专题28.2.2 相似三角形综合&相似三角形应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）2026-2027学年沪教版（五四制）数学九年级上册

本讲义聚焦相似三角形综合与应用，系统梳理判定定理（平行、两角、两边夹角、三边、斜边直角边）、性质（对应边成比例、周长比等于相似比、面积比等于相似比平方等），构建从基础到综合应用（A字型、X字型等模型）再到实际问题（测量、光学、杠杆）的学习支架。 资料以思维导图总览课程，知识总结表提炼核心与注意事项，典型例题结合小孔成像、杠杆原理等情境，培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）与模型意识（数学语言）。课中辅助教师教学，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

专题28.2.2 相似三角形综合&相似三角形应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能熟练进行综合证明与计算。 · 理解平行线分线段成比例定理，能识别A字型、X字型、母子型等基本模型。 · 能利用相似三角形解决测量高度、光学成像、杠杆原理等实际问题。 · 提升几何推理能力，学会用方程思想处理比例线段与面积问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）两角分别相等的两个三角形相似。 （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （4）三边成比例的两个三角形相似。 （5）直角三角形中，斜边和一条直角边成比例，两直角三角形相似。 ☆ 2. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 4. 相似三角形的应用 相似三角形在测量、光学、杠杆等领域有广泛应用： ①同一时刻物高与影长成比例； ②小孔成像、凸透镜成像中利用光路构造相似； ③杠杆问题中端点移动距离与力臂成比例； ④测量不可直接到达的物体高度或距离。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 ☆ 知识总结表 知识模块 核心内容 注意事项 相似判定 两角、两边夹角、三边、斜边直角边、平行线 注意对应关系，避免对应边找错 相似性质 对应角相等，对应边成比例；周长比=k，面积比=k2 面积比是相似比的平方，不要漏平方 基本模型 A字型、X字型、母子型、一线三等角 从复杂图形中分离基本图形 实际应用 影长、小孔成像、凸透镜、杠杆 统一单位，构造相似三角形 核心考点 ·典型例题精讲 【模块1】相似三角形判定与性质综合 · 遇平行线优先联想A字型、X字型，利用平行线分线段成比例。 · 判定相似时，两角对应相等最常用；有边比例时注意夹角是否相等。 · 综合题常与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，注意中点、角平分线、高线。 · 面积问题：面积比等于相似比的平方；同高三角形面积比等于底之比。 1．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 3．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 4．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，延长BA至点E，延长BC至点F，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，BP交AC于点O，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为点M、N，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP； ⑤BA：BC＝AO：CO． A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 5．（2025秋•虹口区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交OD于点H．给出以下四个说法：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．其中，说法正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 8．（2026春•杨浦区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．以下结论中，不正确的是（　　） A．ED⊥CA B．EF＝EG C． D． 9．（2026春•松江区校级月考）如图，已知△ABC，AB＝AC，．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，AD＝2BD，△DEF是以DF为腰的等腰三角形，且∠DEF＝∠B，那么的值是　 　 ． 10．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F．若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为　 　 ． 11．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC延长线上一点，连接OE交CD于点F，若CE＝3，CF＝2，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 12．（2024•崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果，AD＝15，那么AE＝　 　 ． 13．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为　 　 ． 14．（2026春•徐汇区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，D、E分别在边CB和BC的延长线上，若AB2＝DB•CE，则∠DAE＝　 　 ． 15．（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　 　 ． 16．（2026•静安区）如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　 　 ． 17．（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　 　 ． 18．（2026春•闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，若E是BC中点，F是CD中点，连接BF交AE于点G，则S△AEF：S△BEG的值为　 　 ． 19．（2026春•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值． 20．（2026春•杨浦区校级月考）已知，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F．若2AD＝3CD． （1）求证：△FCD∽△FDA； （2）求的值． 21．（2026•崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG•BE＝AB•BF，求证：AB2＝BE•DG． 22．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 23．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 24．（2026•闵行区三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AD∥CB，E是CD上一点，联结BE交AC于点F，联结DF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果CE2＝BE•EF，求证AB2＝BE•AF． 25．（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 26．（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【模块2】相似三角形应用 · 测量类：同一时刻物高与影长成比例，或构造标杆、镜面反射相似。 · 光学类：小孔成像、凸透镜、手影，利用光路找相似三角形。 · 杠杆类：端点移动距离与力臂成比例，常作垂线构造直角三角形。 · 列比例式时注意单位统一，结果按题目要求保留有效数字。 27．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 28．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 29．（2026•南岗区校级二模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 30．（2024秋•虹口区月考）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2026春•杨浦区校级月考）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B，D，F三点在同一水平线上，则城楼的高度为　 　 米． 32．（2025秋•松江区期末）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD＝2.7米，标杆与旗杆的水平距离BD＝16米，人的眼睛与地面的距离EF＝1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离DF＝2米，那么旗杆AB的高度是　 　 米． 33．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　 　 （填“几分之几”）． 34．（2025秋•金山区校级月考）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，那么像CD与透镜MN之间的距离CE的长为 　 　 ． 35．（2025秋•徐汇区月考）如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板AB（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P），通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B′H′位置，点H绕固定点D旋转点D旋转（DH为旋转半径）至点H′，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆B′H′所在直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字， 36．（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 37．（2025秋•松江区校级月考）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，则旗杆MN的高度为　 　 米； （2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2米．请求出电线杆AB的高度． 38．（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，若DE∥BC，且，则　 　 ． 【练习2】（2025秋•宝山区校级期末）在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB＝12，AC＝9，AE＝4，EF＝5，则BC的长为　 　 ． 【练习3】（2026春•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．则AE的长为　 　 ． 【练习4】（2026•静安区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　 　 ． 【练习5】（2026春•徐汇区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，AB＝5，那么CD的长是 　 　 ． 【练习6】（2024秋•嘉定区期末）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 　 　 厘米． 【练习7】（2025秋•奉贤区期中）我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为　 　 厘米． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 1. 熟记相似三角形的判定与性质，特别是面积比与相似比的关系，做到“见比例想相似，见相似找对应”。 2. 多画基本模型，练习从复杂图形中分离A字型、X字型、母子型，提高识图速度。 3. 证明比例式或等积式时，优先找相似三角形；若没有相似，再考虑平行线分线段成比例或中间比转化。 4. 应用题注意构造相似，统一单位，必要时设未知数列方程；光学问题要准确找出光线与物体的对应关系。 5. 整理错题，重点关注分类讨论、动点问题、面积比计算等易错点。 【作业1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2025秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC．下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【作业5】（2025秋•金山区期末）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆　 　 听． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为　 　 cm． 【作业7】（2026春•崇明区期中）如图，AD与BC相交于点O，，，则　 　 ． 【作业8】（2026•上海校级模拟）如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，CD＝2，则AC＝　 　 ． 【作业9】（2026•浦东新区校级自主招生）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝　 　 ． 【作业10】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积． 【作业11】（2025秋•普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点Q，∠BAD＝90°，过C作对角线BD的垂线交边AB于点E，垂足为点P，已知EP•BC＝BP•BE． （1）求证：AD∥BC； （2）如果AB＝BC，求证：． 【作业12】（2026•静安区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 【作业13】（2026•金山区校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【作业14】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【作业15】（2025秋•普陀区期末）已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F，∠AED＝∠B，AE2＝AF•AC． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）如果，求证：DE•AC＝AE•BC． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题28.2.2 相似三角形综合&相似三角形应用 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能熟练进行综合证明与计算。 · 理解平行线分线段成比例定理，能识别A字型、X字型、母子型等基本模型。 · 能利用相似三角形解决测量高度、光学成像、杠杆原理等实际问题。 · 提升几何推理能力，学会用方程思想处理比例线段与面积问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）两角分别相等的两个三角形相似。 （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （4）三边成比例的两个三角形相似。 （5）直角三角形中，斜边和一条直角边成比例，两直角三角形相似。 ☆ 2. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 4. 相似三角形的应用 相似三角形在测量、光学、杠杆等领域有广泛应用： ①同一时刻物高与影长成比例； ②小孔成像、凸透镜成像中利用光路构造相似； ③杠杆问题中端点移动距离与力臂成比例； ④测量不可直接到达的物体高度或距离。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 ☆ 知识总结表 知识模块 核心内容 注意事项 相似判定 两角、两边夹角、三边、斜边直角边、平行线 注意对应关系，避免对应边找错 相似性质 对应角相等，对应边成比例；周长比=k，面积比=k2 面积比是相似比的平方，不要漏平方 基本模型 A字型、X字型、母子型、一线三等角 从复杂图形中分离基本图形 实际应用 影长、小孔成像、凸透镜、杠杆 统一单位，构造相似三角形 核心考点 ·典型例题精讲 【模块1】相似三角形判定与性质综合 · 遇平行线优先联想A字型、X字型，利用平行线分线段成比例。 · 判定相似时，两角对应相等最常用；有边比例时注意夹角是否相等。 · 综合题常与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，注意中点、角平分线、高线。 · 面积问题：面积比等于相似比的平方；同高三角形面积比等于底之比。 1．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 3．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 4．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，延长BA至点E，延长BC至点F，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，BP交AC于点O，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为点M、N，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP； ⑤BA：BC＝AO：CO． A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 5．（2025秋•虹口区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交OD于点H．给出以下四个说法：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．其中，说法正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 8．（2026春•杨浦区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．以下结论中，不正确的是（　　） A．ED⊥CA B．EF＝EG C． D． 9．（2026春•松江区校级月考）如图，已知△ABC，AB＝AC，．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，AD＝2BD，△DEF是以DF为腰的等腰三角形，且∠DEF＝∠B，那么的值是　 　 ． 10．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F．若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为　 　 ． 11．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC延长线上一点，连接OE交CD于点F，若CE＝3，CF＝2，则菱形ABCD的周长为　 　 ． 12．（2024•崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果，AD＝15，那么AE＝　 　 ． 13．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为　 　 ． 14．（2026春•徐汇区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，D、E分别在边CB和BC的延长线上，若AB2＝DB•CE，则∠DAE＝　 　 ． 15．（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　 　 ． 16．（2026•静安区）如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　 　 ． 17．（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　 　 ． 18．（2026春•闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，若E是BC中点，F是CD中点，连接BF交AE于点G，则S△AEF：S△BEG的值为　 　 ． 19．（2026春•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值． 20．（2026春•杨浦区校级月考）已知，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F．若2AD＝3CD． （1）求证：△FCD∽△FDA； （2）求的值． 21．（2026•崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG•BE＝AB•BF，求证：AB2＝BE•DG． 22．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 23．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 24．（2026•闵行区三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AD∥CB，E是CD上一点，联结BE交AC于点F，联结DF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果CE2＝BE•EF，求证AB2＝BE•AF． 25．（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 26．（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【模块2】相似三角形应用 · 测量类：同一时刻物高与影长成比例，或构造标杆、镜面反射相似。 · 光学类：小孔成像、凸透镜、手影，利用光路找相似三角形。 · 杠杆类：端点移动距离与力臂成比例，常作垂线构造直角三角形。 · 列比例式时注意单位统一，结果按题目要求保留有效数字。 27．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 28．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 29．（2026•南岗区校级二模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 30．（2024秋•虹口区月考）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 31．（2026春•杨浦区校级月考）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B，D，F三点在同一水平线上，则城楼的高度为　 　 米． 32．（2025秋•松江区期末）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD＝2.7米，标杆与旗杆的水平距离BD＝16米，人的眼睛与地面的距离EF＝1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离DF＝2米，那么旗杆AB的高度是　 　 米． 33．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　 　 （填“几分之几”）． 34．（2025秋•金山区校级月考）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，那么像CD与透镜MN之间的距离CE的长为 　 　 ． 35．（2025秋•徐汇区月考）如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板AB（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P），通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B′H′位置，点H绕固定点D旋转点D旋转（DH为旋转半径）至点H′，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆B′H′所在直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字， 36．（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 37．（2025秋•松江区校级月考）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，则旗杆MN的高度为　 　 米； （2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2米．请求出电线杆AB的高度． 38．（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 随堂检测 · 精选练习 【练习1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，若DE∥BC，且，则　 　 ． 【练习2】（2025秋•宝山区校级期末）在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB＝12，AC＝9，AE＝4，EF＝5，则BC的长为　 　 ． 【练习3】（2026春•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．则AE的长为　 　 ． 【练习4】（2026•静安区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　 　 ． 【练习5】（2026春•徐汇区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，AB＝5，那么CD的长是 　 　 ． 【练习6】（2024秋•嘉定区期末）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 　 　 厘米． 【练习7】（2025秋•奉贤区期中）我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为　 　 厘米． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 1. 熟记相似三角形的判定与性质，特别是面积比与相似比的关系，做到“见比例想相似，见相似找对应”。 2. 多画基本模型，练习从复杂图形中分离A字型、X字型、母子型，提高识图速度。 3. 证明比例式或等积式时，优先找相似三角形；若没有相似，再考虑平行线分线段成比例或中间比转化。 4. 应用题注意构造相似，统一单位，必要时设未知数列方程；光学问题要准确找出光线与物体的对应关系。 5. 整理错题，重点关注分类讨论、动点问题、面积比计算等易错点。 【作业1】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 【作业2】（2025秋•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【作业3】（2025秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC．下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是（　　） A． B． C． D． 【作业4】（2025秋•闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【作业5】（2025秋•金山区期末）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆　 　 听． 【作业6】（2025秋•浦东新区校级期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为　 　 cm． 【作业7】（2026春•崇明区期中）如图，AD与BC相交于点O，，，则　 　 ． 【作业8】（2026•上海校级模拟）如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，CD＝2，则AC＝　 　 ． 【作业9】（2026•浦东新区校级自主招生）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝　 　 ． 【作业10】（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积． 【作业11】（2025秋•普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点Q，∠BAD＝90°，过C作对角线BD的垂线交边AB于点E，垂足为点P，已知EP•BC＝BP•BE． （1）求证：AD∥BC； （2）如果AB＝BC，求证：． 【作业12】（2026•静安区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 【作业13】（2026•金山区校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【作业14】（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【作业15】（2025秋•普陀区期末）已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F，∠AED＝∠B，AE2＝AF•AC． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）如果，求证：DE•AC＝AE•BC． 专题28.3-28.4 相似多边形&位似多边形 优等生讲义 （知识梳理+典例+练习）新沪教版（五四制）数学九年级上册 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握相似三角形的判定定理与性质定理，能熟练进行综合证明与计算。 · 理解平行线分线段成比例定理，能识别A字型、X字型、母子型等基本模型。 · 能利用相似三角形解决测量高度、光学成像、杠杆原理等实际问题。 · 提升几何推理能力，学会用方程思想处理比例线段与面积问题。 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 1. 相似三角形的判定 （1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （2）两角分别相等的两个三角形相似。 （3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 （4）三边成比例的两个三角形相似。 （5）直角三角形中，斜边和一条直角边成比例，两直角三角形相似。 ☆ 2. 相似三角形的性质 性质1： 相似三角形的对应边成比例，对应角相等。 性质2： 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。 性质3： 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 · 相似比：两个相似三角形对应边的比。 · 面积比与相似比的关系：，其中 为相似比。 ☑ 典型例题 题目： 如果△ABC∽△DEF，相似比为2:1，且△DEF的面积为4，那么△ABC的面积为（ ） A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 解析： 面积比等于相似比的平方，即 ，所以 。 答案： D ☆ 3. 相似三角形判定与性质综合 在几何证明和计算中，常先利用判定定理证明三角形相似，再利用性质定理（对应边成比例、周长比、面积比）求解。 · 常用模型：A字型、X字型、子母型等。 · 注意等量代换和比例中项的运用。 ☑ 典型例题 题目： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，如果 ，AD=9，那么BC的长是（ ） 解析： 由射影定理或相似三角形，可证△ADC∽△CDB，周长比等于相似比，即 ，得 ，再由射影定理或勾股定理求 。 ☆ 4. 相似三角形的应用 相似三角形在测量、光学、杠杆等领域有广泛应用： ①同一时刻物高与影长成比例； ②小孔成像、凸透镜成像中利用光路构造相似； ③杠杆问题中端点移动距离与力臂成比例； ④测量不可直接到达的物体高度或距离。 ☑ 典型例题 4 题目： 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为6cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为（示意图） 解析： 设像 CD 的高度为 。 由题意及小孔成像原理可知， 根据相似三角形对应边成比例，得： 即： 解得 = 1 。 故像 CD 的高度为 1 cm。 故选 D。 ☆ 知识总结表 知识模块 核心内容 注意事项 相似判定 两角、两边夹角、三边、斜边直角边、平行线 注意对应关系，避免对应边找错 相似性质 对应角相等，对应边成比例；周长比=k，面积比=k2 面积比是相似比的平方，不要漏平方 基本模型 A字型、X字型、母子型、一线三等角 从复杂图形中分离基本图形 实际应用 影长、小孔成像、凸透镜、杠杆 统一单位，构造相似三角形 核心考点 ·典型例题精讲 【模块1】相似三角形判定与性质综合 · 遇平行线优先联想A字型、X字型，利用平行线分线段成比例。 · 判定相似时，两角对应相等最常用；有边比例时注意夹角是否相等。 · 综合题常与平行四边形、矩形、菱形、正方形结合，注意中点、角平分线、高线。 · 面积问题：面积比等于相似比的平方；同高三角形面积比等于底之比。 1．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB，可证明△DGE∽△ABE，得，可判断A不符合题意；再证明△CGF∽△ABF，得，，则，可判断B不符合题意，C不符合题意；因为，所以如果成立，则，可推导出DG＝GC，则BE经过CD的中点，显然题中并没有这一条件，所以这一结论是错误的，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB， ∵E是AD延长线上一点，BE交DC于点G， ∴DG∥AB， ∴△DGE∽△ABE， ∴， 故A不符合题意； ∵CG∥AB， ∴△CGF∽△ABF， ∴，， ∴， 故B不符合题意，C不符合题意； ∵， ∴如果成立，则， ∴DG＝GC， ∴BE经过CD的中点，显然题中并没有这一条件， ∴这一结论是错误的， 故D符合题意， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DGE∽△ABE及△CGF∽△ABF是解题的关键． 2．（2026•宝山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，如果，AD＝9，那么BC的长是（　　） A．4 B．6 C．2 D．3 【分析】证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质求出CD、BD，根据勾股定理求出BC． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD，又∠ADC＝∠CDB， ∴△ADC∽△CDB， ∴，， ∴，即， 解得，CD＝6， ∴， 解得，BD＝4， ∴BC2， 故选：C． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．（2025秋•徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，四边形DEGF是正方形，点F、G在边BC上，AN∥DF交BC于点N．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是（　　） A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，即可求解． 【解答】解：∵四边形DEGF是正方形， ∴DE∥BC，DF∥EG， ∵AN∥DF， ∴AN∥EG∥DF， ∴， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， ∵△ADE∽△ABC， ∴， ∵AN∥DF， ∴△BDF∽△BAN， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 4．（2025秋•浦东新区校级期末）如图，在△ABC中，延长BA至点E，延长BC至点F，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，BP交AC于点O，PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为点M、N，则下列结论中正确的个数（　　） ①CP平分∠ACF； ②∠ABC+2∠APC＝180°； ③∠ACB＝2∠APB； ④S△PAC＝S△MAP+S△NCP； ⑤BA：BC＝AO：CO． A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【分析】过点P作PD⊥AC于点D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAM，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④；利用面积法判断⑤正确． 【解答】解：过点P作PD⊥AC于点D， ①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BC，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， 又∵PN⊥BC，PD⊥AC， ∴CP平分∠ACF，所以结论故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠PMB＝90°，∠PNB＝90°， 又∵∠ABC+∠PMB+∠MPN+∠PNB＝360°， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°． 在Rt△PAM和Rt△PAD中，PM＝PD，PA＝PA， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， ∴∠MPD＝2∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠NPD＝2∠CPD， ∴∠MPN＝2∠APC， 又∵∠ABC+∠MPN＝180°， ∴∠ABC+2∠APC＝∠ABC+∠MPN＝180°，所以结论②正确； ③∵在△ABC中， ∴∠CAE＝∠ABC+∠ACB， ∵在△ABP中， ∴∠APB+∠ABP＝∠PAM， ∵PA平分∠CAE，BP平分∠ABC， ∴∠CAE＝2∠PAM＝2∠PAC，∠ABC＝2∠ABP＝2∠CBP， ∴∠ABC+∠ACB＝2∠PAM， ∴∠ACB＝2∠PAM﹣2∠ABP， ∴∠ACB＝2∠APB，所以结论③正确； ∵Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴S△PAM＝S△PAD，S△PCD＝S△PCN， ∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确； 过点O作OJ⊥BM，OK⊥BN， ∵BP平分∠ABC， ∴OJ＝OK， ∴△ABO的面积：△BOC的面积BA•OJ：：BC•OK＝AO：CO， ∴AB：BC＝AO：OC，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是①②③④⑤． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 5．（2025秋•虹口区月考）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质得出CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，利用平行线分线段成比例定理逐项进行判断即可． 【解答】解：A．∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， ∵CD∥AB， ∴， ∵AB＝CD， ∴，正确； B．∵AE∥BC， ∴， ∵AD＝BC， ∴，正确； C．∵AE∥BC， ∴， 即， ∵AB＝CD， ∴， ∴，错误． D．∵AE∥BC， ∴，正确； 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，解题的关键是灵活运用平行线分线段成比例定理． 6．（2025秋•闵行区期末）如图，已知△ABC，直线l1与边AB、AC分别相交于点D、E，直线l2与边AB、AC分别相交于点F、G，l1∥l2∥BC，那么下列比例式一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判断定理与性质定理、平行线分线段成比例定理判断求解即可． 【解答】解：∵l1∥l2∥BC， ∴△ADE∽△AFG，△AFG∽△ABC，，， ∴，， 故A、C、D错误，不符合题意；B正确，符合题意； 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质定理是解题的关键． 7．（2026春•杨浦区期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BD＝2AD，点E、F、G分别是OA、OB、CD的中点，EG交OD于点H．给出以下四个说法：①ED⊥CA；②EF＝EG；③；④．其中，说法正确的有（　　） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【分析】由平行四边形的性质得OD＝OBBD，由BD＝2AD，得ADBD，则OD＝AD，因为点E是OA的中点，所以ED⊥CA，可判断①正确；因为点E、F分别是OA、OB的中点，所以EF∥AB，且EFABCD，而∠CED＝90°，点G是CD的中点，则EGCD，所以EF＝EG，可判断②正确；再证明△EHF≌△GHD，得FH＝DHFD，可判断③正确；因为S△AOD＝S△COD，所以S△DOE＝S△DAES△AODS△COD，推导出S△CEDS△COD，由S△FOES△DOES△COD，推导出S△EFDS△COD，即可证明S△EFDS△CED，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O， ∴OD＝OBBD， ∵BD＝2AD， ∴ADBD， ∴OD＝AD， ∵点E是OA的中点， ∴ED⊥OA，即ED⊥CA， 故①正确； ∵点E、F分别是OA、OB的中点，AB＝CD， ∴EF∥AB，且EFABCD， ∵∠CED＝90°，点G是CD的中点， ∴EGCD， ∴EF＝EG， 故②正确； ∵CD∥AB，点G是CD的中点， ∴GD∥AB，GDCD， ∵EF∥AB，且EFCD， ∴EF∥GD，且EF＝GD， ∴∠HEF＝∠HGD， 在△EHF和△GHD中， ， ∴△EHF≌△GHD（AAS）， ∴FH＝DHFD， 故③正确； ∵OA＝OC， ∴S△AOD＝S△COD， ∵OE＝AE， ∴S△DOE＝S△DAES△AODS△COD， ∴S△CED＝S△DOE+S△CODS△COD+S△CODS△COD， ∵OF＝BFOB，且OB＝OD， ∴OFOD， ∴S△FOES△DOES△CODS△COD， ∴S△EFD＝S△FOE+S△DOES△CODS△CODS△COD， ∴， ∴S△EFDS△CED， 故④正确， 故选：D． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定与性质、“等高三角形面积的比等于它们的底的比”等知识，正确理解和应用这些知识是解题的关键． 8．（2026春•杨浦区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝2AD，点E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，EG交FD于点H．以下结论中，不正确的是（　　） A．ED⊥CA B．EF＝EG C． D． 【分析】由等腰三角形“三线合一”得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EFAB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EGCD，即可得EF＝EG；连接FG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得FHFD，由三角形面积关系得出S△EFDS△CED，即可得出结论． 【解答】解：连接FG，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD， ∵BD＝2AD， ∴OD＝AD， ∵点E为OA中点， ∴ED⊥CA，故A正确； ∵E、F、G分别是OA、OB、CD的中点， ∴EF∥AB，EFAB， ∵∠CED＝90°，CG＝DGCD， ∴EGCD， ∴EF＝EG，故B正确； ∵EF∥CD，EF＝DG， ∴四边形DEFG是平行四边形， ∴FH＝DH， 即FHFD，故C正确； ∵OFOBOD，OEOAOC， ∴S△OEFS△ODE，S△ODES△CED， ∴S△EFD＝S△OEF+S△ODES△CED，故D错误； 故选：D． 【点评】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形性质等知识；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形的性质是解题关键． 9．（2026春•松江区校级月考）如图，已知△ABC，AB＝AC，．点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，AD＝2BD，△DEF是以DF为腰的等腰三角形，且∠DEF＝∠B，那么的值是　3或　 ． 【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据，设BH＝x，则AB＝3x，由等腰三角形的性质得BH＝CH＝x，根据△DEF是以DF为腰的等腰三角形，分两种情况讨论，当DE＝DF时，当EF＝DF时，证明△EDB～△FEC即可求解． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∴． 设BH＝x，则AB＝AC＝3x， ∵AB＝AC，AH⊥BC， ∴BH＝CH＝x， ∴BC＝2x． ∵AD＝2BD， ∴． 如图，当EF＝DF时， ∴∠FDE＝∠FED． ∵∠DEF＝∠B，∠B＝∠C ∴∠DEF＝∠FDE＝∠B＝∠C． ∴△ABC∽△FDE． ∴， ∴． 设DF＝3a，则DE＝2a，EF＝3a， ∵∠B+∠BDE＝∠DEC＝∠DEF+∠FEC，∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠FEC． 又∵∠B＝∠C， ∴△EDB～△FEC， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当DE＝DF时， ∴∠DEF＝∠DFE． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C． ∵∠DEF＝∠B， ∴∠DEF＝∠DFE＝∠B＝∠C． ∴△ABC∽△DEF． ∴， ∴． 设DE＝3y，则EF＝2y， ∵∠B+∠BDE＝∠DEC＝∠DEF+∠FEC，∠DEF＝∠B， ∴∠BDE＝∠FEC． 又∵∠B＝∠C， ∴△EDB～△FEC， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 故答案为：3或． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 10．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4．点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F．若△ABE的面积为15，则△ADF的面积为　　 ． 【分析】由矩形的性质得∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝4，AD∥CB，因为点E在BC的延长线上，AE交CD于点F，所以AD∥EC，则△ADF∽△EDF，由S△ABE6BE＝15，求得BE＝5，则EC＝1，所以4，则DF＝4CF，由CD＝5CF＝6，求得CF，则DF，求得S△ADF，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4， ∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AD＝CB＝4，AD∥CB， ∵点E在BC的延长线上，连接AE，交CD于点F， ∴AD∥EC， ∴△ADF∽△EDF， ∵S△ABE6BE＝15， ∴BE＝5， ∴EC＝BE﹣CB＝1， ∴4， ∴DF＝4CF， ∵CD＝4CF+CF＝5CF＝6， ∴CF， ∴DF＝CD﹣CF， ∴S△ADF4， 故答案为：． 【点评】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，证明△ADF∽△EDF是解题的关键． 11．（2026春•杨浦区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC延长线上一点，连接OE交CD于点F，若CE＝3，CF＝2，则菱形ABCD的周长为　48　 ． 【分析】取BC的中点G，连接OG，根据菱形的性质得出OG是△BCD的中位线，得出相等的角，证明△GEO∽△CEF，利用对应边成比例进行求解． 【解答】解：如图，取BC的中点G，连接OG， ∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD，BC＝CD， ∴OG是△BCD的中位线， ∴， ∴∠EGO＝∠ECF，且∠E＝∠E， ∴△GEO∽△CEF， 则， 即， 解得OG＝6， 则CD＝12， ∴菱形ABCD的周长为12×4＝48， 故答案为：48． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 12．（2024•崇明区）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，交对角线AC于点F，如果，AD＝15，那么AE＝　5　 ． 【分析】由平行四边形的性质得AE∥CB，CB＝AD＝15，所以△AEF∽△CBF，则，则，求得AECB＝5，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥CB，CB＝AD＝15， ∴△AEF∽△CBF， ∴， ∵0， ∴， ∴AECB15＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明△AEF∽△CBF是解题的关键． 13．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则的值为　　 ． 【分析】通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的性质和线段关系求出的值． 【解答】解：如图所示，延长AC与BE的延长线相交于点F， 由条件可得△ABF是等腰三角形，BE＝EF，∠BCA＝∠BED＝90°， ∵∠ADC和∠BDE是对顶角， ∴∠ADC＝∠BDE， ∴△ADC∽△BDE，则， 设BE＝x． ∴． 由条件可知∠BED＝∠BCF＝90°， ∴△BDE∽△BFC，则， ∴，得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定与相似三角形的应用，掌握通过延长线段构造等腰三角形和相似三角形，利用相似三角形的比例关系求解线段比值是解题的关键． 14．（2026春•徐汇区校级月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝20°，D、E分别在边CB和BC的延长线上，若AB2＝DB•CE，则∠DAE＝　100°　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质求出∠ABC和∠ACB的度数，进而求出∠ABD和∠ACE的度数；利用已知等式AB2＝DB•CE及AB＝AC推出对应边成比例，结合夹角相等证明△ABD∽△ECA；根据相似三角形的性质得到∠D＝∠CAE，最后利用外角的性质及角的和差关系求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝20°， ∴， ∵∠ABD＝180°﹣∠ABC，∠ACE＝180°﹣∠ACB， ∴∠ABD＝∠ACE， ∵AB2＝DB•CE， ∴， 又∵AB＝AC， ∴， 在△ABD和△ECA中， ， ∴△ABD∽△ECA， ∴∠D＝∠CAE， ∵∠D+∠DAB＝∠ABC＝80°， ∴∠DAE＝∠DAB+∠BAC+∠CAE＝∠DAB+∠D+∠BAC＝80°+20°＝100°， 故答案为：100°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 15．（2026•浦东新区二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，点D，E分别在边AC、BC上，且的值为．以E为圆心，ED为半径作圆，如果⊙E与△ABC的三边有三个公共点，那么CD的值为　或4　 ． 【分析】利用勾股定理表示出圆的半径，通过相似三角形或三角函数关系表示出圆心到斜边的距离，最后根据距离与半径的关系列方程． 【解答】解：设CD＝3x，则CE＝4x． 在Rt△CDE中，，即⊙E的半径r＝5x． 在Rt△ABC中，． 过点E作EH⊥AB于点H． ∵∠B＝∠B，∠C＝∠EHB＝90°， ∴△EBH∽△ABC， ∴，即， 若⊙E与△ABC的三边有三个公共点，则⊙E与边AB相离（因为AC上有2个点，BC上有1个点，若AB上有交点则总数≥4）． ∴EH＞r， 60﹣20x＞65x， 85x＜60， ， ∴， 考虑到题目求特定值，取边界值（即圆与AB相切时）：， 另一种情况： 已知CD＝3x，CE＝4x，⊙E半径r＝5x，BC＝12， 则BE＝BC﹣CE＝12﹣4x． 当⊙E与△ABC的三边有三个公共点时，除了圆与AB相切的情况，还存在圆经过点B的情况： 此时BE＝r（B在圆上），即：12﹣4x＝5x9x＝12， ， 此时验证各边交点：AC上：E到AC的距离为CE＝4x，圆与AC有1个交点（在AC边上）； BC上：B在圆上，圆与BC有1个交点（B）；（除B外的另一个交点）； 总交点数为1+1+1＝3，符合题意． 此时． 故答案为：或4． 【点评】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系．重难点在于理解“圆与三角形三边有三个公共点”这一几何条件，并将其转化为代数方程求解． 16．（2026•静安区）如图，△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝∠B，AC＝BD＝1，DC＝x，那么的值等于　1　 ． 【分析】先证明△ACD∽△BCA，利用得方程，去分母得x2+x﹣1＝0，再将方程两边同除以x再移项即可． 【解答】解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C， ∴△ACD∽△BCA， ∴， ∴， ∴x（1+x）＝1， 整理得x2+x﹣1＝0， 方程两边同除以x，， ∴， 故答案为：1． 【点评】本题考查相似三角形的性质和判定和分式方程，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．（2026春•闵行区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝5，AD＝3，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB和AC上，如果设EF为x，矩形EFGH的面积为y，那么y关于x的函数关系式是　　 ． 【分析】设边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x，进而利用已知得出△AEH∽△ABC，进而得出EH的长，即可得出答案． 【解答】解：如图，四边形EFGH为矩形，BC＝5，AD＝3，设AD交EH于点N，边EF的长为x（0＜x＜3），则AN＝3﹣x， ∴EH∥BC， ∴△AEH∽△ABC， ∴， ∴， 解得：， ∵矩形EFGH的面积为y， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，函数关系式，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 18．（2026春•闵行区校级月考）如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，若E是BC中点，F是CD中点，连接BF交AE于点G，则S△AEF：S△BEG的值为　15：2　 ． 【分析】延长AD，BF，交于点H，容易证得△BCF≌△HDF，进而求得，结合△BEG∽△HAG，可得，进而得到S△BEG：S△EFG：S△AFG＝2：3：12． 【解答】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD，BF，交于点H． ∴AD∥BC，AD＝BC． ∴∠C＝∠FDH，∠H＝∠FBC． ∵F是CD中点， ∴CF＝DF． 在△BCF和△HDF中， ， ∴△BCF≌△HDF（AAS）． ∴BC＝DH，BF＝HF． ∵E是BC中点， ∴． ∴． ∵AD∥BC， ∴△BEG∽△HAG． ∴． ∴，． ∴． ∴S△BEG：S△EFG：S△AFG＝2：3：12． ∴S△AEF：S△BEG＝15：2． 故答案为：15：2． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 19．（2026春•浦东新区校级月考）如图，D是△ABC的BC边上的点，BD：DC＝2：1，E是AD的中点，求BE：EF的值． 【分析】作EH∥AC，根据平行线分线段成比例定理和已知得到DH＝HC，根据BD：DC＝2：1，得到BH：HC＝5：1，根据平行线分线段成比例定理求出BE：EF的值． 【解答】解：作EH∥AC交BC于H， ∴． 又∵点E是AD的中点， ∴DH＝HC， ∵BD：DC＝2：1， ∴BH：HC＝5：1， ∵EH∥AC， ∴BE：EF＝BH：HC＝5：1． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解题的关键． 20．（2026春•杨浦区校级月考）已知，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，E是BC的中点，DE交AC的延长线于点F．若2AD＝3CD． （1）求证：△FCD∽△FDA； （2）求的值． 【分析】（1）利用余角的性质得到∠A＝∠BCD，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得∠ECD＝∠EDC，进而得到∠EDC＝∠A，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设FD＝6k，表示出FC，FA即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠B+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， ∵E是BC的中点， ∴， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠A， ∵∠F＝∠F， ∴△FCD∽△FDA； （2）解：∵2AD＝3CD， ∴， ∵△FCD∽△FDA， ∴， 设FD＝6k， 则FC＝4k，FA＝9k， ∴AC＝FA﹣FC＝5k， ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 21．（2026•崇明区二模）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）点F是边BC上一点，AF与BD相交于点G，若BG•BE＝AB•BF，求证：AB2＝BE•DG． 【分析】（1）连接AC交BD于点H，由平行四边形的性质得AH＝CH，由AE＝EC，根据等腰三角形的“三线合一”得HE⊥AC，即BD⊥AC，所以四边形ABCD是菱形． （2）由菱形的性质得DA＝AB，由BF∥DA，证明△FBG∽△ADG，得，则，由BG•BE＝AB•BF，得，所以，则AB2＝BE•DG． 【解答】证明：（1）连接AC交BD于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AH＝CH， ∵点E是对角线BD上一点，BE＞ED，AE＝EC， ∴HE⊥AC，即BD⊥AC， ∵四边形ABCD是平行四边形，且BD⊥AC， ∴四边形ABCD是菱形． （2）∵四边形ABCD是菱形， ∴DA＝AB， ∵点F是边BC上一点，且BC∥DA， ∴BF∥DA， ∴△FBG∽△ADG， ∴， ∴， ∵BG•BE＝AB•BF， ∴， ∴， ∴AB2＝BE•DG． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的“三线合一”、菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 22．（2026•上海）如图，菱形ABCD中，点E为CD上一点，满足∠EBC＝∠CAB，BE交AC于点F． （1）若AF＝2CF，求证：点E是CD的中点； （2）若∠ABE的角平分线BH交AC于点G，交AD于点H，求证：CD•BG＝BH•BF． 【分析】（1）先根据菱形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，再证明△CEF∽△ABF，接着利用相似三角形的性质得到CEAB，所以CECD，从而得到结论； （2）先根据菱形的性质得∠CAB＝∠HAG＝∠ACB，再利用∠EBC＝∠CAB得到∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC，接着证明∠BAH＝∠AFB，由于BH平分∠ABE，所以∠ABH＝∠FBG，于是可判断△ABH∽△FBG，然后根据相似三角形的性质得到AB•BG＝BH•BF．于是利用AB＝CD得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵CE∥AB， ∴△CEF∽△ABF， ∴， ∴CEABCD， ∴点E是CD的中点； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB， ∵∠EBC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠HAG＝∠ACB＝∠EBC， ∵∠AFB＝∠EBC+∠ACB，∠BAH＝∠CAB+∠HAG， ∴∠BAH＝∠AFB， ∵BH平分∠ABE， ∴∠ABH＝∠FBG， ∴△ABH∽△FBG， ∴AB：BF＝BH：BG， ∴AB•BG＝BH•BF． ∵AB＝CD， ∴CD•BG＝BH•BF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的性质和全等三角形的判定与性质． 23．（2026•长宁区二模）如图，正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点F在边CD上（点F与点C不重合），且∠EAF＝45°． （1）求证：AF•BE＝AE•CF； （2）在图中延长AE与BC交于点H，如果，求证：BH＝DF． 【分析】（1）连接AC，由正方形的性质推出∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°，得到∠BAE＝∠CAF，判定△ABE∽△ACF，即可证明AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M，由正方形的性质推出∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD，判定△MCF是等腰直角三角形，得到 CFFM，因此FM＝DF，判定AF平分∠CAD，求出∠BAH＝∠DAF＝22.5°，判定△ABH≌△ADF，推出BH＝DF． 【解答】证明：（1）连接AC， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠ACF＝∠BAC＝45°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAE＝∠CAF+∠CAE＝45°， ∴∠BAE＝∠CAF， ∵∠ABE＝∠ACF， ∴△ABE∽△ACF， ∴AE：AF＝BE：CF， ∴AF•BE＝AE•CF； （2）过点F作FM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠MCF＝∠CAD＝45°，∠ADF＝∠BAD＝∠ABH＝90°，AB＝AD， ∴△MCF是等腰直角三角形， ∴CFFM， ∵CFDF， ∴FM＝DF， ∵FD⊥AD，FE⊥AC， ∴AF平分∠CAD， ∴∠DAF∠CAD＝22.5°， ∴∠BAH＝∠BAD﹣∠EAF﹣∠DAF＝22.5°， ∴∠BAH＝∠DAF， ∵AB＝AD，∠ABH＝∠ADF， ∴△ABH≌△ADF， ∴BH＝DF． 【点评】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，关键是判定△ABE∽△ACF，△ABH≌△ADF． 24．（2026•闵行区三模）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，AD∥CB，E是CD上一点，联结BE交AC于点F，联结DF． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果CE2＝BE•EF，求证AB2＝BE•AF． 【分析】（1）先证明△ABC≌△ADC得到∠BAC＝∠DAC，再根据平行线的性质得到∠BCA＝∠DAC．所以∠BCA＝∠BAC，则BC＝BA，从而得到AB＝BC＝CD＝AD．然后根据菱形的判定方法得到结论； （2）利用CE2＝BE•EF和∠CEB＝∠BEC可证明△ECF∽△EBC，所以∠ECA＝∠CBE，再利用菱形的性质和平行线的性质得到∠CEB＝∠ABF，∠BAC＝∠ECA．所以∠BAC＝∠CBE，根据相似三角形的判定方法得到△BCE∽△AFB，则根据相似三角形的性质和等量代换得到结论． 【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠BAC＝∠DAC， ∵AD∥BC， ∴∠BCA＝∠DAC． ∴∠BCA＝∠BAC． ∴BC＝BA， ∴AB＝BC＝CD＝AD． ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵CE2＝BE•EF， ∴． ∵∠CEB＝∠BEC， ∴△ECF∽△EBC， ∴∠ECA＝∠CBE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD． ∴∠CEB＝∠ABF，∠BAC＝∠ECA． ∴∠BAC＝∠CBE． ∴△BCE∽△AFB． ∴， ∴AB•BC＝BE•AF， ∵BC＝AB， ∴AB2＝BE•AF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了菱形的判定与性质． 25．（2026•虹口区三模）如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ADC，点E是对角线BD上一点，联结AE、EC，AE＝EC． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AE交边BC于点F，当BD•BE＝2BF•CD时，求证：AF⊥BC． 【分析】（1）连结AC交BD于O点，如图，先证明AB∥CD，则可判断四边形ABCD为平行四边形，所以OA＝OC，OB＝OD，再根据等腰三角形的性质，由EA＝EC得到OE⊥AC，所以BD与AC互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法得到结论； （2）先根据菱形的性质得到BC＝CD，BD＝2BO，则BO•BE＝BF•BC，所以，加上∠EBF＝∠CBO，则根据相似三角形的判定方法得到△BEF∽△BCO，所以∠BFE＝∠BOC＝90°，从而得到结论． 【解答】证明：（1）连结AC交BD于O点，如图， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD＝180°， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAD＝180°， ∴AB∥CD， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵EA＝EC， ∴OE⊥AC， ∴BD与AC互相垂直平分， ∴四边形ABCD为菱形； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴BC＝CD，BD＝2BO， ∵BD•BE＝2BF•CD， ∴2BO•BE＝2BF•BC 即BO•BE＝BF•BC， ∴， ∵∠EBF＝∠CBO， ∴△BEF∽△BCO， ∴∠BFE＝∠BOC＝90°， ∴AF⊥BC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质． 26．（2026•普陀区二模）已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在边BC上，DC2＝CE•CB，∠CED＝∠ABD． （1）求证：四边形ABCD是平行四边形； （2）联结AC交BD于点O，联结OE．如果BE•AD＝BD•AB，求证：EO⊥BD． 【分析】（1）根据题意推出，结合∠ECD＝∠DCB，推出△CDE∽△CBD，根据相似三角形的性质求出∠CED＝∠CDB，则∠CDB＝∠ABD，即可判定AB∥DC，最后根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”即可得证； （2）根据相似三角形的性质求出，结合平行四边形的性质推出DE•AD＝BD•AB，结合题意求出DE＝BE，最后根据等腰三角形的性质即可得证． 【解答】证明：（1）∵DC2＝CE•CB， ∴， 又∵∠ECD＝∠DCB， ∴△CDE∽△CBD， ∴∠CED＝∠CDB， ∵∠CED＝∠ABD， ∴∠CDB＝∠ABD， ∴AB∥DC， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形； （2）如图， ∵△CDE∽△CBD， ∴， ∴DE•BC＝BD•CD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AB＝CD，OB＝OD， ∴DE•AD＝BD•AB， ∵BE•AD＝BD•AB， ∴DE＝BE， 又∵OB＝OD， ∴EO⊥BD． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟记有关定理是解题的关键． 【模块2】相似三角形应用 · 测量类：同一时刻物高与影长成比例，或构造标杆、镜面反射相似。 · 光学类：小孔成像、凸透镜、手影，利用光路找相似三角形。 · 杠杆类：端点移动距离与力臂成比例，常作垂线构造直角三角形。 · 列比例式时注意单位统一，结果按题目要求保留有效数字。 27．（2024秋•浦东新区校级期中）如图，MN是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛PM的像为NB，测量得到OM：ON＝5：3，蜡烛高为10cm，则像BN的长为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 【分析】通过证明△POM∽△BON，得出PM：BN＝OM：ON＝5：3，即可解答． 【解答】解：根据题意可得：∠PMO＝∠BNO＝90°， ∵∠POM＝∠BON， ∴△POM∽△BON， ∴PM：BN＝OM：ON＝5：3， ∵PM＝10cm， ∴BN＝6cm， 故选：C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 28．（2025秋•奉贤区期末）一个三角形框架模型的边长分别为20cm、30cm、40cm，工人师傅要利用两根30cm和50cm的铁丝做一个与模型相似的三角形，要求以其中一根铁丝为一边，另一根上截出两段（允许有余料）作为另外两边，那么工人师傅做的这个三角形的周长是（　　） A．80cm B．67.5cm C．60cm D．52.5cm 【分析】分30cm与20cm对应、30cm与30cm对应、30cm与40cm对应三种情况，根据相似三角形的性质、三角形周长公式计算即可． 【解答】解：设另一根上截出作为另外两边的长为xcm，ycm， 当30cm与20cm对应时，， 解得：x＝45，y＝60，不符合题意； 当30cm与30cm对应时，x＝20，y＝40，不符合题意； 当30cm与40cm对应时，， 解得：x＝15，y＝22.5， 则这个三角形的周长为：30+15+22.5＝67.5（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 29．（2026•南岗区校级二模）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂OA＝150cm，阻力臂OB＝50cm，BD＝20cm，则AC的长度是（　　） A．80cm B．60cm C．50cm D．40cm 【分析】首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得AC的长度． 【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴AC∥BD， ∴△AOC∽△BOD， ∴， ∵OA＝150cm，OB＝50cm，BD＝20cm， ∴， ∴AC＝60， ∴AC的长为60cm． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 30．（2024秋•虹口区月考）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由如图所示（单位：尺），已知井的截面图为矩形ABCD，设井深为x尺，下列所列方程中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意可证明△EFD∽△EBC得到，然后代入数值即可得到答案． 【解答】解：如图， ∵DF∥BC， ∴△EFD∽△EBC， ∴， ∵DF＝0.4，BC＝5，DE＝5，CD＝x， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例，证明△EFD∽△EBC是解题的关键． 31．（2026春•杨浦区校级月考）商丘古城位于河南省商丘市，它像一颗明珠，镶嵌在豫东大地上．某天小明站在地面上给站在古城城楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB＝1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD＝4米，小明到凉亭的距离BD＝10米，凉亭离城楼底部的距离DF＝30米，小亮身高1.7米，B，D，F三点在同一水平线上，则城楼的高度为　9.5　 米． 【分析】过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N，构造出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例求出EM的长，再根据线段的和差关系求解即可． 【解答】解：如图，过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 由题意可知AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF， ∴AB∥CD∥EF， ∵AM⊥EF， ∴四边形ABDN和四边形ABFM均为矩形， ∴AN＝BD＝10米，MN＝DF＝30米，DN＝MF＝AB＝1.6米， ∴AM＝AN+MN＝10+30＝40（米），CN＝CD﹣DN＝4﹣1.6＝2.4（米）， ∵CD∥EF，即CN∥EM， ∴△ACN∽△AEM， ∴， ∴， 解得：EM＝9.6（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， ∴小亮头顶离地面的高度EF＝EM+MF＝9.6+1.6＝11.2（米）， ∵小亮身高1.7米， ∴城楼的高度为：11.2﹣1.7＝9.5（米）， 故答案为：9.5． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． 32．（2025秋•松江区期末）如图，某同学想利用一根标杆测量旗杆的高度，已知标杆高度CD＝2.7米，标杆与旗杆的水平距离BD＝16米，人的眼睛与地面的距离EF＝1.7米，当E、C、A三点共线时，人与标杆CD的水平距离DF＝2米，那么旗杆AB的高度是　10.7　 米． 【分析】利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求AB的长度分成了2个部分，AH和HB部分，其中HB＝EF＝1.7m，剩下的问题就是求AH的长度，利用△CGE∽△AHE，得出，把相关条件代入即可求得AH，于是得到结论． 【解答】解：∵CD⊥FB，AB⊥FB， ∴CD∥AB， ∴△CGE∽△AHE， ∴， 即， ∴， ∴AH＝9， ∴AB＝AH+HB＝AH+EF＝9+1.7＝10.7（m）． 答：旗杆AB的高度是10.7米． 故答案为：10.7． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要用到的解题思想是把梯形问题转化成三角形问题，利用三角形相似比列方程来求未知线段的长度． 33．（2025秋•闵行区期末）如图①中小狗手影是一种常见的游戏，它利用的原理是：光是沿直线传播的．如图②我们把光源看成一个点，手面看成平行于墙面的一条线段．在一次游戏中，手距离墙壁3米，光源与手的距离为1米．在手的位置不变的情况下，如果光源与手的距离增加1米，那么小狗手影的高度变为原来的　　 （填“几分之几”）． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵点O为光源，CD为小狗手影，AB为小明的手， ∴AB∥CD， 作OE⊥AB交AB于点E，延长OE交CD于点F，则OF⊥CD， ∵AB∥CD， ∴∠OBA＝∠ODC，∠OAB＝∠OCD， ∴△OAB∽△OCD， ∴， ∵OF＝3+1＝4米，OE＝1米， ∴， 设AB＝x， ∴CD＝4x， ∵在光源不动的情况下，光源与手的距离增加1米， ∴OE′＝2米， ∵△OAB∽△OC′D′， ∴， ∴， ∴C′D′x， ∴， 答：小狗手影的高度变为原来的， 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 34．（2025秋•金山区校级月考）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图MN为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛AB，透过透镜后呈的像为CD．光路图如图所示：经过焦点的光线AE，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线AO汇聚于C点．若焦距OF＝4，物距OB＝6，小蜡烛的高度AB＝1，那么像CD与透镜MN之间的距离CE的长为 　12　 ． 【分析】根据题意可得，OE＝CD，AB⊥BO，EO⊥BO，CD⊥OD，从而可得∠ABO＝∠EOB＝∠CDO＝90°，CE＝OD，然后证明△ABF∽△EOF，从而利用相似三角形的性质可求出OE的长，再证明△AOB∽△COD，从而利用相似三角形的性质可求出OD的长，即可解答． 【解答】解：OE＝CD，AB⊥BO，EO⊥BO，CD⊥OD， ∴∠ABO＝∠EOB＝∠CDO＝90°，CE＝OD， ∵∠AFB＝∠EFO， ∴△ABF∽△EOF， ∴， ∴， 解得：OE＝2， ∴OE＝CD＝2， ∵∠AOB＝∠COD， ∵△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∴OD＝12， ∴CE＝OD＝12 ∴像CD与透镜MN之间的距离CE的长为12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键． 35．（2025秋•徐汇区月考）如图1、图2，是一款家用的垃圾箱，踏板AB（与地面平行）绕定点P（固定在垃圾箱底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持AP＝A′P，BP＝B′P），通过向下踩踏点A到A′（与地面接触点）使点B上升到点B′，与此同时传动杆BH运动到B′H′位置，点H绕固定点D旋转点D旋转（DH为旋转半径）至点H′，从而使桶盖打开一个张角∠HDH′．如图3，桶盖打开后，传动杆B′H′所在直线分别与水平直线AB、DH垂直，垂足为点M、C，设H′C＝B′M．测得AP＝6cm，PB＝12cm，DH′＝8cm，要使桶盖张开的角度∠HDH′不小于60°，那么踏板AB离地面的高度至少等于多少cm？（结果保留两位有效数字， 【分析】过点A'作A'N⊥AB，垂足为N点，在RtΔH′CD中，利用直角三角形的边角关系定理求得CH′，由题意得B'M＝CH′，再利用相似三角形的判定与性质求得线段A'N，即可得出结论． 【解答】解：如图，过点A'作A'N⊥AB，垂足为N点， 在RtΔH′CD中，若∠HDH'＝60°，则， ∴， 由题意得：B'M＝CH′， ∴， ∵∠A'PN＝∠B'PM，∠A'NP＝∠B'MP＝90°， ∴Rt△A'NP∽Rt△B′MP， ∴， ∴， ∵桶盖张开的角度∠HDH'不小于60°， ∴， ∴A'N的最小值为， 即踏板AB离地面的高度至少等于3.5cm． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 36．（2025•碑林区校级模拟）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜MN，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像A′B′，此时测得像距OD为12.8厘米． （1）求像A′B′的长度． （2）已知光线AP平行于主光轴l，经过凸透镜MN折射后通过焦点F，求凸透镜焦距OF的长． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质，通过证明△OAB∽△OA′B′与△OAC∽△OA′D解答即可； （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，利用平行四边形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）由题意得：AB∥MN∥A′B′，OC＝32cm，OD＝12.8cm，AB＝8cm， ∵AB∥A′B′， ∴△OAB∽△OA′B′， ∴． ∵AB∥A′B′， ∴△OAC∽△OA′D， ∴， ∴， ∴， ∴A′B′＝3.2． 答：像A′B′的长度3.2厘米． （2）过点A′作A′E∥OD交MN于点E，如图， ∵A′E∥OD，MN∥A′B′， ∴四边形A′EOD为平行四边形， ∴A′E＝OD＝12.8cm，OE＝A′D． 同理：四边形ACOP为平行四边形， ∴AP＝OC＝32cm， ∵AP∥CD，A′E∥OD， ∴AP∥A′E， ∴△APO∽△A′EO， ∴， ∴． ∵MN∥A′B′， ∴△POF∽△A′DF， ∴， ∴OFOD（厘米）． 答：凸透镜焦距OF的长为厘米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 37．（2025秋•松江区校级月考）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． （1）如图，若垂直于地面的标杆OP＝2米，它的影长OG＝1米，同一时刻，旗杆的影长HN＝6米，则旗杆MN的高度为　12　 米； （2）如图，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆AB的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆OC的端点C的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点E，测得OE＝2.2米；②把标杆缩短为1.2米，记作OD，过了一段时间，标杆OD的端点D的影子恰好与电线杆AB的端点A的影子重合于点F，测得OF＝1.2米．请求出电线杆AB的高度． 【分析】（1）在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答； （2）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）根据题意得，， ∴， ∴MN＝12， 答：旗杆MN的高度为12米； 故答案为：12； （2）设OB＝m米，AB＝n米， 由题意得，△OCE∽△BAE，△ODF∽△BAF， ∴，， ∴，， 解得AB＝10， 答：电线杆AB的高度为10米． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 38．（2024秋•奉贤区期末）桔槔（gao）是古代汉族的一种农用工具，也是一种原始的汲水工具，它的工作原理基于杠杆原理，通过一根竖立的支架加上一根杠杆，当中是支点，末端悬挂一个重物，前段悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提拉至所需处．这种工具可以省力地进行汲水，减轻劳动者的劳动强度． 如图1所示，线段OM代表固定支架，点D、点C分别代表重物和水桶，线段BD、AC是无弹力、固定长度的麻绳，绳长AC＝3米，木质杠杆AB＝6米． （1）当水桶C的位置低于地面0.5米（如图2所示），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.6米，且cotB＝0.75，求这个桔槔支架OM的高度； （2）向上提水桶C上升到地面上方0.6米（如图3所示），求此时重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【分析】（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N，根据三角函数求出ON和MN的长度，即可得到OM的长； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N，根据，求出BH'的长度，即可得到重物D相对于（1）中的位置下降的高度． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥BH于点G，交OM于点N， ∵cotB＝0.75，OH＝1.6m， ∴BH＝1.2m，cosB， ∵cosB，AB＝6m， ∴BG＝3.6m， ∴HG＝BG﹣BH＝3.6﹣1.2＝2.4（m）， ∴ON＝HG＝2.4m， 又∵AT＝AC﹣CT＝3﹣0.5＝2.5（m）＝MN， ∴OM＝ON+MN＝2.4+2.5＝4.9（m）， 答：这个桔槔支架OM的高度为4.9m； （2）过点O作OH'⊥BD于点H'，延长HO交CA延长线于点N， 由（1）知：BO＝2m，AO＝4m，OM＝NT＝4.9m， ∴AN＝4.9﹣3﹣0.6＝1.3（m）， ∵， ∴， ∴BH'＝0.65m， ∴BH﹣BH'＝1.2﹣0.65＝0.55（m）， 答：重物D相对于（1）中的位置下降的高度为0.55m． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用三角函数进行计算是解题的关键． 随堂检测 · 精选练习 39．（2026春•浦东新区校级月考）如图，若DE∥BC，且，则　　 ． 【分析】先证明△ADE∽△ABC，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【解答】解：∵DE∥BC，且， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 40．（2025秋•宝山区校级期末）在△ABC中，点E和点F分别在边AB和AC上，若△ABC与△AEF相似，且满足AB＝12，AC＝9，AE＝4，EF＝5，则BC的长为　15或　 ． 【分析】本题需分两种情况讨论△ABC与△AEF的相似对应关系，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算BC的长度． 【解答】解：当△ABC∽△AEF时， ∴， ∵AB＝12，AE＝4，EF＝5， ∴， 解得BC＝15； 当△ABC∽△AFE时， ∴， ∵AC＝9，AE＝4，EF＝5， ∴， 解得， 综上，BC的长为15或， 故答案为：15或． 【点评】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 41．（2026春•杨浦区校级月考）如图，已知在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，DE＝4，BC＝6．则AE的长为　8　 ． 【分析】利用已知条件可得DE＝BE＝4，设AE＝x，利用△ADE∽△ABC得出比例式，依据比例式列出方程即可求解． 【解答】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠EBD＝∠CBD． ∵DE∥BC， ∴∠EDB＝∠CBD， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝4． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴． ∵BC＝6，DE＝4，AB＝AE+BE＝AE+4， ∴， 解得：AE＝8（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：8． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 42．（2026•静安区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．如果AB＝AE＝5，BC＝3，那么CF的长是　　 ． 【分析】根据矩形的性质结合勾股定理求出DE长，证明△EFC∽△AFB，则，据此求解即可． 【解答】解：在矩形ABCD中，AB＝AE＝5，BC＝3， ∴∠D＝∠B＝∠ECF＝90°，AD＝BC＝3，AB＝DC＝5， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：， ∴EC＝DC﹣DE＝5﹣4＝1， ∵∠ECF＝∠B＝90°，∠EFC＝∠AFB， ∴△EFC∽△AFB， ∴，即， 解得：（经检验，是分式方程的解，且符合题意）， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 43．（2026春•徐汇区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，，AB＝5，那么CD的长是 　　 ． 【分析】设AD＝3x，DC＝4x，则利用勾股定理得到AC＝5x，再证明△ACD∽△ABC，利用相似比得到，即，于是可求得x，所以CD＝4x． 【解答】解：∵， ∴设AD＝3x，DC＝4x， ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝90°， 在Rt△ACD中，AC5x， ∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB， ∴△ACD∽△ABC， ∴，即， 解得x， ∴CD＝4x． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 44．（2024秋•嘉定区期末）手影戏是一种独特的艺术形式，它通过手势和光影创造出生动的形象．它的原理是利用光的直线传播，将手影投射到幕布上形成各种影像．如图，为了投影出一个动物造型CD，手AB的长度是15厘米，AB∥CD，光源O到手AB的距离OG是100厘米，手AB到幕布的距离GH是20厘米．此时CD的长度是 　18　 厘米． 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， ∴CD＝18， 答：CD的长度是18厘米， 故答案为：18． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 45．（2025秋•奉贤区期中）我国2000多年前的《墨经》记载了有关“小孔成像”的论述．物体经“小孔成像”成倒立的实像，像可能放大，也可能缩小．如图，小嘉制作了一个简易小孔成像仪来开展蜡烛成像实验，测得蜡烛火焰的像的高度是3厘米．则蜡烛火焰的实际高度为　2　 厘米． 【分析】过O作OM⊥CD于点M，过O作ON⊥AB于点N，证明△AOB∽△COD，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【解答】解：如图，连接AB，CD，过O作ON⊥AB于点N，OM⊥CD于点M， 由题意得，OM＝18厘米，ON＝12厘米，CD＝3厘米，AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∴， 解得：AB＝2， ∴蜡烛火焰的实际高度为2厘米， 故答案为：2． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 课后巩固 · 针对性练习 ❤复习建议 1. 熟记相似三角形的判定与性质，特别是面积比与相似比的关系，做到“见比例想相似，见相似找对应”。 2. 多画基本模型，练习从复杂图形中分离A字型、X字型、母子型，提高识图速度。 3. 证明比例式或等积式时，优先找相似三角形；若没有相似，再考虑平行线分线段成比例或中间比转化。 4. 应用题注意构造相似，统一单位，必要时设未知数列方程；光学问题要准确找出光线与物体的对应关系。 5. 整理错题，重点关注分类讨论、动点问题、面积比计算等易错点。 46．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥AB，点E为OC的中点，过点E作EF∥AB，已知AC＝6，BD＝10，则EF的长为（　　） A． B． C． D．1 【分析】先根据勾股定理求出AB＝4，再证明△CEF∽△CAB，进而即可求解． 【解答】解：在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝10， ∴，． ∵AC⊥AB， 在直角三角形AOB中，由勾股定理得：， ∵点E为OC的中点， ∴， ∵EF∥AB， ∴△CEF∽△CAB， ∴，即， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 47．（2025秋•浦东新区校级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断A选项；根据平行四边形的性质，证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断B选项；根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断C选项；根据题意证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断D选项． 【解答】解：∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∴， 故A选项正确，不符合题意； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝CB， ∵BE：BC＝2：3， ∴， ∵AD∥BC， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴， 故B选项错误，符合题意； ∵BE：BC＝2：3， ∴设BE＝2k，则BC＝3k， ∴EC＝BC﹣BE＝k， ∵AD＝BC＝3k， ∴， 故C选项正确，不符合题意； ∵BE：BC＝2：3，AD＝BC， ∴， ∵BC∥AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． 48．（2025秋•普陀区期末）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC．下列条件中，不一定能判定DE∥BF的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由DF∥BC，得，因为，所以，则DE∥BF，可判断A不符合题意；可证明△ADF∽△ABC，得，而，则，由，∠A＝∠A，不能证明△ADE∽△ABF，所以不能证明∠ADE＝∠ABF，则不能判定DE∥BF，可判断B符合题意；由，∠DFE＝∠C，证明△DFE∽△BCF，得∠DEF＝∠BFC，则DE∥BF，可判断C不符合题意；将，变形为，由相似三角形的性质得，所以，可证明△DFE∽△BCF，得∠DEF＝∠BFC，则DE∥BC，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵在△ABC中，点D在边AB上，点E、F在边AC上，DF∥BC， ∴∠DFE＝∠C，， ∴， ∴， ∴DE∥BF， 故A不符合题意； ∵DF∥BC， ∴△ADF∽△ABC， ∴， ∵， ∴， ∵由，∠A＝∠A，不能证明△ADE∽△ABF， ∴不能证明∠ADE＝∠ABF， ∴不能判定DE∥BF， 故B符合题意； ∵，∠DFE＝∠C， ∴△DFE∽△BCF， ∴∠DEF＝∠BFC， ∴DE∥BF， 故C不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵∠DFE＝∠C， ∴△DFE∽△BCF， ∴∠DEF＝∠BFC， ∴DE∥BC， 故D不符合题意， 故选：B． 【点评】此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形一边的平行线判定定理等知识，证明△ADF∽△ABC及△DFE∽△BCF是解题的关键． 49．（2025秋•闵行区月考）如图，点P是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，联结AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，联结EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B，D两点），以下结论中：①AH⊥EF；②MF＝MC；③EF2＝PM•PH；④EF的最小值是．其中正确结论是（　　） A．①③ B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】①连接PC，证明△ADP≌△CDP（SAS），得到∠DAP＝∠DCP，根据矩形的性质得到∠DAP＝∠CFE，又因为∠DAP+∠AMD＝90°，所以∠CFE+∠AMD＝90°，得到AH⊥EF． ②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC． ③先证明△CPM∽△HPC，得到，因为四边形PECF为矩形，所以PC＝EF，EF2＝PM•PH． ④因为EF＝PC＝AP，当AP⊥BD时，EF取最小值，进而得到AP＝EF． 【解答】解：①如图，连接PC，交EF于点O， 在△ADP和△CDP中， ， ∴△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， ∵PE⊥BC，PF⊥DC，∠BCD＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴OF＝OC， ∴∠FCP＝∠CFE， ∴∠DAP＝∠CFE， ∵∠DAP+∠AMD＝90°， ∴∠CFE+∠AMD＝90°， ∴∠FGM＝90°， ∴AH⊥EF， 故①正确； ②当P为BD的中点时，MC＝0，可见MF≠MC，故②错误； ③∵AD∥BH， ∴∠H＝∠DAP， ∵△ADP≌△CDP（SAS）， ∴∠DAP＝∠DCP， ∴∠H＝∠DCP， ∵∠CPH＝∠MPC， ∴△CPM∽△HPC， ∴， 又∵四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF， ∴EF2＝PM•PH， 故③正确； ④∵△ADP≌△CDP（SAS）， 四边形PECF为矩形， ∴EF＝PC＝AP， ∴当AP⊥BD时，EF取最小值， AP•BD＝AB•BD， ∴AP＝EF， 故④错误， 综上正确的结论有①③， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 50．（2025秋•金山区期末）为提升街区环境美观度，环卫工人需给形状相同的三角形绿化标牌表面涂环保漆．大标牌的涂漆厚度与小标牌的涂漆厚度完全一致，两块标牌对应边的长度比为1：2，如果其中一块小标牌涂满漆用了半听环保漆，那么一块大标牌涂满漆需要环保漆　2　 听． 【分析】根据题意，易得两个三角形相似，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【解答】解：∵形状相同的两个三角形绿化标牌， ∴两个三角形相似， ∵两块标牌对应边的长度比为1：2， ∴两块标牌的面积比为1：4， ∵小标牌涂满漆用了半听环保漆， ∴大标牌涂满漆需要环保漆0.5×4＝2听环保漆； 故答案为：2． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握其相关知识点是解题的关键． 51．（2025秋•浦东新区校级期中）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为12cm，蜡烛AB与凸透镜的距离BE为28cm，蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为7cm，则像CD的高为　3　 cm． 【分析】根据题意可得：AB∥CD，从而可得∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE，进而可得△ABE∽△CDE，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDE，∠BAE＝∠DCE， ∴△ABE∽△CDE， ∴， ∴， 解得：CD＝3， ∴像CD的高为3cm， 故答案为：3． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 52．（2026春•崇明区期中）如图，AD与BC相交于点O，，，则　　 ． 【分析】根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可． 【解答】解：∵，， ∴， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴△AOB∽△COD， ∴， 故答案为：． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 53．（2026•上海校级模拟）如图，在△ABC中，点D是AB的黄金分割点（AD＞BD），BC＝AD，如果∠ACD＝90°，CD＝2，则AC＝　1　 ． 【分析】先根据黄金分割的定义可得，然后利用等量代换可得：，从而可得△BCD∽△BAC，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵点D是AB的黄金分割点（AD＞BD）， ∴， ∵AD＝BC， ∴， ∵∠B＝∠B， ∴△BCD∽△BAC， ∴， ∵CD＝2， ∴AC1， 故答案为：1． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 54．（2026•浦东新区校级自主招生）如图，BD为Rt△ABC斜边AC上的高，延长DB至E，联结AE，过C作CF⊥AE于F交BD于点G，BD＝3，BE＝2，则DG＝　1.8　 ． 【分析】先证明△BAD∽△CBD，再证明△EDA∽△CDG，列比例式解答即可． 【解答】解：∵BD为Rt△ABC斜边AC上的高， ∴∠BDA＝90°＝∠CDB，∠BAD＝90°﹣∠ACB＝∠CBD， ∴△BAD∽△CBD， ∴， ∴BD2＝AD•CD， ∵CF⊥AE，BD⊥AC，∠FGE＝∠DGC， ∴∠EDA＝90°＝∠CDG，∠AED＝∠GCD， ∴△EDA∽△CDG， ∴， ∴DE•DG＝AD•CD， ∴BD2＝DE•DG， ∵BD＝3，BE＝2， ∴DE＝BD+BE＝3+2＝5， ∴9＝5DG， 解得：DG＝1.8， 故答案为：1.8． 【点评】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 55．（2026春•浦东新区校级月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm2和9cm2，求△ABC的面积． 【分析】由DE∥BC，EF∥AB可得△EFC∽△ADE，△EFC∽△ABC，由S△ADE＝4cm2，S△EFC＝9cm2得，再由得△ABC的面积． 【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB， ∴△EFC∽△ADE，△EFC∽△ABC， ∵S△ADE＝4cm2，S△EFC＝9cm2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S△ABC＝925． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决此题的关键是清楚相似三角形的面积之比等于相似比的平方． 56．（2025秋•普陀区月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点Q，∠BAD＝90°，过C作对角线BD的垂线交边AB于点E，垂足为点P，已知EP•BC＝BP•BE． （1）求证：AD∥BC； （2）如果AB＝BC，求证：． 【分析】（1）根据垂直得出直角三角形，根据直角三角形的性质得出∠PBC+∠PCB＝90°，由锐角三角函数比得出sin∠PBE＝sin∠PCB，即∠PBE＝∠PCB，然后利用等量代换得出∠CBE＝90°，最后利用同旁内角互补，两直线平行即可得出结论； （2）证明△ABD≌△BCE，得出 AD＝BE，BD＝CE，假设AB＝BC＝1，BE＝AD＝m，则AE＝AB﹣BE＝1﹣m，证明△BPE∽△CBE，△QAD∽△QCB，得出对应边成比例，表示出相关线段的长度，然后求出等式左右两边的值进行比较即可． 【解答】（1）证明：∵CE⊥BD， ∴∠BPE＝∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°， ∵EP•BC＝BP•BE， ∴， 即sin∠PBE＝sin∠PCB， ∴∠PBE＝∠PCB， ∴∠PBC+∠PBE＝90°， 即∠CBE＝90°， ∴∠CBE+∠BAD＝180°， ∴AD∥BC； （2）解：∵AB＝BC，∠PBE＝∠PCB，∠BAD＝∠CBE＝90°， ∴△ABD≌△BCE（ASA）， ∴AD＝BE，BD＝CE， 假设AB＝BC＝1，BE＝AD＝m，则AE＝AB﹣BE＝1﹣m， 由勾股定理得，， ∵∠PBE＝∠PCB，∠BEP＝∠CEB， ∴△BPE∽△CBE， ∴， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠QAD＝QCB，∠QDA＝∠DBC， ∴△QAD∽△QCB， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴， ， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算． 57．（2026•静安区校级模拟）如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH． （1）求证：BH＝AB； （2）求证：AH•BG＝AG•BD． 【分析】（1）根据垂直定义可得∠DEB＝∠DEC＝90°，从而可得△BDE是等腰直角三角形，进而可得BE＝DE，再利用同角的余角相等可得∠FBC＝∠CDE，然后证明△BEH≌△DEC，从而可得BH＝DC，再利用平行四边形的性质可得AB＝CD，即可解答； （2）根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AD∥BC，从而可得∠ADB＝∠DBC＝45°，∠ABH＝∠BFC＝90°，进而可得∠BDG＝135°，然后利用（1）的结论可得∠BHA＝45°，从而可得∠AHG＝135°，最后证明△GDB∽△GHA，利用相似三角形的性质即可解答． 【解答】证明：（1）∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝∠DEC＝90°， ∵∠DBC＝45°， ∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝45°， ∴BE＝DE， ∵BF⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠C+∠FBC＝90°， ∵∠C+∠CDE＝90°， ∴∠FBC＝∠CDE， ∴△BEH≌△DEC（ASA）， ∴BH＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∴AB＝BH； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC＝45°，∠ABH＝∠BFC＝90°， ∴∠BDG＝180°﹣∠ADB＝135°， ∵AB＝BH， ∴∠BAH＝∠BHA＝45°， ∴∠AHG＝180°﹣∠BHA＝135°， ∴∠BDG＝∠AHG， ∵∠G＝∠G， ∴△GDB∽△GHA， ∴， ∴AH•BG＝AG•BD． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 58．（2026•金山区校级模拟）已知：如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，射线EF交AD的延长线于点G． （1）求证：CE＝CF； （2）如果FG2＝AG•DG，求证：． 【分析】（1）根据菱形的性质和AAS可以证明△ABE和△ADF全等，即可得到BE＝DF，然后即可证明结论成立； （2）根据FG2＝AG•DG和相似三角形的判定和性质，可以得到∠GFD＝∠GAF，再根据（1）中△ABE≌△ADF，可以得到BE＝DF，AE＝AF，再根据∠AFD＝90°，可以得到∠ADF＝∠AEG，然后根据这两个角的正切值，可以证明结论成立． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴∠B＝∠ADF，AB＝AD，BC＝DC， ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF， ∴BC﹣BE＝DC﹣DF， ∴CE＝CF； （2）∵FG2＝AG•DG， ∴， ∵∠DGF＝∠FGA， ∴△DGF∽△FGA， ∴∠GFD＝∠GAF， 由（1）知：△ABE≌△ADF， ∴BE＝DF，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵∠AFD＝90°， ∴∠GAF+∠ADF＝90°，∠AFE+∠GFD＝90°， ∴∠ADF＝∠AFE， ∴∠ADF＝∠AEF， ∵tan∠ADF，tan∠AEF， ∴， ∴， 即． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 59．（2026春•徐汇区校级月考）如图，已知点D、E分别是△ABC边AB、AC上的两点，DE∥BC，AD＝3，BD＝4，CD和BE相交于点O，且S△DOE＝3，求△BOC与△BCD的面积． 【分析】先通过相似三角形的判定和性质得出，则，即可求出△BOC 的面积，进一步求出△DOB的面积，即可求解． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵DE∥BC， ∴△DOE∽△COB， ∴，， ∴； 在△CDB中， ∴ ∴； ∴． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 60．（2025秋•普陀区期末）已知：如图，四边形ABCD中，点E在边BC上，DE交AC于点F，∠AED＝∠B，AE2＝AF•AC． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）如果，求证：DE•AC＝AE•BC． 【分析】（1）由AE2＝AF•AC，得，可证明△FAE∽△EAC，则∠AED＝∠FCE，因为∠AED＝∠B，所以∠B＝∠FCE，推导出∠BAE＝∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEB，即可证明△ABE∽△ECF． （2）由△FAE∽△EAC，得，由，变形得，则，所以AD＝AE，则∠ADE＝∠AED＝∠B，即可由∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠B，证明△ADE∽△ABC，得，则DE•AC＝AE•BC． 【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AC， ∴， ∵∠FAE＝∠EAC， ∴△FAE∽△EAC， ∴∠AED＝∠FCE， ∵∠AED＝∠B， ∴∠B＝∠FCE， ∵∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠AEB＝180°﹣∠AED﹣∠AEB，∠CEF＝180°﹣∠AED﹣∠AEB， ∴∠BAE＝∠CEF， ∴△ABE∽△ECF． （2）由（1）得∠AED＝∠FCE，△FAE∽△EAC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝∠B， ∵∠AED＝∠ACB，∠ADE＝∠B， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∴DE•AC＝AE•BC． 【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，证明△FAE∽△EAC及△ADE∽△ABC是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $