专题09 计数原理与概率统计（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 聚焦计数原理与概率统计7大高频考点，汇编江苏多地高三期中真题，覆盖统计、线性回归等核心内容，注重基础与综合应用，适配期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选/多选）|多题|统计（百分位数、方差）、排列组合（分组分配）|结合知识竞赛、足球赛事等现实情境，考查数据处理能力| |填空|多空|二项式定理（系数计算）、古典概型（全概率公式）|设置分层设问，如二项式系数与随机变量结合| |解答|多题|独立性检验（志愿者帮助调查）、随机变量分布列（产品检测）|综合考查数学建模，如“苏超”赛事关注与性别关联分析，贴合高考命题趋势|

专题09 计数原理与概率统计 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．C 2．D 3．BD 4．BCD 考点02 线性回归方程 1．B 考点03 独立性检验 1．【答案】（1）     （2）能，先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样.      【分析】 （1）利用频率估计概率进行求解即可； （2）根据数据计算卡方，结合卡方的数值进行判断. (1) 小问详解： 抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. (2) 小问详解： 列联表如下： ，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样. 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 2．【答案】（1）认为关注“苏超”赛事与性别有关     （2）.      【分析】 （1）计算，结合临界值表判断即可； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. (1) 小问详解： 零假设：关注“苏超”赛事与性别无关． ， 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注“苏超”赛事与性别有关； (2) 小问详解： 由分层抽样可知，抽取男性市民人，女性市民人， 记“有且只有人顺利完成知识问答”事件，“这人的性别不同”为事件， 则， ， ∴， ∴在有且仅有人顺利完成知识问答的条件下，这人的性别不同的概率为. 3．【答案】（1）有关     （2）      【分析】 （1）计算的值，根据独立性检验的原理，即可得结论； （2）根据古典概型的概率公式求解，即可求得答案. (1) 小问详解： 零假设：学生对该运动的喜欢程度与性别无关， 则， 故根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 则学生对该运动的喜欢程度与性别有关； (2) 小问详解： 设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y， 从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有种， 则 ， 即这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为. 4．【答案】（1）有关     （2）      【分析】 （1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. (1) 小问详解： 课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； (2) 小问详解： 由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 考点04 排列与组合 1．C 2．ABD 考点05 二项式定理 1．C 2．B 3．【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合分步乘法计数原理求解. 【详解】 在的展开式中， 从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘的积即可得含的项， 所以含的项的系数为. 故答案为： 4．【答案】24 【分析】 利用二项式定理的公式求解即可. 【详解】 的二项展开式中，第3项为：， 故第3项的系数为24. 故答案为：24 5．【答案】 【分析】 写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】 的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为. 故答案为：. 6．【答案】 【分析】 写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可. 【详解】 因为展开式的通项为， 因为第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，即，解得. 故答案为： 7．【答案】 【分析】 根据二项式定理求解即可. 【详解】 二项式的展开式通项公式为. 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 故常数项为. 8．【答案】3 【分析】 根据二项式定理求解即可. 【详解】 根据二项式定理， 所以项的系数为，解得. 故答案为：3. 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．ABD 2．AC 3．【答案】（1）     （2）的分布列为： 数学期望为      0 1 2 【分析】 （1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合分布列和数学期望公式进行求解即可. (1) 小问详解： 设“第1次检测出合格零件”为事件，“第2次检测出不合格零件”为事件， 则， 故在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为. (2) 小问详解： 由题意可能的取值为. 表示前5次检测出的均为合格零件，则. 表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则. . 则的分布列为： 所以的数学期望. 0 1 2 4．【答案】 【分析】 利用全概率公式求值. 【详解】 用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区， 则，，. ，，. 所以 . 故答案为： 5．【答案】（1）576；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题列式计算得解. （2）根据给定条件，利用条件概率公式列式求解. (1) 小问详解： 由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. (2) 小问详解： 记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 6．【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分与之间有边和无边讨论即可； （2）分三个顶点两两有边和有两个顶点间无边讨论即可； （3）方法一：固定任意一个顶点，设事件：恰好有个顶点与相互可达，任取除以外个顶点，再逐个计算概率即可；方法二：首先计算得共有条可能的边，再对的具体边数和孤立点的情况分类讨论即可. (1) 小问详解： 设事件：顶点与顶点相互可达，事件：与之间有边， 当时，与相互可达分以下两种情况： ①与之间有边，概率为， ②与之间无边，但都与第三个顶点有边，概率为， 故与相互可达的概率，故， 而，故， 故与之间有边的概率为. (2) 小问详解： 设事件：恰有3个顶点相互可达，任取3个顶点，第4个顶点与这3个顶点均无边的概率为， 同时这3个顶点相互可达，故，图连通以下两种情况： ① 三个顶点两两有边，概率为， ② 有两个顶点间无边，但都与第3个顶点有边，概率为， ，则， 恰有3个顶点相互可达的概率为. (3) 小问详解： 方法一：固定任意一个顶点是连通的就是两个顶点间有边时，， 当时，设事件：恰好有个顶点与相互可达，任取除以外个顶点， 剩下个顶点与这个顶点都无边的概率为，同时这个顶点相互可达， 则，显然，任意两个事件和均为互斥事件， 因此， ，， ，故， ， ， . 方法二：共有条可能的边， ① 当不存在任何边时，不可能连通，概率为 ② 当中只存在1条边时，概率为，此时不可能是连通的； ③ 同理，中只存在2条或3条边时，概率分别为：， 均不可能是连通的： ④ 当中只存在4条边时，计算不连通的概率： i）中存在1个孤立的顶点时，4条边只能存在于其它4个顶点之间．四个顶点组成的图最多有6条边，故概率为． ii）中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于4，与假设矛盾． iii）中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边，并且这3个顶点相互都有边．概率为． ⑤ 当中只存在5条边时，计算不连通的概率： i）中存在1个孤立的顶点时，5边只能存在于其它4个顶点之间．四个顶点组成的图最多有6条边，故概率为， ii）中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于5，与假设矛盾． iii）中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边时，边数小于5，与假设矛盾， ⑥ 当中只存在6条边时，不连通的情况只当存在1个孤立点时， 概率为：； ⑦ 当中存在多于6条边时，因为最多只有6条边，因此必然连通， 故不连通的概率为：， . 考点07 随机变量及其分布列 1．D 2．【答案】（1）     （2）①的分布列为： 数学期望； ②      【分析】 （1）根据独立重复试验概率问题的求解方法可求得结果； （2）① 首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； ② 根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. (1) 小问详解： 若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为， 则随机抽取次，恰有次抽取到黑球的概率. (2) 小问详解： ① 由题意知：所有可能的取值为， ； ； ； 的分布列为： 数学期望. ② 记事件为“抽取到个黑球与个白球”，事件为“第次抽到黑球”， 则事件为“第次和第次抽到白球，第次抽到黑球”； ，，， 即在抽取到个黑球与个白球的前提下，第次抽到黑球的概率为. 3．【答案】 【分析】 依题意，的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】 依题意，的可能取值为，总的选取可能数为， 其中：即４次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故； ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现３次，可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现２次，可能情况有种， 故； ：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现２次， 可能情况有种，故； 所以. 故答案为： 4．【答案】 【分析】 分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的期望值. 【详解】 的可能取值有、、、， （1）当时，说明前三次摸的全是白球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以， （2）当时，有两种情况：① 前四次摸的全是红球，最后盒子里剩余的全是白球； ② 第四次摸出的是白球，前三次中有两次摸出白球一次摸出红球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以； （3）当时，有两种情况： ① 最后盒子里剩余的全是白球，则第五次摸出的必是红球，前四次有一次摸出的是白球，三次摸出的是红球； ② 最后盒子里剩余的全是红球，则第五次摸出的必是白球，前四次中有两次摸出的是红球，两次摸出的是白球， 所以， （4）当时，有两种情况： ① 最后盒子里剩余的是白球，则第六次摸出的是红球，前五次有三次摸出的是红球，有两次摸出的是白球； ② 最后盒子里剩余的是红球，则第六次摸出的是白球，前五次有两次摸出的是白球，有三次摸出的是红球， 所以. 因此. 故答案为：. 5．【答案】（1）．     （2） 的分布列为 ，     （3）8      【分析】 （1）确定基本事件空间及符合条件的事件数，利用古典概型求解其概率； （2）确定随机变量的可能取值，利用独立性计算对应概率，列出分布列并求均值； （3）分别求出两种化验法的期望，建立不等式并化简，构造函数并利用导数判断其单调性，根据可求得k的最大值. (1) 小问详解： 记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，                       则 ∴故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. (2) 小问详解： 每组化验的次数可能是或． 记事件“每组化验次数为”，则事件“每组化验次数为”， ∴，， 易知， ， ， ， ∴的分布列为 ． (3) 小问详解： ， ∵，∴， ∴， ∴， 当时，，即， 两边取以为底的对数，得到， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，∴的最大值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理与概率统计 7大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知样本数据，则该组数据的第60百分位数为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序依次为，若该组数据的中位数等于这组数据的极差，则该组数据的上四分位数是（  ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 3．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）（多选）某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（       ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 4．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）（多选）立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（       ） A. 该组数据的最小值可能为 B. 该组数据的平均数不超过 C. 该数据的第百分位数为 D. 该组数据的方差超过 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）某店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： -2 -1 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 小明对上述数据进行分析，发现与之间具有线性相关关系，则关于的经验回归方程为（       ） A.  B.  C.  D.  考点03 独立性检验 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）火爆全网，话题不断．常州市随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且只有人顺利完成的条件下，这人的性别不同的概率． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 3．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：         喜欢程度性别 喜欢 感觉一般 合计 男 30 70 100 女 50 50 100 合计 80 120 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关； （2）从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 考点04 排列与组合 1．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 考点05 二项式定理 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（       ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）在的展开式中，含的项的系数为　　　　　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）的二项展开式中，第3项的系数为　　　　　　　　　　　．（用数字作答） 5．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）的展开式中常数项为　　　　　　　． 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则　　　　　　　　　　. 7．（2026·江苏徐州第一中学·二模）二项式的展开式中的常数项为　　　　　　　　　　　　　　（用数字作答）. 8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）若的展开式中，的系数为-50，则　　　　　　　　　　. 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）（多选）若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）（多选）连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为，掷出点数之和为，则（     ） A. 事件“为奇数”发生的概率 B. 事件“”和事件“”相等 C. 事件“”发生的概率为 D. 事件“”和事件“”独立 3．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 0 1 2 0 1 2 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为　　　　　　　　　　　　　　　. 5．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． （1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； （2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图由顶点集与边集组成，记为．顶点集是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图，其顶点集，边集．若图中依次存在一组边：，则称顶点相互可达．如果图中任意两个顶点相互可达，则称图是连通的，如右所示的图就是连通的． 一个有含有个顶点的图，任意两个顶点间有边的概率为．设图是连通的概率为，定义．    （1）当时，在顶点与顶点相互可达的条件下，求与之间有边的概率； （2）当时，求恰有3个顶点相互可达的概率； （3）求． 考点07 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球. （1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率； （2）若每次抽出的球不放回. ①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望； ②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率. 3．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望　　　　　　　． 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的个红球和个白球，不放回地依次随机取出，每次取出个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记为游戏结束时取球次数，则的数学期望为　　　　　　. 5．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）某生物检测中心在化验某种动物血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次． ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验．若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次． （1）现有份血液样本，其中有份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； （2）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用份为一组的混合化验法进行化验，记这份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列和均值； （3）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为．当时，求的最大值．（参考数据：) 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理与概率统计 7大高频考点概览 考点01 统计 考点02 线性回归方程 考点03 独立性检验 考点04 排列与组合 考点05 二项式定理 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 考点07 随机变量及其分布列 考点01 统计 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知样本数据，则该组数据的第60百分位数为（       ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【分析】 根据百分位数的定义求解即可. 【详解】 这组数据共8个，所以， 所以该组数据的第60百分位数为8， 故选：C 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为15分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序依次为，若该组数据的中位数等于这组数据的极差，则该组数据的上四分位数是（  ） A. 6 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【分析】 根据中位数等于极差求出的值，再计算上四分位数即第75百分位数即可. 【详解】 已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为. 极差是最大值12减去最小值，即极差为. 因为该组数据的中位数等于这组数据的极差，所以.可得：. 此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以该数据的上四分位数是第个数，即10. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）（多选）某次校园音乐大赛，8位评委分别给某选手打出的分数如下表： 评委 1 2 3 4 5 6 7 8 分数 8.5 8.2 8.8 8.6 8.6 8.4 8.3 8.6 统计8位评委的分数为原始数据，去掉一个最高分，去掉一个最低分后统计6位评委的分数为有效数据，则（       ） A. 原始数据的分位数为8.6 B. 原始数据的均分等于有效数据的均分 C. 若原始数据的方差为，剔除一个8.5分后得到新数据的方差为，则 D. 原始数据中剔除某个分数后的极差不大于原始数据的极差 【答案】BD 【分析】 将原始数据从小到大进行排序，结合百分位数，平均数，方差，极差的定义求解即可. 【详解】 原始分数从小到大排序：，去掉的最低分为：，最高分为：； 对于A，数据共有个，所以，则原始数据的分位数为，故A错误； 对于B，原始数据平均分为， 有效数据平均分为，所以原始数据的均分等于有效数据的均分，故B正确； 对于C，原始数据的方差为， 剔除一个8.5分后得到新数据的平均数为，则方差为， 所以与不相等，故C不正确； 对于D，原始数据的极差为：， 若剔除的数据不是或，则极差不变， 若剔除的数据是或，则极差会变小，故D正确； 故选：BD 4．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）（多选）立德中学某班名同学参加“青春向党”知识竞赛答题活动，其成绩均为正整数，中位数为，唯一众数为，极差为，则下列说法正确的是（       ） A. 该组数据的最小值可能为 B. 该组数据的平均数不超过 C. 该数据的第百分位数为 D. 该组数据的方差超过 【答案】BCD 【分析】 由题意设该组数据从小到大为、、、、，根据已知条件得出、、、的值，可判断A选项；利用平均数公式可判断B选项；利用百分位数的概念可判断C选项；利用方差公式可判断D选项. 【详解】 由题意设该组数据从小到大为、、、、， 由题意可得，，，可得，A错； 这组数据为、、、、，则， 这组数据的平均数为，B对； 对于C选项，因为，所以该数据的第百分位数为，C对； 对于D选项，当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数的平均数为， 这组数的方差为， 当时，这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 当，此时这组数据的平均数为， 这组数的方差为， 因此，这组数据的方差大于，D对. 故选：BCD. 考点02 线性回归方程 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）某店日盈利（单位：百元）与当天平均气温（单位：）之间有如下数据： -2 -1 0 1 2 百元 5 4 2 2 1 小明对上述数据进行分析，发现与之间具有线性相关关系，则关于的经验回归方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据经验回归方程必过样本中心点的性质，求出样本中心点，根据变化趋势，判断结果. 【详解】 由题意可知，，样本中心点为， 由样本数据可知，随着的增大而减小，所以符合条件. 故选：B. 考点03 独立性检验 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，调查结果如下表： 男性 女性 需要 40 20 不需要 160 280 （1）在该地区男性老年人中，随机选择一位，他需要志愿者提供帮助的概率记为，求的估计值； （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关；并指出该调查中更优的抽样方法． 参考公式：，其中． 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）     （2）能，先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样.      【分析】 （1）利用频率估计概率进行求解即可； （2）根据数据计算卡方，结合卡方的数值进行判断. (1) 小问详解： 抽取的样本中，男性老年人共有200人，需要志愿者提供帮助的有40人， 频率为，所以的估计值是. (2) 小问详解： 列联表如下： ，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. 由于该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出男性老年人需要帮助的需求较高，与女性老年人有明显差异，因此调查时先确定男女老年人的比例，然后按照男、女两层进行分层抽样. 男性 女性 合计 需要 40 20 60 不需要 160 280 440 合计 200 300 500 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）近日，2025年江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”）火爆全网，话题不断．常州市随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格： 性别 不关注赛事 关注赛事 合计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 合计 75 225 300 （1）对照列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关？ （2）现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取名市民参加“苏超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且只有人顺利完成的条件下，这人的性别不同的概率． 附：． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为关注“苏超”赛事与性别有关     （2）.      【分析】 （1）计算，结合临界值表判断即可； （2）根据题意，求出有且仅有2人顺利完成知识问答的概率和这2人性别不同的概率，再根据条件概率公式求解即可. (1) 小问详解： 零假设：关注“苏超”赛事与性别无关． ， 故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即认为关注“苏超”赛事与性别有关； (2) 小问详解： 由分层抽样可知，抽取男性市民人，女性市民人， 记“有且只有人顺利完成知识问答”事件，“这人的性别不同”为事件， 则， ， ∴， ∴在有且仅有人顺利完成知识问答的条件下，这人的性别不同的概率为. 3．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）为了解学生对某项运动的喜欢程度，某校随机调查了200名学生，得到如下列联表：         喜欢程度性别 喜欢 感觉一般 合计 男 30 70 100 女 50 50 100 合计 80 120 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析学生对该运动的喜欢程度是否与性别有关； （2）从这200人中随机选出了5名男生和3名女生作为代表，其中有2名男生和2名女生喜欢该运动.现从这8名代表中任选3名男生和2名女生进一步交流，求这5人中恰有2人喜欢该运动的概率. 附： 0.05 0.01 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）有关     （2）      【分析】 （1）计算的值，根据独立性检验的原理，即可得结论； （2）根据古典概型的概率公式求解，即可求得答案. (1) 小问详解： 零假设：学生对该运动的喜欢程度与性别无关， 则， 故根据小概率值的独立性检验，可知零假设不成立， 则学生对该运动的喜欢程度与性别有关； (2) 小问详解： 设进一步交流的男生喜欢该运动的人数为X，女生中喜欢该运动的人数为Y， 从这8名代表中任选3名男生和2名女生的选法有种， 则 ， 即这5人中恰有2人喜欢该运动的概率为. 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关     （2）      【分析】 （1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. (1) 小问详解： 课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； (2) 小问详解： 由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 考点04 排列与组合 1．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）某校安排高一年级班共个班去五个劳动教育基地进行社会实践，每个班去一个基地，每个基地至少安排一个班，则高一班恰被安排到基地的排法种数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分两步完成，先随机选两个班为一组，然后再将需要排列的班级进行排列，这样就能算出全部的排法. 【详解】 先将6个班中随机挑选两个班为一组，共有种排法， 再将含高一班这个组安排去基地，有种方法， 最后将剩下4个班（组）全排列，即由种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 2．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）（多选）下列结论正确的是（       ） A. 为正整数且 B. 满足方程的值可能为或 C. 甲、乙、丙等人排成一列，若甲与丙不相邻，则共有种排法 D. 把个相同的小球分到个不同的盒子中，每个盒子至少分得一个小球的分法共有种 【答案】ABD 【分析】 利用排列组合数公式及性质计算判断AB；利用插空法求得排列数判断C；利用隔板法求得总的方法数判断D. 【详解】 对于A，，A正确； 对于B，由，得或 ，解得或，B正确； 对于C，将除甲和丙以外的3人全排列，再将甲与丙插入3人所形成的4个空中的2个空，共有排法，C错误； 对于D，由隔板法得共有种不同的分法，D正确. 故选：ABD 考点05 二项式定理 1．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（       ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 【答案】C 【分析】 易知，知的展开式中各项的系数等于相应的二项式系数，所以，所以.根据二项展开式性质求奇数项的二项式系数之和. 【详解】 因为的展开式通项为，所以展开式中各项的系数等于相应的二项式系数. 由题可知，，由组合数性质得. 所以奇数项的二项式系数之和为. 故选：C. 2．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）已知随机变量，且，则的展开式中的系数为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由正态分布的性质建立方程求得的值，然后代入二项式，并写出其展开式的通项，令通项中的指数与条件提到的项的指数相同，求得，代入中，求得该项的系数. 【详解】 由题意可知，∴， ∴ ， 展开式的通项为， 当时，，即. 所以的展开式中的系数为. 故选：B. 3．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）在的展开式中，含的项的系数为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据给定条件，利用多项式乘法法则，结合分步乘法计数原理求解. 【详解】 在的展开式中， 从个因式中，个因式选择，个因式选择常数相乘的积即可得含的项， 所以含的项的系数为. 故答案为： 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）的二项展开式中，第3项的系数为　　　　　　　　　　　．（用数字作答） 【答案】24 【分析】 利用二项式定理的公式求解即可. 【详解】 的二项展开式中，第3项为：， 故第3项的系数为24. 故答案为：24 5．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）的展开式中常数项为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】 的展开式通项为， 令，可得， 所以，展开式中的常数项为. 故答案为：. 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为，则　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 写出展开式的通项，即可得到，由组合数公式解得即可. 【详解】 因为展开式的通项为， 因为第2项与第3项的二项式系数之比为， 所以，即，解得. 故答案为： 7．（2026·江苏徐州第一中学·二模）二项式的展开式中的常数项为　　　　　　　　　　　　　　（用数字作答）. 【答案】 【分析】 根据二项式定理求解即可. 【详解】 二项式的展开式通项公式为. 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 当为常数项，需，解得，此时对应项为； 故常数项为. 8．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）若的展开式中，的系数为-50，则　　　　　　　　　　. 【答案】3 【分析】 根据二项式定理求解即可. 【详解】 根据二项式定理， 所以项的系数为，解得. 故答案为：3. 考点06 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）（多选）若，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【分析】 根据条件概率公式求出，再由全概率公式求出，即可判断A，B，由判断C，再由条件概率公式判断D. 【详解】 对于A：因为，，即， 所以，又，所以，故A正确； 对于B：，故B正确； 对于C：， 而，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：ABD 2．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）（多选）连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为，掷出点数之和为，则（     ） A. 事件“为奇数”发生的概率 B. 事件“”和事件“”相等 C. 事件“”发生的概率为 D. 事件“”和事件“”独立 【答案】AC 【分析】 利用相互独立事件、对立事件的概率公式计算判断AC；写出事件的所有基本事件判断B；利用相互独立事件的定义判断D. 【详解】 对于A，事件“为奇数”等价于“3次掷出的点数都为奇数”，其发生的概率为，故A正确； 对于B，事件“” 样本空间点为，事件“”的样本空间点为 ，所以事件“”和事件“”不相等，故B错误； 对于C，事件“” 的对立事件为“或”，而“”等价于“3次掷出的点数均为6”， 其概率为，“”等价于“掷出的3个点数中有2个6和1个5”，其概率为，因此，故C正确； 对于D: 事件“”等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4(有3种不同情况），或者2个2和1个1（有3种不同情况）”，其概率为. 事件“”等价于“3次掷出的点数中有3个2（有1种情况）；或者2个1和1个4（有3种不同情况）；或者1个1、1个2和1个3（有种不同情况）”，其概率为. 而积事件等价于“3次掷出的点数中有2个1和1个4”，其概率.，, 所以事件“”和事件“”不独立 故D错误． 故选：AC. 3．（25-26学年高三上·江苏南通通州区·期中）某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1）     （2）的分布列为： 数学期望为      0 1 2 【分析】 （1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合分布列和数学期望公式进行求解即可. (1) 小问详解： 设“第1次检测出合格零件”为事件，“第2次检测出不合格零件”为事件， 则， 故在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为. (2) 小问详解： 由题意可能的取值为. 表示前5次检测出的均为合格零件，则. 表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则. . 则的分布列为： 所以的数学期望. 0 1 2 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）秋冬换季是流行性感冒爆发期，已知三个地区分别有，，的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是，现从这三个地区中任意选取1人，则这人患了流感的概率为　　　　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用全概率公式求值. 【详解】 用表示这个人患了流感，分别用，，表示这个人来自地区， 则，，. ，，. 所以 . 故答案为： 5．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）有10只不同的试验产品，其中有4只不合格品、6只合格品．现每次取1只测试，直到4只不合格品全部测出为止． （1）求最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现的不同情形种数； （2）已知最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，求第2次测得合格品的概率． 【答案】（1）576；     （2）.      【分析】 （1）根据给定条件，利用排列、组合计数问题列式计算得解. （2）根据给定条件，利用条件概率公式列式求解. (1) 小问详解： 由最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，得第5次测得不合格品， 且前4次测得3只不合格品、1只合格品， 所以不同情形种数为. (2) 小问详解： 记事件：最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，事件：第2次测得合格品， ，， 因此， 所以最后1只不合格品正好在第5次测试时被发现，第2次测得合格品的概率为. 6．（2026·江苏徐州第一中学·二模）图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图由顶点集与边集组成，记为．顶点集是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图，其顶点集，边集．若图中依次存在一组边：，则称顶点相互可达．如果图中任意两个顶点相互可达，则称图是连通的，如右所示的图就是连通的． 一个有含有个顶点的图，任意两个顶点间有边的概率为．设图是连通的概率为，定义．    （1）当时，在顶点与顶点相互可达的条件下，求与之间有边的概率； （2）当时，求恰有3个顶点相互可达的概率； （3）求． 【答案】（1）；     （2）；     （3）.      【分析】 （1）分与之间有边和无边讨论即可； （2）分三个顶点两两有边和有两个顶点间无边讨论即可； （3）方法一：固定任意一个顶点，设事件：恰好有个顶点与相互可达，任取除以外个顶点，再逐个计算概率即可；方法二：首先计算得共有条可能的边，再对的具体边数和孤立点的情况分类讨论即可. (1) 小问详解： 设事件：顶点与顶点相互可达，事件：与之间有边， 当时，与相互可达分以下两种情况： ①与之间有边，概率为， ②与之间无边，但都与第三个顶点有边，概率为， 故与相互可达的概率，故， 而，故， 故与之间有边的概率为. (2) 小问详解： 设事件：恰有3个顶点相互可达，任取3个顶点，第4个顶点与这3个顶点均无边的概率为， 同时这3个顶点相互可达，故，图连通以下两种情况： ① 三个顶点两两有边，概率为， ② 有两个顶点间无边，但都与第3个顶点有边，概率为， ，则， 恰有3个顶点相互可达的概率为. (3) 小问详解： 方法一：固定任意一个顶点是连通的就是两个顶点间有边时，， 当时，设事件：恰好有个顶点与相互可达，任取除以外个顶点， 剩下个顶点与这个顶点都无边的概率为，同时这个顶点相互可达， 则，显然，任意两个事件和均为互斥事件， 因此， ，， ，故， ， ， . 方法二：共有条可能的边， ① 当不存在任何边时，不可能连通，概率为 ② 当中只存在1条边时，概率为，此时不可能是连通的； ③ 同理，中只存在2条或3条边时，概率分别为：， 均不可能是连通的： ④ 当中只存在4条边时，计算不连通的概率： i）中存在1个孤立的顶点时，4条边只能存在于其它4个顶点之间．四个顶点组成的图最多有6条边，故概率为． ii）中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于4，与假设矛盾． iii）中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边，并且这3个顶点相互都有边．概率为． ⑤ 当中只存在5条边时，计算不连通的概率： i）中存在1个孤立的顶点时，5边只能存在于其它4个顶点之间．四个顶点组成的图最多有6条边，故概率为， ii）中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于5，与假设矛盾． iii）中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边时，边数小于5，与假设矛盾， ⑥ 当中只存在6条边时，不连通的情况只当存在1个孤立点时， 概率为：； ⑦ 当中存在多于6条边时，因为最多只有6条边，因此必然连通， 故不连通的概率为：， . 考点07 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·江苏常州·期中）已知随机变量，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据正态分布的对称性求，根据求. 【详解】 因为，所以，所以， 又. 故选：D 2．（25-26学年高三上·江苏扬州·期中）一个盒子中有个大小重量相同的小球，其中个白球，个黑球，甲同学从盒子中分次随机抽取，每次抽取个球. （1）若每次抽出的球放回，求恰有次抽取到黑球的概率； （2）若每次抽出的球不放回. ①记抽取到的黑球个数为随机变量，求的分布列和数学期望； ②在抽取到个黑球与个白球的前提下，求第次抽到黑球的概率. 【答案】（1）     （2）①的分布列为： 数学期望； ②      【分析】 （1）根据独立重复试验概率问题的求解方法可求得结果； （2）① 首先确定所有可能的取值，根据概率乘法公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望计算公式可求得期望； ② 根据概率乘法公式可求得所需概率，由条件概率公式可求得结果. (1) 小问详解： 若每次抽出的球放回，则每次抽取到黑球的概率为， 则随机抽取次，恰有次抽取到黑球的概率. (2) 小问详解： ① 由题意知：所有可能的取值为， ； ； ； 的分布列为： 数学期望. ② 记事件为“抽取到个黑球与个白球”，事件为“第次抽到黑球”， 则事件为“第次和第次抽到白球，第次抽到黑球”； ，，， 即在抽取到个黑球与个白球的前提下，第次抽到黑球的概率为. 3．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）有3个分别标有数字的小球，从中有放回地随机取4次，每次取1个球．记为这3个球中至少被取出1次的球的个数，则的数学期望　　　　　　　． 【答案】 【分析】 依题意，的可能取值为，求出所对应的概率，即可求出数学期望. 【详解】 依题意，的可能取值为，总的选取可能数为， 其中：即４次抽取同一球，选择球的编号有3种方式，故； ：恰好两种不同球被取出； 情况一：一种球出现1次、另一种球出现３次，可能情况有种， 情况二：一种球出现2次、另一种球出现２次，可能情况有种， 故； ：三种不同球被取出，则一种球出现1次、另一种球出现1次、第三种球出现２次， 可能情况有种，故； 所以. 故答案为： 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的个红球和个白球，不放回地依次随机取出，每次取出个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记为游戏结束时取球次数，则的数学期望为　　　　　　. 【答案】 【分析】 分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的期望值. 【详解】 的可能取值有、、、， （1）当时，说明前三次摸的全是白球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以， （2）当时，有两种情况：① 前四次摸的全是红球，最后盒子里剩余的全是白球； ② 第四次摸出的是白球，前三次中有两次摸出白球一次摸出红球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以； （3）当时，有两种情况： ① 最后盒子里剩余的全是白球，则第五次摸出的必是红球，前四次有一次摸出的是白球，三次摸出的是红球； ② 最后盒子里剩余的全是红球，则第五次摸出的必是白球，前四次中有两次摸出的是红球，两次摸出的是白球， 所以， （4）当时，有两种情况： ① 最后盒子里剩余的是白球，则第六次摸出的是红球，前五次有三次摸出的是红球，有两次摸出的是白球； ② 最后盒子里剩余的是红球，则第六次摸出的是白球，前五次有两次摸出的是白球，有三次摸出的是红球， 所以. 因此. 故答案为：. 5．（高三上·江苏前黄高级中学·期中）某生物检测中心在化验某种动物血液时有两种化验方法： ①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次． ②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验．若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次． （1）现有份血液样本，其中有份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率； （2）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用份为一组的混合化验法进行化验，记这份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列和均值； （3）现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为．当时，求的最大值．（参考数据：) 【答案】（1）．     （2） 的分布列为 ，     （3）8      【分析】 （1）确定基本事件空间及符合条件的事件数，利用古典概型求解其概率； （2）确定随机变量的可能取值，利用独立性计算对应概率，列出分布列并求均值； （3）分别求出两种化验法的期望，建立不等式并化简，构造函数并利用导数判断其单调性，根据可求得k的最大值. (1) 小问详解： 记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，                       则 ∴故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为. (2) 小问详解： 每组化验的次数可能是或． 记事件“每组化验次数为”，则事件“每组化验次数为”， ∴，， 易知， ， ， ， ∴的分布列为 ． (3) 小问详解： ， ∵，∴， ∴， ∴， 当时，，即， 两边取以为底的对数，得到， 令，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 又，∴的最大值为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $