专题02 圆的周长和面积（计算专项讲义）数学北师大版六年级上册（新教材）

该小学数学“圆的周长和面积”计算专项讲义通过知识框架系统构建单元体系，从基础概念（如圆的周长、面积定义）到核心公式（C=πd、S=πr²），再到拓展题型（半圆、圆环、组合图形）和易错点避坑，用层级结构呈现知识脉络，清晰展示重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“高频拓展题型+经典模型”的练习设计，如“方中圆”模型通过正方形与内切圆的关系推导阴影面积公式，培养几何直观和推理意识。专项训练覆盖基础计算到复杂组合图形，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化模型思维，助力教师实施分层教学与精准复习。

专题02 圆的周长和面积（计算专项讲义） 题型01 圆的周长 题型02 圆的面积 题型03 含圆的组合图形面积计算 题型01 圆的周长 一、基础核心概念 ‌圆的周长定义‌：围成圆的封闭曲线的总长度，直观来说就是车轮滚动一圈走过的距离，圆的大小由半径/直径决定，周长也随之变化。 ‌化曲为直测量法‌：教材要求掌握两种实操测量方法，把曲线长度转化为可直接测量的直线长度： 滚动法：在圆边缘做标记，贴着直尺滚动一周，直接读出滚动的刻度长度。 绕绳法：用细绳紧贴圆的边缘绕一圈，标记后把绳子拉直，测量绳子的长度。 二、圆周率核心知识点 实验探究规律：通过测量多个不同大小的圆片，计算周长和直径的比值，会发现圆的周长总是直径的‌3倍多一些‌，这个比值是固定不变的。 圆周率定义：这个固定的比值叫做圆周率，用希腊字母‌π‌表示，它是一个无限不循环小数，日常计算时通常取近似值‌π≈3.14‌。 数学文化拓展：我国南北朝数学家祖冲之，通过“缀术”推算出圆周率精确值在3.1415926和3.1415927之间，是世界上最早把圆周率精确到小数点后7位的数学家。 三、核心计算公式 北师大版教材明确要求掌握两个基础公式，以及对应的逆向推导公式，可根据已知条件灵活选用： 已知直径求周长：C=πd，直接用直径乘圆周率，计算更简便。 已知半径求周长：C=2πr，利用直径是半径的2倍推导而来。 逆向推导公式： 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷2÷π 四、高频拓展题型 这部分是考试的拉分重点，北师大版教材的练一练中多次出现相关题型： ‌半圆周长‌：注意不能只算圆周长的一半，必须额外加上一条直径的长度，公式为C半圆​=πr+2r，很多同学容易漏掉直径部分导致出错。 ‌圆环周长‌：不是圆环的单边长度，而是内外两个圆的周长之和，公式为C圆环​=2πR+2πr。 ‌组合图形周长‌：比如“圆周长的一半+直径”“两个半圆拼接的跑道型图形”，解题核心是把所有外围的曲线和直线部分分段拆分，再把各段长度相加，避免重复计算内部线段。 ‌内切圆周长‌：在正方形里画最大的内切圆，圆的直径和正方形的边长完全相等，直接用边长代入公式计算圆的周长即可。 五、高频易错点避坑 概念混淆：把“圆周长的一半”和“半圆的周长”划等号，忘记半圆周长必须包含直径部分。 公式混用：已知半径时直接用C=πr计算，漏掉乘2的步骤，导致结果直接减半。 圆周率误解：误以为π就等于3.14，实际上3.14只是它的近似值，π是无限不循环小数。 单位遗漏：计算过程中忽略题目给出的单位，或者最后结果漏写长度单位，导致不必要的扣分。 生活场景失误：计算车轮滚动n圈的前进距离时，忘记用单圈周长乘圈数，直接把单圈周长当作总路程。 【典例1】求出下面圆的周长。 【答案】 【分析】由图可知，圆的半径是，圆的周长公式为（为半径），将半径的数值代入该公式即可计算周长。 【详解】 所以，圆的周长是。 【专项训练1】求下面图形的周长。 【答案】94.2cm；36.56dm 【分析】（1）已知圆的半径是15cm，直接用圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入计算。 （2）这个图形的周长由一个直径8dm的圆的周长的一半和三条长8dm的直边组成，分别求出再相加。 【详解】2×3.14×15 ＝6.28×15 ＝94.2（cm） 3.14×8÷2＋8×3 ＝25.12÷2＋24 ＝12.56＋24 ＝36.56（dm） 【专项训练2】计算下面图形的周长。（单位：厘米）            【答案】57.7厘米；31.4厘米 【分析】第一个图形的周长＝圆周长的一半＋两个16厘米＋一个10厘米；第二个图形的周长＝半径为5厘米的圆周长的一半＋一个直径为5厘米的圆周的周长；据此解答即可。 【详解】3.14×10÷2＋16×2＋10 ＝3.14×5＋32＋10 ＝15.7＋32＋10 ＝57.7（厘米） 3.14×5＋3.14×5 ＝15.7＋15.7 ＝31.4（厘米） 【专项训练3】计算下面各图形的周长。 【答案】18.84cm；30.56cm 【分析】（1）这是一个完整的圆，已知半径是3cm，根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，代入数值计算。 （2）这个图形的周长由直径8cm的半圆弧长、两条5cm的边、一条8cm的底边组成；先根据圆的周长公式C＝2πr，求出圆的周长，再除以2求出半圆的弧长，最后把几条直边长度相加。 【详解】（1）2×3.14×3 ＝6.28×3 ＝18.84（cm） （2）8＋5×2＋8×3.14÷2 ＝8＋10＋25.12÷2 ＝18＋12.56 ＝30.56（cm） 【专项训练4】求下方图形的周长（π取3.14）。 【答案】27.42dm 【分析】观察图形，可知图形的周长可以看作由一条一半圆弧和3条直径组成，所以图形的周长＝πd÷2＋3d。 【详解】3.14×6÷2＋3×6 ＝9.42＋18 ＝27.42（dm） 【专项训练5】求下图的周长。                  【答案】46.26cm 【分析】图片的周长＝半圆弧长＋一个直径 半圆弧长＝2πr÷2（π取3.14） d＝2r（d是直径，r是半径） 【详解】18÷2＝9（cm） 2πr÷2 ＝2×π×9÷2 ＝9π ＝9×3.14 ＝28.26（cm） 28.26＋18＝46.26（cm） 所以图片的周长为46.26cm。 【专项训练6】求下面图形的周长。 【答案】20.56cm 【分析】观察图形：它是4个完全一样的半圆，每个半圆的直径都是2cm，一个半圆的周长＝圆周长的一半＋直径＝πr＋d，一个半圆周长×4＝整个图形的周长。 【详解】3.14×（2÷2）＋2 ＝3.14×1＋2 ＝3.14＋2 ＝5.14（cm） 5.14×4＝20.56（cm） 【专项训练7】计算下面图形的周长。 【答案】91.4cm 【分析】封闭图形一周的长度叫做周长，图中周长是直径为20cm圆周长的一半，加3条20cm长的线段，用算出圆的周长除以2再加20乘3即可。 【详解】 （cm） 【专项训练8】求涂色部分的周长。（π取3.14） 【答案】81.64厘米 【分析】涂色部分的周长组成是3段半圆弧的长度和，最外侧大半圆的直径是16＋10＝26厘米，左下方空白半圆的直径是16厘米，右下方空白半圆的直径是10厘米，根据圆的周长公式C＝πd，可以得到半圆弧长为圆的周长的一半，据此把三段弧长加起来并计算即可。 【详解】16＋10＝26（厘米） 3.14×26÷2＋3.14×16÷2＋3.14×10÷2 ＝81.64÷2＋50.24÷2＋31.4÷2 ＝40.82＋25.12＋15.7 ＝65.94＋15.7 ＝81.64（厘米） 因此涂色部分的周长是81.64厘米。 【专项训练9】求下图阴影部分的周长。（单位：厘米） 【答案】51.4厘米 【分析】由图可知，阴影部分的周长为两个半圆弧的长度加上两个10厘米，也就是一个整圆的周长再加上两个10厘米即可；圆的周长＝，其中圆的半径为5厘米。 【详解】 （厘米） 【专项训练10】计算下面图形的周长。 【答案】24.56cm 【分析】观察图形可知，该图形的周长由上下两条线段和左右两个半圆的弧长组成。 左右两个半圆的直径均为4cm，两个半圆合起来正好是一个完整的圆，其直径为4cm。根据圆的周长公式C＝πd（其中d为直径，π取3.14），可得这个圆的周长；再加上下两条线段的长度即可。 【详解】3.14×4＋6×2 ＝12.56＋12 ＝24.56（cm） 题型02 圆的面积 一、基础核心概念 ‌圆的面积定义‌：圆形物体所占平面的大小，就是圆的面积。 估算方法：可以用数格子的方式粗略估算圆的面积，但这种方法无法得到精确结果。 核心数学思想：推导过程中渗透了‌化曲为直‌和‌极限‌的数学思想，把曲线图形转化为熟悉的直线图形来计算面积。 二、公式推导过程 这是北师大版教材要求重点掌握的动手探究内容： 把一个圆形纸片沿着半径平均分成8等份、16等份、32等份，剪开后交叉拼接。 分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近一个标准的平行四边形（甚至长方形）。 拼接前后图形的总面积完全不变，也就是圆的面积等于拼成的近似长方形的面积。 对应关系：近似长方形的长，相当于圆周长的一半（长度为πr）；近似长方形的宽，正好等于圆的半径r。 最终推导：因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积S=πr×r=πr2。 三、核心计算公式 根据已知条件的不同，可灵活选用不同形式的面积公式： 已知半径求面积：S=πr2，这是最基础的标准公式。 已知直径求面积：先算出半径r=d÷2，代入公式得到S=π(d÷2​)2。 已知周长求面积：先算出半径r=C÷2÷π，代入公式得到S=π(C÷2π)2。 四、高频拓展题型 这些是单元测试和小升初的高频考点，北师大版教材的配套练习中多次出现相关题型： ‌半圆面积‌：直接用整圆面积除以2即可，公式为S半圆​=πr2÷2​，注意和半圆周长区分开，半圆周长需要额外加直径。 ‌圆环面积‌：外圆半径为R，内圆半径为r，公式为S圆环​=πR2−πr2=π(R2−r2)，其中R=r+环的宽度。 ‌内切圆面积‌：在正方形里画出的最大内切圆，圆的直径和正方形的边长完全相等，直接用边长算出半径后代入面积公式即可。 ‌外切圆面积‌：在圆内画出的最大正方形，正方形的对角线长度等于圆的直径，可通过对角线算出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到阴影部分面积。 五、高频易错点避坑 公式计算失误：计算r2时误算成r×2，把半径的平方错当成半径的2倍，导致结果完全错误。 概念混淆：把圆周长的一半和半圆周长、圆面积的一半和半圆面积的概念搞混，漏掉半圆周长里的直径部分。 条件误用：已知直径直接代入S=πd2计算，忘记先把直径除以2得到半径，再代入公式。 单位混淆：计算过程中半径、直径的单位不统一，直接混算导致结果单位错误。 规律误解：误以为圆的半径扩大2倍，面积也跟着扩大2倍，实际上圆的半径扩大n倍，面积会扩大n2倍，也就是半径扩大2倍，面积扩大4倍。 【典例2】计算下面图形的面积。 【答案】50.24cm2 【分析】根据圆的直径等于半径的2倍，求出半径。再根据圆的面积公式，代入数值计算。 【详解】8÷2＝4（cm） 【专项训练1】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】1712平方厘米 【分析】先根据直径是半径的2倍，求得半圆的半径。如图可知空白部分是直角三角形，其中两条直角边都是半圆的半径，所以这是一个等腰直角三角形。用半圆的面积减去空白三角形的面积就是阴影部分的面积。 【详解】80÷2＝40（厘米） ＝5024÷2 ＝2512（平方厘米） 40×40÷2＝800（平方厘米） 2512－800＝1712（平方厘米） 【专项训练2】求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】1.86平方厘米 【分析】阴影部分的面积＝梯形面积圆面积的三角形的面积，，圆的面积公式，。 【详解】梯形的面积： ＝7×2÷2 ＝7（平方厘米） 圆面积的： 3.14× ＝3.14×4× ＝3.14（平方厘米） 三角形的面积： 2×2÷2＝2（平方厘米） 阴影部分的面积： ＝1.86（平方厘米） 答：阴影部分的面积是1.86平方厘米。 【专项训练3】求出下面阴影部分的面积。（结果保留π）。 【答案】12.5πcm2 【分析】这是一个等腰直角三角形，所有阴影扇形的半径都是5cm，三角形的两个锐角加起来是，再加上中间大扇形的圆心角，所有阴影扇形的圆心角总和刚好是，也就是这些阴影拼起来刚好是半个半径为5cm的圆。根据圆的面积公式，然后除以2就是半个圆的面积，据此解答。 【详解】 ＝π×25÷2 ＝12.5π（cm2） 因此，阴影部分的面积是12.5πcm2。 【专项训练4】计算如图阴影部分的面积。 【答案】8.37平方厘米 【分析】看图可知，阴影部分的面积等于上底是6厘米、下底是9厘米、高是半圆半径的梯形的面积减去直径为6厘米的圆面积的一半，由此即可得到答案。 【详解】 （平方厘米） 【专项训练5】求涂色部分的面积。（单位cm） 【答案】； 【分析】（）先判断涂色部分为个相同的半圆，因为半圆的直径等于正方形边长，所以可将个半圆合并为个完整的圆，代入圆的面积公式计算总面积。 （）先确定涂色部分可转化为个直径为的半圆的面积和，减去直角边为的等腰直角三角形的面积，，分别代入圆和三角形的面积公式计算。 【详解】①半径：（） （） （） ②半径：（） （） （） （） 【专项训练6】如下图：直角梯形中，高是5厘米，下底是18厘米，求图中阴影部分的面积。 【答案】30.75平方厘米 【分析】图形为直角梯形，梯形高是5厘米，梯形下底是18厘米，空白部分是半径等于梯形高的半圆，梯形的上底等于圆的直径，由圆的直径与半径之间的关系，求出圆的直径，即梯形的上底，根据梯形的面积公式：面积＝（上底＋下底）×高÷2，求出梯形的面积，再根据圆的面积公式：面积＝，π取3.14，求出图中半圆的面积，最后用梯形的面积减去半圆的面积，求出图中阴影部分的面积。 【详解】5×2＝10（厘米） ＝28×5÷2－3.14×25÷2 ＝140÷2－78.5÷2 ＝70－39.25 ＝30.75（平方厘米） 即阴影部分的面积是30.75平方厘米。 【专项训练7】求下列各圆的面积。 （1）        （2） 【答案】（1）平方厘米； （2）平方厘米； 【分析】第一个圆直接给出半径，直接代入圆的面积公式计算面积 第二个圆给出的是直径，先根据「半径是直径的一半」算出半径：再代入面积公式计算。 【详解】（1） （平方厘米） （2）7÷2＝3.5（厘米） （平方厘米） 【专项训练8】求阴影部分面积。 【答案】57cm2 【分析】圆的面积：S＝πr2；三角形的面积S＝ah；半圆的直径是20cm，半径为20÷2＝10（cm），三角形的底为20cm，高为10cm；半圆的面积减去三角形的面积等于阴影部分的面积。 【详解】20÷2＝10（cm） 3.14×102÷2－20×10÷2 ＝3.14×100÷2－200÷2 ＝314÷2－100 ＝157－100 ＝57（cm2） 【专项训练9】求阴影部分的面积。（单位：cm）                  【答案】； 【分析】（1）阴影部分面积＝半圆面积－空白三角形面积。 半圆面积＝πr2÷2，三角形面积＝底×高÷2，其中圆的半径＝直径÷2，三角形的底是半圆的直径，高是半圆的半径。 （2）利用割补法，把下方小半圆补到上方空白小半圆位置，阴影部分面积等于大圆面积的一半。 【详解】（1）半径：10÷2＝5（cm） 阴影部分面积： （） （2）0.8÷2＝0.4（cm） （） 【专项训练10】如图，下面半圆中空白部分面积是80平方分米，计算涂色部分面积。 【答案】77平方分米 【分析】根据三角形面积公式＝a×h÷2，可推出a＝×2÷h，据此代入数据，求出三角形的底，也就是半圆的直径；再根据圆的面积公式S＝π，代入数据，求出圆的面积除以2，再减去空白部分面积，即可解答。 【详解】80×2÷8 ＝160÷8 ＝20（分米） 3.14×÷2－80 ＝3.14×÷2－80 ＝3.14×100÷2－80 ＝314÷2－80 ＝157－80 ＝77（平方分米） 答：涂色部分面积是77平方分米。 题型03 含圆的组合图形面积计算 一、核心基础公式 所有组合图形的计算，都建立在这些基础图形的面积公式之上，必须熟练掌握： 圆的面积：S=πr2 半圆的面积：S半圆​=21​πr2 圆环的面积：S圆环​=π(R2−r2)，其中R是外圆半径，r是内圆半径 扇形的面积：S扇形​=​πr2，n是扇形对应的圆心角度数 配套直线图形面积：正方形S=a2、长方形S=ab、三角形ℎS=​ah、梯形S=​(a+b)h 二、6种必考经典模型 这些是北师大版教材和单元测试中最常出现的固定组合图形，记住对应结论可以直接快速计算： ‌方中圆‌：正方形内画出最大的内切圆，圆的直径等于正方形边长。阴影部分（正方形减去圆）的面积公式为S阴影​=(4−π)r2，也就是正方形面积减去内切圆面积。 ‌圆中方‌：圆内画出最大的内接正方形，正方形的对角线等于圆的直径。阴影部分（圆减去正方形）的面积公式为S阴影​=(π−2)r2，其中正方形的面积可直接用2r2快速计算。 ‌四分之一圆组合‌：多个半径相等的90°扇形拼接，可直接把几个扇形的圆心角相加，转化为一个完整的圆来计算总面积，大幅简化步骤。 ‌跑道型组合‌：由一个长方形和两侧的两个半圆拼接而成，两个半圆刚好能拼成一个完整的圆，总面积=长方形面积+整圆面积。 ‌阴影重叠模型‌：两个图形部分重叠，求不重叠部分的面积差时，可直接用两个完整图形的面积相减，重叠部分会自动抵消，不用单独计算重叠区域。 ‌花瓣型组合‌：多个等圆相交形成的花瓣阴影，通常可以通过拆分，转化为多个扇形面积减去对应直线图形的面积来计算。 三、核心解题方法 北师大版教材重点要求掌握这几种实用技巧，能解决90%以上的组合图形面积题： ‌补全法‌：把不规则的含圆阴影部分，补成一个完整的规则大图形，用大图形的总面积减去空白部分的面积，得到阴影面积。 ‌割补平移法‌：把分散的小块含圆阴影，通过平移、旋转拼接成一个完整的规则图形（比如半圆、整圆、正方形），直接用基础公式计算，不用分步算零散部分。 ‌容斥原理法‌：几个图形互相重叠，阴影部分是它们的公共覆盖区域，直接把所有参与的图形面积相加，再减去外围大图形的总面积，就能得到重叠阴影的面积。 ‌整体代入法‌：当题目没有直接给出圆的半径，只给出2r2对应的数值（比如正方形面积等于r2），可以直接把这个数值代入圆的面积公式，不用单独算出半径的具体值。 四、通用解题步骤 仔细观察图形，拆分出所有能识别的基础规则图形（圆、半圆、正方形等）。 标记出所有已知的长度条件，找出圆的半径、直径和直线图形边长的对应等量关系。 选择最合适的解题方法，避免重复计算内部的辅助线段、重叠区域。 代入公式分步计算，最后反向验算：把算出的结果反向代入，核对各部分面积的加减关系是否和原图一致。 五、高频易错点避坑 概念混淆：把组合图形的周长和面积搞混，计算面积时错误地额外加上外围的线段长度。 重复计算：拆分图形时，把内部的公共线段、重叠区域重复计入面积，导致结果偏大。 条件误用：看到直径就直接代入圆的面积公式，忘记先除以2得到半径，再计算r2。 扇形失误：计算扇形面积时，忘记乘以圆心角占360°的比例，直接按整圆面积计算。 单位遗漏：不同部分的长度单位不统一就直接混算，最后结果漏写面积单位。 【典例3】求阴影部分的面积。 【答案】50.24cm2；14.88dm2 【分析】（1）根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），求出阴影部分的面积； （2）阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积公式S＝（a＋b）h÷2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】（1）3.14×（52－32） ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（cm2） （2）圆的半径：8÷2＝4（dm） 梯形的面积： （8＋12）×4÷2 ＝20×4÷2 ＝40（dm2） 半圆的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（dm2） 阴影部分的面积：40－25.12＝14.88（dm2） 【专项训练1】求涂色部分的面积。 【答案】5.44平方厘米 【分析】涂色部分为梯形减去内部圆形的剩余区域，所以先计算梯形面积，再计算圆形面积，二者作差即可得到涂色面积。 【详解】 ＝（3＋6）×4÷2 ＝9×4÷2 ＝36÷2 ＝18（平方厘米） 4÷2＝2（厘米） ＝3.14×（2×2） ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 18－12.56＝5.44（平方厘米） 【专项训练2】求下面图形中涂色部分的面积。（单位：cm） 【答案】13.5cm2 【分析】通过图形的拼接转化，即将半圆内右边的阴影部分，拼接到对称的半圆的左边，将阴影部分转化为一个上底为（6－3）cm，下底为6cm，高为3cm的梯形（如下图），根据梯形的面积S＝（上底＋下底）×高÷2，求出阴影部分的面积。 【详解】（6－3＋6）×3÷2 ＝9×3÷2 ＝27÷2 ＝13.5（cm2） 【专项训练3】下图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝10分米。图中涂色部分的面积是多少平方分米？ 【答案】28.5平方分米 【分析】给图形的阴影部分编号： 将这个图片的两个半圆摆在一起，图中①号区域重叠，多计算了一次，其余部分都只算了一次。因此，减去三角形ABC的面积后，①号区域被减去一次，白色区域被减去，刚好剩余①＋②＋③三个部分的面积，即阴影部分的面积。 用两个半圆拼成的一个完整的圆的面积－三角形ABC的面积即可。 【详解】半径：10÷2＝5（分米） 3.14×52－10×10÷2 ＝3.14×5×5－50 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方分米） 【专项训练4】求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】 4.56平方厘米 【分析】正方形的对角线等于圆的直径厘米，根据求出圆的半径，再用圆的面积公式：计算圆的面积。可以把这个正方形沿着图中的对角线拆分成2个完全相同的等腰直角三角形：每个三角形的斜边就是正方形的对角线（长4厘米），斜边上的高为另一条对角线的一半，等于圆的半径，高＝（厘米），通过三角形的面积公式：求出一个三角形的面积，再乘2，即可算出空白正方形的面积。最后用圆的面积减去空白正方形的面积，得到阴影部分的面积。 【详解】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 【专项训练5】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 【答案】（1）251.2平方厘米；（2）114平方厘米 【分析】（1）圆环的面积＝大圆面积－小圆面积，再根据圆面积，即可解答； （2）阴影部分的面积＝（圆面积÷4－小三角形面积）×4，小三角形的底和高都是直径的一半，再根据圆面积，三角形面积＝底×高÷2，即可解答。 【详解】（1） （平方厘米） （2） （平方厘米） 【专项训练6】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】4.56cm2 【分析】图中圆的直径是4cm，根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积。 圆内的正方形用对角线平均分成2个三角形，三角形的底等于圆的直径，三角形的高等于圆的半径；根据三角形的面积＝底×高÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。 用圆的面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【详解】圆的半径：4÷2＝2（cm） 圆的面积： 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 正方形的面积：4×2÷2×2＝8（cm2） 阴影部分的面积：12.56－8＝4.56（cm2） 【专项训练7】求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】28.5平方厘米 【分析】阴影部分面积等于圆的面积减去正方形的面积。圆的直径是10厘米，用直径除以2求出圆的半径。把正方形沿对角线分成两个三角形，三角形底是圆的直径，高是圆的半径，先根据三角形面积公式S＝ah÷2求出一个三角形的面积，再乘2得到正方形的面积，最后用圆的面积减去正方形的面积，求出阴影部分面积。圆的面积公式：S＝πr2，π取3.14。 【详解】3.14×（10÷2）2－10×（10÷2）÷2×2 ＝3.14×52－10×5÷2×2 ＝3.14×25－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 【专项训练8】求图中涂色部分的面积。 【答案】6.88 【分析】图中涂色部分的面积可以看作是2个“正方形面积－圆的面积”组成，据此算出正方形面积和圆的面积，两者相减后再乘2即可算出阴影部分的面积。 【详解】4×4＝16（） （） 2×（16－12.56） ＝2×3.44 ＝6.88（） 【专项训练9】计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】3.44dm2 【分析】通过观察可知，阴影部分的面积＝（正方形面积－圆的面积）÷4，此时圆的直径就是正方形的边长。据此根据圆的面积＝，正方形面积＝边长×边长进行计算。 【详解】8÷2＝4（dm） （8×8－3.14×42）÷4 ＝（8×8－3.14×16）÷4 ＝（64－50.24）÷4 ＝13.76÷4 ＝3.44（dm2） 【专项训练10】下图中圆的直径是20厘米，求阴影部分的面积。 【答案】114平方厘米 【分析】先把正方形沿对角线分成两个完全相同的等腰直角三角形，根据三角形面积＝底×高÷2求出一个三角形的面积，再乘2求出正方形面积。正方形对角线就是圆的直径，先求出半径，再根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14）求出圆的面积，最后用圆的面积减去正方形的面积，求出阴影部分的面积。 【详解】正方形面积：20×（20÷2）÷2×2 ＝20×10÷2×2 ＝200（平方厘米） 圆的面积：3.14×（20÷2）2 ＝3.14×102 ＝3.14×100 ＝314（平方厘米） 阴影部分的面积：314－200＝114（平方厘米） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆的周长和面积（计算专项讲义） 题型01 圆的周长 题型02 圆的面积 题型03 含圆的组合图形面积计算 题型01 圆的周长 一、基础核心概念 ‌圆的周长定义‌：围成圆的封闭曲线的总长度，直观来说就是车轮滚动一圈走过的距离，圆的大小由半径/直径决定，周长也随之变化。 ‌化曲为直测量法‌：教材要求掌握两种实操测量方法，把曲线长度转化为可直接测量的直线长度： 滚动法：在圆边缘做标记，贴着直尺滚动一周，直接读出滚动的刻度长度。 绕绳法：用细绳紧贴圆的边缘绕一圈，标记后把绳子拉直，测量绳子的长度。 二、圆周率核心知识点 实验探究规律：通过测量多个不同大小的圆片，计算周长和直径的比值，会发现圆的周长总是直径的‌3倍多一些‌，这个比值是固定不变的。 圆周率定义：这个固定的比值叫做圆周率，用希腊字母‌π‌表示，它是一个无限不循环小数，日常计算时通常取近似值‌π≈3.14‌。 数学文化拓展：我国南北朝数学家祖冲之，通过“缀术”推算出圆周率精确值在3.1415926和3.1415927之间，是世界上最早把圆周率精确到小数点后7位的数学家。 三、核心计算公式 北师大版教材明确要求掌握两个基础公式，以及对应的逆向推导公式，可根据已知条件灵活选用： 已知直径求周长：C=πd，直接用直径乘圆周率，计算更简便。 已知半径求周长：C=2πr，利用直径是半径的2倍推导而来。 逆向推导公式： 已知周长求直径：d=C÷π 已知周长求半径：r=C÷2÷π 四、高频拓展题型 这部分是考试的拉分重点，北师大版教材的练一练中多次出现相关题型： ‌半圆周长‌：注意不能只算圆周长的一半，必须额外加上一条直径的长度，公式为C半圆​=πr+2r，很多同学容易漏掉直径部分导致出错。 ‌圆环周长‌：不是圆环的单边长度，而是内外两个圆的周长之和，公式为C圆环​=2πR+2πr。 ‌组合图形周长‌：比如“圆周长的一半+直径”“两个半圆拼接的跑道型图形”，解题核心是把所有外围的曲线和直线部分分段拆分，再把各段长度相加，避免重复计算内部线段。 ‌内切圆周长‌：在正方形里画最大的内切圆，圆的直径和正方形的边长完全相等，直接用边长代入公式计算圆的周长即可。 五、高频易错点避坑 概念混淆：把“圆周长的一半”和“半圆的周长”划等号，忘记半圆周长必须包含直径部分。 公式混用：已知半径时直接用C=πr计算，漏掉乘2的步骤，导致结果直接减半。 圆周率误解：误以为π就等于3.14，实际上3.14只是它的近似值，π是无限不循环小数。 单位遗漏：计算过程中忽略题目给出的单位，或者最后结果漏写长度单位，导致不必要的扣分。 生活场景失误：计算车轮滚动n圈的前进距离时，忘记用单圈周长乘圈数，直接把单圈周长当作总路程。 【典例1】求出下面圆的周长。 【专项训练1】求下面图形的周长。 【专项训练2】计算下面图形的周长。（单位：厘米）            【专项训练3】计算下面各图形的周长。 【专项训练4】求下方图形的周长（π取3.14）。 【专项训练5】求下图的周长。                  【专项训练6】求下面图形的周长。 【专项训练7】计算下面图形的周长。 【专项训练8】求涂色部分的周长。（π取3.14） 【专项训练9】求下图阴影部分的周长。（单位：厘米） 【专项训练10】计算下面图形的周长。 题型02 圆的面积 一、基础核心概念 ‌圆的面积定义‌：圆形物体所占平面的大小，就是圆的面积。 估算方法：可以用数格子的方式粗略估算圆的面积，但这种方法无法得到精确结果。 核心数学思想：推导过程中渗透了‌化曲为直‌和‌极限‌的数学思想，把曲线图形转化为熟悉的直线图形来计算面积。 二、公式推导过程 这是北师大版教材要求重点掌握的动手探究内容： 把一个圆形纸片沿着半径平均分成8等份、16等份、32等份，剪开后交叉拼接。 分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形就越接近一个标准的平行四边形（甚至长方形）。 拼接前后图形的总面积完全不变，也就是圆的面积等于拼成的近似长方形的面积。 对应关系：近似长方形的长，相当于圆周长的一半（长度为πr）；近似长方形的宽，正好等于圆的半径r。 最终推导：因为长方形面积=长×宽，所以圆的面积S=πr×r=πr2。 三、核心计算公式 根据已知条件的不同，可灵活选用不同形式的面积公式： 已知半径求面积：S=πr2，这是最基础的标准公式。 已知直径求面积：先算出半径r=d÷2，代入公式得到S=π(d÷2​)2。 已知周长求面积：先算出半径r=C÷2÷π，代入公式得到S=π(C÷2π)2。 四、高频拓展题型 这些是单元测试和小升初的高频考点，北师大版教材的配套练习中多次出现相关题型： ‌半圆面积‌：直接用整圆面积除以2即可，公式为S半圆​=πr2÷2​，注意和半圆周长区分开，半圆周长需要额外加直径。 ‌圆环面积‌：外圆半径为R，内圆半径为r，公式为S圆环​=πR2−πr2=π(R2−r2)，其中R=r+环的宽度。 ‌内切圆面积‌：在正方形里画出的最大内切圆，圆的直径和正方形的边长完全相等，直接用边长算出半径后代入面积公式即可。 ‌外切圆面积‌：在圆内画出的最大正方形，正方形的对角线长度等于圆的直径，可通过对角线算出正方形面积，再用圆的面积减去正方形面积得到阴影部分面积。 五、高频易错点避坑 公式计算失误：计算r2时误算成r×2，把半径的平方错当成半径的2倍，导致结果完全错误。 概念混淆：把圆周长的一半和半圆周长、圆面积的一半和半圆面积的概念搞混，漏掉半圆周长里的直径部分。 条件误用：已知直径直接代入S=πd2计算，忘记先把直径除以2得到半径，再代入公式。 单位混淆：计算过程中半径、直径的单位不统一，直接混算导致结果单位错误。 规律误解：误以为圆的半径扩大2倍，面积也跟着扩大2倍，实际上圆的半径扩大n倍，面积会扩大n2倍，也就是半径扩大2倍，面积扩大4倍。 【典例2】计算下面图形的面积。 【专项训练1】求阴影部分的面积。（单位：厘米） 【专项训练2】求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【专项训练3】求出下面阴影部分的面积。（结果保留π）。 【专项训练4】计算如图阴影部分的面积。 【专项训练5】求涂色部分的面积。（单位cm） 【专项训练6】如下图：直角梯形中，高是5厘米，下底是18厘米，求图中阴影部分的面积。 【专项训练7】求下列各圆的面积。 （1）        （2） 【专项训练8】求阴影部分面积。 【专项训练9】求阴影部分的面积。（单位：cm）                  【专项训练10】如图，下面半圆中空白部分面积是80平方分米，计算涂色部分面积。 题型03 含圆的组合图形面积计算 一、核心基础公式 所有组合图形的计算，都建立在这些基础图形的面积公式之上，必须熟练掌握： 圆的面积：S=πr2 半圆的面积：S半圆​=21​πr2 圆环的面积：S圆环​=π(R2−r2)，其中R是外圆半径，r是内圆半径 扇形的面积：S扇形​=​πr2，n是扇形对应的圆心角度数 配套直线图形面积：正方形S=a2、长方形S=ab、三角形ℎS=​ah、梯形S=​(a+b)h 二、6种必考经典模型 这些是北师大版教材和单元测试中最常出现的固定组合图形，记住对应结论可以直接快速计算： ‌方中圆‌：正方形内画出最大的内切圆，圆的直径等于正方形边长。阴影部分（正方形减去圆）的面积公式为S阴影​=(4−π)r2，也就是正方形面积减去内切圆面积。 ‌圆中方‌：圆内画出最大的内接正方形，正方形的对角线等于圆的直径。阴影部分（圆减去正方形）的面积公式为S阴影​=(π−2)r2，其中正方形的面积可直接用2r2快速计算。 ‌四分之一圆组合‌：多个半径相等的90°扇形拼接，可直接把几个扇形的圆心角相加，转化为一个完整的圆来计算总面积，大幅简化步骤。 ‌跑道型组合‌：由一个长方形和两侧的两个半圆拼接而成，两个半圆刚好能拼成一个完整的圆，总面积=长方形面积+整圆面积。 ‌阴影重叠模型‌：两个图形部分重叠，求不重叠部分的面积差时，可直接用两个完整图形的面积相减，重叠部分会自动抵消，不用单独计算重叠区域。 ‌花瓣型组合‌：多个等圆相交形成的花瓣阴影，通常可以通过拆分，转化为多个扇形面积减去对应直线图形的面积来计算。 三、核心解题方法 北师大版教材重点要求掌握这几种实用技巧，能解决90%以上的组合图形面积题： ‌补全法‌：把不规则的含圆阴影部分，补成一个完整的规则大图形，用大图形的总面积减去空白部分的面积，得到阴影面积。 ‌割补平移法‌：把分散的小块含圆阴影，通过平移、旋转拼接成一个完整的规则图形（比如半圆、整圆、正方形），直接用基础公式计算，不用分步算零散部分。 ‌容斥原理法‌：几个图形互相重叠，阴影部分是它们的公共覆盖区域，直接把所有参与的图形面积相加，再减去外围大图形的总面积，就能得到重叠阴影的面积。 ‌整体代入法‌：当题目没有直接给出圆的半径，只给出2r2对应的数值（比如正方形面积等于r2），可以直接把这个数值代入圆的面积公式，不用单独算出半径的具体值。 四、通用解题步骤 仔细观察图形，拆分出所有能识别的基础规则图形（圆、半圆、正方形等）。 标记出所有已知的长度条件，找出圆的半径、直径和直线图形边长的对应等量关系。 选择最合适的解题方法，避免重复计算内部的辅助线段、重叠区域。 代入公式分步计算，最后反向验算：把算出的结果反向代入，核对各部分面积的加减关系是否和原图一致。 五、高频易错点避坑 概念混淆：把组合图形的周长和面积搞混，计算面积时错误地额外加上外围的线段长度。 重复计算：拆分图形时，把内部的公共线段、重叠区域重复计入面积，导致结果偏大。 条件误用：看到直径就直接代入圆的面积公式，忘记先除以2得到半径，再计算r2。 扇形失误：计算扇形面积时，忘记乘以圆心角占360°的比例，直接按整圆面积计算。 单位遗漏：不同部分的长度单位不统一就直接混算，最后结果漏写面积单位。 【典例3】求阴影部分的面积。 【专项训练1】求涂色部分的面积。 【专项训练2】求下面图形中涂色部分的面积。（单位：cm） 【专项训练3】下图是由两个相同的半圆叠拼而成的。已知三角形ABC是一个等腰直角三角形，AB＝BC＝10分米。图中涂色部分的面积是多少平方分米？ 【专项训练4】求下面图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【专项训练5】求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米） （1）      （2） 【专项训练6】求阴影部分的面积。（单位：cm） 【专项训练7】求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【专项训练8】求图中涂色部分的面积。 【专项训练9】计算下面图形阴影部分的面积。 【专项训练10】下图中圆的直径是20厘米，求阴影部分的面积。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $