湖北省黄梅县第一中学2025-2026学年高二上学期数学周测卷1.13（范围：数列的概念与等差数列）

高二数学测试卷20260113 考试范围：数列的概念与等差数列 考试时间：周二晚19:30--21:30 一、单选题（5分*8=40分） 1．已知等差数列满足，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．在数列中，若，，则（    ） A． B． C．2 D．1 3．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：，，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前项和分别为，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知等差数列，，．数列满足，，设的前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．已知数列中，，则不超过的最大整数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题（6分*3=18分） 9．已知等差数列的前n项和为，公差为d，m，n为互不相等的正整数，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等差数列 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 10．斐波那契数列指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，…，从第3项开始，每一项都等于前两项之和，即数列满足，，，记数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 11．已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（    ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 三、填空题（5分*3=15分） 12．在数列中，，则的最小值为 . 13．设数列的前项和为，则 . 14．已知数列的通项公式为，在和之间插入个形成一个新数列，则的前2025项的和为 . 四、解答题（13+15+15+17+17=77分） 15．设数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和． 16．已知数列的各项均为正数，前项和为，且． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 17．已知等差数列中 ，. (1)求数列的通项公式； (2)设是否存在最大的整数，使得对任意， 均有 成立?若存在，求出的值：若不存在，请说明理由. 18．在等差数列中，，为与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由； (3)若，求数列的前n项和. 19．已知在正项数列中，且，其中为数列的前n项和. (1)求数列的通项公式； (2)若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，，求数列的前n项和及使的n的最小值。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《高二数学测试卷20260113》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D D C C ABD BCD 题号 11 答案 ABC 8．C 【详解】由，得，取倒数得：， 所以，所以 ，又，所以数列单调递增， 由，可得：，， ，， 显然，所以不超过的最大整数是3， 三、填空题 12. 13．2760 14．7893 14．【分析】先确定的前2025项中的项数，然后计算的前63项的和，然后计算插入的2的个数和总和，从而求得结果. 【详解】由于在和之间插入个形成一个新数列， 所以新数列中包含至的总项数由个项和个插入的2构成， 总项数为.计算最大的，使得，当时，，即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为项，为插入的2.数列的前63项的和为，的前2016项中插入的2的个数为个，从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为个，则插入的2的和为. 所以的前2025项的和为. 故答案为：7893. 四、解答题 15．(1) (2) 【详解】（1）由，得， 当时，， 上式对也成立，所以； （2）由（1）知，则， 所以， 则. 16．(1) (2) 【详解】（1）因为，当时，可得； 因为当时，有，所以，整理得，所以是首项为4，公差为4的等差数列． 所以，因为数列的各项均为正数，所以. （2）由（1）知，当时，． 当时，成立，所以．所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 综上，． 17．(1) (2)存在， 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 可得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，可得， 所以， 若对任意成立，即，即对任意恒成立， 令，函数在上为单调递增函数， 所以的最小值为，要使得对任意恒成立，即 因为是整数，由可得的最大整数值为， 即存在最大整数，使得对，均有恒成立. 18．(1) (2)23不是的项，理由见解析(3) 【详解】（1）设的公差为d，则， 所以，，， 因为为与的等差中项，所以， 解得，所以. （2）由（1）知，所以， 所以，令，解得.因为是正整数，所以23不是的项. （3）由（1）知，当时，，；当时，，， 所以当时，， 当时， . 所以. 19．(1)； (2)； (3)，最小值为4. 【详解】（1）在数列中，①， 又因为②,，所以得． 又因为，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，所以． 当时，，当时，，也满足上式， 所以数列的通项公式为． （2）由（1）知，， 因为对于任意恒成立，所以恒成立． 设，则， 当和时，，即；当时，， 所以，所以数列的最大项是，所以， 即实数的取值范围为． （3）由（1）知，所以． 所以， 所以 . 由，得，即． 因为，所以当时，；当时，． 所以当时，，所以使的的最小值是4． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $