（竖线检验法）：在图像上任意作垂直于轴的直线，若直线与图像最多只有一个交点，则该图像可以表示函数；若存在直线与图像有两个及以上交点，则不是函数。 3.集合对应判断：集合为定义域，集合内每一个元素必须有对应，不能出现定义域内的无对应值；只允许多对一，不允许一对多。 4.是整体符号，不是乘，代表时的函数值。 【经典例题】 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2．（多选）下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知集合，集合，下列表达式能建立从集合到集合的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（多选）下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 6．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）判断下列对应关系是集合A到集合B的函数（     ） A．，； B．，； C．，； D．，. 8．下列关于的关系中，是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．定义域为R的函数，其图象与轴的交点个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 2．已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 3．下列各图中，不能表示函数图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   4．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，集合，则下列图象能表示以为定义域，为值域的函数是（   ） A．   B．   C．   D．   6．下列从集合到集合的对应关系中，是的函数的是（ ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 7．给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二 相同函数判定 两个函数相等定义域完全相同且对应关系完全相同，与自变量、因变量字母无关,仅值域相同不能判定为同一函数，定义域不同一定不是同一函数； 【经典例题】 1．（多选）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．与函数是同一函数的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．（多选）下列四组函数，表示同一个函数的一组有（   ） A． B． C． D． 6．下列各组函数中，与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 7．下列说法中正确的个数为（   ） （1）与表示同一函数 （2）与表示同一函数 （3）与表示同一函数 （4）与表示同一函数 （5）与表示同一函数 （6）与表示同一函数 A．2 B．3 C．4 D．5 【巩固练习】 1．下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A． B． C． D． 4．下列表示为同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（多选）下列各组函数中，表示同一函数的有（   ） A．与 B． 与 C． 与 D． 与 9．（多选）下列每组中的两个函数是相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（多选）在下列四组函数中，与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 题型三 求具体函数的定义域 1.分式函数中分母不等于0. 2.偶次根式函数的被开方式大于或等于0. 3.一次函数、二次函数的定义域为R. 4.零次幂的底数不能为0. 5.多个式子组合的函数，先提取每一部分对应的限制不等式，再将全部不等式联立成不等式组，最后求解不等式组并取解集的公共交集，即为函数定义域。 6.实际问题：除式子有意义，还要满足符合实际问题的背景约束（人数、长度等）。 【经典例题】 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（     ） A． B． C．R D． 3．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为______．（用区间表示） 5．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 7．函数的定义域为________． 8．已知集合，全集，则（   ） A． B． C． D． 9．函数的定义域为______． 【巩固练习】 1．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域是_____________． 3．函数的定义域为______． 4．函数的定义域为______. 5．函数的定义域为_____________ 6．函数的定义域为（   ） A． B．或 C． D．或或 7．函数的定义域是________ 8．函数的定义域为（     ） A． B． C．且 D．且 9．函数的定义域为__________，求__________. 10．函数的定义域是________ 题型四 求抽象函数的定义域 抽象函数的定义域 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a,b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]上的值域. ⚠️特别提醒 1.抽象函数定义域永远指单独的范围，不是中间变量； 2.复合分式和根式组合的函数，所有限制条件必须同时满足，不能遗漏； 3.零次方底数不能为 0 是高频丢分点。 【经典例题】 1．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域是，则的定义域为______． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 6．若函数的定义域为，则函数的定义域为______. 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为的定义域为___________． 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 10．已知的定义域为，则的定义域为_____． 【巩固练习】 1．已知定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域是，则函数的定义域为_____． 5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为_________. 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 10．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______，函数的定义域为______． 题型五 求复合型函数的值域 1. 复合叠加函数，拆分出根式、分式、零次幂等每一部分约束条件； 2. 全部条件联立不等式组，求公共交集，即为最终定义域； 3. 同时包含抽象 + 具体限制，两类条件同时满足，不可遗漏。 【经典例题】 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，则函数的定义域是______. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 5．已知的定义域为，函数的定义域为______． 6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 7．若函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 8．已知函数，则______；的定义域是______. 9．已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 10．若函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若函数的定义域是，则函数的定义域是（　　） A． B． C． D． 2．已知的定义域为，则的定义域为_________. 3．若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 8．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 9．若函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为 ，则 的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型六 由函数值域求定义域 1. 将值域条件转化不等式，反解出自变量x的范围； 2. 注意：同一个值域，定义域不唯一； 3. 同族函数解题：解析式、值域相同，定义域不同；先求出每个函数值对应的全部x，每组至少选一个，用组合计数求同族函数个数； 4. 二次函数优先结合图像，利用对称性分析，判断定义域的可行区 【经典例题】 1．已知函数的值域为，则函数的定义域为_____. 2．已知函数的值域为，则其定义域是________． 3．函数的值域为，则集合___________． 4．若函数的值域为，则其定义域为_________． 5．已知函数 的值域为，则的定义域可以是______ 6．（多选）已知定义域为D的函数其值域为，则定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的值域为，则它的定义域可以是________．（写出其中一个即可） 8．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 9．已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，5]，则实数对（a，b）的不可能值为（    ） A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1） 10．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可能为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．已知函数的值域为，则函数的定义域为______. 2．若函数的值域是，则此函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的值域是，那么函数的定义域是___________. 4．（多选）已知函数的值域是，则它的定义域可能是（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 7．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（    ） A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个 8．我们规定：与函数的解析式相同，值域相同但定义域不同的函数叫的“孪生函数”，那么解析式为，值域为，定义域为的函数的“孪生函数”有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（    ） A． B． C． D． 10．设，表示不超过的最大整数.如，，.若存在实数，使得，，...，同时成立，则正整数的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型七 换元法（配凑法）求函数解析式 1. 使用场景：已知，求 2. 换元法：令，反解出x用t表达，代入原式，得到；必须标注新元t取值范围，最后改写为。 3. 配凑法：把的表达式整理、配凑成以为整体的式子，直接写出，同样注意定义域。 【经典例题】 1．已知函数，则（   ） A．4 B．9 C．16 D．25 2．若函数，则（   ） A． B． C． D． 3．已知 ，则函数的解析式为_________. 4．已知函数，则__________. 5．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数，则的解析式为______. 7．已知，则的解析式是__________. 8．已知函数满足，则的解析式为（   ）. A．， B． C． D． 9．已知函数，则函数的解析式是___________． 10．已知，则的解析式为（　　） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．若函数，则__________. 2．已知，则______． 3．已知函数满足，则__________. 4．已知，则______． 5．已知，则函数的解析式为______，______． 6．若函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A． B． C． D． 8．若，则（    ） A． B． C． D．11 9．已知，则函数的解析式为（   ）. A． B． C． D． 10．（多选）存在函数满足：对任意都有（   ） A． B． C． D． 题型八 待定系数法求函数解析式 1. 使用场景：已知函数类型（一次、二次函数） 2. 根据函数类型，设带参数的通用解析式； 3. 将题目已知条件代入表达式，列方程（组）； 4. 解方程组求出系数，回代写出解析式。 【经典例题】 1．已知是一次函数，且，，则的解析式为_______. 2．已知是二次函数，且，，，则的解析式为_________． 3．已知一次函数满足，则（   ） A． B． C． D． 4．若函数是一次函数，并且满足，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 5．（多选）已知一次函数满足，则的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 6．已知是一次函数，，且，函数满足，则（ ） A． B． C． D． 7．已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是一次函数，且，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 9．若函数是二次函数，满足，则=（    ） A． B． C． D． 10．设是二次函数，且，则_____. 【巩固练习】 1．若是一次函数，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知一次函数满足，则______. 3．已知一次增函数满足，则（    ） A．-1或3 B．-3或-1 C．3 D．-1 4．（多选）已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知二次函数满足，则函数的解析式为_____________ 6．已知是二次函数，且，若，则的解析式为______. 7．已知是二次函数，且，，则______． 8．已知是二次函数，且，，则________． 9．已知为二次函数且，，则________． 10．已知二次函数，满足，.则______. 题型九 方程组法求函数解析式 1. 使用场景：等式同时出现与或者 2. 将原式中的x替换成或者，构造第二个方程； 3. 将两个等式看成关于（或的二元方程组； 4. 消元，解方程组求出； 5. 同步确定函数定义域。 【经典例题】 1．已知函数对任意的都有，则________． 2．已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数满足，则函数的解析式为_______ 5．定义在上的函数 满足，则 的值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 6．设函数满足等式，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，则__________． 8．已知函数满足，则__________. 9．已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 10．函数 _____ _____ 【巩固练习】 1．已知函数满足，则______． 2．已知函数满足，则（    ）． A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为R，且对，则（   ） A． B． C． D．3 4．已知函数满足，则的解析式为_______________． 5．若函数满足，则_____. 6．已知函数满足，则___________． 7．若函数满足，则___________． 8．已知函数满足，则等于（    ） A． B．1 C．5 D．9 9．已知函数的定义域为，且对定义域内任意的满足，则_____. 10．若，满足，且，则_______． 题型十 简单函数的值域 1. 观察法：根据解析式、定义域，直接观察函数输出范围； 2. 配方法：二次函数，配顶点式，结合给定定义域区间找最大、最小值； 3. 单调性法：判断函数增减性，代入区间端点求值域； 4. 对于离散函数，直接枚举全部函数值写值域集合. 【经典例题】 1．已知函数的定义域为，则其值域为（    ） A． B． C． D． 2．若函数的定义域为，则其值域为______． 3．函数的值域为M，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的值域为________________. 5．函数的值域是______. 6．函数，的值域为______． 7．函数的值域________． 8．函数的值域为______． 9．函数在的值域为_____________. 10．函数在上的最小值是（    ） A． B．1 C．2 D．3 【巩固练习】 1．已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．函数，的值域为________，函数，的值域为________． 3．函数的值域为___________； 4．函数，的值域为______. 5．已知，则的值域为________． 6．已知函数，则的值域为（    ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 8．若函数的定义域是，则它的值域________． 9．已知，函数的值域是（    ） A． B． C． D． 10．函数的定义域为，则函数的值域为______． 题型十一 求复合型函数的值域（换元法、不等式法、判别式法） 1. 换元法：令内层，先求t的取值范围，再把原函数转化为关于t的函数，求值域； 2. 不等式法：利用基本不等式求最值，注意验证等号成立条件； 3. 判别式法：分式二次比二次，整理成关于x一元二次方程，利用求y范围，要检验二次项等于 0 的情况； 4. 口诀：由内向外，先内层求范围，再算外层值域。 【经典例题】 1．若函数的值域是，则函数的值域是________． 2．函数的值域为______. 3．函数的最大值为________． 4．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．函数的值域为_____. 6．若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的值域是_____. 8．函数的值域是 . 9．函数的值域为___________. 10．函数的值域是______． 【巩固练习】 1．函数的值域是__________. 2．函数的最大值为______. 3．函数的值域为_______. 4．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 5．函数的值域为__________． 6．若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 7．函数的值域为______． 8．函数的最小值为________ 9．函数的值域为__________． 10．函数的值域为__________； 11．已知函数，则的最大值为__________. 题型十二 分段函数问题（求值、解方程、解不等式） 1. 分段函数是一个函数，定义域为各段定义域的并集，值域为各段值域的并集。 2. 求值（嵌套求值）： 判断自变量落在哪一段，代入对应解析式；多层嵌套，由内向外逐层计算。 3. 解方程： 分段分类，每一段内解方程，检验解是否落在本段自变量区间，舍去无效解。 4. 解不等式：分段列出不等式组，分别求解，所有结果取并集。 【经典例题】 1．已知函数，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数满足：当时，；当时，；且当时，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则____________． 4．设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 5．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．3 D． 6．已知函数，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知函数，若，则______. 8．已知函数，若，则（   ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 9．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．设函数，其中表示，，中的最小者．若，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1．函数，则______． 2．已知函数，则__________. 3．已知分段函数，，则实数________． 4．已知，若，则______. 5．设定义域为的函数且，则的值所组成的集合为______. 6．已知函数，若，则（   ） A． B． C． D． ．设函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数.若，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数 ，若实数 ，且 ，则 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 10．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十三 根据分段函数的值域（最值）求参 1. 画出分段函数图像，分析每一段单调性、值域； 2. 结合题目给定值域、最值条件，列出参数不等式； 3. 重点检验区间端点，端点经常为易错点； 4. 若要求函数存在最小值 / 唯一最小值点，对比各段的最值，建立不等关系，筛选参数范围。 【经典例题】 1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D．    3．设，若是的最小值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）若函数存在最小值，则实数a的可能取值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 5．已知函数存在最小值，则实数的取值范围为______. 6．设函数，若存在唯一的，使对任意都成立，则a的取值范围是_______. 7．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______． 8．已知函数，的值域为，则的取值范围是______． 9．（多选）定义.若函数，在区间上的值域为，则的可能取值为（    ） A．1 B．2 C．6 D．5 10．定义，函数，若在区间上的值域为，则的最大值为__________． 【巩固练习】 1．（多选）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 2．若，则实数的取值范围是__________. 3．设函数，若存在最小值，则的最大值为（ ） A．1 B． C． D．- 4．已知函数有唯一最小值，则实数的取值范围为_________． 5．设，令，若存在实数，则的取值范围是___. 6．已知函数，若当时，，则的最大值是_____________． 7．已知函数，若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数若当时，，则的最大值是（   ） A．4 B．3 C．7 D．5 9．（多选）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间的长度可以是（   ） A．1 B． C． D． 10．设集合，，函数，已知，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $