等差数列专项试卷-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 聚焦等差数列核心知识，通过村超座位改造等真实情境设计，融合逻辑推理与应用意识，实现基础巩固到创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|公差计算、前n项和公式、单调性判断|第5题结合充分必要条件考查逻辑推理| |多选题|3题|等差数列性质、前n项和最值|第9题通过公差不为0的条件辨析性质| |填空题|3题|片段和性质、充要条件、创新分组|第13题以Sn表达式探究等差数列充要条件| |解答题|5题|通项公式、前n项和、实际应用|第17题村超体育场改造体现数学应用，第19题分层设计综合考查|

苏州市2026-2027学第一学期高二数学等差数列专项检测卷 一、单选题 1．已知等差数列中，，，则公差（    ） A． B． C． D． 2．已知数列是等差数列，且，，若，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 3．已知等差数列的前项和为，，，则的最大值为（    ） A．117 B．120 C．121 D．122 4．等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5．设是等差数列，其前项和为．则“为递增数列”是“，”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．记为等差数列的前项和.若的公差为，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．将数列 2，4， 6， 8， 10， 12， 14， 16 分为4组，每组2个数，使得每组的2个数之和构成一个项数为4且公差为的等差数列，则的最大可能值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 9．已知在等差数列中，公差不为0，，则（     ） A． B． C． D． 10．已知数列的前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B．数列是等差数列 C． D． 11．已知公差为的等差数列的前项和为，且满足，，则（     ） A． B． C．对任意的正整数，有 D．使得的最小正整数为4047 三、填空题 12．已知等差数列的前项和为，且，，则_________． 13．若数列的前n项和为，且满足，则“数列为等差数列”的充要条件是__________． 14．设正实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续项，，，是公差为的等差数列，则的最小值为______． 四、解答题 15．已知是一个等差数列，且，． (1)求的通项； (2)求的前项和的最大值． 16．已知等差数列，前项和为，又． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 17．某村超体育场观众席位初始设有座位3006个，共计9排. 自第二排起，每一排的座位数均比前一排多3个. 后来因村超赛事热度急剧攀升，需对观众席进行改造. 改造内容包括每一排增加相同数量的座位，以及从最后一排向外扩充座位的排数. 由于场地限制，具体改造方案为:①原有座位每一排均增加个座位；②在原有9排基础上， 从最后一排向外扩充3排 (即改造后共12排)， 且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律. (1)该体育场观众席第一排原有多少个座位？ (2)若要求改造后的总座位数不少于4200个，求的最小值. 18．已知数列的前n项和为，且. (1)证明：数列是等差数列，并求； (2)设，数列的前n项和为，求使成立的最大正整数n. 19．已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C B D D C C AD ACD 题号 11 答案 ABD 1．C 【详解】因为等差数列中，，， 所以. 2．A 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，所以, 由于,所以数列的公差为，所以，解得： 3．C 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则解得 则. 令，解得，且， 所以的最大值为，故C正确. 4．B 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，， 又，故，所以. 5．D 【分析】先明确等差数列前n项和与项的关系，再分析“单调递增”和“”的等价条件，最后判断两者的逻辑关系即可． 【详解】若等差数列为递增数列，则公差， 取，公差，数列递增，但，，， 此时，不满足 对任意成立， 故充分性不成立； 因为对任意，， 所以 对任意恒成立， 取，此时，满足条件，但公差，数列不是递增数列， 故必要性不成立； 综上，“为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件． 6．D 【分析】使用余弦定理解出角，使用三角形的面积公式求解. 【详解】因为a，b，c成公差为2的等差数列，所以， ，即，解得， 由余弦定理可得，因为，所以， 所以的面积为：. 7．C 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和公式得到，设从而有，应用基本不等式求最小值. 【详解】已知等差数列中，公差为（且） 由，，， 所以，， 设且，所以，得，所以， 所以， 当且仅当，即时，即时，取等号， 综上所述，的最小值为. 8．C 【分析】先得到原数列各项之和为，利用最大和，得到，在验证满足条件，即可求解. 【详解】原数列总和. 设新数列首项为，公差为，则 . 最大和. 因为且 ，所以 . 代入得到. 若 ，则 . 新数列为 . 要凑出最大和，必须用，其余数字凑出，满足条件 故的最大可能值为 9．AD 【分析】利用等差数列的性质进行计算即可 【详解】， 故， 即，解得， 又公差不为0，故，A正确，B错误； ，D正确， 因为公差不为0，故C错误. 10．ACD 【分析】A选项，利用赋值法得到；B选项，验证，即可证明不是等差数列；C选项，，然后利用赋值法并项求和即可；D选项，，利用转化为等差数列求和即可. 【详解】A选项，令，则， 令，则，于是解得，A正确. B选项，令，则，解得， 因为，所以不是等差数列，B错误. C选项， ，C正确. D选项， ，D正确. 11．ABD 【分析】先通过条件得到可判断A、C；通过判断B；通过计算判断D． 【详解】由，得． 对于A、B，因为， 所以， 故A、B正确； 对于C，因为，， 所以当时，取得最小值，故C错误； 对于D，因为， 所以， ，故D正确． 12．3 【分析】利用等差数列片断和性质求解. 【详解】是等差数列，则成等差数列， 所以，所以. 13． 【分析】利用数列前项和与通项的关系求出的表达式，结合等差数列定义求得，再反向验证充分性即可. 【详解】 当时，； 当且时， . 若为等差数列，则需满足上式， 即， 解得. 当时，， ， 满足上式， 所以. 此时，故是公差为2的等差数列. 综上，充要条件为. 14． 【分析】根据题目意思，将连续三项作为一个组块，然后根据分析某连续项的起点项，来进行分类讨论列出方程组求解. 【详解】由题知，令为数列的前项和，记， 当时，，当时，， 则，令连续三项作为一个组块， 设这连续项为，若这项正好为连续的三个组块， 则，可得，矛盾，无解； 若这项中只有两个完整的组块，当这项下标为， 则，相减可得， 当这项下标为，则， 两式相减得，所以， 所以当时，最小，且为. 15．(1) (2) 【详解】（1）由题意解得 （2）， ，， ∴当时，有最大值． 16．(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组求解首项和公差，即可求得答案； （2）由（1）可得的表达式，讨论和，结合等差数列的前n项和公式，即可求得答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为d，由于， 则，解得， 故； （2）由（1）可知， 当时，， 则； 当时，， 则， 故. 17．(1)322 (2)12 【分析】（1）根据等差数列前项和公式计算即可. （2）根据等差数列前项和公式列不等式求解即可. 【详解】（1）设第一排原有个座位，由题意可知，解得. 故该体育场观众席第一排原有322个座位. （2）由（1）知，第一排原有322个座位，则改造后第一排的座位数为个. 因为改造后为12排，且扩充的每一排座位数仍保持比前一排多3个的规律， 所以改造后第12排的座位数为个. 所以改造后的总座位数为. 由题意知，解得. 因为为整数，所以的最小值为12. 18．(1)由，得 ，两式相减得，整理得 同除以得： 又由得，则 所以数列 则，所以 (2)． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，则， 所以， ， 显然数列为递增数列， 且，， 使成立的最大正整数． 19．(1) (2)①；② 【分析】（1）由及，即可求； （2）①设及求出，确定；②分为奇偶讨论求和. 【详解】（1）， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. （2）①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $