第5周 周测试卷（范围：函数的概念及其表示）- 2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高一上数学周周测（第5周）聚焦函数概念及表示，精选多地区阶段检测题，通过基础辨析、情境应用与新定义探究，分层考查抽象能力、运算推理及模型意识，适配同步教学诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/42分|函数概念、定义域、分段函数求值、新定义“有界函数”|单选3题结合表格与图像考复合函数，多选7题辨析同一函数，体现数学抽象| |填空题|2题/10分|值域求解、分段函数最值|第10题以符号函数为载体，考查分类讨论思想| |解答题|3题/48分|分段函数图像与性质、实际情境模型构建、抽象函数证明|12题结合家庭作业量情境求解析式，13题新定义函数性质证明，凸显应用意识与逻辑推理|

高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第5周 函数的概念及其表示 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ） 1 2 3 4 3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（24-25高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（15-16高一上·江苏·期中）函数的定义域为，值域为[2,5]，则的值域为___________． 10．（25-26高一上·河南·阶段检测）对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．（16分）（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 12．（16分）（25-26高一上·四川成都·阶段检测）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）某中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 13．（16分）（24-25高一上·广东·期中）定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高一上学期数学人教A版同步 高一数学备课组 2026-2027学年高一上学期 数学同步周周测 第5周 函数的概念及其表示 （考试时间：70分钟，分值：100分） 班级：__________ 学号：__________ 姓名：__________ 分数：__________ 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（25-26高一下·贵州贵阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由可得，则， 由函数有意义，可得，解得，即， 故. 2．（25-26高一下·浙江温州·阶段检测）设函数则（　　 ） A．—2 B． C． D． 【答案】B 【分析】按照从内到外的顺序，先计算内层的值，再将所得结果代入函数计算外层值 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 3．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知函数的对应关系如下表，函数的图象如图所示，则（   ） 1 2 3 4 3 1 4 2 A．4 B．3 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义求值即可． 【详解】因为，所以． 故选：C． 4．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式可得，后由定义可得答案. 【详解】由，得，解得， 因此或或，又因为表示不大于的最大整数， 所以，要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其子集，只有选项A满足要求. 故选：A. 5．（25-26高一上·江西南昌·阶段检测）已知函数满足，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将替换为和，即可联立方程求解. 【详解】当时，（1） 在（1）中将替换为，则   （2） 在（1）中将替换为，则  （3） 可得：且 故选：B. 6．（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．（24-25高一上·广西河池·期中）下列函数中，表示同一个函数的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于选项A： ∵ 的定义域为，，定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项B： ∵ 的定义域为，化简后为，而的定义域为，二者定义域不同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 对于选项C： ∵ 的定义域为，的定义域为，二者定义域和对应法则均相同，∴ 这两个函数是同一个函数. 对于选项D： ∵ ，定义域为；的定义域为，化简后为，二者定义域和对应法则均不相同，∴ 这两个函数不是同一个函数. 综上，正确选项为A、C. 8．（25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数满足，则（ ） A． B．的值域为 C．的定义域为 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由配凑法或整体换元法可得解析式；对于B，由A分析可得解析式，据此可得值域；对于C，由复合函数定义域求法可得答案；对于D，由A分析可得，据此可得答案. 【详解】对于A，法一：依题意，， 则 ，故A错误； 法二：设，则，且，则， 所以则 ，故A错误； 对于B，当时，，当且仅当时取等号， 因此的值域为，故B正确； 对于C，在中，令，解得， 因此的定义域为，故C正确； 对于D，，因此，故D正确． 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 9．（15-16高一上·江苏·期中）函数的定义域为，值域为[2,5]，则的值域为___________． 【答案】[2,5] 【分析】根据值域的与图象之间的关系即可求解. 【详解】的图象是把的图象向左平移2个单位得到的，因此值域不变，即的值域是． 故答案为： 10．（25-26高一上·河南·阶段检测）对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果. 【详解】令， 当时，化简方程为，解得； 当时，化简方程为，解得，作出函数的图象，如图所示， 所以．又函数的图象关于直线对称， 所以，即． 若函数在上有最小值，则的取值范围为． 故答案为：.    四、解答题：本题共3小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 11．（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 【答案】(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 12．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）据百度百科，罗伯特纳维利斯是一位意大利教师，他的主要成就是于1905年发明了家庭作业.对于数学学科来说，家庭作业通常有选择题、填空题、解答题三种题型构成，据某位专家量化研究发现，适量的家庭作业量有利于学习成绩的提升，过少或过多的家庭作业均不利于学习成绩的提升.这位专家把一个选择题量化为1.0，一个填空题约量化为1.6，一个解答题约量化为4.2.于是数学学科的家庭作业量可以用一个正实数来量化.家庭作业量对应的关联函数家庭作业量对应的学习成绩提升效果可以表达为坐标轴轴，直线以及关联函数所围成的封闭多边形的面积与的比值(即).通常家庭作业量使得认为是最佳家庭作业量. （1）求的值； （2）求的解析式； （3）某中学高一某班的数学学科家庭作业通常是一个课时对应练习题(6个选择题、4个填空题及3个解答题)，问这个班级的数学学科家庭作业量是否是最佳家庭作业量？ 【答案】（1）；；（2）；（3）是最佳. 【解析】（1）根据三角形面积公式计算可得，由即可求得； （2）利用分段函数依次计算可得的解析式； （3）根据已知计算可得成都七中高一某班的家庭作业量，进而计算，与30作比较即可得出结果. 【详解】解：（1） （2）当时， 当时， 当时， 当时， 所以 （3）该中学高一某班的家庭作业量为 所以这个班级的数学学科家庭作业量是最佳家庭作业量. 13．（24-25高一上·广东·期中）定义在上的函数满足，且. (1)求； (2)证明：； (3)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 法一：由（1）知当时，； 又由题意，当时，； 而当时，，， 令，可得，所以. 综上所述，，. 法二：， 若存在使，则有，这与题设矛盾， 所以，. (3) 【分析】（1）由，令求解； （2）法一：由（1）知当时，，再根据时，判断时即可；法二：由，再排除不存在使即可； （3）令，方法，再结合（2）的结论，令，将问题转化为对任意，恒成立求解. 【详解】（1）解：由，令，得， 因为不恒为0，所以. （2）略 （3）在条件式中令，可得， 又由（2）知，，所以. 令，则对任意，，即恒成立. 记，，取时，有最大值1， 所以的取值范围为. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $