专题06 数列（期中真题汇编，江苏专用）高三数学上学期

**基本信息** 江苏多地高三期中数列专题汇编，覆盖等差数列、等比数列、通项与求和、综合应用、新定义5大高频考点，精选选择、多选、填空、解答题，注重基础巩固与综合能力梯度提升。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择/多选|约15题|等差数列前n项和（南京期中题）、等比数列性质（盐城期中题）|江苏多地期中真题，基础概念与性质辨析| |填空|约5题|等差数列实际应用（连云港座位数计算）、等比数列求和（苏州中学题）|联系生活情境，考查运算能力| |解答|约10题|通项公式求法（丹阳高级中学递推题）、与不等式综合（苏州中学证明题）、新定义构造（明达中学数列积问题）|分层设计，从基础递推到跨模块综合，适配高三期中复习需求|

专题06 数列 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．B 2．D 3．C 4．B 5．ACD 6．A 7．【答案】 【分析】 设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解. 【详解】 设的公差为（）， 由，得， 解得，所以． 故答案为：. 8．【答案】820 【分析】 根据等差数列通项公式计算以及求和公式即可求解. 【详解】 根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且， 故，故， 所以座位的个数为， 故答案为：820 考点02 等比数列 1．C 2．AC 3．B 4．ABC 5．D 6．【答案】91 【分析】 利用等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】 设该数列公比为，由可知， 所以，可得， 而. 故答案为：91 7．【答案】64 【分析】 利用等比数列的性质求解即可. 【详解】 由等比数列的性质得. 故答案为：64. 考点03 数列的通项公式与求和 1．【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知得，利用累乘法可求得通项；（2）写出数列的通项，然后利用裂项相消法可求得前n项和. 【详解】(1)， ， ， ， 当时，也成立， （2），由（1）知， ， ， ， . 【点睛】本题考查由数列递推关系式求数列的通项，考查累乘法的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题. 2．【答案】（1） ， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即：     （2）3      【分析】 （1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 3．【答案】（1）     （2） 由，得， 所以． 因为，所以，， 所以．      【分析】 （1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出数列前项和为，再证明. (1) 小问详解： 因为\vec {p_{n}}\cdot \vec {q_{n}}=1，即：① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由① -② 整理得： 整理得， 由累乘法得：， 代入比值： 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为 (2) 小问详解： 略 4．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. (1) 小问详解： 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . (2) 小问详解： 由（1）得. 则 . 5．【答案】（1）     （2） 由，得. 所以. 由于，， 所以.      【分析】 （1）应用结合等比数列定义计算求解； （2）先应用对数运算计算，再应用裂项相消法计算证明不等式. (1) 小问详解： 由得，，两式相减得. 因为数列是等比数列，所以. 当时，，则，所以. 综上. (2) 小问详解： 略 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由作差得到，即，再由累乘法计算可得； （2）记，利用分组求和法及并项求和法计算可得. (1) 小问详解： 因为， 当时，， 两式相减得，即， 所以，所以， 累乘得， 即，又，所以， 又也满足上式，所以. (2) 小问详解： 记， 所以 . 7．【答案】（1）     （2）     （3） 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即， 即对恒成立，当且仅当时取等号， 所以，，，，，， 两边分别相加得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以.      【分析】 （1）由已知可得，与原式相减，可得到，进而可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，利用裂项相消法，可求出数列的前项和； （3）令，利用导数判断函数的单调性，可得对恒成立，进而得，从而可得，计算可证结论, (1) 小问详解： 当时，得， 两式相减得，所以，当  当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为； (2) 小问详解： ， ， 所以数列的前项和； (3) 小问详解： 略 8．【答案】（1）由题意，且，则数列是首项为3，公比为3的等比数列.     （2）（i）由（1），，则， 所以. （ii）；     （3） 不存在，理由如下： 由题意，， 化简得， 由于为奇数，则不是整数，则不存在.      【分析】 （1），代入即可得，结合首项不为0，则可证明数列是等比数列； （2）（i）由（1）求出通项公式，进而求出通项公式，代入整理得左式等于右式即可； （ii）由（i）的结论，进行裂项相消求和即可； （3）代入进行整理，利用奇偶说明不存在即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）得， 则. (3) 小问详解： 略 9．【答案】（1）；     （2） （i）因为① 所以② 由② －① ，得：③ 所以④ 由④ －③ ，得：， 即， 因此， 所以，当时为等差数列． 因为 ，又因为， 解得 ， 因此，所以为等差数列． （ii）当时，取得最大值，理由如下： 因为成等比数列，所以． 设等差数列的公差为，则，所以， 从而，且， 故等差数列是首项为正数的递减数列． 由 ，即 ， 解得， 所以， 令， 因此， 而。 所以， 又， 所以中，最大，即当时，取得最大值．      【分析】 （1）代入，再升次作差得，从而有，最后利用累乘法即可得到答案； （2）（i）两次升次作差得，再验证前3项即可；（ii）根据等比中项和等差数列通项公式得，得其单调性，再求出，再设，得到其单调性即可得到最大值. (1) 小问详解： 当时，，则， 两式相减，得：． 因为， 所以，则，符合式， 故， 所以． 因此当时，， 累乘，得：． 因为，所以，当时，， 又因为满足上式，故． (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．D 2．AC 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 4．【答案】4 【分析】 根据每次观看视频的兴趣度变化规则可得：观看后兴趣度=观看前兴趣度，由此逐一计算到兴趣度低于60即可得到答案． 【详解】 由条件可得观看后兴趣度=观看前兴趣度， 设观看第个视频后的兴趣度为， 故， ， ， ， 故用户连续看到同类视频的个数至多是4. 故答案为：4 5．【答案】（1）     （2）     （3） 由（2）可知，当时，， 所以， 因为，所以， 又，因为 则 设， 则， 所以， 所以 ， 所以， 又， 所以， 又， 故对任意实数，均有.      【分析】 （1）根据等比中项和等差数列的通项公式建立方程得到，再求公比； （2）根据等差数列和等比数列的通项公式表示出，求出的通项公式，再利用分组求和法求和； （3）利用错位相减求和求出，再比较大小. (1) 小问详解： 由题可知：成等比数列， 所以，即， 整理并化简得：， 因为，所以，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为为等差数列， 所以， 又为等比数列，，所以， 所以，即， 所以数列的前项和为： ； (3) 小问详解： 略 6．【答案】（1） 45     （2） 1     （3），理由如下： 由 ∴， ∴ ， ∵时，， ∴ ， ∴．      【分析】 （1）由得到的值，然后由得到； （2）令表示出，当时，化简，然后由裂项相消法求得； （3）由得，然后由裂项相消发化简并求得最大值.再由，得，借助条件给到的结论得，即可证明. (1) 小问详解： ∵ ∴， 由得 ， ∴. (2) 小问详解： 由题意，当时，； 当时， ∴ . (3) 小问详解： 略 7．【答案】(1),,,.;(2) (3)2 【分析】（1）利用及整理可知，通过计算出前三项的值，利用归纳推理猜想，进而利用数学归纳法证明即可； （2）通过（1）裂项可知，进而分为奇数、偶数两种情况讨论即可； （3）通过（1）可知，进而问题转化为求首项为1、公比为的等比数列的前项和． 【详解】解:(1)∵, ∴,即, 又∵,即, ∴,, … 猜想:. 下面用数学归纳法来证明: ① 当时,命题成立; ② 假设当时,有, 则, 即当时,命题也成立; 由① ② 可知. ∴, 又∵满足上式, ∴数列的通项公式; (2)由(1)可知,, 特别地,当为奇数时,为偶数,此时, ① 若为偶数,则 ; ② 当为奇数且时,, 故, 又∵满足上式, ∴当为奇数时,; 由① ② 可知: ; (3)由(1)可知, ∴, 由题意可知需等比数列的首项及公比均达到最大,显然首项为1､公比为, ∴, ∵\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right) \right]=2, ∴的最小值为2. 【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题． 8．【答案】（1）     （2） ①由（1）知，，所以. 因为， 所以. 故得证. ②      【分析】 （1）根据 ，可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式为. （2）由（1）得数列.① 由，得，根据等比数列的前n项和求得，从而证得.② 根据，利用二项式定理，分n为奇数和n为偶数两种情况，求得，进而求得数列的前项和. (1) 小问详解： 因为， 所以当时，. 两式相减得，， 整理得，. 又所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： ① 略 ②由得 ， 所以当为奇数时， ； 同理，当为偶数时，. 所以数列的前项和为. 其中. 所以数列的前项和为. 9．【答案】（1）     （2） ，得 ． ， 设， 则 故， 注意到，所以， 特别地，从而1）， 所以．     （3）      【分析】 （1）由题可得，利用建立递推关系；化简得；由题目条件推出奇数项和偶数项的通项；统一得到； （2）根据，解出；写出，化为对数乘积形式；构造；证明递增且，从而得证； （3）利用数列通项公式和前项和公式，将不等式右边化简为仅含和的表达式，然后将左边视为等比数列求和，通过分析不等式左右两边，列出关于和的指数方程，最后通过因式分解与枚举正整数解，确定满足条件的和的值. (1) 小问详解： 已知，， 因为，当然，所以． 由于，且，故． 于是， 所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）得， 则，取等， ， 对恒成立可得：， 正整数的最大值为8，因此给定时取等号， 即，整理得， 当时，得，因为，枚举可得． 综上所述，存在正整数， 使得成立． 考点05 数列新定义 1．AC 2．ABC 3．【答案】（1），     （2）（i）假设， 因为数列是递增数列，且各项均为正整数， 所以为相邻的正整数，则， 此时，这就存在，使得， 与对任意，都不存在使得矛盾， 所以假设不成立，故； （ii）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式计算； （2）（i）利用反证法，先假设成立，通过推论得到与对任意，都不存在使得矛盾，从而说明； （ii）根据（i）得到，然后结合存在无穷多个，使得得到. (1) 小问详解： 由题意得，所以数列为等差数列，公差为1， 所以通项公式，前项和. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）知，则， 又因为存在无穷多个，使得，且数列是递增的正整数数列， 所以对于所有的正整数，都有， 下面验证对任意，都不存在使得， 因为为整数，所以为偶数，为奇数， 所以不可能成立，符合条件， 综上可得，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知数列满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由等差数列的定义可知是公差为的等差数列，结合已知条件可求得的值. 【详解】 由可得是公差为的等差数列，故. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）记为等差数列的前项和，若，则（       ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 【答案】D 【分析】 设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】 设等差数列的公差为， 则有 ，解得 ， 则. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）设是等差数列的前项和，若，则（       ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 【答案】C 【分析】 根据下标和的性质求出，再由等差数列求和公式计算可得. 【详解】 因为为等差数列，且，所以, 所以. 故选：C 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（       ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 15 【答案】B 【分析】 先根据等差数列通项公式得出，再根据数列也是等差数列列式计算得出，进而求解. 【详解】 数列是公差不为0的等差数列，设公差为， 因，则， 因为数列也是等差数列， 则，即， 化简得，则， 故. 故选：B. 5．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A.  B.  C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 【答案】ACD 【分析】 根据等差数列性质可得，.对于A：根据通项公式可得，；对于B：根据等差数列性质可得，即可判断；对于C：分析数列的符号性，进而判断的最值；对于D：整理可得，结合数列单调性的定义分析判断. 【详解】 因为，，则， 对于选项A：可得公差，，故A正确； 对于选项B：可得，故B错误； 对于选项C：因为等差数列为递减数列， 当时，；当时，； 所以当时，取最大值，故C正确； 对于选项D：因为， 则， 所以数列是递减数列，故D正确； 故选：ACD. 6．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）设为公差不为0的等差数列，且成等比数列，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 【答案】A 【分析】 设数列的公差为，由成等比数列，可得，由此可求结论. 【详解】 设数列的公差为，则，， 由成等比数列，得，化简得：，又，得， 故. 故选：A. 7．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为　　　　　. 【答案】 【分析】 设出等差数列的公差，利用等比中项得到关于公差的方程，再利用等差数列的前项和公式进行求解. 【详解】 设的公差为（）， 由，得， 解得，所以． 故答案为：. 8．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有　　　　　　　　个座位. 【答案】820 【分析】 根据等差数列通项公式计算以及求和公式即可求解. 【详解】 根据题意可知：报告厅的座位个数成等差数列，且， 故，故， 所以座位的个数为， 故答案为：820 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件，直接求出，再利用等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】 设等比数列的公比为，因为，， 则 ，解得， 所以， 故选：C. 2．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）（多选）若数列的首项，且，则（       ） A. 数列为等比数列 B.  C. 数列为递增数列 D. 存在正整数、、，使得 【答案】AC 【分析】 将题干等式变形为，结合等比数列的定义可判断A选项；由A选项中的结论结合等比数列的通项公式可判断B选项；利用数列单调性的定义可判断C选项；假设存在正整数、、满足题设条件，，判断等式两边不成立即可得出结论. 【详解】 对于A选项，因为，由可知，，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边同时取倒数得， 所以，且， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，A对； 对于B选项，由A选项可知，故，B错； 对于C选项，， 即，故数列为递增数列，C对； 对于D选项，假设正整数、、，使得， 由于数列单调递增，不妨设，则， 所以， 所以① ， 若，则， 所以，所以，即， 若，则，即矛盾， 若，则为奇数，为偶数，等式不成立， 若，等式① 的左边为奇数，右边为偶数，不成立， 综上所述，不存在、、，使得，D错. 故选：AC. 3．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知数列中，且满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由递推关系可得，可得数列是等比数列，求出通项公式得解. 【详解】 由，得，又， 所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列， ，得， . 故选：B. 4．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）已知数列的前项和为，则（       ） A. 若为等差数列，且，则单调递增 B. 若为等比数列，且，则单调递增 C. 若为等差数列，且，则单调递增 D. 若为等比数列，且，则单调递增 【答案】ABC 【分析】 利用等差数列和等比数列的性质及数列单调性的概念直接判断各选项. 【详解】 A选项，若为等差数列，且，设公差为，则，即，所以单调递增；故A正确； B选项，设公比为，，则， 当时，，则，此时单调递增； 当，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当时，，则的正负交替，则不恒成立，不满足条件； 当，，则，此时单调递增. 综上若为等比数列，且，则单调递增，故B正确； C选项：若是等差数列，且，，则， 所以，则当时，，即，所以数列单调递增，C选项正确； D选项：若是等比数列，且，，则，则，所以数列为摆动数列，所以当为奇数时，，当为偶数时，，又， 所以数列不单调，D选项错误. 故选：ABC 5．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（       ）． A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 【答案】D 【分析】 根据等比数列定义得数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，再应用等比数列前n项和公式求解即可． 【详解】 数列是公比为2的等比数列，则有，所以， 因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 6．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知为等比数列前项和，若，则　　　　　　. 【答案】91 【分析】 利用等比数列的定义与性质计算即可. 【详解】 设该数列公比为，由可知， 所以，可得， 而. 故答案为：91 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则　　　　　　　　　　　. 【答案】64 【分析】 利用等比数列的性质求解即可. 【详解】 由等比数列的性质得. 故答案为：64. 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知得，利用累乘法可求得通项；（2）写出数列的通项，然后利用裂项相消法可求得前n项和. 【详解】(1)， ， ， ， 当时，也成立， （2），由（1）知， ， ， ， . 【点睛】本题考查由数列递推关系式求数列的通项，考查累乘法的应用，考查裂项相消求和法，属于基础题. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若，求. 【答案】（1） ， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即：     （2）3      【分析】 （1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 3．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量\vec {p_{n}}=\left(4,-2n-1\right)，\vec {q_{n}}=\left(S_{n},a_{n}\right)，有\vec {p_{n}}\cdot \vec {q_{n}}=1． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 【答案】（1）     （2） 由，得， 所以． 因为，所以，， 所以．      【分析】 （1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式； （2）利用裂项相消法求出数列前项和为，再证明. (1) 小问详解： 因为\vec {p_{n}}\cdot \vec {q_{n}}=1，即：① 当时，， 又，所以． 当时，，② 由① -② 整理得： 整理得， 由累乘法得：， 代入比值： 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为 (2) 小问详解： 略 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. (1) 小问详解： 当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . (2) 小问详解： 由（1）得. 则 . 5．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）     （2） 由，得. 所以. 由于，， 所以.      【分析】 （1）应用结合等比数列定义计算求解； （2）先应用对数运算计算，再应用裂项相消法计算证明不等式. (1) 小问详解： 由得，，两式相减得. 因为数列是等比数列，所以. 当时，，则，所以. 综上. (2) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由作差得到，即，再由累乘法计算可得； （2）记，利用分组求和法及并项求和法计算可得. (1) 小问详解： 因为， 当时，， 两式相减得，即， 所以，所以， 累乘得， 即，又，所以， 又也满足上式，所以. (2) 小问详解： 记， 所以 . 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设是数列的前项积，求证：. 【答案】（1）     （2）     （3） 令，则， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即， 即对恒成立，当且仅当时取等号， 所以，，，，，， 两边分别相加得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以.      【分析】 （1）由已知可得，与原式相减，可得到，进而可求出数列的通项公式； （2）由（1）得，利用裂项相消法，可求出数列的前项和； （3）令，利用导数判断函数的单调性，可得对恒成立，进而得，从而可得，计算可证结论, (1) 小问详解： 当时，得， 两式相减得，所以，当  当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为； (2) 小问详解： ， ， 所以数列的前项和； (3) 小问详解： 略 8．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）设数列满足递推关系. （1）求证：数列是等比数列； （2）（i）证明：； （ii）记求数列的前项和； （3）对于第（2）问中的，是否存在正整数，使等式成立.若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）由题意，且，则数列是首项为3，公比为3的等比数列.     （2）（i）由（1），，则， 所以. （ii）；     （3） 不存在，理由如下： 由题意，， 化简得， 由于为奇数，则不是整数，则不存在.      【分析】 （1），代入即可得，结合首项不为0，则可证明数列是等比数列； （2）（i）由（1）求出通项公式，进而求出通项公式，代入整理得左式等于右式即可； （ii）由（i）的结论，进行裂项相消求和即可； （3）代入进行整理，利用奇偶说明不存在即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）得， 则. (3) 小问详解： 略 9．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）设数列的前项和为，已知，，其中，为常数． （1）当时，若，，求数列的通项公式； （2）若． （ⅰ）证明：数列为等差数列； （ⅱ）若8，，成等比数列，当为何值时，取得最大值，请说明理由． 【答案】（1）；     （2） （i）因为① 所以② 由② －① ，得：③ 所以④ 由④ －③ ，得：， 即， 因此， 所以，当时为等差数列． 因为 ，又因为， 解得 ， 因此，所以为等差数列． （ii）当时，取得最大值，理由如下： 因为成等比数列，所以． 设等差数列的公差为，则，所以， 从而，且， 故等差数列是首项为正数的递减数列． 由 ，即 ， 解得， 所以， 令， 因此， 而。 所以， 又， 所以中，最大，即当时，取得最大值．      【分析】 （1）代入，再升次作差得，从而有，最后利用累乘法即可得到答案； （2）（i）两次升次作差得，再验证前3项即可；（ii）根据等比中项和等差数列通项公式得，得其单调性，再求出，再设，得到其单调性即可得到最大值. (1) 小问详解： 当时，，则， 两式相减，得：． 因为， 所以，则，符合式， 故， 所以． 因此当时，， 累乘，得：． 因为，所以，当时，， 又因为满足上式，故． (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】 因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 2．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）（多选）如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足\vec {G_{n}F_{n}}+\left(a_{n+1}a_{n}\right)\vec {G_{n}C}=\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\vec {G_{n}B}，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 存在实数，使得数列为等差数列 【答案】AC 【分析】 因为为边所在直线上的一列点,得 ，由得到数列是周期为的周期数列，由此可判断ABCD的正误. 【详解】 由\vec {G_{n}F_{n}}+\left(a_{n+1}a_{n}\right)\vec {G_{n}C}=\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\vec {G_{n}B}，得\vec {G_{n}F_{n}}=-\left(a_{n+1}a_{n}\right)\vec {G_{n}C}+\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\vec {G_{n}B} 因为为边所在直线上的一列点， 设\vec {BF_{n}}=\lambda \vec {BC}，则\vec {G_{n}F_{n}}=\vec {G_{n}B}+\vec {BF_{n}}=\vec {G_{n}B}+\lambda \vec {BC}=\vec {G_{n}B}+\lambda \left(\vec {G_{n}C}-\vec {G_{n}B}\right)=\left(1-\lambda \right)\vec {G_{n}B}+\lambda \vec {G_{n}C}， 所以，令得， 同理可得， 所以数列是周期为的周期数列. 对于A，，所以，故A正确； 对于B, ，，故B错误； 对于C,， ，故C正确； 对于D，因为是周期为的周期数列且不为常数列，故任意实数，，数列为周期数列， 不可能为等差数列，故D错误. 故选：AC 3．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据等差数列通项公式结合等比中项计算求解； （2）先把转化为，再根据的单调性得出最大项，最后得出参数范围. (1) 小问详解： 设等差数列的公差为， 由已知可得， 因为，解得， 又， 得， 所以. (2) 小问详解： 由（1）可知，则， 由可得， 令， ， 当时，， 当时，， 则数列的最大项为， 故， 即实数的取值范围为. 4．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）某短视频平台用一个数学模型来模拟用户连续观看同类视频时兴趣度的变化，设用户的初始兴趣度为100，每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的80%，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加4，当用户的兴趣度低于60时，平台不再推送同类视频，则用户连续看到同类视频的个数至多是　　　　　　　　． 【答案】4 【分析】 根据每次观看视频的兴趣度变化规则可得：观看后兴趣度=观看前兴趣度，由此逐一计算到兴趣度低于60即可得到答案． 【详解】 由条件可得观看后兴趣度=观看前兴趣度， 设观看第个视频后的兴趣度为， 故， ， ， ， 故用户连续看到同类视频的个数至多是4. 故答案为：4 5．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列恰为等比数列，其中. （1）求等比数列的公比； （2）求数列的前项和； （3）若，有求证：对任意实数，均有. 【答案】（1）     （2）     （3） 由（2）可知，当时，， 所以， 因为，所以， 又，因为 则 设， 则， 所以， 所以 ， 所以， 又， 所以， 又， 故对任意实数，均有.      【分析】 （1）根据等比中项和等差数列的通项公式建立方程得到，再求公比； （2）根据等差数列和等比数列的通项公式表示出，求出的通项公式，再利用分组求和法求和； （3）利用错位相减求和求出，再比较大小. (1) 小问详解： 由题可知：成等比数列， 所以，即， 整理并化简得：， 因为，所以，所以， 所以； (2) 小问详解： 因为为等差数列， 所以， 又为等比数列，，所以， 所以，即， 所以数列的前项和为： ； (3) 小问详解： 略 6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知数列前项和分别为，且有 （1）若，求； （2）若，求； （3）已知当时，，当且仅当时“=”成立．若数列为正项数列，且当时有，若，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1） 45     （2） 1     （3），理由如下： 由 ∴， ∴ ， ∵时，， ∴ ， ∴．      【分析】 （1）由得到的值，然后由得到； （2）令表示出，当时，化简，然后由裂项相消法求得； （3）由得，然后由裂项相消发化简并求得最大值.再由，得，借助条件给到的结论得，即可证明. (1) 小问详解： ∵ ∴， 由得 ， ∴. (2) 小问详解： 由题意，当时，； 当时， ∴ . (3) 小问详解： 略 7．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）设数列的前项和为,且. (1)求出,,的值,并求出及数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和; (3)设,在数列中取出(且)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列,若对任意的数列,均有,试求的最小值. 【答案】(1),,,.;(2) (3)2 【分析】（1）利用及整理可知，通过计算出前三项的值，利用归纳推理猜想，进而利用数学归纳法证明即可； （2）通过（1）裂项可知，进而分为奇数、偶数两种情况讨论即可； （3）通过（1）可知，进而问题转化为求首项为1、公比为的等比数列的前项和． 【详解】解:(1)∵, ∴,即, 又∵,即, ∴,, … 猜想:. 下面用数学归纳法来证明: ① 当时,命题成立; ② 假设当时,有, 则, 即当时,命题也成立; 由① ② 可知. ∴, 又∵满足上式, ∴数列的通项公式; (2)由(1)可知,, 特别地,当为奇数时,为偶数,此时, ① 若为偶数,则 ; ② 当为奇数且时,, 故, 又∵满足上式, ∴当为奇数时,; 由① ② 可知: ; (3)由(1)可知, ∴, 由题意可知需等比数列的首项及公比均达到最大,显然首项为1､公比为, ∴, ∵\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{{{2}^{2}}}+\cdots +\frac{1}{{{2}^{n}}} \right)=\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\left[ 2\left( 1-\frac{1}{{{2}^{n}}} \right) \right]=2, ∴的最小值为2. 【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查分类讨论的思想，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题． 8．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）令. ①证明：； ②表示不超过的最大整数，如，设，求数列的前项和. 【答案】（1）     （2） ①由（1）知，，所以. 因为， 所以. 故得证. ②      【分析】 （1）根据 ，可得数列是首项为1，公差为1的等差数列，进而求得数列的通项公式为. （2）由（1）得数列.① 由，得，根据等比数列的前n项和求得，从而证得.② 根据，利用二项式定理，分n为奇数和n为偶数两种情况，求得，进而求得数列的前项和. (1) 小问详解： 因为， 所以当时，. 两式相减得，， 整理得，. 又所以数列是首项为1，公差为1的等差数列. 所以数列的通项公式为. (2) 小问详解： ① 略 ②由得 ， 所以当为奇数时， ； 同理，当为偶数时，. 所以数列的前项和为. 其中. 所以数列的前项和为. 9．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知数列的前n项和为，且，其中． （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足为的前n项和，求证：． （3）已知正整数且，对有恒成立，正整数的最大值为8，求m和d的值． 【答案】（1）     （2） ，得 ． ， 设， 则 故， 注意到，所以， 特别地，从而1）， 所以．     （3）      【分析】 （1）由题可得，利用建立递推关系；化简得；由题目条件推出奇数项和偶数项的通项；统一得到； （2）根据，解出；写出，化为对数乘积形式；构造；证明递增且，从而得证； （3）利用数列通项公式和前项和公式，将不等式右边化简为仅含和的表达式，然后将左边视为等比数列求和，通过分析不等式左右两边，列出关于和的指数方程，最后通过因式分解与枚举正整数解，确定满足条件的和的值. (1) 小问详解： 已知，， 因为，当然，所以． 由于，且，故． 于是， 所以． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）得， 则，取等， ， 对恒成立可得：， 正整数的最大值为8，因此给定时取等号， 即，整理得， 当时，得，因为，枚举可得． 综上所述，存在正整数， 使得成立． 考点05 数列新定义 1．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（       ） A. 第三次得到的数列共9项 B.  C. 数列是等比数列 D. 对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 【答案】AC 【分析】 由数列的新定义可判断AB；根据递推关系构造数列，根据等比数列的定义判断C；根据等比数列的通项公式求出，再根据函数的单调性化简即可判断D. 【详解】 第三次得到的数列，在第二次得到的数列的基础上增加4项，共9项，所以A正确； 由已知，，所以， 当时，设第次构造后得到的数列为，则， 则第次构造后得到的数列为， 则，所以B不正确； 因，则，所以， 因，则， 所以，数列是以为首项，3为公比的等比数列，所以C正确； 因为数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以， 函数在定义域上单调递增，所以对每一个正整数有， 假设以为边长能构成一个三角形，所以， 从而，即， 即，显然不成立，所以D不正确. 故选：AC 2．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）（多选）设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”.下列结论正确的是（       ） A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 【答案】ABC 【分析】 根据“数列”的定义可判断A；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断B；根据“数列”满足的条件可得出，判断时的值的情况，可判断C；举出反例可判断D. 【详解】 对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则， 前项和， 时等号成立， 即是“数列”，故A正确； 对于B，若是“数列”，则，且， 所以，则， 故，由题意知当，，结合，得， 因此不存在使，故B正确； 对于C，若是“数列”，， 前项和，要使， 即， 因为，且当时，， 所以时趋近于，且所有项均小于，故最小值为，C正确； 对于D，取，，满足， 则，， 而，所以不成立， 因此“”不足以保证是“数列”，D错误. 故选：ABC 3．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设i，j，k，m，n均为正整数，无穷数列是递增数列，且各项均为正整数，. （1）若数列满足，求数列的通项公式及其前n项的和； （2）若对于任意k，都不存在i，j，使得. （ⅰ）求证：； （ⅱ）若存在无穷多个m，使得，求数列的通项公式. 【答案】（1），     （2）（i）假设， 因为数列是递增数列，且各项均为正整数， 所以为相邻的正整数，则， 此时，这就存在，使得， 与对任意，都不存在使得矛盾， 所以假设不成立，故； （ii）      【分析】 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式计算； （2）（i）利用反证法，先假设成立，通过推论得到与对任意，都不存在使得矛盾，从而说明； （ii）根据（i）得到，然后结合存在无穷多个，使得得到. (1) 小问详解： 由题意得，所以数列为等差数列，公差为1， 所以通项公式，前项和. (2) 小问详解： （i）略 （ii）由（i）知，则， 又因为存在无穷多个，使得，且数列是递增的正整数数列， 所以对于所有的正整数，都有， 下面验证对任意，都不存在使得， 因为为整数，所以为偶数，为奇数， 所以不可能成立，符合条件， 综上可得，. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 5大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 数列的通项公式与求和 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 考点05 数列新定义 考点01 等差数列 1．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知数列满足，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）记为等差数列的前项和，若，则（       ） A. 54 B. 90 C. 84 D. 100 3．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）设是等差数列的前项和，若，则（       ） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 4．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（       ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 15 5．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）（多选）设等差数列的前n项的和为，若，，则（    ） A.  B.  C. 当时，取最大值 D. 数列是递减数列 6．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）设为公差不为0的等差数列，且成等比数列，则（       ） A.  B.  C. 2 D. 3 7．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）等差数列的首项为1，公差不为0．若成等比数列，则前6项的和为　　　　　. 8．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）某校报告厅第一排有22个座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则这个报告厅共有　　　　　　　　个座位. 考点02 等比数列 1．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设等比数列的前n项的和为，，，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）（多选）若数列的首项，且，则（       ） A. 数列为等比数列 B.  C. 数列为递增数列 D. 存在正整数、、，使得 3．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知数列中，且满足，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）（多选）已知数列的前项和为，则（       ） A. 若为等差数列，且，则单调递增 B. 若为等比数列，且，则单调递增 C. 若为等差数列，且，则单调递增 D. 若为等比数列，且，则单调递增 5．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（       ）． A. 2048 B. 2047 C. 1024 D. 1023 6．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知为等比数列前项和，若，则　　　　　　. 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）设等比数列的前项和为，若公比，则　　　　　　　　　　　. 考点03 数列的通项公式与求和 1．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知数列满足，. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 2．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列的首项，且满足递推关系. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若，求. 3．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知数列的前项和为，若对任意，向量\vec {p_{n}}=\left(4,-2n-1\right)，\vec {q_{n}}=\left(S_{n},a_{n}\right)，有\vec {p_{n}}\cdot \vec {q_{n}}=1． （1）求数列的通项公式 （2）记，数列前项和为，求证：． 4．（25-26学年高三上·江苏南京秦淮区南京中华中学·期中）已知正项数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）记，求的前项和 5．（25-26学年高三上·江苏连云港·期中）设等比数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，证明：. 6．（25-26学年高三上·江苏徐州·期中）已知数列的前项和为. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 7．（25-26学年高三上·江苏盐城·期中）已知数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）设是数列的前项积，求证：. 8．（25-26学年高三上·江苏兴化周庄高级中学·期中）设数列满足递推关系. （1）求证：数列是等比数列； （2）（i）证明：； （ii）记求数列的前项和； （3）对于第（2）问中的，是否存在正整数，使等式成立.若存在，请求出正整数的值；若不存在，请说明理由. 9．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）设数列的前项和为，已知，，其中，为常数． （1）当时，若，，求数列的通项公式； （2）若． （ⅰ）证明：数列为等差数列； （ⅱ）若8，，成等比数列，当为何值时，取得最大值，请说明理由． 考点04 数列的综合应用（与不等式、概率统计等综合） 1．（25-26学年高三上·江苏丹阳高级中学·期中）已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）（多选）如图，已知平面四边形中，为边所在直线上的一列点，连接交于，点满足\vec {G_{n}F_{n}}+\left(a_{n+1}a_{n}\right)\vec {G_{n}C}=\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\vec {G_{n}B}，其中数列是首项为2的数列，记，则下列结论正确的是（       ） A.  B.  C.  D. 存在实数，使得数列为等差数列 3．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且依次成等比数列. （1）求的通项公式； （2）对于任意，求实数的取值范围. 4．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）某短视频平台用一个数学模型来模拟用户连续观看同类视频时兴趣度的变化，设用户的初始兴趣度为100，每观看一个同类视频，兴趣度会衰减为看此视频之前的80%，由于对下一同类视频“新鲜感”的期待，兴趣度又会增加4，当用户的兴趣度低于60时，平台不再推送同类视频，则用户连续看到同类视频的个数至多是　　　　　　　　． 5．（25-26学年高三上·江苏宿迁中学·期中）已知等差数列的公差，它的部分项依次组成的数列恰为等比数列，其中. （1）求等比数列的公比； （2）求数列的前项和； （3）若，有求证：对任意实数，均有. 6．（25-26学年高三上·江苏苏州·期中）已知数列前项和分别为，且有 （1）若，求； （2）若，求； （3）已知当时，，当且仅当时“=”成立．若数列为正项数列，且当时有，若，试比较与的大小，并说明理由． 7．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）设数列的前项和为,且. (1)求出,,的值,并求出及数列的通项公式; (2)设,求数列的前项和; (3)设,在数列中取出(且)项,按照原来的顺序排列成一列,构成等比数列,若对任意的数列,均有,试求的最小值. 8．（25-26学年高三上·江苏南京·期中）已知数列的前项和为，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）令. ①证明：； ②表示不超过的最大整数，如，设，求数列的前项和. 9．（25-26学年高三上·江苏苏州姑苏区苏州中学·期中）已知数列的前n项和为，且，其中． （1）求数列的通项公式． （2）设数列满足为的前n项和，求证：． （3）已知正整数且，对有恒成立，正整数的最大值为8，求m和d的值． 考点05 数列新定义 1．（25-26学年高三上·江苏盐城滨海县明达中学·期中）（多选）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，2，2；第二次得到数列1，2，2，4，2，依次构造，第次得到的数列的所有项的积记为，令.给出下列四个结论，正确的是（       ） A. 第三次得到的数列共9项 B.  C. 数列是等比数列 D. 对每个正整数，以为边长能构成一个三角形 2．（25-26学年高三上·江苏无锡·期中）（多选）设正项数列的前项和为，若，且对任意的正整数都有，则称是“数列”.下列结论正确的是（       ） A. 若是首项为公差为的等差数列，则是“数列” B. 若是“数列”，则不可能存在正整数，满足 C. 若是“数列”，且，则的最小值是 D. 任给，若，且，则是“数列” 3．（25-26学年高三上·江苏期中学·期中）设i，j，k，m，n均为正整数，无穷数列是递增数列，且各项均为正整数，. （1）若数列满足，求数列的通项公式及其前n项的和； （2）若对于任意k，都不存在i，j，使得. （ⅰ）求证：； （ⅱ）若存在无穷多个m，使得，求数列的通项公式. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $