精品解析：江苏省南京市2025-2026学年高三上学期12月期中数学试题

2025-2026学年12月七校联合学情调研 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用指数函数单调性解不等式得集合，结合交集的定义即可求解. 【详解】由于集合， 则 故选: B 2. 已知样本数据，则该组数据的第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据共8个，所以， 所以该组数据的第60百分位数为8， 故选：C 3. 已知为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求解出向量的模长，再根据向量的夹角公式进行求解即可. 【详解】已知，由于， 可得：， 又，可得：. 故选：D 4. 在中，角平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意作图，根据三角形的面积公式，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可作图如下： 因为的角平分线为，则， 由，则， 代入数据可得，化简可得， 解得. 故选：B 5. 已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先根据等差数列通项公式得出，再根据数列也是等差数列列式计算得出，进而求解. 【详解】数列是公差不为0的等差数列，设公差为， 因，则， 因为数列也是等差数列， 则，即， 化简得，则， 故. 故选：B. 6. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用台的体积公式计算正四棱台的体积，进而求解. 【详解】由题意有：， 所以正四棱台的体积为：， 所以一石米的体积大约为：， 故选：C 7. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图形可知，，再根据同角三角函数基本关系即可求出；再根据椭圆定义求出，即可求得离心率． 【详解】变形，故圆心为半径为， 如图：直线与圆相切于， ，， 故，所以，， 于是，即，所以． 故选：A 8. 定义在上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据求出函数的表达式，再分析函数性质，最后解不等式. 【详解】已知，解得， 则，因为，所以，进而，即是定义在上的奇函数且单调递增， 令，则， 所以是偶函数，当时，，故，且在上单调递增， 因为，所以不等式等价于， 因为是偶函数且在上单调递增，所以， 解得：或， 即或，结合，最终解集为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则的实部为2 B. 若，则为实数 C. 若，则 D. 若，则的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项为复数的实部与虚部知识点；B选项考查复数相等知识点；C选项为共轭复数的概念及运算；D选项考查复数的几何意义，与复数模相关的轨迹问题. 【详解】对于A，解方程，，的实部为2，A正确； 对于B，,则共轭复数， 则，若，则，得，故为实数，B正确； 对于C，举反例，设，则， 计算得：，，故，但是且，C错误； 对于D，表示复平面上以为圆心、半径为1的圆. 表示圆上点到原点的距离，最大值为圆心到原点的距离加上半径，即，D正确. 故选：ABD 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B. 平面平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】BD 【解析】 【分析】作出过点的截面，判断截面形状，可判断A的真假；根据线面垂直判定面面垂直，可判断B的真假；确定点位置，根据，的取值范围，判断C的真假；确定点轨迹，求轨迹长度，判断D的真假. 【详解】对A：作出过的截面如下图： 延长和的延长线交于点，延长和交于点， 因为为中点，所以为中点，同理为中点. 则，即为的中位线， 连接，则过点，连接，则四边形为过点的截面， 所以平面截该正方体所得的截面是四边形，故A错误； 对B：连接，，如下图： 因为为正方体，分别为，中点，所以. 又，，平面，所以平面. 所以平面，又平面，所以平面平面.故B正确； 对C：当时，（），所以点在线段上， 所以，时取等号；，时取等号. 所以恒成立，而， 所以的最小值为不可能为，故C错误； 对D：因为，所以， 所以点轨迹是以为圆心，1为半径的圆周的. 所以点轨迹长度为：，故D正确. 故选：BD 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（ ） A. 的极大值为3 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得，得到的单调性，求得的极大值，可判定A正确；作出函数的图象，结合图象，可判定B正确；设，结合，得出方程组，求得，化简，结合二次函数的性质，可判定C正确；化简，结合函数的性质，可判定D错误. 【详解】对于A，由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 对于B，由A知，当时，取得极小值，极小值为， 且当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示， 要使得函数的图象与直线交于不同的三点，则满足, 即的取值范围为，所以 B正确； 对于C，令，解得或；令，解得或， 由B项知：且 令，则的三个根为， 则， 所以，可得， 所以， 因为，当时， 又因为，所以的取值范围为，所以C正确； 对于D，由， 因为，所以当时，取得最大值， 又由且， 所以的取值范围为，所以D错误. 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用已知的的值，结合的范围求出的值，再将变形为，最后利用两角和的余弦公式求出. 【详解】因为，则， 因为，所以，可得： . 将变形为， 可得：， 把，，代入上式， 可得：. 因此， . 故答案为： 13. 已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设且的中点，代入双曲线的方程，作差化简求得，根据点在直线上，求得，代入直线的方程，即可求解. 【详解】设，可得， 两式相减，可得，可得 因为，可得，所以 设的中点，则，所以， 因为点在上，可得， 可得，即，解得，所以，即， 又因为在直线上，可得，解得. 故答案为：. 14. 有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的个红球和个白球，不放回地依次随机取出，每次取出个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记为游戏结束时取球次数，则的数学期望为______. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的期望值. 【详解】的可能取值有、、、， （1）当时，说明前三次摸的全是白球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以， （2）当时，有两种情况：①前四次摸的全是红球，最后盒子里剩余的全是白球； ②第四次摸出的是白球，前三次中有两次摸出白球一次摸出红球，最后盒子里剩余的全是红球， 所以； （3）当时，有两种情况： ①最后盒子里剩余的全是白球，则第五次摸出的必是红球，前四次有一次摸出的是白球，三次摸出的是红球； ②最后盒子里剩余的全是红球，则第五次摸出的必是白球，前四次中有两次摸出的是红球，两次摸出的是白球， 所以， （4）当时，有两种情况： ①最后盒子里剩余的是白球，则第六次摸出的是红球，前五次有三次摸出的是红球，有两次摸出的是白球； ②最后盒子里剩余的是红球，则第六次摸出的是白球，前五次有两次摸出的是白球，有三次摸出的是红球， 所以. 因此. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间 组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值的独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3841 6.635 10.828 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． （2）利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为，利用二项分布概率公式计算可求结论. 【小问1详解】 课外体育锻炼时间与身体素质无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 所以有的把握认为课外体育锻炼时间与身体素质有关； 【小问2详解】 由题意在某个区随机调查了1000名学生，有900人达标，达标率为， 利用频率估计概率可知该区任抽一名学生，这名学生课外体育锻炼时间达标的概率为. 记“恰有1人课外体育锻炼时间达标”为事件， 则， 所以恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 16. 已知数列的首项，且满足递推关系. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列的前项和为，若，求. 【答案】（1）证明见解析， （2）3 【解析】 【分析】（1）首先由，得：，然后根据等比数列的定义即可证明. （2）首先通过裂项相消法求解数列的前项和为，然后通过已知条件解方程即可求解. 【小问1详解】 ， ，因为 所以 所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列. 可得： 即： 【小问2详解】 由（1）得，. 则， 所以. ， 由， 得， 所以，解得. 17. 如图，三棱柱的体积为分别是，的中点，是线段上的动点，且平面. （1）若，求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 【答案】（1）证明见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）连接，应用是的重心，得出，进而得出，再应用线面平行判定定理证明； （2）根据已知建立空间直角坐标系，应用，再求出平面与平面的法向量，进而应用面面角余弦公式计算求参. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， D，F分别是的中点， 是的重心，且， 又则， 中，且， 又平面且平面， 平面； 【小问2详解】 在平面中，作，垂足为点，取中点，连接， 平面，又平面， 又，平面， 平面， 三棱柱体积， 解得， ， 为中点， 则中，， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系 则，，，， ，，，， ，，， ，， 设平面的法向量为， 则代入得， 取得，所以， 设平面的法向量为， ， 则代入得， 取得， 设平面与平面的夹角为 ， 化简得解得或， 或. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. （1）若直线过点，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）设直线，与抛物线方程联立，再利用韦达定理求解； （2）（i）设，利用抛物线定义结合已知得到，写出的垂直平分线方程求解； （ii）结合（i）由，得到，令，得到，与抛物线方程联立，求得弦长和Q到AB的距离，得到，方法一：利用基本不等式求解；方法二：令，得到，再令，利用导数法求解. 【小问1详解】 显然直线AB的斜率不为，又，所以可设直线的方程为， 联立，消去x得，由韦达定理得. 【小问2详解】 如图所示： （i）证明：设， 则由已知及抛物线定义得，，即， 当时，的垂直平分线方程为， 令，得， 所以的垂直平分线经过一个定点， 当时，由对称性知的垂直平分线为轴，也经过点， 综上，的垂直平分线经过一个定点； （ii）由题意，，解得，所以， 故抛物线的方程为，， 令，则的中点，所以， 当时，直线的方程为， 联立消得， 且依题意，解得且，且， 由弦长公式得， 又Q到直线的距离， 所以， 方法一：， ， 当且仅当，即时取等号， 所以； 方法二：令，则， 记，令，得， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 所以， 当时，线段的中点， 由对称性知为通径，不妨取、， 则. 综上得，此时直线的方程为或. 19. 已知函数. （1）当时，求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）当时，求证：； （3）当时，若正实数满足，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）设，，利用二次求导证明即可； （3）根据题意得出当且时， ，又当时，设，在单调递增. 设，其中，且，然后证明即可. 【小问1详解】 设切点，， 在切点处切线的斜率为， 切线方程为， 因为过原点，得，解得， 所以切线方程为. 【小问2详解】 设，， 则， 设，， 则， 当，则， 则函数在上单调递增，则，即， 因此函数在上单调递增， 故，所以. 【小问3详解】 由（2）可知，当且时，， 故. 当时，设，， 令，则， 故在上单调递增，. 设，其中，且， 则，因此在上单调递增， 从而， 则， 进而可知， 故.即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年12月七校联合学情调研 高三数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知样本数据，则该组数据第60百分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知为单位向量，且，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，的角平分线交于，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列是公差不为0的等差数列，，若数列也是等差数列，则（ ） A. 24 B. 20 C. 18 D. 15 6. 清代的苏州府被称为天下粮仓，大批量的粮食从苏州府运送到全国各地.为了核准粮食的数量，苏州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以计算粮食的多少，五斗为一斛，两斛为一石.已知一只官斛的容量恰好为一斛，其形状近似于正四棱台，上口为正方形，内边长为，下底也为正方形，内边长为，斛内高，那么一石米的体积大约为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，焦点，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点，且轴，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，其中为虚数单位，下列说法正确的是（ ） A. 若复数满足，则的实部为2 B. 若，则为实数 C. 若，则 D. 若，则的最大值为2 10. 如图，已知正方体的棱长为2，点是侧面上的一个动点（含边界），且分别是棱的中点，则（ ） A. 平面截该正方体所得的截面图形是正五边形 B. 平面平面 C. 若，则的最小值为 D. 若，则点的轨迹长度为 11. 已知函数的图象与直线交于不同的三点，且，则（ ） A. 的极大值为3 B. 的取值范围为 C. 取值范围为 D. 的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______. 13. 已知直线与双曲线相交于两点.若弦被直线平分，则实数的值为______. 14. 有一摸球游戏，规则如下：在盒子里放大小、质地完全相同的个红球和个白球，不放回地依次随机取出，每次取出个球，直到剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记为游戏结束时取球次数，则的数学期望为______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某市为了研究学生身体素质与课外体育锻炼时间的关系，在某个区随机调查了1000名学生，得到如下列联表： 课外体育锻炼时间 组别 达标 不达标 合计 身体素质强 860 40 900 身体素质弱 40 60 100 合计 900 100 1000 （1）根据小概率值独立性检验，分析课外体育锻炼时间与身体素质是否有关； （2）如果用该区学生达标成绩的情况来估计全市学生的达标情况，现从全市学生中随机抽取3名，求恰有1人课外体育锻炼时间达标的概率. 附 0.050 0.010 0.001 3.841 6635 10.828 16. 已知数列的首项，且满足递推关系. （1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式； （2）记，数列前项和为，若，求. 17. 如图，三棱柱的体积为分别是，的中点，是线段上的动点，且平面. （1）若，求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为上有两个不同动点. （1）若直线过点，求证：； （2）已知定点，若线段的长度依次成等差数列； （i）求证：线段的垂直平分线经过一个定点； （ii）若（i）中的定点到原点的距离为，求面积的最大值. 19. 已知函数. （1）当时，求过原点且与曲线相切的直线方程； （2）当时，求证：； （3）当时，若正实数满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $