江苏徐州市第一中学2025-2026学年第一学期高三年级第二次学情调研数学试题

**基本信息** 高三数学期中调研卷，以集合、函数、立体几何等核心知识为载体，通过图论在AI算法优化中的应用等科技情境，梯度设计基础题与创新题，考查抽象能力、推理能力及模型意识，适配高三期中复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、不等式|基础概念辨析，如命题否定、充要条件判断| |多项选择|3/18|三角函数图象、立体几何|综合性质判断，如结合等边三角形分析函数参数| |填空题|3/15|向量模长、二项式定理|运算能力考查，如动态向量最小值问题| |解答题|5/77|解三角形、函数单调性、双曲线、图论概率|突出综合与创新，如图论结合计算机网络情境考查概率计算|

2025—2026学年度第一学期高三年级第二次学情调研 数学试题 试题满分150分 考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．设集合，则集合（　　） A． B． C． D． 2．命题“，“的否定是 A．， B．， C．， D．， 3．若复数z满足，则z的虚部是（    ） A． B．2 C． D．2i 4．不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．已知平面，和直线，，且，则“”是“且”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知直线：与圆：，则直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 7．定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，其中为等边三角形，点M的坐标为，则(    ) A． B． C．直线是图象的一条对称轴 D．将的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数的图象重合 10．如图，在三棱锥中，，则（　　）    A．二面角的大小为 B．三棱锥的体积为 C．在棱上存在一点，使得 D．三棱锥外接球的表面积为 11．在直角坐标系xOy中，曲线，则下列结论正确的是（    ） A．与轴无交点 B．关于直线对称 C．若点在上，则 D．若曲线与有公共点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知，则__________． 13．二项式的展开式中的常数项为______________（用数字作答）. 14．已知平面向量，，，满足，且，，，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为__________. 四、解答题：本题共有5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知的内角，，所对的边分别为，，，. （1）求B； （2）设，b=2，求. 16．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，Q为棱PD的中点，，． (1)求证: 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在内的最大值为2，求的值. 18．已知双曲线的右焦点为，且点到双曲线的渐近线的距离为．过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点；再过点作两条互相垂直的直线和，交双曲线于、两点，交双曲线于、两点，、分别是、的中点，直线过定点，以这样的方式构造下去，可以得到一列定点、、、、． (1)求双曲线的方程； (2)求点的坐标； (3)若、，记的面积为，证明：． 19．图是计算机科学中的一种极为重要的模型．图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优化等领域中．一个图由顶点集与边集组成，记为．顶点集是这个图所有顶点的集合，图中任意3个顶点不在同一直线上．图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集就是这个图所有边的集合．如图所示为一个由4个顶点组成的图，其顶点集，边集．若图中依次存在一组边：，则称顶点相互可达．如果图中任意两个顶点相互可达，则称图是连通的，如右所示的图就是连通的． 一个有含有个顶点的图，任意两个顶点间有边的概率为．设图是连通的概率为，定义．    (1)当时，在顶点与顶点相互可达的条件下，求与之间有边的概率； (2)当时，求恰有3个顶点相互可达的概率； (3)求． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第一学期高三年级第二次学情调研 数学试题参考答案 试题满分150分考试时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求.请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1.设集合M={付-1≤r≤2，N={2≤1，则柴合MnN=() A.【 B.[0,2] c.[1,0 D.L2] 【答案】C 2.命题3x∈R,r-2x+120的香定是() A.xeR.x2-2x+1≤0 B.xeR.r2-2x+1<0 c.3x∈.x2-2x+10 D.3x∈R.x2-2x+1≥0 【答案】B z+1 =1+i 3.若复数z满足z-1 ,则z的虚部是() A.-2 B.2 C.-2i D.2i 【答案】A x-4 4.不等式x22的解集是（） A.{x|-2≤x≤1 B.{xx≤-2} C.x-2≤x<y D.>号 【答案】A 5.已知平面a,B和直线，6，且n8=6,则4，是“且少A。的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B ax+2y+a+4=0 6.已知直线： 与圆C:+少+2y-2=0 ,则直线与圆C的位置关系是() A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定 【答案】C 7.定义在R上的奇函数f(x)满足：x,x∈(0，+∞)，且x≠x,x-: -f>122则不等 式/> 的解集为() A.(0,2) B.(2,+∞) c.（∞，-2u(0,2)D.(-2,0)u(2+) 【答案】D 8.已知实数，y满足r+y广=9，则N34-10x+V8+6y的最小值为《) A.17 B.34 c.V34+6 D.3V2+2 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 V 的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部 2v3 分分，有选错的得0分， 9已知函影f()=6如(@r+p)(0:0>0,回受)的部分图象如 图所示，其中△CMN为等边三角形，点M的坐标为 1,0) ,则() A.p-π 4 B= 8 C.直线x=7是fx图象的一条对称轴 D.将fx的图象向左平移2个单位长度后，所得图象与函数 )=25sn(任r+4)的图象重合 【答案】ACD 10.如图，在三棱锥P-ABD中，AP=AD,AB⊥BD,PB=PD=BD=AB=2,则() A,二面角P-AB-D的大小为3 2W3 B.三棱锥P-ABD的体积为3 B C,在棱AD上存在一点C,使得∠PBC=牙 28 D.三棱锥P-ABD外接球的表面积为3 【答案】ABD 1L,在直角坐标系0中，曲线「(：+y(+广-4)=mx=cosy,则下列结论正确的是《) A.T与y轴无交点 B.Γ关于直线y=x对称 C,若点P在「上，则OPk5 D.若自发与r有公共点，则0<月 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2sina-3cosa l2.已知tana=2,则sina+2cosc 【答案】4 的展开式中的常数项为， (用数字作答)· 【答案】8 14.已知平面向量石，万，c,满足p=1-4g,且同=4,6+2d=2,c=pa+g6,若对每一个确定 的向量ā，记的最小值为t,则当ā变化时，t的最大值为 1 【答案】3 四、解答题：本题共有5题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asin B+bcosA=c. (1)求B: (2)设a=V2c,b2,求Sc 【详解】(1)由正弦定理得：sinAsin B+-sin BcosA=sinC,....2分 sinC=sin-(4+B)=sin(4+B)=sin Acos B+cos Asin B, ∴.sin Asin B=sin Acos B,又sinA≠0，cosB≠0，...........6分 tanB=l,又0<B<π，即B=T 4 …………………8分 (2)由余弦定理b2=c2+a2-2 ac cos B,即a=√2c,.....10分 4=c2+2c2-2V5exV 2,解得c=2· 2 SMBe三2 acsinB 52W22 2 =2.13分 2 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平 D 面ABCD,Q为棱PD的中点，PA⊥AD,PA=AB=2. (I)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求平面ACQ与平面PAB夹角的余弦值： B 【详解】 (1)因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD, 又PA⊥AD,PAC平面PAD,所以PA⊥平面ABCD …….5分 (2)因为底面ABCD为正方形，由(1)知PA⊥平面ABCD, B 所以AB,AD,AP两两互相垂直，如图，建立空间直角坐标系A-z, 因为PA=AB=2,Q为棱PD的中点， 所以A(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),C(2,2,0),2(0,11)，.7分 可得AC=（2,2,0),AQ=(0,l,1).设平面ACQ的一个法向量为n=(x,y,z), [.AC=2x+2y=0 则 iA0=y+z=0 令x=1,则y=-1,z=1,则 n=(1,-1,1), …11分 又平面PAB的一个法向量为AD=(0,2,0), 设平面ACQ与平面ABCD的夹角为B, 所以cos0cos(么，D)上n:而-2=3 |nAD1253 13分 所以m9=-m碳0=-9-6 3 即平面4CQ与平面PAB夹角的正弦值为6 ……15分 17.已知函数f()=ax--(a+1hx(a>0) ①时论四)的单调性： ②若在0内的最大值为2，求“的值 【详解】(1)求导得f)-a+】a+1.-ar-少6>0， x2 当a>0时，令f()=0,解得x=1或。， .2分 当0<a<1时，1<，则f(>0,得0<x<1或x>,f倒<0，得1<x< 则在1)内单词递减，在@，)和2+切上单调选增： ....4分 当a=1时，1=日广)≥0，则f()在区间0，+w)上单调递增：6分 当a>1时，1>，则fm>0,得0<x<上或x>1,fm)<0,得1<x<1, 则刊在区间日内华消湿减，在日)和国)上时递洛， ….8分 综上，0<a1时，在日内单调避减，在0利后+*》 上单调递增： a=1时，f(x)在区间(0，+oo)上单调递增： a>1时，f(x)在区间 内单调递减， 在(0。和L+网列上单调运雀…9分 (2)由(1)知，当0<a≤1时，f(x)在(0，内单调递增， 则f(xms=f()=a-1=2,解得a=3与a≤1矛盾：.11分 当a>1时，f)在0，)上单词递增，在（仁上单调递减。 所以f=f-1-a-(a+n-2,即a-a+na+1-0,…l3分 令8(x)=x-(c+1)lx+1(x>.则g(x)=-lnr-1<0, 则g(x)在(1，+∞)上单调递减， 又g(e)=e-(e+l)ne+1=0,故a=e; 综上，a=e....... .......15分 C: 18。已知双线C7云-1(a>06>0)的右焦点为F2.0）,且点F到双曲线C的海近线的距窝为1.过 P3,0)作两条互相垂直的直线和上，‘交双曲线C于A、8两点，交双曲线C于D、E两点，M、N 分别是AB、D正的中点，直线MN过定点B(,）:再过点B(:,）作两条互相垂直的直线和，交 MN过 双曲线C于A、8两点，交双曲线C于D、B两点，M、心分别是48、D6的中点，直线 定点() 以这样的方式构造下去，可以得到一列定点P(,）、B(,）、B(,)、“、 B.(x,y.) (1)求双曲线C的方程： (2)求点的坐标： 1+1+1++1<2 3若(1,0)、R(L),记△QRP.(n≥l,n∈N)的面积为Sn,证明：S,S,S,S, [b=1 a=3 【详解】(1)由题意得 解得 c=2 b=1 C的方程为 y2=1 …2分 (2)当I,⊥x轴时，I,必然与x轴重合，由曲线对称性知AB中点M在 轴上，DE的中点N也在x轴上，故MN经过的定点P(x,y)也在x轴上. 设为P(,0),直线AB方程为x=y+3,设A(x1,y), x=y+3 B(x2,y2),联立 x2-3y2=3得-3y2+60+6=0, 6t 18 由韦达定理可得：乃+少，一3+5=0+)+6= t2-3…4分 故AB中点M?-3F-3 -93t ,.5分 1 同理得直线DE的方程为x=--y+3,DE的中点 -9 3 -92 3t (-32-3 ),即N-332…6分 3t 3t,3t 93+ 由PMN三点共线可得ky=kw,即-3 t2-3 .....8分 Γ-92,9 2-31-3+-3 n+ 解别n-=0 9 9 .9分 (3)由(2)知，P3,0)时，定点R=(20. 同理可知，P(x2,y2)也一定在x轴上， 考虑一般情况，假设点P(m,0)时，设P=(n,0), 并设直线AB方程为x=y+m,A(x,),B(x2,y2), 联立 3x2-y=3'得：-3y2+2mwy+m2-3=0 x=ty+m 2tm 由韦达定理得八+2=一子一3 61m x+x2=t(y+y2)+2m=- t2-3 ..11分 故AB中点M( 3mmmm 2-3’t2-3 ..12分 (-m 同理，直线DE方程为x=-二y+m,DE中点N(- -3m t -3-3 即W(,92 3t '1-321-3) 3t 3t 3t 由PN三点共线可得w=kw,即户3-13 2t2-3 9 -9t2 n+- t2-3 1-3+2-3 解得n= 3m0) 3m,即点Pm,0)时，P( ......13分 故当点a0,可得R6x20.P6x0.,2B×0. 由题意知，△R的面积为S,=2×1×Bx(分”-， ..15分 故1.2 < S。32°-130 2+1一=（月” )”-1+1 所以工12 十…十 3 +分++ -(1 2 12 =21-(]<2. 3 19.图是计算机科学中的一种极为重要的模型.图的连通性常应用于计算机网络、智能导航及AI算法优 化等领域中，一个图G由顶点集与边集E组成，记为 G=V,E) 顶点集'是这个图所有顶点的集合，图 中任意3个顶点不在同一直线上.图的边是指两个不同的顶点直接相连成的线段，边集E就是这个图所有 边的集合.如图所示为一个由4个顶点组成的图G，其顶点集 V=(A,B,C,DE'=AB,BC,BD ,边集 若图G中依次存在一组边：(444,44，则称顶点 相互可达.如果图G中任意两个顶点相 互可达，则称图G是连通的，如右所示的图G就是连通的， 一个有含有n个顶点的图C,，任意两个顶点间有边的概率为：设图9，是连通的概率为R(0）,定义 R(I)=1 A ·D B C G (1)当n=3时，在顶点A与顶点B相互可达的条件下，求A与B之间有边的概率； (2)当n=4时，求恰有3个顶点相互可达的概率： )求P5) 【详解】(1)设事件X:顶点A与顶点B相互可达，事件Y:A与B之间有边， 当n=3时，A与B相互可达分以下两种情况： ①A与B之间有边，概率为)，… .1分 ②A与B之间无边，但都与第三个顶点有边， 为-》 ,2分 故A与B相互可达的概率P(X)=+_ 115 ,故P(X)= 288 288 而PX)=P)=},故PYIX)= P(XY)4 P(X)5 故A与B之间有边的概率为 4 4分 (2)设事件C:恰有3个顶点相互可达，任取3个顶点，第4个顶点与这3个顶点均无边 的概率为C×1-2- 6分 同时这3个顶点相互可达，故P(C)=×R3),图G,连通以下两种情况： ①三个顶点两两有边，概率为 7分 ②有两个顶点间无，但都与第3个限点有边。概幸为G不-引得爱8分 Re)-g+分则ro-分e-子 1 “恰有3个顶点相互可达的概率为4： 10分 方法一：固定任意一个顶点A,G2是连通的就是两个顶点间有边时， .R(2)= 11分 当n>2时，设事件D:恰好有(i-1)个顶点与A相互可达，任取除A以外i-1个顶点， “剩下(n一)个顶点与这i个顶点都无边的概率为C ,同时这i个顶点相互可达， 则 PD)=C1-习R0,显然，任意两个事件D和D,均为互斥事件， 因此0=1-c日0=1-艺HD 13分 P(D)-G-(D)- ro)-cg-。黄=1-传立动品 3 P(o,=cR0=6Poa上c(Ra= Po)-c8=aPoa上cR4- 19 91 17分 方法二：G,共有5-10条可能的边， ①当G,不存在任何边时，不可能连通， ②当G中只存在1条边时，概率为C。× 此时G,不可能是连通的： ③同理，G,中只存在2条或3条边时，概率分别为： c G,均不可能是连通的： ④当G中只存在4条边时，计算G不连通的概率： i)G中存在1个孤立的顶点时，4条边只能存在于其它4个顶点之间.四个顶点组成的图 最多有6条边，故概率为C;×C× i)G,中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于4，与假设矛盾， )G,中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边，并且这3个顶点相互都有边.概 率为c ⑤当G中只存在5条边时，计算G不连通的概率： i)G中存在1个孤立的顶点时，5边只能存在于其它4个顶点之间.四个顶点组成的图最 多有6条边，故概率为CxCx - i)G中存在多于1个孤立的顶点时，边数小于5，与假设矛盾. )G中存在2个相互有边的顶点，但都与剩下3个顶点无边时，边数小于5，与假设矛盾， ⑥当G,中只存在6条边时，不连通的情况只当存在1个孤立点时， 概率为： cc ⑦当G中存在多于6条边时，因为G,最多只有6条边，因此G必然连通， 故G,不连通的概率为：(Ci。+C+C。+C×C+C+C;×C+C×C+) 3791 .R(5)=1- 128128