数学广角 植树问题（知识清单）数学人教版五年级上册（新教材）

该小学数学知识清单系统梳理了人教版五年级上册“植树问题”单元内容，涵盖两端都栽、两端都不栽、一端栽一端不栽、封闭路线四种类型及实际应用拓展，搭建了从数量关系推导到逆向计算再到生活情境应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点分类+易错点标注+典例变式”构建知识体系，如明确标注“两端都栽需‘棵数=间隔数+1’”等核心公式，结合锯木头、爬楼梯等生活实例培养学生的数学思维和模型意识。配套思维导图梳理知识框架，变式练习分层设计，助力学生自主复习，教师可据此精准突破教学重难点。

人教版·新教材五年级数学上册 数学广角：植树问题（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：两端都栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数+1（因为两端都栽时，棵数比间隔数多1）； 2．逆向推导： （1）间隔数=棵数－1； （2）总长度=（棵数－1）×间距； （3）间距=总长度÷（棵数－1）。 【易错点】 （1）场景判断：题目需明确“两端都栽”（如“道路两端各栽一棵”“从头到尾栽”）。 （2）总长度的定义：总长度是“从第一棵树到最后一棵树的距离”，不包含两端延伸部分。 知识点02：两端都不栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数－1（因为两端不栽时，棵数比间隔数少1）； 2．逆向推导： 间隔数=棵数+1； 总长 =（棵数+1）×间距； 间距=总长度÷（棵数+1）。 【易错点】场景特征：题目通常含“两端有障碍”（如“两栋楼之间”“围墙内侧”“不栽到头”）。 知识点03：一端栽、一端不栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数（因为一端栽、一端不栽时，棵数与间隔数完全对应）； 2．逆向推导： （1）总长度=棵数×间距； （2）间距=总长度÷棵数； （3）棵数=总长度÷间距。 【易错点】场景关键词：题目含“一端栽、一端不栽”“一端靠围墙”“一端留白”等表述，可直接判断为该类型。 知识点04：封闭路线的植树问题 1．定义：指在圆形、正方形、长方形、环形等“无端点、首尾相连”的路线上植树（或摆放物体），本质与“一端栽、一端不栽”一致（因为首尾相连，相当于“栽”的端点与“不栽”的端点重合）。 2．数量关系：棵数=间隔数（与一端栽、一端不栽完全相同）； 3．逆向推导： （1）总长度（周长）=棵数×间距； （2）间距=总长度（周长）÷棵数； （3）棵数=总长度（周长）÷间距。 4．常见封闭路线的周长计算： （1）正方形周长：C= 4×边长； （2）长方形周长：C= 2×（长+宽）。 【易错点】 （1）区分封闭与直线型：封闭路线无端点，不能用“两端都栽”的公式。 （2）场景拓展：除植树外，插彩旗、摆花盆、围圆形场地等封闭路线的“间隔问题”，均适用该规律。 （3）封闭路线的关键是“首尾相连”，无论形状如何（三角形、多边形），只要无端点，就遵循“棵数=间隔数”。 知识点05：植树问题的实际应用拓展 1.锯木头问题：锯的次数=段数－1（本质是“两端都不栽”，锯的次数对应“棵数”，段数对应 “间隔数”）； 2．爬楼梯问题：爬的层数=楼层数－1（对应“两端都栽”，楼层数对应“棵数”，层数对应“间隔数”）； 3．插彩旗、摆花盆：与植树规律完全一致（彩旗/花盆数=棵数，间距不变）； 4．敲钟问题：间隔数=敲钟次数－1（对应“两端都栽”）。 【易错点】 （1）锯木头问题的关键：锯的次数≠段数，如将木头锯成5段，需锯4次，不能用段数当作次数。 （2）爬楼梯的楼层计算：从第m楼到第n楼（n＞m），爬的层数=n－m，不是n。 （3）敲钟问题的间隔时间：间隔时间×（敲钟次数－1）=总时间。 考点01：两端都栽的植树问题 【典型例题】“火烧赤壁”是著名的以少胜多的军事战例。如果曹操将30只战船用铁链连成一队并拉直铁链，每只战船4.5米，相邻两船之间的铁链长2米，那么所连成的船队总长度是多少米？ 【练习1】公园里的大钟3时敲响3下，4秒钟敲完，8时敲响8下，需要（ ）秒钟。 【练习2】幸福大道一边从头到尾共有48盏路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是10米，求幸福大道全长多少米。 考点02：两端都不栽的植树问题 【典型例题】公园里有一条长120米的走廊，计划在走廊两侧摆放长椅（两端都不放），相邻两把长椅之间的距离是4米，一共需要摆放多少把长椅？ 【练习1】下面木料锯成3段需6分钟，锯成6段需要（     ）。 A．12分钟 B．15分钟 C．9分钟 【练习2】在一条长200米的“法治长廊”一侧安装宣传栏（两端不装），每隔10米装一个，一共需要装（ ）个。 考点03：一端栽树，另一端不栽树的植树问题 【典型例题】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 【练习1】2026年“铜马”比赛将于4月12日进行，全程约，如果组委会决定每设一处饮水站（起点不设，终点设），整条赛道共需饮水站（     ）。 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【练习2】某小区的地下停车场的车位不足，物管将在停车区域每5米设置一个车位，在一段长105米的道路一边可停放（ ）辆车。 考点04：封闭路线上的植树问题 【典型例题】为了更好地贯彻党的教育方针，贯彻中央国务院关于加强青少年体育锻炼、增强体质的意见，学校开展“阳光体育”活动，举办体操比赛，五年级10个班排成了一个大型方阵，最外层每边有25人。 （1）方阵最外层一共有多少人？ （2）整个方阵一共有多少人？ 【练习1】．“湖边春色分外娇，一株柳树栽得妙。平湖周围三千米，五米一棵都栽到。漫步湖畔赏美景，可知柳树有多少？”根据这段话，可以求出柳树有（     ）棵。 A．399 B．400 C．401 D．600 【练习2】大课间时，实验学校一（2）班有22名同学在李老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相邻两人之间的距离是2米。玩了一会儿后，有6名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改变圆形场地的大小且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为多少米？ 一、选择题 1．在一段长12千米的笔直公路一侧植树，每隔1千米植1棵（两端都植），一共需要（     ）棵树苗。 A．11 B．12 C．13 2．一个圆形广场的周长是60米，在广场周围每隔3米安装一个地灯，一共需要安装（     ）个地灯。 A．19 B．21 C．20 3．两棵大树相距40m，在这两棵树之间每隔10m摆放一把休息椅，树旁不摆放。一共需要摆放多少把休息椅？下面示意图正确的是（     ）。 A． B． C． 4．列车在兴国西站进站时，第一次吹哨距离站台720米，最后一次吹哨距离站台0米（即到站），且相邻两次吹哨间隔60米。某次和谐号进站共吹了12次哨，那么该次进站时列车第一次吹哨与最后一次吹哨的距离是否符合规定？（     ） A．符合（距离720米） B．不符合（距离660米） C．不符合（距离780米） 5．为了保护一棵古树，园林管理处要为它做一个周长为25m的圆形防护栏，如果每隔5m打一个桩，共需要打多少个桩？下面思考过程错误的是（     ）。 A． B． C．25÷5 二、填空题 6．把一根木料锯成3段要4.8分钟，锯成7段要（ ）分钟。 7．公园的观光湖边有一条绕岸的林荫小路，长720米。现要在这条小路每隔9米修一盏路灯，只在靠河岸的一边修。那么，这条小路一共要修（ ）盏路灯。（小路的宽度忽略不计） 8．丽丽从一楼到二楼要走20级台阶，她从二楼走到四楼要走（ ）级台阶。 9．一根2米长的圆柱形木料，锯成3段后，增加了（ ）个底面。 10．五（1）班有54名同学，做广播体操时排成两列纵队，每列纵队长31.2m。每列纵队前后两名同学之间的距离是（ ）m。 11．在一条长100米的校道一侧插彩旗，每5米插一面（两端都插），一共要插（ ）面彩旗。 12．马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（ ）千米。 13．爷爷准备给撒上种子的菜地围一圈木栅栏，他把5米长的木料平均锯成8段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米，平均锯一次所用的时间占总时间的（ ）。 14．陈东家住在7楼，如果每层楼梯均有18阶，那么陈东上楼回家共要走（ ）阶楼梯。 15．救生员每小时巡河一次，若第一次巡视在8：30，第六次巡视时间是（ ）。 16．在一条长150米的大路两边各栽一行树（起点和终点都栽），每行相邻两棵之间的距离均为3米，一共栽了（ ）棵树。 17．甲、乙两地原来每隔24米安装一根电线杆，现在改成每隔30米安装一根电线杆，在安装过程中除了两端的两根不需要移动外，中间还有9根不需要移动，甲、乙两地相距（ ）米。 18．学校的二手书市“开市”啦，在长72米的跑道一边摆摊位，两端都要摆。原来从一端起每隔3米摆一个摊位，但由于摊位空间充足，现改成每隔4米摆一个摊位。有些摊位已经摆好就不需要重摆了，不需要重摆的摊位有（ ）个。 19．在全长1800m的中心街道一侧安装太阳能路灯（两端都安装），每隔50m安装一盏，一共要安装（ ）盏。 20．在一条长800米的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50米安一盏，一共要安装（ ）盏路灯。 21．小红从一楼爬到三楼用了60秒，照这样的速度，一直爬到家所在的楼层用了120秒，小红的家在（ ）楼。 22．男子110米跨栏跑是奥运会田径项目之一。110米栏共有10个栏架，每相邻两个栏架间距相等（如图），其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是（ ）米。 三、解答题 23．街心公园有一块三角形草地，三边分别长156m、234m、186m，要在三边上植树，株距6m，三个角的顶点上各植上1棵树，共植树多少棵？ 24．为迎接新年，学校计划在一条长60米的走廊两侧每隔4米挂一个红灯笼（两端都要挂）。一共需要准备多少个红灯笼？ 25．回家路上，小明看到社区工人正在一条60米长的小路旁植树。工人叔叔每隔3米栽一棵树。 （1）如果小路两端都栽树，一共需要多少棵树苗？ （2）如果只有一端栽树，需要多少棵树苗？ 26．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 27．笔直的公路一旁立着41根电线杆，相邻两根电线杆的间隔是5米。现在要改为只立21根电线杆（两端的电线杆不动），间隔应改为多少米？ 28．公园的环湖路一旁种了41棵柳树，每两棵柳树之间的距离是5米，现在要改成每两棵柳树之间的距离是8米（两端都种），有多少棵柳树不需要移动？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材五年级数学上册 数学广角：植树问题（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：两端都栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数+1（因为两端都栽时，棵数比间隔数多1）； 2．逆向推导： （1）间隔数=棵数－1； （2）总长度=（棵数－1）×间距； （3）间距=总长度÷（棵数－1）。 【易错点】 （1）场景判断：题目需明确“两端都栽”（如“道路两端各栽一棵”“从头到尾栽”）。 （2）总长度的定义：总长度是“从第一棵树到最后一棵树的距离”，不包含两端延伸部分。 知识点02：两端都不栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数－1（因为两端不栽时，棵数比间隔数少1）； 2．逆向推导： 间隔数=棵数+1； 总长 =（棵数+1）×间距； 间距=总长度÷（棵数+1）。 【易错点】场景特征：题目通常含“两端有障碍”（如“两栋楼之间”“围墙内侧”“不栽到头”）。 知识点03：一端栽、一端不栽的植树问题 1．数量关系：棵数=间隔数（因为一端栽、一端不栽时，棵数与间隔数完全对应）； 2．逆向推导： （1）总长度=棵数×间距； （2）间距=总长度÷棵数； （3）棵数=总长度÷间距。 【易错点】场景关键词：题目含“一端栽、一端不栽”“一端靠围墙”“一端留白”等表述，可直接判断为该类型。 知识点04：封闭路线的植树问题 1．定义：指在圆形、正方形、长方形、环形等“无端点、首尾相连”的路线上植树（或摆放物体），本质与“一端栽、一端不栽”一致（因为首尾相连，相当于“栽”的端点与“不栽”的端点重合）。 2．数量关系：棵数=间隔数（与一端栽、一端不栽完全相同）； 3．逆向推导： （1）总长度（周长）=棵数×间距； （2）间距=总长度（周长）÷棵数； （3）棵数=总长度（周长）÷间距。 4．常见封闭路线的周长计算： （1）正方形周长：C= 4×边长； （2）长方形周长：C= 2×（长+宽）。 【易错点】 （1）区分封闭与直线型：封闭路线无端点，不能用“两端都栽”的公式。 （2）场景拓展：除植树外，插彩旗、摆花盆、围圆形场地等封闭路线的“间隔问题”，均适用该规律。 （3）封闭路线的关键是“首尾相连”，无论形状如何（三角形、多边形），只要无端点，就遵循“棵数=间隔数”。 知识点05：植树问题的实际应用拓展 1.锯木头问题：锯的次数=段数－1（本质是“两端都不栽”，锯的次数对应“棵数”，段数对应 “间隔数”）； 2．爬楼梯问题：爬的层数=楼层数－1（对应“两端都栽”，楼层数对应“棵数”，层数对应“间隔数”）； 3．插彩旗、摆花盆：与植树规律完全一致（彩旗/花盆数=棵数，间距不变）； 4．敲钟问题：间隔数=敲钟次数－1（对应“两端都栽”）。 【易错点】 （1）锯木头问题的关键：锯的次数≠段数，如将木头锯成5段，需锯4次，不能用段数当作次数。 （2）爬楼梯的楼层计算：从第m楼到第n楼（n＞m），爬的层数=n－m，不是n。 （3）敲钟问题的间隔时间：间隔时间×（敲钟次数－1）=总时间。 考点01：两端都栽的植树问题 【典型例题】“火烧赤壁”是著名的以少胜多的军事战例。如果曹操将30只战船用铁链连成一队并拉直铁链，每只战船4.5米，相邻两船之间的铁链长2米，那么所连成的船队总长度是多少米？ 【答案】193米 【分析】船队总长度由战船总长度和铁链总长度两部分组成。铁链的数量比战船数量少1，分别计算两部分的长度后相加，即可得到船队总长度。 【详解】4.5×30＝135（米） 2×（30－1） ＝2× 29 ＝58（米） 135＋58＝193（米） 答：所连成的船队总长度是193米。 【练习1】公园里的大钟3时敲响3下，4秒钟敲完，8时敲响8下，需要（ ）秒钟。 【答案】14 【分析】因为敲钟次数比间隔数多1，所以3时敲3下，有3－1＝2个间隔；8时敲8下就有8－1＝7个间隔。根据2个间隔用时4秒，先算出每个间隔的时间，再用每个间隔时间乘间隔数求出敲响8下的总时间。 【详解】4÷（3－1） ＝4÷2 ＝2（秒） 2×（8－1） ＝2×7 ＝14（秒） 【练习2】幸福大道一边从头到尾共有48盏路灯，每相邻两盏路灯之间的距离是10米，求幸福大道全长多少米。 【答案】470米 【分析】这是两端都栽的植树问题，间隔数等于路灯总盏数减1，用相邻两盏路灯的距离乘间隔数就能求出大道全长。 【详解】 （米） 答：幸福大道全长470米。 考点02：两端都不栽的植树问题 【典型例题】公园里有一条长120米的走廊，计划在走廊两侧摆放长椅（两端都不放），相邻两把长椅之间的距离是4米，一共需要摆放多少把长椅？ 【答案】58把 【分析】先用走廊的总长度除以相邻两把长椅的间距，算出单侧的间隔数。因为两端都不放长椅，所以单侧需要摆放的长椅数量比间隔数少1，题目要求在走廊两侧都摆放长椅，因此再把单侧的数量乘2，就能得出总共需要摆放长椅的总数量。 【详解】（个） （把） （把） 答：一共需要摆放58把长椅。 【练习1】下面木料锯成3段需6分钟，锯成6段需要（     ）。 A．12分钟 B．15分钟 C．9分钟 【答案】B 【分析】锯木头时，锯的次数 ＝ 锯成的段数－1，先求出锯1次所需时间，再计算锯成6段的总时间。 【详解】锯1次需要的时间：6÷（3－1） ＝6÷2 ＝3（分钟） 锯成6段需要的时间：3×（6－1） ＝3×5 ＝15（分钟） 所以锯成6段需要15分钟。 【练习2】在一条长200米的“法治长廊”一侧安装宣传栏（两端不装），每隔10米装一个，一共需要装（ ）个。 【答案】19 【分析】是两端不装的植树问题，宣传栏数量＝间隔数-1，长廊总长200米，每隔10米一个间隔，间隔数＝总长÷间隔长度。 【详解】200÷10－1 ＝20－1 ＝19（个） 考点03：一端栽树，另一端不栽树的植树问题 【典型例题】走楼梯的益处很多，有助于活动关节和降压降脂等。小刚家住在9楼，为了锻炼身体，他步行上楼回家。从1楼走到5楼，他用了120秒，如果用同样的速度，小刚走到自己家所在楼层共需要多长时间？ 【答案】240秒 【分析】从1楼走到5楼，需要走（5－1）层楼梯，用120÷（5－1），求出走1层楼梯需要的时间；从1楼走的9楼，需要走（9－1）层楼梯，用走1层楼梯需要的时间×（9－1），即可解答。 【详解】120÷（5－1）×（9－1） ＝120÷4×8 ＝30×8 ＝240（秒） 答：小刚走到自己家所在楼层共需要240秒。 【练习1】2026年“铜马”比赛将于4月12日进行，全程约，如果组委会决定每设一处饮水站（起点不设，终点设），整条赛道共需饮水站（     ）。 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】起点不设，终点设，所以饮水站的数量与间隔数相等。用总路程除以间隔距离求出间隔数，即为饮水站的数量。 【详解】21÷3＝7（个） 整条赛道共需饮水站7个。 【练习2】某小区的地下停车场的车位不足，物管将在停车区域每5米设置一个车位，在一段长105米的道路一边可停放（ ）辆车。 【答案】21 【分析】由题意可知，相当于植树问题的一端植树；车位数等于段数，，据此列式解答。 【详解】（辆） 某小区的地下停车场的车位不足，物管将在停车区域每5米设置一个车位，在一段长105米的道路一边可停放21辆车。 考点04：封闭路线上的植树问题 【典型例题】为了更好地贯彻党的教育方针，贯彻中央国务院关于加强青少年体育锻炼、增强体质的意见，学校开展“阳光体育”活动，举办体操比赛，五年级10个班排成了一个大型方阵，最外层每边有25人。 （1）方阵最外层一共有多少人？ （2）整个方阵一共有多少人？ 【答案】（1）96人 （2）625人 【分析】（1）最外层人数计算： 方阵四个角的人会被相邻两条边重复计算1次，所以公式为：最外层人数＝每边人数×4－4（减去重复的4个角的人数）。 （2）整个方阵总人数计算： 实心方阵的行数和列数相等，都等于最外层每边的人数，所以公式为：总人数＝每边人数×每边人数。 【详解】（1）25×4－4 ＝100－4 ＝96（人） 答：方阵最外层一共有96人。 （2）25×25＝625（人） 答：整个方阵一共有625人。 【练习1】．“湖边春色分外娇，一株柳树栽得妙。平湖周围三千米，五米一棵都栽到。漫步湖畔赏美景，可知柳树有多少？”根据这段话，可以求出柳树有（     ）棵。 A．399 B．400 C．401 D．600 【答案】D 【分析】封闭图形植树，棵数＝段数，1千米＝1000米，平湖周围长度÷间距＝柳树棵数。 【详解】3千米＝3000米 3000÷5＝600（棵） 柳树有600棵。 【练习2】大课间时，实验学校一（2）班有22名同学在李老师画好的圆形场地外围玩“丢手绢”的游戏。刚开始的时候，每相邻两人之间的距离是2米。玩了一会儿后，有6名同学被淘汰，剩下的同学继续玩。在不改变圆形场地的大小且每相邻两人之间的距离依旧相等的情况下，每相邻两人之间的距离应该改为多少米？ 【答案】每相邻两人之间的距离应该改为2.75米。 【分析】圆形是封闭图形，玩游戏的人数与间隔数相等。先通过初始人数和相邻间距求出圆形场地的周长，再算出淘汰后剩下的人数（即新的间隔数），用周长除以新的间隔数即可得到新的间距。 【详解】（米） （名） （米） 答：每相邻两人之间的距离应该改为2.75米。 一、选择题 1．在一段长12千米的笔直公路一侧植树，每隔1千米植1棵（两端都植），一共需要（     ）棵树苗。 A．11 B．12 C．13 【答案】C 【分析】两端都植的植树问题，棵数比间隔数多1，先根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，即12÷1，两端都植，在此基础上加上1就是需要树苗的棵数，即12÷1＋1 【详解】根据分析，可列式为： 12÷1＋1 ＝12＋1 ＝13（棵） 2．一个圆形广场的周长是60米，在广场周围每隔3米安装一个地灯，一共需要安装（     ）个地灯。 A．19 B．21 C．20 【答案】C 【分析】圆形广场属于封闭路线，安装地灯的数量和间隔数相等，用周长除以间隔距离就能得到地灯数量。 【详解】（个） 一共需要安装20个地灯。 3．两棵大树相距40m，在这两棵树之间每隔10m摆放一把休息椅，树旁不摆放。一共需要摆放多少把休息椅？下面示意图正确的是（     ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】先用两棵树之间的总距离40m除以每个间隔的长度10m，求出间隔数为40÷10＝4个；因为题目明确树旁不摆放休息椅，也就是两端都不栽的情况，所以休息椅的数量要比间隔数少1，用间隔数4减1求出需要摆放3把休息椅；最后结合示意图的特征，4个间隔对应3个休息椅的位置，且两端没有标记点，由此确定正确的示意图。 【详解】A．一端有树，4个标记点（一端摆一端不摆），不符合“两端不摆”，错误。 B．两端有树，5个标记点（两端都摆），不符合“两端不摆”，错误。 C．两端无树，3个标记点（两端都不摆），完全匹配，正确。 故答案为：C 4．列车在兴国西站进站时，第一次吹哨距离站台720米，最后一次吹哨距离站台0米（即到站），且相邻两次吹哨间隔60米。某次和谐号进站共吹了12次哨，那么该次进站时列车第一次吹哨与最后一次吹哨的距离是否符合规定？（     ） A．符合（距离720米） B．不符合（距离660米） C．不符合（距离780米） 【答案】B 【分析】列车共吹了12次哨，这12次哨声把整个进站过程分成了若干段距离，因为第一次和最后一次吹哨都算在内，所以间隔数应该是吹哨次数减1，即12－1＝11个间隔。已知相邻两次吹哨间隔60米，用间隔数乘每个间隔的距离，求出第一次吹哨到最后一次吹哨的总距离，即11×60＝660米。最后将这个实际距离与规定的720米进行比较，发现660＜720，因此这次进站时列车第一次吹哨与最后一次吹哨的距离不符合规定。 【详解】（12－1）×60 ＝11×60 ＝660（米） 660＜720 所以该次进站时列车第一次吹哨与最后一次吹哨的距离是660米，不符合规定。 故答案为：B 5．为了保护一棵古树，园林管理处要为它做一个周长为25m的圆形防护栏，如果每隔5m打一个桩，共需要打多少个桩？下面思考过程错误的是（     ）。 A． B． C．25÷5 【答案】A 【分析】给圆形防护栏打桩属于封闭图形的植树问题中的封闭图形，打桩的数量等于段数。段数＝总长÷每段长度。 【详解】A．图示打桩的数量比段数多1，错误。 B．图示打桩的数量等于段数，正确。 C．25÷5＝5（个），打桩的数量等于段数，正确。 思考过程错误的是。 二、填空题 6．把一根木料锯成3段要4.8分钟，锯成7段要（ ）分钟。 【答案】14.4 【分析】把一根木料锯成3段需锯2次，需用4.8分钟，用锯的时间除以锯的次数，求出每锯1次需用的时间；锯成7段需锯6次，用每锯1次需用的时间乘6，求出锯成7段所需的总时长。 【详解】4.8÷（3－1） ＝4.8÷2 ＝2.4（分钟） 2.4×（7－1） ＝2.4×6 ＝14.4（分钟） 7．公园的观光湖边有一条绕岸的林荫小路，长720米。现要在这条小路每隔9米修一盏路灯，只在靠河岸的一边修。那么，这条小路一共要修（ ）盏路灯。（小路的宽度忽略不计） 【答案】80 【分析】“绕岸的林荫小路”说明小路是环形封闭路径。在环形路径中，路灯数量＝总长度÷间隔长。据此解答。 【详解】720÷9＝80（盏） 8．丽丽从一楼到二楼要走20级台阶，她从二楼走到四楼要走（ ）级台阶。 【答案】40 【分析】一楼到二楼，实际只走1层楼梯，是20级台阶。二楼到四楼，要走4－2＝2层楼梯。每层20级，用层数乘每层台阶数。 【详解】楼层差：4－2＝2（层） 台阶：20×2＝40（级） 9．一根2米长的圆柱形木料，锯成3段后，增加了（ ）个底面。 【答案】4 【分析】锯圆柱木料，锯的次数＝段数－1，每锯1次会新增加2个底面。 【详解】锯的次数：3－1＝2（次） 增加底面数量：2×2＝4（个） 10．五（1）班有54名同学，做广播体操时排成两列纵队，每列纵队长31.2m。每列纵队前后两名同学之间的距离是（ ）m。 【答案】1.2 【分析】两端都栽，数量关系：间距＝全长÷（棵数－1）。 用54÷2求出每列纵队有多少人，再减去1求出每列纵队有多少个间隔数，用每列纵队长÷间隔数，可求出间距。 【详解】54÷2－1 ＝27－1 ＝26（个） 31.2÷26＝1.2（m） 11．在一条长100米的校道一侧插彩旗，每5米插一面（两端都插），一共要插（ ）面彩旗。 【答案】 【分析】先求出总长度里有多少个间隔（100÷5），两端都插彩旗，彩旗数量比间隔数多1。 【详解】100÷5＝20（个） 20＋1＝21（面） 12．马拉松比赛全程42千米，等距离共设置了14处降温点（起点终点除外），平均每相邻两处降温点的距离大约是（ ）千米。 【答案】2.8 【分析】由于起点不设，终点不设，属于“两端都不栽”模型，所以间隔数＝降温点数＋1。用总长度除以间隔数，即可求解。 【详解】42÷（14＋1） ＝42÷15 ＝2.8（千米） 13．爷爷准备给撒上种子的菜地围一圈木栅栏，他把5米长的木料平均锯成8段，每段是这根木料的（ ），每段长（ ）米，平均锯一次所用的时间占总时间的（ ）。 【答案】 /0.625 【分析】根据题意，把5米长的木料平均锯成8段，把木料的全长看作单位“1”，平均分成8份，用1除以8，求出每段是这根木料的几分之几； 用木料的全长除以总段数，求出每段的长度； 锯一次分成两段，即锯的次数＝段数－1，那么锯8段需锯8－1＝7次，求平均锯一次所用的时间占总时间的几分之几，就是求锯1次占锯7次的几分之几，用除法计算。 【详解】每段是这根木料的：1÷8＝ 每段长：5÷8＝（米） 平均锯一次所用的时间占总时间的： 1÷（8－1） ＝1÷7 ＝ 14．陈东家住在7楼，如果每层楼梯均有18阶，那么陈东上楼回家共要走（ ）阶楼梯。 【答案】108 【分析】陈东家住在7楼，则上楼回家共要走6层楼梯，已知每层楼梯均有18阶，用18乘6即可求出他共要走多少阶楼梯。 【详解】18×（7－1） ＝18×6 ＝108（阶） 则陈东上楼回家共要走108阶楼梯。 15．救生员每小时巡河一次，若第一次巡视在8：30，第六次巡视时间是（ ）。 【答案】11：00 【分析】从第一次到第六次巡视的间隔数是6－1＝5个，每个间隔小时（30分钟），算出总间隔时间为5×30＝150分钟（2小时30分），再用第一次巡视时间8：30加上这个总间隔时间，即可得到第六次巡视的时间。 【详解】间隔次数：6－1＝5 小时＝30分钟 总间隔时间：5×30＝150（分） 150分＝2小时30分 第六次时间：8：30＋2小时30分＝11：00 16．在一条长150米的大路两边各栽一行树（起点和终点都栽），每行相邻两棵之间的距离均为3米，一共栽了（ ）棵树。 【答案】102 【分析】根据两端都栽的情况可知，棵数＝间隔数＋1。先根据间隔数＝总距离÷间距，用大路总长除以间距求出间隔数，进而求出一边需要栽树的棵数，最后乘2求出两边共栽树的棵数。 【详解】150÷3＝50（个） 50＋1＝51（棵） 51×2＝102（棵） 17．甲、乙两地原来每隔24米安装一根电线杆，现在改成每隔30米安装一根电线杆，在安装过程中除了两端的两根不需要移动外，中间还有9根不需要移动，甲、乙两地相距（ ）米。 【答案】1200 【分析】不需要移动的电线杆位置，一定同时是24和30的公倍数，先求最小公倍数，也就是求每隔几米就有1根电线杆不需要移动，除两端外中间有9根不需要移动，根据植树问题，不移动电线杆的总间隔数为 9＋1＝10 个。再根据距离 ＝ 每个间隔长度 × 间隔数求出甲乙两地的距离即可。 【详解】24＝2×2×2×3 30＝2×3×5 则24和30的最小公倍数是2×2×2×3×5 ＝4×2×3×5 ＝8×3×5 ＝24×5 ＝120 也就是每隔120米就有1根电线杆不需要移动 9＋1＝10（个） 120×10＝1200（米） 18．学校的二手书市“开市”啦，在长72米的跑道一边摆摊位，两端都要摆。原来从一端起每隔3米摆一个摊位，但由于摊位空间充足，现改成每隔4米摆一个摊位。有些摊位已经摆好就不需要重摆了，不需要重摆的摊位有（ ）个。 【答案】7 【分析】跑道单边按要求摆摊位，跑道长度÷间隔长度＋1＝摊位个数。要求不需要重新摆的摊位，则求出在72以内4和3的公倍数的个数加上起点的1个，据此解答。 【详解】3和4的最小公倍数是3×4＝12 72以内3和4的公倍数是12，24，36，48，60，72，共有6个。 6＋1＝7（个） 答：不需要重摆的摊位有7个。 19．在全长1800m的中心街道一侧安装太阳能路灯（两端都安装），每隔50m安装一盏，一共要安装（ ）盏。 【答案】37 【分析】根据“间隔数＝总长÷间距”求出间隔数，再加上1，即可解答。 【详解】1800÷50＋1 ＝36＋1 ＝37（盏） 20．在一条长800米的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50米安一盏，一共要安装（ ）盏路灯。 【答案】34 【分析】间隔数＝全长÷间距。两端都栽的植树问题：棵数＝间隔数＋1。即路灯的盏数＝间隔数＋1，因为需要在街道两旁安装路灯，所以最后用求出的路灯盏数乘2进行计算。 【详解】（个） （盏） （盏） 一共要安装34盏路灯。 21．小红从一楼爬到三楼用了60秒，照这样的速度，一直爬到家所在的楼层用了120秒，小红的家在（ ）楼。 【答案】5 【分析】从一楼爬到三楼一共爬了2层，先用60秒除以2层，算出小红的速度，即爬一层楼需要的时间；再用120秒除以速度，求出小红爬的楼层数；1楼不需要爬，所以最后加上1即可。 【详解】爬一层楼需要的时间： （秒） 小红爬的层数： （层） （楼） 因此小红的家在5楼。 22．男子110米跨栏跑是奥运会田径项目之一。110米栏共有10个栏架，每相邻两个栏架间距相等（如图），其中第一栏距离起跑线13.72米，最后一栏距离终点线14.02米，那么每相邻两个栏架之间的距离是（ ）米。 【答案】9.14 【分析】根据题意和图形，先用总长减去第一栏离起跑线的距离，再减去最后一栏离终点线的距离，即是10个栏架之间的长度；根据植树问题中两端都栽的问题可知，10个栏架一共有（10－1）个间隔数；最后用10个栏架之间的长度除以间隔数，即是每相邻两个栏架之间的距离。 【详解】（110－13.72－14.02）÷（10－1） ＝（96.28－14.02）÷9 ＝82.26÷9 ＝9.14（米） 三、解答题 23．街心公园有一块三角形草地，三边分别长156m、234m、186m，要在三边上植树，株距6m，三个角的顶点上各植上1棵树，共植树多少棵？ 【答案】96棵 【分析】三角形草地是封闭图形，在三边上植树且三个顶点都植树时，植树总棵数等于间隔总数，用三角形周长除以株距即可求出总棵数。 【详解】（156＋234＋186）÷6 ＝576÷6 ＝96（棵） 答：共植树96棵。 24．为迎接新年，学校计划在一条长60米的走廊两侧每隔4米挂一个红灯笼（两端都要挂）。一共需要准备多少个红灯笼？ 【答案】32个 【分析】先计算走廊一侧的间隔数，两端都挂灯笼时，一侧灯笼数比间隔数多1，再乘2得到两侧总灯笼数。 【详解】（个） （个） （个） 答：共需要准备32个红灯笼。 25．回家路上，小明看到社区工人正在一条60米长的小路旁植树。工人叔叔每隔3米栽一棵树。 （1）如果小路两端都栽树，一共需要多少棵树苗？ （2）如果只有一端栽树，需要多少棵树苗？ 【答案】（1）21棵 （2）20棵 【分析】这是直线植树问题，先通过总长度和间隔长度求出间隔数，再根据植树的不同情况确定树苗棵数：两端都栽时，棵数比间隔数多1；只有一端栽时，棵数与间隔数相等。 【详解】（1） （棵） 答：如果小路两端都栽树，一共需要棵树苗。 （2）（棵） 答：如果只有一端栽树，需要棵树苗。 26．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 【答案】252米 【分析】宣传牌不需要移动，说明该位置既是原来3米间隔的倍数，也是现在4米间隔的倍数，即该位置的距离是3和4的公倍数。相邻两个不需要移动的宣传牌之间的距离应是3和4的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 除了两端的2个宣传牌不需要移动外，说明路的起点和终点都有宣传牌且不需要移动，属于两端都栽的植树问题。 先求出不需要移动的宣传牌的总数，再用间隔数×相邻不动点之间的距离（3和4的最小公倍数），即可得到路的总长度。 【详解】3和4是互质数，最小公倍数为3×4＝12，即每隔12米有一个宣传牌不需要移动。 20＋2＝22（个） （22－1）×12 ＝21×12 ＝252（米） 答：这条路长252米。 27．笔直的公路一旁立着41根电线杆，相邻两根电线杆的间隔是5米。现在要改为只立21根电线杆（两端的电线杆不动），间隔应改为多少米？ 【答案】10米 【分析】植树问题（两端都栽），间隔数＝电线杆数量－1，公路总长＝间隔米数×间隔数。公路总长不变，再用公路总长÷新间隔数，得出新间隔的米数。 【详解】公路长：5×（41－1） ＝5×40 ＝200（米） 间隔：200÷（21－1） ＝200÷20 ＝10（米） 答：间隔应改为10米。 28．公园的环湖路一旁种了41棵柳树，每两棵柳树之间的距离是5米，现在要改成每两棵柳树之间的距离是8米（两端都种），有多少棵柳树不需要移动？ 【答案】6棵 【分析】关键在于明确不需要移动的树的位置特点，即这些树的位置是原来树间距和现在树间距的公倍数。先根据间隔数＝树的棵数－1求出原来树的间隔数，再根据总距离＝间隔数 ×间隔距离求出小路的总长度，然后找出原来树间距和现在树间距的最小公倍数，最后根据最小公倍数确定不需要移动的树的位置，进而求出不需要移动的树的棵数。 【详解】（41－1）×5 ＝40×5 ＝200（米） 5和8的最小公倍数是40； 200÷40＋1 ＝5＋1 ＝6（棵） 答：有6棵柳树不需要移动。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $