函数定义的三种常考题型专题微练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数定义三大核心题型，构建“概念理解-正向应用-逆向迁移”的递进式训练体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数关系的考察|12题|集合对应判断、图像识别、命题辨析|函数定义的概念生成（定义域、对应关系）| |求函数值|8题|直接代入求值、抽象函数求值|函数定义的正向应用（自变量到函数值）| |已知函数值求自变量或参数|9题|方程求解、图像交点分析|函数定义的逆向迁移（函数值反求自变量）|

函数定义的三种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 函数关系的考察 一、单选题 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由函数的定义得，设A，B为非空数集，如果A中任意一个元素x，按照某种对应关系，在B中都有唯一确定的元素y与之对应，则能视作函数. 选项A：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项B：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项C：，当时，， 当时，， 当时，，满足函数定义，不符合题意； 选项D：，当时，无意义，不满足函数定义，符合题意. 故选：D 2．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可判断. 【详解】对于C，满足函数的定义，所以可以作为函数的图象， 对于A、B、D均存在使得一个对应两个及两个以上的值，不符合函数的定义，所以不能作为函数的图象. 故选：C. 3．给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用函数的定义依次判断即可. 【详解】对于①，函数即是建立在两个数集上的对应关系，故①正确； 对于②，根据函数的定义，函数的定义域中只含有一个元素，则根据对应关系，只有唯一的函数值与之对应，即值域也只含有一个元素，故②正确； 对于③，满足对任意，都有唯一的函数值与之对应，故是函数，③错误； 对于④，根据函数的定义，当定义域和对应关系确定后，函数即被唯一确定，故而函数的值域也就确定了，故④正确. 故选：C 二、多选题 4．下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 5．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 【答案】ABC 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】对于A，当时，有无穷多个值与之对应，一个值对应无数个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于B，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于C，当时，代入解得，一个值对应两个值，不满足函数定义，不可能作为函数图象. 对于D，任取一个值，有唯一确定的值与之对应，可以作为函数图象. 6．已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据每个选项的函数图象，分别求出对应函数的定义域和值域即可求解. 【详解】因为函数的定义域为，值域为 由选项A图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件； 由选项B图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项C图象可知，该函数定义域为，值域为，不满足条件； 由选项D图象可知，该函数定义域为，值域为，满足条件; 故选：AD. 7．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据函数的定义可判断AC中的关系为函数关系，BD中的关系不是函数关系. 【详解】对于A，因为，所以该关系是函数关系； 对于B，当时，没有对应的值，但题干函数定义域包括，所以该关系不是函数关系； 对于C，因为任意的x值，有唯一的y值与之对应，所以该关系是函数关系； 对于D，因为当时，有两个值与之对应，所以该关系不是函数关系． 故选：BD． 8．下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据函数的定义逐项判断即可. 【详解】根据函数的定义可知，ABD选项中的图象为函数的图象， 对于C选项，当时，一个与两个对应，不符合函数的概念， 故选：ABD. 9．设f：是集合A到集合B的函数，如果，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据映射的定义求出中的可能元素．然后求． 【详解】由f：是集合A到集合B的函数，如果， 由，可得；由，可得； 则或或或 或或或或或. 所以或. 故选：AC. 三、填空题 10．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 【答案】 【分析】根据函数的概念，不同的定义域对应不同的函数，计算满足值域为的定义域个数即可. 【详解】当时，，解得，因此定义域必须包含，共种选择； 当时，，解得，值域需要包含， 因此定义域至少包含中的一个，可选方案为：，共种选择； 当时，，解得，同理，定义域至少包含中的一个，共种选择； 故可能得定义域又， ，共有个不同的函数. 11．已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【答案】1 【分析】根据函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域是， 则根据函数的定义知函数的图像与直线的交点个数为1. 故答案为：1. 四、解答题 12．下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 【答案】(1)是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【详解】（1）中的任一元素按照对应关系，在中都有唯一确定的元素与之对应，故此对应关系是集合到集合的函数． （2）中的元素在中没有对应元素，故此对应关系不是集合到集合B的函数． （3）中元素负数没有平方根，故在中没有对应的元素，且不一定是整数， 故此对应关系不是集合到集合的函数． （4）对于集合中任意一个实数，按照对应关系， 在集合中都有唯一一个确定的数与它对应，故是集合到集合的函数． 02 求函数值 一、单选题 1．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 2．已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 二、填空题 3．已知函数，那么___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 4．已知函数对任意都有，且，则________　. 【答案】 【分析】结合条件采用赋值法即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以，即. 5．已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 三、解答题 6．已知，求及的值. 【答案】， 【详解】； 因为，所以. 7．已知函数． (1)求证： 且； (2)求 的值． 【答案】(1)证明： 因为，所以， 所以，其中且． (2)4051 【分析】（1）根据解析式，计算即可证明； （2）根据（1）的结论结合即可求解． 【详解】（1）略 （2）由题得，， 所以 ． 8．已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 【答案】(1) ， ． (2) (3)． 【分析】（1）根据解析式代入求解； （2）利用解析式直接相加求解； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【详解】（1）已知函数， ， ． （2）由，得， ． （3）由知 ，， ． 03 已知函数值求自变量或参数 一、单选题 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据函数值列式，求自变量的值即可. 【详解】根据题意： . 故选：A 2．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 【答案】C 【分析】根据给定条件，代入计算即可得解. 【详解】函数，由，得，解得， 所以. 故选：C 3．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据点在函数上计算求参即得解析式，再代入计算求解. 【详解】由得，又，得， 所以，故，解得． 故选：B． 4．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先计算，得出，再根据函数的定义即可写出所有符合条件的函数. 【详解】令，则， 则满足条件的有： ；；， 故满足条件的有个. 故选：C 5．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】从外到内逐步求值． 【详解】根据题意，， 则，所以. 故选：B 6．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的概念求解即可. 【详解】由，得或或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，不等式的解集为. 故选：A. 二、多选题 7．已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】按复合函数的定义列出所有取值即可 【详解】因为，，，． 故选:BCD 三、解答题 8．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 【答案】(1)1， (2)6 【分析】（1）分别令，可得答案； （2）由，解方程可得答案. 【详解】（1）令时，得： ， 令时，得： ， 因此，，. （2）由，得： 解得：， 因此，当 时，. 9．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入即可得出答案； （2）将代入即可得出答案 【详解】（1）； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数定义的三种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 函数关系的考察 一、单选题 1．已知集合，下列对应关系不能视作函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形可作为函数图象的是（    ） A． B． C． D． 3．给出下列四个命题: ①函数就是两个数集之间的对应关系; ②若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素; ③因为的函数值不随x的变化而变化，所以不是函数; ④定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了.其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、多选题 4．下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 5．下列给出的图形中，不可能作为函数图像的是（    ） A．一条垂直于轴的直线（如 ） B．一个以原点为圆心的标准圆（如 ） C．开口向右的抛物线（如 ） D．一条不垂直于轴的倾斜直线（如 ） 6．已知函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 7．下列y关于x的关系不是函数关系的是（   ） A． B． C． D． 8．下列图形中是以为自变量，为因变量的函数的图象是（    ） A． B． C． D． 9．设f：是集合A到集合B的函数，如果，则可能是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知函数的解析式为，其值域为，则这样的函数有______个． 11．已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 四、解答题 12．下列对应关系是否为A到B的函数？ (1)，； (2)，； (3)； (4). 02 求函数值 一、单选题 1．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）    A．4 B．3 C．1 D． 2．已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、填空题 3．已知函数，那么___________． 4．已知函数对任意都有，且，则________　. 5．已知函数，，则的值为__________. 三、解答题 6．已知，求及的值. 7．已知函数． (1)求证： 且； (2)求 的值． 8．已知函数． (1)求 ， 的值 (2)探索 (3)利用（2）的结论求表达式： 的值． 03 已知函数值求自变量或参数 一、单选题 1．已知函数，若，则（    ） A． B． C．2 D．0 2．已知函数，且，则（   ） A． B．26 C． D．18 3．已知函数，且点，均在此函数的图象上，若，则（   ） A． B． C． D．4 4．已知函数的定义域，值域，则满足条件的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．若函数和分别由下表给出： 1 2 3 4 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 4 3 满足的值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 6．设已知函数如下表所示：则不等式的解集为（   ） x 0 1 2 2 1 0 A． B． C． D． 二、多选题 7．已知函数，分别由下表给出，若，则a的值可以是（    ） 1 2 3 4 2 3 1 2 3 4 1 4 A．1 B．2 C．3 D．4 三、解答题 8．已知函数，求： (1)、的值； (2)当时，的值. 9．已知函数． (1)求； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $