广西壮族自治区贺州市部分校2026-2027学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数满足，则（ ） A.1 B. C. D. 2.已知，，集合，集合，若，则（ ） A.1 B.2 C.4 D.8 3.等腰直角中，，，点，分别是边，的中点，则的值为（ ） A. B.1 C. D. 4.在三棱锥中，，，则三棱锥的体积是（ ） A. B. C. D. 5.已知双曲线：（，）的左焦点为，为坐标原点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于点，，若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6.甲乙丙丁等6人，每3人站一排，第一排甲乙必须站在一起，第二排丙丁必须站在一起，则不同的站位方法是（ ） A.10 B.16 C.32 D.64 7.已知，则（ ） A. B. C. D. 8.定义在上的函数对任意，（），都有，且关于中心对称，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知圆：与圆：（），则下列说法正确的有（ ） A.若，则两圆外离 B.若两圆相交，则 C.若，则两圆的公共弦所在直线方程为 D.若，则直线为两圆的公切线 10.设为等差数列的前项和，已知，，则（ ） A.数列的公差为 B.与的等比中项为 C. D.当取得最大值时，或6 11.抛物线：（）的焦点为，直线：过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，则（ ） A.抛物线的焦点到准线的距离为4 B.若点的坐标为，则周长的最小值为9 C.当时， D.以线段为直径的圆交轴于、两点，设线段的中点为，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知，则_________． 13.已知函数，若为偶函数，则在处的切线方程为_________． 14.在正三棱台中，,，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）在频率分布直方图中，如果一组数据的众数＞中位数＞平均数，我们称这组数据呈左偏分布；如果一组数据的众数＜中位数＜平均数，我们称这组数据呈右偏分布．在某市的教师招聘考试中，随机抽取50名考生对他们的笔试成绩进行统计，将结果绘制成如下的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，请判断这50名考生笔试成绩的分布情况； （2）若考生的笔试成绩不低于130分视为优秀，用频率估计概率，现从该市所有参加教师招聘考试的考生中随机抽取5名考生，笔试成绩优秀的人数用表示，求的数学期望与方差． 16.（15分）如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，为中点，点在棱上，且，． （1）当时，求证：平面； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值． 17.（15分）在中，，，分别是角，，的对边，若且． （1）求； （2）设角的平分线交边于点，求长度最大值． 18.（17分）已知椭圆：（）的离心率为，焦距为4． （1）求椭圆的方程； （2）椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上且位于轴上方．射线，分别交于点，，直线交于另一点． （ⅰ）求直线与的斜率之比； （ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率（）． 19.（17分）若函数满足：对任意正数，，都有，则称函数为“函数”． （1）试判断函数与是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）若函数为“函数”，，对任意正数、，都有，，证明：对任意（），都有． 高三数学答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A B D B C A C BD ACD ABD 1.C【详解】由题意可得：，，，． 2.A【详解】因为，则，，，则． 3.B【详解】，，，且，． 4.D【详解】取中点，连接，，过点作，由条件可得为等边三角形，为中心，则，所以，则． 5.B【详解】根据题意，又为等腰直角三角形，所以，则，即，整理得，即，解得或（舍），所以． 6.C【详解】第一排甲乙站一起有两种可能，同理第二排丙丁站一起也有两种可能，甲乙和丙丁内部顺序分别为：，，其他人直接全排列，所以有种． 7.A【详解】由，得，得， 则． 8.C【详解】对任意，（），都有，所以函数是上的减函数．函数的图象向左平移一个单位变成函数的图象， 因为函数关于中心对称，所以函数关于对称，即是奇函数． 由 ，，由，，由． 9.BD【详解】由圆：，得圆心，半径， 由圆：（），得圆心，半径． 对于A，若，，两圆外切，故A错误； 对于B，由两圆相交，得，即，解得，故B正确； 对于C，若，则：，此时，所以两圆相交，因为两圆方程作差得，所以两圆的公共弦所在直线方程为，故C错误； 对于D，若，则到直线的距离，到直线的距离，所以直线为两圆的公切线，故D正确． 10.ACD【详解】A.设等差数列的公差为，，得解得，A 正确； B.，，与的等比中项为，而，B错误； C.由等差数列求和公式得，C正确； D.，，对称轴为，开口向下，∴当取得最大值时，或6，D正确． 11.ABD【详解】对于A，由直线：与轴的交点为，得焦点，准线方程为， 因此抛物线的焦点到准线的距离，A正确； 对于B，由点，，过点作准线的垂线，垂足为， 则周长为， 当且仅当，，共线时取等号，B正确； 对于C，设直线与抛物线的准线交于点，过点作准线的垂线，垂足为， 设，则，，由，即， 得，则，因此直线的倾斜角为，斜率，C错误； 对于D，由，得，， 所以，则， ，到轴的距离为， ，当且仅当时取得等号，故D正确． 12.1【详解】根据二项式展开式可知， 当，即时，可得，即． 13.【详解】由题得，解得，可得的定义域为． 又因为为偶函数，其定义域关于原点对称，所以，则， 此时，满足为偶函数．当时，，则， 所以，，则在处的切线方程为． 14.【详解】设平面，的中心分别为，，连接，，， 设球与底面的交线上一个动点为，作图如下： 因为为正三棱台，故面，且 在中，；在中，； 取中点为，则，且，故四边形为平行四边形，故，则面；连接，，又面，故；在中，，，则，故点的轨迹是以为圆心，且2为半径的圆弧上，如图所示， 也即弧；又底面为等边三角形，故，又在以为圆心，且2为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为，由弧长公式可知弧的长度为．也即球与底面的交线长是． 15.（1）估计笔试成绩的平均分为： 因为，，所以中位数在内．设笔试成绩的中位数估计为，则，解得，所以笔试成绩的中位数估计为119； 估计笔试成绩的众数为125． 因为众数＞中位数＞平均数，所以这50名考生笔试成绩呈左偏分布． （2）笔试成绩优秀概率为，由题意可得， 所以，． 16.取的中点，连接，因为三棱柱为直棱柱，且为正三角形，以、、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 根据已知条件得、、、、， （1）当时，，则，所以，，， 所以，，所以，， 又，、平面，所以平面． （2）易知，则， 当时，点，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以， 故当时，求直线与平面所成角的正弦值为． 17.（1）由题意，， ，整理得：， ，，，又，， 由正弦定理得：，， ，，即，，． （2）由余弦定理，，即， 当且仅当时，等号成立．又， 化简可得，． 所以， 当且仅当时等号成立．故长度的最大值为． 18.（1）由题意得，， 解得，，，故椭圆的方程为． （2）（ⅰ），设直线的方程为， 与：联立得：． 设，，则，，于是 ． 又，故． （ⅱ）由与的面积相等，得与的面积相等，故有． 延长交于点，因为，由椭圆的对称性知，四边形为平行四边形，故 ． 设直线方程为，，与椭圆方程联立得：，， 设，，则，， 故， 得，得， 得，解得，． 19.（1）对于任意，，，，所以，即成立，故是“函数”； 对于，取，则，． 因为，故不是“函数”． （2）因为函数是“函数”，所以对于任意的，，有恒成立，即恒成立， 所以恒成立，又，，故，，则，则，即，即实数的取值范围为． （3）由函数为“函数”，可知对于任意正数，，都有，，且，令，可知，即， 故对于自然数与正数，都有， 对任意（），可得，又， 所以， 同理， 故． 学科网（北京）股份有限公司 $