综合与实践 有趣的密铺（知识清单）数学人教版五年级上册（新教材）

该小学数学单元复习讲义系统梳理“有趣的密铺”内容，涵盖密铺含义、图形密铺判断、生活应用等核心要点，通过思维导图与知识梳理构建从定义到判断标准再到实践应用的学习支架，包含单一图形与组合图形密铺两大知识范畴。 清单以“知识点+易错点+考点”三级架构呈现知识体系，如标注正五边形不能密铺等易错点，结合典例分析内角和360°原理，培养几何直观与推理意识。设计生活情境变式练习（如地砖密铺方案），帮助学生用数学语言表达现实问题，学生可自主梳理知识，教师能精准突破重难点，提升教学实效。

人教版·新教材五年级数学上册 综合与实践：有趣的密铺（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：密铺的含义 （1）定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满平面，这种现象叫做密铺，也叫平面镶嵌。 （2）两大判断标准 ①拼接处无空隙； ②图形之间不重叠。 知识点02：单一图形密铺（只用一种图形） 1. 可以单独密铺的图形 （1）长方形、正方形：每个内角90°，4个内角拼在一点：90°×4=360°。 （2）平行四边形：内角和可凑360°，能密铺。 （3）三角形：任意三角形内角和180°，6个相同三角形可在一点拼成360°。 （4）梯形：任意梯形都能单独密铺。 2. 不能单独密铺的图形 （1）正五边形：内角108°， 108°×3=324°，108°×4=432°，无法凑出360°，有空隙。 （2）圆形：曲线拼接，必然留有空隙，不能密铺。 （3）正七边形、正八边形等：内角无法整除 360°，不可单独密铺。 （4）核心原理：拼接点处几个图形内角相加正好等于:360°，才能密铺。 知识点03：多种图形组合密铺 1．含义：两种及以上不同图形搭配拼接，不留空隙、不重叠。 2．常见组合：正方形+正八边形、正三角形+正六边形。 3．判断依据：拼接点所有内角之和= 360°。 知识点04：生活中的密铺应用 地砖、墙砖、蜂巢、马赛克、拼图、人行道地砖等，都是密铺设计。 【易错点】 （1）误以为所有正多边形都能密铺，正五边形不能单独密铺； （2）判断密铺只看图形形状，忽略“无空隙、不重叠”两个条件； （3）忘记密铺核心条件：拼接点内角总和为360°。 考点01：单一图形密铺 【典型例题1】密铺中的奥秘。 （1）上面几个图形，不能密铺的是（ ）。（填序号） （2）为什么它不能密铺呢？写一写原因。 【典型例题2】如图所示，一个正方形大厅地面是由大小和形状完全相同的黑色方砖和白色方砖密铺而成，已知每块方砖的边长是2米，那么这个大厅地面的面积是（ ）平方米。 【练习1】社区观赏鱼池计划用瓷砖密铺装饰鱼池底面和鱼池的4个侧面。设计师提出以下3种方案，其中不符合密铺条件的是（     ）。 A．鱼池底面全用相同的直角三角形瓷砖，鱼池侧面全用相同的等腰梯形瓷砖 B．鱼池底面全用相同的正六边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的长方形瓷砖 C．鱼池底面全用相同的正五边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的正方形瓷砖 【练习2】1936年荷兰艺术家埃舍尔在参观阿尔罕伯拉宫时，发现地板、天花板、墙壁满是密铺图案的装饰，因而得到启发，创造了大量的艺术作品。关于密铺，下列说法中正确的是（     ）。 A．所有多边形都能单独密铺 B．任意一个三角形都能单独密铺 C．正五边形能单独密铺 D．圆形能单独密铺 考点02：多种图形组合密铺 【典型例题1】工人用如下的正六边形和等边三角形地砖铺公园的地面，它们的边长相等。如果在一个拼接点处用了2块正六边形地砖，还需要（ ）块等边三角形地砖才能密铺。 【典型例题2】社区鱼池需要装饰，计划用瓷砖密铺鱼池底面。设计师提出以下3种方案，其中不符合条件的是（     ）。 A．用正三角形和正方形瓷砖 B．用正三角形和正五边形瓷砖 C．用正三角形和正六边形瓷砖 【练习1】仔细观察如图的图案，它是由（ ）、（ ）、（ ）拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？（ ）（填“能”或“否”） 【练习2】鹏鹏家装修，需要将下图中的区域用瓷砖铺满。请你在下面几种瓷砖中选择一种或几种，在图中画出铺法（不切割瓷砖），并填空。（单位：分米） 我选用（     ）号瓷砖，共需要（     ）块。 一、选择题 1．下面是用同一形状的图形拼成的图案，属于密铺的是（     ）。 A． B． C． 2．下列图形中不能单独密铺的是（    ）。 A．圆和正六边形 B．正五边形和三角形 C．圆和正五边形 3．下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（     ）。 A．180° B．360° C．540° 4．下列图形中，（     ）不是密铺。 A． B． C． 5．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以密铺的是（       ）。 A．②③④ B．①②④ C．①②③ 6．关于密铺的说法正确的是（     ）。 A．边数是单数的多边形都不能密铺 B．凡是完全相同的正多边形都可以密铺 C．凡是完全相同的平行四边形都能密铺 二、填空题 7．拼一拼，看一看。 这是正五边形，居然（ ）密铺。正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是（ ）°。 原来，密铺与图形的角有关系。只要图形的内角和能合成（ ）°就可以密铺。 8． 除了用同种图形可以密铺，用不同种图形也可以密铺！试一试。 我发现：图中的（ ）形和（ ）形可以密铺；我还知道（ ）形和（ ）形可以密铺。 9．为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请你帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形：（ ）、（ ）、（ ）。 10．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是（ ），像这样的四边形（ ）单独密铺。（填“能”或“不能”） 11．下面哪些是密铺？画“√”。 （     ）        （     ）      （    ）      （     ）       （     ）      （     ） 从上面可以看出：相同的（     ）、（     ）、（     ）和（     ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（     ）°，（     ）和（     ）不能密铺。 12．下面的图案是用哪些图形密铺的？（ ）、（ ）和（ ）。 13．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是（ ）。 14．图形的密铺。 （1）经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）度。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等，不能单独进行密铺的图形还有（ ）等。 三、作图题 15．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 四、解答题 16．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（     ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 17．小丽在探究密铺时，选择了三角形与四边形进行研究，如下图： （1）在活动中，小丽认为密铺和图形的角有关系，你认为小丽的发现对吗？如果和角有关，应该是怎样的关系？ （2）所有的平面图形都能密铺吗？说明你的想法。 18．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 19．阅读与解答。 同学们，在我们的生活中密铺现象无处不在，比如家里的瓷砖、蜂巢的结构、美丽的镶嵌画等。 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起，就叫做图形的密铺。其中只用一种图形是单独密铺，使用多种图形是组合密铺。密铺现象在我们的生活中随处可见，那为什么有的图形可以，有的图形不可以密铺呢？我们一起来研究一下。 （1）观察三角形密铺的规律，列式说明正方形和普通四边形可以密铺的理由，完成表格。 正三角形 普通三角形 正方形 普通四边形 （2）观察上表可以发现当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是_______°时一定可以密铺。 （3）下面图形中不可以单独密铺的是（     ）。 A．直角三角形 B．梯形 C．正五边形 D．正六边形 （4）下图是两种平行四边形的组合密铺，请用密铺的知识分别求出∠1、∠2和∠3的度数。 20．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（     ）＝（      ）。 五边形 180°×（     ）＝（       ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（     ）个三角形，这个多边形的内角和是（     ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版·新教材五年级数学上册 综合与实践：有趣的密铺（单元复习讲义） （思维导图+知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：密铺的含义 （1）定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满平面，这种现象叫做密铺，也叫平面镶嵌。 （2）两大判断标准 ①拼接处无空隙； ②图形之间不重叠。 知识点02：单一图形密铺（只用一种图形） 1. 可以单独密铺的图形 （1）长方形、正方形：每个内角90°，4个内角拼在一点：90°×4=360°。 （2）平行四边形：内角和可凑360°，能密铺。 （3）三角形：任意三角形内角和180°，6个相同三角形可在一点拼成360°。 （4）梯形：任意梯形都能单独密铺。 2. 不能单独密铺的图形 （1）正五边形：内角108°， 108°×3=324°，108°×4=432°，无法凑出360°，有空隙。 （2）圆形：曲线拼接，必然留有空隙，不能密铺。 （3）正七边形、正八边形等：内角无法整除 360°，不可单独密铺。 （4）核心原理：拼接点处几个图形内角相加正好等于:360°，才能密铺。 知识点03：多种图形组合密铺 1．含义：两种及以上不同图形搭配拼接，不留空隙、不重叠。 2．常见组合：正方形+正八边形、正三角形+正六边形。 3．判断依据：拼接点所有内角之和= 360°。 知识点04：生活中的密铺应用 地砖、墙砖、蜂巢、马赛克、拼图、人行道地砖等，都是密铺设计。 【易错点】 （1）误以为所有正多边形都能密铺，正五边形不能单独密铺； （2）判断密铺只看图形形状，忽略“无空隙、不重叠”两个条件； （3）忘记密铺核心条件：拼接点内角总和为360°。 考点01：单一图形密铺 【典型例题1】密铺中的奥秘。 （1）上面几个图形，不能密铺的是（ ）。（填序号） （2）为什么它不能密铺呢？写一写原因。 【答案】（1）③ （2）图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【分析】（1）密铺的要求是：把几个图形铺在同一个点上时，拼出的角加起来刚好是360°，既不留空隙也不重叠。 （2）图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【详解】（1）①是三角形、②是平行四边形、④是正六边形，都满足密铺的角度要求，是可以密铺的。不能密铺的是③。 （2）答：图③是正五边形，它每个内角的大小是108°，无论几个108°相加，都得不到刚好360°：3个108°加起来是324°，比360°小，会留空隙；4个108°加起来是432°，比360°大，图形会重叠，所以正五边形不能密铺。 【典型例题2】如图所示，一个正方形大厅地面是由大小和形状完全相同的黑色方砖和白色方砖密铺而成，已知每块方砖的边长是2米，那么这个大厅地面的面积是（ ）平方米。 【答案】72 【分析】观察这个大厅地面可知，每两个大的白色三角形可以组成一块完整的白色方砖，四个角上的小的白色三角形可以组成一块完整的白色方砖，再加上中间4块完整的白色方砖，可知一共有9块完整的白色方砖。黑色方砖共9块，可知这个大厅地面的面积等于（9＋9）块方砖的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块方砖的面积，再乘（9＋9），即可求出这个大厅地面的面积。 【详解】2×2×（9＋9） ＝2×2×18 ＝4×18 ＝72（平方米） 这个大厅地面的面积是72平方米。 【练习1】社区观赏鱼池计划用瓷砖密铺装饰鱼池底面和鱼池的4个侧面。设计师提出以下3种方案，其中不符合密铺条件的是（     ）。 A．鱼池底面全用相同的直角三角形瓷砖，鱼池侧面全用相同的等腰梯形瓷砖 B．鱼池底面全用相同的正六边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的长方形瓷砖 C．鱼池底面全用相同的正五边形瓷砖，鱼池侧面全用相同的正方形瓷砖 【答案】C 【分析】根据题意，密铺要求瓷砖能无缝、不重叠地覆盖整个表面。密铺需要图形在拼接点处内角和为360°，正五边形每个内角为108°，无法整除360°，不能单独密铺。以此逐项分析即可。 【详解】A．底面用相同的直角三角形，侧面用相同的等腰梯形： 直角三角形可以密铺底面（任何三角形均可），等腰梯形可以密铺侧面（可排列成行覆盖矩形）。因此符合密铺条件。 B．底面用相同的正六边形，侧面用相同的长方形： 正六边形可以密铺底面，长方形可以密铺侧面。因此符合密铺条件。 C．底面用相同的正五边形，侧面用相同的正方形： 正方形可以密铺侧面，但正五边形不能密铺底面（无法使内角和恰好为360度）。因此整体不符合密铺条件。 故答案为：C 【练习2】1936年荷兰艺术家埃舍尔在参观阿尔罕伯拉宫时，发现地板、天花板、墙壁满是密铺图案的装饰，因而得到启发，创造了大量的艺术作品。关于密铺，下列说法中正确的是（     ）。 A．所有多边形都能单独密铺 B．任意一个三角形都能单独密铺 C．正五边形能单独密铺 D．圆形能单独密铺 【答案】B 【分析】判断一个图形能否单独密铺的关键：拼接点处几个内角的和必须等于360°。 【详解】A．所有多边形都能单独密铺这个说法错误，比如正五边形，每个内角是108°，3个内角和是324°，4个内角和是432°，都不等于360°，无法单独密铺； B．任意三角形的内角和是180°，在拼接点处，可以凑成360°的周角，任意一个三角形都能单独密铺这个说法正确； C．正五边形每个内角为：（5－2）×180°÷5＝3×180°÷5＝108°，无论用几个108°的角相加，都无法得到360°； D．圆形是曲线图形，拼接时圆与圆之间会有空隙，无法做到不留空隙、不重叠，不能单独密铺。 说法中正确的是任意一个三角形都能单独密铺。 考点02：多种图形组合密铺 【典型例题1】工人用如下的正六边形和等边三角形地砖铺公园的地面，它们的边长相等。如果在一个拼接点处用了2块正六边形地砖，还需要（ ）块等边三角形地砖才能密铺。 【答案】2 【分析】密铺的要求是同一个拼接点处所有地砖的角加起来刚好等于360°。已知1块正六边形的内角是120°，2块正六边形的内角和是120°×2＝240°，还剩下360°－240°＝120°，需要用等边三角形的角补齐，1块等边三角形的内角是60°，2个等边三角形的内角就是120°。 【详解】120°×2＝240° 360°－240°＝120° 2个60°是120°。 所以还需要2块等边三角形地砖。 【典型例题2】社区鱼池需要装饰，计划用瓷砖密铺鱼池底面。设计师提出以下3种方案，其中不符合条件的是（     ）。 A．用正三角形和正方形瓷砖 B．用正三角形和正五边形瓷砖 C．用正三角形和正六边形瓷砖 【答案】B 【分析】密铺的要求是拼接点处所有内角的和为，先计算各多边形的内角度数，逐项分析即可。 【详解】A．正三角形内角是60°，正方形内角是90°：3×60°＋2×90°＝180°＋180°＝360°，可以密铺。 B．正三角形内角是60°，正五边形内角是108°：找不到两种角都使用时相加等于360°的方法，不能密铺。 C．正三角形内角是60°，正六边形内角是120°：2×60°＋2×120°＝120°＋240°＝360°，或者4×60°＋1×120°＝240°＋120°＝360°，可以密铺。 【练习1】仔细观察如图的图案，它是由（ ）、（ ）、（ ）拼接组成的；它们组合到一起能否继续密铺下去？（ ）（填“能”或“否”） 【答案】 等边三角形 正方形 正六边形 能 【分析】等边三角形：三条边都相等，三个角都相等；正方形：四条边都相等，四个角都是直角；正六边形：六条边都相等，六个角都相等。图形之间没有缝隙也不重复，叫做密铺，依此解答。 【详解】仔细观察如图的图案，它是由等边三角形、正方形、正六边形拼接组成的（先后顺序不唯一）；它们组合到一起能否继续密铺下去？能。 【练习2】鹏鹏家装修，需要将下图中的区域用瓷砖铺满。请你在下面几种瓷砖中选择一种或几种，在图中画出铺法（不切割瓷砖），并填空。（单位：分米） 我选用（     ）号瓷砖，共需要（     ）块。 【答案】①；12（答案不唯一） 【分析】除了正五边形不可以，其余都可以单独，或组合铺满图中区域。 其中①②③可单独铺满图中区域，④需要与其它组合可铺满。选择一种铺满后数一数。 【详解】答案不唯一，合理即可。如： 选用（①）号瓷砖，共需要（12）块。 选用（②）号瓷砖，共需要（6）块。 选用（③）号瓷砖，共需要（12）块。 选用（①④）号瓷砖，共需要（9）块。 选用（②③④）号瓷砖，共需要（8）块。 选用（①②③④）号瓷砖，共需要（8）块。 一、选择题 1．下面是用同一形状的图形拼成的图案，属于密铺的是（     ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】密铺是在平面上用相同形状图形拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面。据此判断。 【详解】A．拼接后没有空隙，属于密铺； B．拼接后有空隙，不属于密铺； C．拼接后有空隙，不属于密铺。 所以，属于密铺的是。 2．下列图形中不能单独密铺的是（    ）。 A．圆和正六边形 B．正五边形和三角形 C．圆和正五边形 【答案】C 【分析】密铺是指图形拼接处不留空隙、不重叠，连续铺成一片。判断图形能否单独密铺，主要看拼接点处的几个内角之和是否等于360°。 【详解】圆是由曲线围成的图形，拼接时中间会有空隙，不能单独密铺；正五边形每个内角是108°，无论几个108°都无法凑出360°，不能单独密铺；正六边形每个内角是120°，3个120°可凑出360°，能单独密铺；任意三角形的内角和是180°，能单独密铺。 因此，圆和正五边形均不能单独密铺。 3．下面两个图形，一个能密铺，一个不能密铺，说明密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是（     ）。 A．180° B．360° C．540° 【答案】B 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺；观察题图可知第二幅图能密铺，将图二中的同一个顶点上的几个角的度数相加，即可得出这几个角的度数之和；据此解答。 【详解】80°＋90°＋60°＋130° ＝170°＋60°＋130° ＝230°＋130° ＝360° 所以密铺时在同一个顶点上的几个角的度数和正好是360°。 故答案为：B 4．下列图形中，（     ）不是密铺。 A． B． C． 【答案】A 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360°的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；据此即可解答。 【详解】A．五边形的内角和是540°，不能整除360°，不能密铺；         B．四边形的内角和是360°，能整除360°，可以密铺；         C．三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺；     所以上面图形中，A不是密铺。 故答案为：A 5．瓷砖厂最新出品了4款瓷砖，可以密铺的是（       ）。 A．②③④ B．①②④ C．①②③ 【答案】B 【分析】密铺只看外围基础正多边形内角，内部花纹不影响能否密铺，在拼接顶点处，若干个内角相加刚好等于360°，不能有空隙、不能重叠，360°能被单个内角度数整除，即可单独密铺。 【详解】正三角形内角60°：360÷60＝6，可以密铺； 正方形内角90°：360÷90＝4，可以密铺； 正五边形内角108°：360÷108不能整除，无法密铺； 正六边形内角120°：360÷120＝3，可以密铺； 所以，可以密铺的是①②④。 6．关于密铺的说法正确的是（     ）。 A．边数是单数的多边形都不能密铺 B．凡是完全相同的正多边形都可以密铺 C．凡是完全相同的平行四边形都能密铺 【答案】C 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重叠，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。在拼接时，同一顶点处多个多边形的内角和是360度的可以密铺；任何弧线图形不能密铺；除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面；所有任意三角形与任意四边形都可以密铺。 【详解】A．三角形的内角和是180°，2个180°是360°，三角形可以密铺，原说法错误。 B．除正三角形、正四边形和正六边形外，其他正多边形都不可以密铺平面，原说法错误。 C．平行四边形的内角和是360°，平行四边形可以密铺，原说法正确。 故答案为：C 二、填空题 7．拼一拼，看一看。 这是正五边形，居然（ ）密铺。正五边形每个内角是108°，108°×3＝324°，拼接处不是（ ）°。 原来，密铺与图形的角有关系。只要图形的内角和能合成（ ）°就可以密铺。 【答案】 不能 360 360 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。密铺的图形的公共顶点处的角的度数之和正好是360°。 判断几种图形拼接后是否构成密铺，要看图形之间有没有空隙和重复；也可以计算公共顶点处几个角的度数之和是否等于360°。 【详解】图中三个正五边形拼接后仍然有空隙，因此正五边形不能密铺。 因为正五边形的每个内角都是108°，，在每个拼接点处的内角不能保证没有空隙或没有重叠现象。 只要图形的内角和能合成360°就能密铺。 8． 除了用同种图形可以密铺，用不同种图形也可以密铺！试一试。 我发现：图中的（ ）形和（ ）形可以密铺；我还知道（ ）形和（ ）形可以密铺。 【答案】 正方 三角 长方（答案不唯一） 正方（答案不唯一） 【分析】用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是密铺。拼接处各个内角和等于360°，就可以密铺。 【详解】观察图片可知，图中明显存在正方形和三角形，它们无重叠、无间隙地铺满了平面，所以图中的正方形和三角形可以密铺； 长方形和正方形的边都是直的，且它们的内角都是90°，多个长方形和正方形拼接时，在拼接点处内角和能等于360°，边也能互相重合，所以长方形和正方形可以密铺。 9．为了在火星表面快速搭建可居住的模块化舱室，工程师们设计了一种“零废料”智能铺设系统。该系统要求地面材料必须能够单独密铺，以最大化利用珍贵的3D打印建材，并适应火星复杂的重力环境。请你帮助工程师从资源库中选出三种能够单独密铺的图形：（ ）、（ ）、（ ）。 【答案】 正方形 长方形 等边三角形 【分析】明确单独密铺的判定核心：因为同一顶点处多个图形的内角和需恰好为360°，所以首先要回忆常见平面图形的内角度数，判断其整数倍是否能等于360°。 再考虑非正多边形：根据任意三角形内角和为180°、任意四边形内角和为360°的性质，可判断这两类图形是否满足密铺条件。 【详解】正方形和长方形的内角和是360°，等边三角形的内角和是180°，180°的2倍是360°。 能够单独密铺的图形有正方形、长方形和等边三角形。（答案不唯一） 10．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是（ ），像这样的四边形（ ）单独密铺。（填“能”或“不能”） 【答案】 梯形 能 【分析】两组对边都平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形； 用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，如果该图形的内角和正好能被360°整除，则可以密铺，据此填空即可。 【详解】一组对边平行，且长度不相等，另一组对边不平行，这一定是梯形； 梯形的内角和是360°，用4个相同的梯形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用梯形密铺，拼接点处有4个角；所以梯形能密铺，即像这样的四边形能单独密铺。 11．下面哪些是密铺？画“√”。 （     ）        （     ）      （    ）      （     ）       （     ）      （     ） 从上面可以看出：相同的（     ）、（     ）、（     ）和（     ）能密铺，密铺拼接处的角的度数和是（     ）°，（     ）和（     ）不能密铺。 【答案】（√）（√）（    ）（√）（√）（    ）； 平行四边形；梯形；正六边形；三角形；360；正五边形；圆 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺，关键看拼接处几个角的度数和是否为360°。 【详解】平行四边形：内角和为360°，每个内角可通过拼接使和为360°，能密铺。   梯形：内角和为360°，同样可通过拼接满足密铺条件，能密铺。   正五边形：每个内角约108°，，，无法拼成360°，不能密铺。   正六边形：每个内角为120°，3个120°相加为360°（），能密铺。    三角形：内角和180°，6个三角形的6个内角可拼成360°，能密铺。    圆：边缘是曲线，拼接时会有空隙，不能密铺。     答：根据密铺的定义和上述分析，①、②、④、⑤能密铺。 从上面可以看出：相同的平行四边形、梯形、正六边形和三角形能密铺，密铺拼接处的角的度数和是360°，正五边形和圆不能密铺。 12．下面的图案是用哪些图形密铺的？（ ）、（ ）和（ ）。 【答案】 正方形 等边三角形 正六边形 【分析】根据密铺的意义，用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺。 【详解】图案中用了正方形、等边三角形和正六边形来密铺。 13．为了美化校园环境，学校要对教室的地面铺地砖，通过筛选得到四种图案，可以密铺的是（ ）。 【答案】①②④ 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。 能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 正三角形的每个内角是60°，能整除360°，可以密铺。 正方形的每个内角是90°，能整除360°，可以密铺。 正五边形的每个内角是108°，不能整除360°，不可以密铺。 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以密铺。 综上可知，可以密铺的是①②④。 14．图形的密铺。 （1）经过观察，我们会发现组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为（ ）度。 （2）能单独进行密铺的图形还有（ ）（ ）等，不能单独进行密铺的图形还有（ ）等。 【答案】（1）360 （2） 等边三角形 长方形 圆 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片，能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360度，并使相等的边互相重合。 （1）周角为360度，观察三个图片可以发现，组成密铺的图形公共顶点处的角为周角，度数为360度。 （2）密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。在密铺中，公共顶点处各个角拼在一起的度数和必须是360度，这样才能保证拼接处没有空隙和重叠。例如：等边三角形：每个内角是60度，因为60°×6＝360°，所以6个等边三角形的内角可以在公共顶点处拼成360度，能单独密铺，长方形：每个内角是90度，90°×4＝360°，所以4个长方形的内角能在公共顶点处拼成 360度，能单独密铺。圆没有角，在拼接时圆与圆之间必然会有空隙，所以不能单独进行密铺。 【详解】（1）由分析可知，组成密铺的图形公共顶点处角的度数和为360度。 （2）由分析可知， 等边三角形：60°×6＝360° 长方形：90°×4＝360° 所以能单独进行密铺的图形还有等边三角形、长方形等，不能单独进行密铺的图形还有圆等。（答案不唯一） 三、作图题 15．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 【答案】见详解 【分析】观察涂色三角形的形状和六边形的特点，由于六边形的内角和为720°，正六边形每个内角是120°，而该三角形可以通过拼接组成六边形的内角。从六边形的中心出发，连接各个顶点，这样就可以把六边形分割成6个与涂色部分同样的三角形，从而清晰看出密铺方式。 【详解】 四、解答题 16．淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：________________ 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（     ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 【答案】（1）剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张 （2）锐角；钝角；直角 （3）两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【分析】（1）等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺，再根据第三步下面的图，提出锐角三角形、钝角三角形、直角三角形能否密铺呢，剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 （2）通过观察第三步的图可知，锐角三角形，钝角三角形，直角三角形都能密铺。 （3）结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），这启示我们，任意三角形同样具备密铺的能力。 【详解】淘气在黑板报上看到一个正六边形图案（如图）。这个正六边形是由6个等边三角形拼成，图形中间没有空隙，也不重叠，是密铺。淘气产生了一个疑问：等边三角形能密铺，其他类别的三角形能不能密铺呢？他设计了以下研究步骤来解决这个问题： 第一步：剪出完全相同的锐角三角形、钝角三角形、直角三角形各若干张。 第二步：将每种三角形进行拼摆并观察拼摆结果。 第三步：依据拼摆结果得出结论。 （1）淘气设计的研究步骤的第一步是什么？请写在上面的横线上。 （2）请将第三步的研究结论在（    ）里补充完整。 （3）请以下图为例分析解释：为什么三角形可以密铺？ 结合图可知：两个全等的直角三角形可以拼成长方形，长方形可以单独密铺，因此，直角三角形也可以单独密铺。再由此推出所有三角形都可以单独密铺。 由于两个全等的任意三角形都能组合成一个平行四边形（或长方形或正方形），因此，任意三角形同样具备密铺的能力。 17．小丽在探究密铺时，选择了三角形与四边形进行研究，如下图： （1）在活动中，小丽认为密铺和图形的角有关系，你认为小丽的发现对吗？如果和角有关，应该是怎样的关系？ （2）所有的平面图形都能密铺吗？说明你的想法。 【答案】（1）（2）见详解 【分析】（1）图中三个图形分别是将相同图形的角按序号标好，然后进行密铺。密铺后发现在公共顶点上几个角度数的和是360°。如：第一幅图中，中间有公共顶点的2个∠1、2个∠2和2个∠3拼在一起，因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，所以这6个角度数的和是360°。第二、三幅图中有公共顶点的∠1、∠2、∠3、∠4度数的和也是360°。由此可以发现，密铺后的图形在公共顶点上的几个角度数的和是360°。 （2）用举反例的方法，例如圆是平面图形，它的边是曲线，拼接时会产生空隙，无法满足拼接点处角的和为的要求，因此不能密铺。 【详解】（1）小丽的发现是对的。密铺和图形的角有关，关系是：拼接在同一个点的各个角的度数之和正好等于360°，这样才能实现不留空隙、不重叠的密铺。 （2）不是所有的平面图形都能密铺。例如圆是平面图形，它的边是曲线，拼接时会产生空隙，无法满足拼接点处角的和为的要求，因此不能密铺。 18．为创建文明校园，美化校园环境，学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛（如下图），围成这个花坛一共需要篱笆多少米？ 【答案】87米 【分析】根据题意，已知学校用篱笆围了4个边长为3米的正八边形花坛，首先用3乘8，求出一个正八边形的周长，再乘4，就是4个正八边形的周长；多加了3个3米的边，就是3×3＝9（米），所以，再减去9，就是围成这个花坛一共需要篱笆的长度；列式计算即可。 【详解】根据分析可知： 3×8×4－（3×3） ＝24×4－9 ＝96－9 ＝87（米） 答：围成这个花坛一共需要篱笆87米。 19．阅读与解答。 同学们，在我们的生活中密铺现象无处不在，比如家里的瓷砖、蜂巢的结构、美丽的镶嵌画等。 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形不留空隙、不重叠地拼接在一起，就叫做图形的密铺。其中只用一种图形是单独密铺，使用多种图形是组合密铺。密铺现象在我们的生活中随处可见，那为什么有的图形可以，有的图形不可以密铺呢？我们一起来研究一下。 （1）观察三角形密铺的规律，列式说明正方形和普通四边形可以密铺的理由，完成表格。 正三角形 普通三角形 正方形 普通四边形 （2）观察上表可以发现当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是_______°时一定可以密铺。 （3）下面图形中不可以单独密铺的是（     ）。 A．直角三角形 B．梯形 C．正五边形 D．正六边形 （4）下图是两种平行四边形的组合密铺，请用密铺的知识分别求出∠1、∠2和∠3的度数。 【答案】（1） 正三角形 普通三角形 正方形 普通四边形 90°×4＝360° ∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝周角＝360° （2）360 （3）C （4）∠1＝72°；∠2＝108°；∠3＝144° 【分析】（1）正方形的内角和是360°，四边形的内角和是360°，据此解答即可； （2）通过计算发现：当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是360°时一定可以密铺。 （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺；四边形的内角和是360°，能整除360°，可以密铺；五边形的内角和是540°，不能整除360°，不能密铺；因为正六边形的每个内角都是120°，正六边形的3个角拼在一起正好等于360°，可以密铺；据此即可解答。 （4）5个∠1组成一个周角，∠1＝周角÷5；∠2＝（平行四边形的内角和－∠1×2）÷2；∠3＝周角－∠2×2。 【详解】（1）表格略； （2）发现：当图形中每个拼接点周围各个角的度数之和是360°时一定可以密铺。 （3）A．三角形的内角和是180°，能被360°整除，可以单独密铺； B．梯形是四边形，内角和是360°，可以单独密铺； C．（5－2）×180° ＝3×180° ＝540°，不能整除360°，不能单独密铺； D．（6－2）×180° ＝4×180° ＝720°，720°是360°的倍数，正六边形的每个内角都是120°，正六边形的3个角拼在一起正好等于360°，可以密铺。 （4）360°÷5＝72° （360°－72°×2）÷2 ＝216°÷2 ＝108° 360°－108°×2 ＝360°－216° ＝144° 答：∠1＝72°，∠2＝108°，∠3＝144°。 20．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，其中记载了多边形的内角和的计算公式，一起来探究一下。 （1）从下面图形的一个顶点出发，可以画出一条或几条线段，能将其分成若干个三角形。在图上先画一画，再填表。 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 180°×（     ）＝（      ）。 五边形 180°×（     ）＝（       ）。 六边形 180°×（    ）＝（      ）。 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为加n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，这些线段把多边形分成（     ）个三角形，这个多边形的内角和是（     ）（从下面的选项中选序号）。 ①180°×n        ②180°×（n－1）    ③180°×（n－2）    ④180°×（n－3） （3）请你从上面三种图形中，任选一种设计出密铺图案。 【答案】（1） 形状 分成的三角形个数 内角和 四边形 四边形中共画出1条线段，将其分成2个三角形， 180°×（2）＝（360°）。 五边形 五边形中共画出2条线段，将其分成3个三角形 180°×（3）＝（540°）。 六边形 六边形中共画出3条线段，将其分成4个三角形， 180°×（4）＝（720°）。 （2）③ （3） 【分析】（1）（2）从多边形的一个顶点作与不与它相邻顶点的连接线，将求多边形内角和变成几个三角形内角和的和，并找出求多边形内角和的规律，即可解答； （3）几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，据此选择平行四边形并设计出密铺图案即可。 【详解】（1）略 （2）由此猜测：按上述方式，从边数为n（n＞3）的多边形的一个顶点出发向与其不相邻的顶点画线段，最多能画（n－3）条，这些线段把多边形分成（n－2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可推导出n边形的内角和是180°×（n－2），这个多边形的内角和是③。（3）360°÷360°＝1 图略。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $