4.1 整式讲义 2026-2027学年人教版七年级上册数学

本讲义聚焦初中数学“整式”核心知识点，系统梳理单项式（含概念、系数、次数）、多项式（含项、次数、常数项）、整式的概念及多项式升幂降幂排列，构建从基础概念到综合应用的学习支架，为代数式运算学习奠定基础。 资料以“重点-易错-方法”三维梳理知识，如单项式判断强调“分母不含字母”，培养抽象能力与符号意识。典例精析分8类题型配变式训练，分层训练设A至D档，课中助教师精准教学，课后学生可通过梯度练习巩固提升，查漏补缺，发展推理意识与应用能力。

初中数学（RJ）七年级上册 4.1 整式 教师版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解单项式的概念，能识别单项式并准确说出它的系数与次数；体会用字母表示数后代数式书写的规范性要求。理解多项式及其项、次数、常数项的概念，会判断整式；能按指定字母对多项式作升幂或降幂排列，发展符号意识。 二、知识梳理 知识点 1 　单项式 表示数或字母，字母与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。里面只有乘法运算。 ★ 重点　由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。 ⚠ 易错　分母含字母的式子（如 1/a、x/y）不是单项式；π 是常数不是字母，所以 2πr 是单项式，系数为 2π。 ◆ 方法　判断三步：① 有没有加减号连接？有则不是；② 分母有没有字母？有则不是；③ 都没有，就是单项式。 知识点 2 　单项式的系数与次数 1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。包含单项式前面的符号。特别的，单个的字母的系数为1或﹣1。 2.单项式的次数：一个单项式中所有字母的次数的和叫做单项式的次数。 注意：单项式的次数是几次则就叫做几次单项式。没有字母的单项式次数是0。 ★ 重点　单项式中的数字因数叫做它的系数，所有字母的指数之和叫做它的次数。 ⚠ 易错　系数要连同前面的符号一起取（−3ab 的系数是 −3）；只写字母时系数是 1 或 −1，不能漏符号；次数只数字母的指数，π与其他数字都不计入次数。 ◆ 方法　常见易错：a 的指数是 1 不是 0；−ab²c 的系数是 −1、次数是 1+2+1=4。 知识点 3 　多项式 几个单项式的和叫做多项式。 ★ 重点　几个单项式的和叫做多项式；其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ⚠ 易错　取项必须连同前面的符号：x²−3x+2 的三项是 x²、−3x、2，写成 3x 就错了。 ◆ 方法　遇到减号先在心里改写成「加上相反数」，再逐项分离，可避免漏符号。 知识点 4 　多项式的项与次数 1.多项式的项：组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。包含单项式前面的符号。 2.多项式的次数：组成多项式的项中，次数最高的项的次数即为多项式的次数。 3.多项式的名称：根据多项式的次数与项数把多项式命名为几次几项式。 ★ 重点　多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；含 n 项、次数为 m 的多项式称为「m 次 n 项式」。 ⚠ 易错　多项式的次数取各项次数的最大值，不是把各项次数相加；数项数时常数项也算一项。 ◆ 方法　先给每一项分别算次数，再取最大值，最后按「几次几项式」表述。 知识点 5 　整式 单项式和多项式统称为整式。 简单理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。 ★ 重点　单项式与多项式统称整式；整式的分母中一定不含字母。 ⚠ 易错　分母含字母的式子（如 1/(x+1)）不是整式；根号内含字母的式子也不是整式。 ◆ 方法　分母是纯数字（如 (x+1)/3）仍然是整式，这一点常被误判。 知识点 6 　多项式的升幂或降幂排列 把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫做升幂排列；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做降幂排列。 ★ 重点　把多项式各项按某个字母的指数从小到大排列叫升幂排列，从大到小排列叫降幂排列。 ⚠ 易错　重排时必须带着各项前面的符号一起移动；指定按某字母排列时，只看该字母的指数。 ◆ 方法　先在每项前补齐正负号，再整体搬动，可避免符号错误。 三、即学即练 1.　在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 【答案】C解：单项式有：0，﹣a，﹣3x2y 2.　单项式的系数是（　　） A．　　B．−　　C．﹣5　　D． 【答案】A．解：根据单项式的系数的定义可知：的系数是． 3.　已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．﹣1或1 【答案】A解：∵单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，∴|m|+4＝5，∴|m|＝1，∴m＝±1，∵m﹣1≠0， ∴m≠1，∴m＝﹣1 4.　按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7　　B．﹣7x7　　C．14x49　　D．﹣14x49 【答案】D解：∵第1个单项式为﹣2x＝（﹣1）×（2×1）x，第2个单项式为4x4＝（﹣1）2×（2×2）x，第3个单项式为﹣6x9＝（﹣1）3×（2×3）x，……， 第7个单项式为（﹣1）7×（2×7）x=−14x49． 5.　下列式子：①abc；②x−2xy+；③；④；⑤−x+y；⑥；⑦中，单项式的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】B．解：式子abc，，符合单项式的定义，是单项式；式子x−2xy+，，，分母中含有字母，不是单项式；式子−x+y，，是多项式． 6.　多项式2x2y3﹣5xy2﹣3的次数和项数分别是（　　） A．5，3　　B．5，2　　C．8，3　　D．3，3 【答案】A解：多项式2x2y3﹣5xy2﹣3的次数和项数分别是5，3， 7.　关于多项式−abx−x+9的说法错误的是（　　） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含二次项 D．各项分别是﹣abx2，x，9 【答案】D解：A.−abx−x+9有三项，最高次项为﹣abx2，次数是4，所以多项式的次数是4，故选项A说法正确，不符合题意；B．常数项为9，故选项B说法正确，不符合题意；C.−abx−x+9不含二次项，故选项C说法正确，不符合题意；D.−abx−x+9各项分别是﹣abx2，−x，9，故选项D说法错误，符合题意． 四、典例精析 题型 1 　单项式的判断　 例1　下列式子不是单项式的是（　　） A．4x　　B．a　　C．2+x　　D．3.14 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】C解：A.4x，是单项式；B．a，是单项式；C.2+x，是多项式；D.3.14，是单项式． 变式1　下列式子中，是单项式的是（　　） A．﹣m2﹣n2　　B．a+b　　C．xy　　D． ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】C．解：A．﹣m2﹣n2是多项式；B．a+b是多项式；C．xy是单项式；D．分母中含有字母，不是单项式． 变式2　在代数式x﹣3，﹣22，−，2πb2中，不是单项式的是（　　） A．2πb2　　B．﹣22　　C．−　　D．x﹣3 【答案】D解：不是单项式的是x﹣3． 题型 2 　单项式的系数与次数　 例2　关于单项式−，下列说法中正确的是（　　） A．次数是3　　B．次数是2　　C．系数是　　D．系数是﹣2 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】A解：−的系数是−，次数是1+2＝3， 变式1　下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．−的系数是﹣2，次数是3 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】B解：A．数字0是单项式，此选项不符合题意；B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5，此选项符合题意；C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意；D． −的系数是−，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 变式2　单项式−xyz的系数和次数分别为（　　） A．−，5　　B．，5　　C．−，6　　D．，6 【答案】C．解：根据单项式系数、次数的定义，单项式−xyz的系数与次数分别是−，6． 题型 3 　利用单项式的系数与次数求未知字母　 例3　若单项式−xy的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C解：由题意得：m=−，n＝4．∴m+n=−+4=． 变式1　若单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n，则m2n的值为（　　） A．﹣18　　B．18　　C．﹣12　　D．12 【答案】D解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣2x2y的系数与次数分别是﹣2，3，所以m2n＝（﹣2）2×3＝12． 变式2　已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3 题型 4 　单项式中的规律题　 例4　有下列式子：﹣3a，6a2，﹣9a3，12a4，﹣15a5，⋯，则第8个式子是（　　） A．18a6　　B．﹣21a8　　C．24a8　　D．﹣24a8 【答案】C 【解析】解：∵﹣3a＝（﹣1）1×3×1•a1，6a2＝（﹣1）2×3×2•a2，﹣9a3＝（﹣1）3×3×3•a3，12a4＝（﹣1）4×3×4•a4，﹣15a5＝（﹣1）5×3×5•a5，⋯⋯， 依此类推，第n个式子为：（﹣1）n•3n•an， 根据此规律可得：第8个式子为：（﹣1）8×3×8•a8＝24a8， 变式1　按照一定规律排列的式子：，，，⋯⋯，第7个式子是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B解：按照一定规律排列的式子：，，，⋯⋯，第7个式子是， 题型 5 　多项式的判断 例5　下列式子ab，，+，2x2+3x﹣4中，多项式有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】B．解：式子，2x2+3x﹣4，符合多项式的定义，是多项式；式子+，分母中含有字母，不是多项式；式子ab，是单项式． 变式1　下列式子中，多项式有（　　） ，ax2，，x＞1，4，，，x2+2x+1 A．6个　　B．5个　　C．4个　　D．3个 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】D．解：式子，，x2+2x+1，符合多项式的定义，是多项式；式子，分母中含有字母，不是多项式；式子x＞1是不等式，不是多项式；式子ax2，4是单项式． 变式2　下列式子：①abc；②x2﹣2xy+；③；④；⑤−x+y；⑥；⑦．其中是多项式的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】A．解：式子−x+y，，符合多项式的定义，是多项式；式子x−2xy+，，，分母中含有字母，不是多项式；式子abc，，是单项式． 题型 6 　整式的判断 例6　在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 【答案】B．解：式子，﹣xy，，﹣2，符合整式的定义，是整式；式子，，分母中含有字母，不是整式． 变式1　下列各式；2a，，2x(x−1)，πr，，，，−中是整式的有（　　） A．3个　　B．5个　　C．6个　　D．8个 【答案】C解：2a，2x（x﹣1），πr2，，，−是整式，共有6个． 题型 7 　多项式的项（项数）与次数　 例7　关于多项式2a2﹣3a4+1，下列说法中正确的是（　　） A．它是六次三项式 B．它是四次二项式 C．它的最高次项的系数是3 D．它的常数项是1 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】D解：多项式2a2﹣3a4+1是四次三项式，它的最高次项的系数是﹣3，它的常数项是1， 变式1　已知代数式4x2﹣3x+5，下列说法中错误的是（　　） A．它是一个多项式 B．它的项分别是4x2，3x，5 C．它的次数是2 D．它的常数项是5 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】B解：A．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，故选项A正确；B．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的项分别是4x2，﹣3x，5，故选项B错误；C．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的次数是2，故选项C正确；D．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的常数项是5，故选项D正确． 题型 8 　利用多项式的项数和次数求未知字母　 例8　多项式3x|m|y3﹣（m+1）x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则mn的值为（　　） A．1　　B．﹣1　　C．3　　D．﹣3 【答案】A解：由条件可知|m|+3＝4，∴m＝±1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，∴m＝1， ∵n是最高次项的系数，∴n＝3，∴mn＝13＝1． 变式1　单项式﹣4x2y3与多项式2xmy2﹣5x3y﹣1的次数相同，则m＝（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】C解：根据题意可知，单项式﹣4x2y3的次数为：5，∴多项式2xmy2﹣5x3y1﹣1的次数为5； ∴m+2＝5，∴m＝3． 变式2　若多项式x+(m−5)x+8是关于x的五次三项式，则m的值是（　　） A．5　　B．﹣3　　C．﹣5　　D．5或﹣5 【答案】C．解：∵多项式x+(m−5)x+8是关于x的五次三项式， ∴|m|＝5，m﹣5≠0，∴m＝﹣5． 五、分层训练 A 档 　基础巩固 1.　在整式5abc，﹣7x2+1，−，21，中，单项式共有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C解：5abc，−，21是单项式， 2.　单项式﹣2x2y系数与次数分别是（　　） A．2，2　　B．2，3　　C．﹣2，3　　D．﹣2，2 【答案】C解：单项式﹣2x2y系数与次数分别是﹣2和3． 3.　下列说法中，正确的是（　　） A．2不是单项式 B．6πx3的系数是6 C．﹣ab2的系数是﹣1，次数是3 D．−的系数是﹣2 【答案】C解：A、2是单项式，故此选项错误；B、6πx3的系数是6π，故此选项错误；C、﹣ab2的系数是﹣1，次数是3，此选项正确；D、−的系数是−，故此选项错误． 4.　下列整式中，是二次单项式的是（　　） A．x2﹣1　　B．2x2y　　C．xy　　D．﹣2x 【答案】C．解：A．x2﹣1是多项式；B．2x2y是3次单项式；C．xy是2次单项式；D．﹣2x是1次单项式． 5.　若单项式−的系数是m，次数是n，则mn的值为（　　） A．﹣2　　B．﹣6　　C．﹣4　　D．− 【答案】A解：根据单项式定义得：单项式−的系数是−，次数是2+1＝3， ∴m=−，n＝3，mn=−×3＝﹣2． 6.　已知a、b互为倒数，m是单项式﹣3xy2的次数，则ab﹣m的值为（　　） A．﹣4　　B．﹣2　　C．2　　D．4 【答案】B解：∵a、b互为倒数，∴ab＝1， ∵m是单项式﹣3xy2的次数，∴m＝3，∴ab﹣m＝1﹣3＝﹣2 7.　单项式3xny2是关于x，y的四次单项式，则n＝ ． 【答案】2．解：根据题意可知，n+2＝4，解得：n＝2． 8.　下列式子：2ab，3xy−2y，，4，−m，，其中是多项式的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】A．解：式子3xy−2y，，符合多项式的定义，是多项式 9.　对于多项式x2﹣5x﹣6，下列说法正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它的常数项是6 C．它的一次项系数是﹣5 D．它的二次项系数是2 【答案】C解：A、它是二次三项式，故原题说法错误；B、它的常数项是﹣6，故原题说法错误；C、它的一次项系数是﹣5，故原题说法正确；D、它的二次项系数是1，故原题说法错误； 10.　已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值是（　　） A．﹣80　　B．﹣45　　C．﹣80或﹣45　　D．﹣45或﹣20 【答案】D解：当m＝0时，n＝2，此时﹣5n2＝﹣5×22＝﹣20； 当m≠0时，n＝3，此时﹣5n2＝﹣5×32＝﹣45 B 档 　巩固提升　 1.　①单项式−的系数是−；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的2πr系数是2π．以上说法中正确的有（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 【答案】B解：①单项式−的系数是−，故此选项错误；②ab的次数是2、系数是1，故此选项错误；③不是单项式，故此选项错误；④单项式2πr的系数是2π，此选项正确， 2.　已知（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式，求m2+4m+4的值． 【答案】0．解：∵（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式， ∴|m|+1＝3，且m﹣2≠0，∴m＝﹣2，∴m2+4m+4＝（﹣2）2+4×（﹣2）+4＝0． 3.　关于多项式5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1，下面说法正确的有（　　） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 【答案】C解：①多项式项数为3，﹣5x2+x﹣1项数为3，所以5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1项数相同，故①正确；②多项式次数为2，﹣5x2+x﹣1次数为2，所以5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1次数相同，故②正确；③5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1都是按照x的降幂排列，故③正确；④5x2+6x+1﹣5x2+x﹣1＝7x，所以5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1的和为单项式，故④错误 C 档 　提高拓展　 1.　已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 【答案】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝4， ∴5（a+b）+3cd﹣m＝5×0+3×1﹣4＝3﹣4＝﹣1． 2.　已知多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1是关于x的四次三项式，则ab＝ ． 【答案】解：∵多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣是关于x的四次三项式， ∴﹣（a+1）＝0，b﹣2＝0，∴a＝﹣1，b＝2，∴ab＝（﹣1）×2＝﹣2． D 档 　压轴挑战　 1.　探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（　　） A．﹣15x9　　B．19x9　　C．17x9　　D．﹣17x9 【答案】C解：根据其中的规律得出的第9个单项式是17x9 2.　已知单项式−xy与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式−xy的值． 【答案】解：（1）根据题意得：1+2m﹣1＝2+2，解得：m＝2； （2）−xy=−xy3，则当x＝﹣9，y＝﹣2时，原式=−×（﹣9）×（﹣8）＝﹣48． 3.　已知多项式ym+xy3﹣3x4﹣5是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式5xny6﹣m的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 【答案】解：（1）∵多项式是五次四项式，∴m＝5； （2）由（1）可知：m＝5，∴单项式5xny6﹣m为5xny，由条件可知n+1＝5，∴n＝4． 4.　定义：f（x，y）是关于x，y的多项式，如果f（x，y）＝f（y，x），那么f（x，y）叫做“对称多项式”．例如：f（x，y）＝x2+x+y+y2，则f（y，x）＝y2+y+x+x2，显然f（x，y）＝f（y，x），所以f（x，y）＝x2+x+y+y2是“对称多项式”． （1）试说明f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）请写出一个“对称多项式”：f（x，y）＝ （不多于四项）； （3）如果f1（x，y）和f2（x，y）均为“对称多项式”，那么f1（x，y）+f2（x，y）一定是“对称多项式”吗？如果一定是请说明理由，如果不一定是，请举例说明． 【答案】解：（1）∵f（x，y）＝x2﹣2xy+y2，∴f（y，x）＝y2﹣2xy+x2， ∴f（x，y）＝f（y，x），∴f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）f（x，y）＝x3+xy+y3（答案不唯一）； （3）f1（x，y）+f2（x，y）不一定是“对称多项式”，理由如下： 令f1（x，y）＝x+y，f2（x，y）＝﹣x﹣y，则f1（x，y）+f2（x，y）＝0，不是多项式． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $初中数学（RJ）七年级上册 4.1 整式 学生版 一、课标要求与学习目标 【课标要求】理解单项式的概念，能识别单项式并准确说出它的系数与次数；体会用字母表示数后代数式书写的规范性要求。理解多项式及其项、次数、常数项的概念，会判断整式；能按指定字母对多项式作升幂或降幂排列，发展符号意识。 二、知识梳理 知识点 1 　单项式 表示数或字母，字母与字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式。里面只有乘法运算。 ★ 重点　由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也是单项式。 ⚠ 易错　分母含字母的式子（如 1/a、x/y）不是单项式；π 是常数不是字母，所以 2πr 是单项式，系数为 2π。 ◆ 方法　判断三步：① 有没有加减号连接？有则不是；② 分母有没有字母？有则不是；③ 都没有，就是单项式。 知识点 2 　单项式的系数与次数 1.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。包含单项式前面的符号。特别的，单个的字母的系数为1或﹣1。 2.单项式的次数：一个单项式中所有字母的次数的和叫做单项式的次数。 注意：单项式的次数是几次则就叫做几次单项式。没有字母的单项式次数是0。 ★ 重点　单项式中的数字因数叫做它的系数，所有字母的指数之和叫做它的次数。 ⚠ 易错　系数要连同前面的符号一起取（−3ab 的系数是 −3）；只写字母时系数是 1 或 −1，不能漏符号；次数只数字母的指数，π与其他数字都不计入次数。 ◆ 方法　常见易错：a 的指数是 1 不是 0；−ab²c 的系数是 −1、次数是 1+2+1=4。 知识点 3 　多项式 几个单项式的和叫做多项式。 ★ 重点　几个单项式的和叫做多项式；其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。 ⚠ 易错　取项必须连同前面的符号：x²−3x+2 的三项是 x²、−3x、2，写成 3x 就错了。 ◆ 方法　遇到减号先在心里改写成「加上相反数」，再逐项分离，可避免漏符号。 知识点 4 　多项式的项与次数 1.多项式的项：组成多项式的每一个单项式叫做多项式的项。包含单项式前面的符号。 2.多项式的次数：组成多项式的项中，次数最高的项的次数即为多项式的次数。 3.多项式的名称：根据多项式的次数与项数把多项式命名为几次几项式。 ★ 重点　多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；含 n 项、次数为 m 的多项式称为「m 次 n 项式」。 ⚠ 易错　多项式的次数取各项次数的最大值，不是把各项次数相加；数项数时常数项也算一项。 ◆ 方法　先给每一项分别算次数，再取最大值，最后按「几次几项式」表述。 知识点 5 　整式 单项式和多项式统称为整式。 简单理解：即分母中不含字母的式子叫做整式。 ★ 重点　单项式与多项式统称整式；整式的分母中一定不含字母。 ⚠ 易错　分母含字母的式子（如 1/(x+1)）不是整式；根号内含字母的式子也不是整式。 ◆ 方法　分母是纯数字（如 (x+1)/3）仍然是整式，这一点常被误判。 知识点 6 　多项式的升幂或降幂排列 把一个多项式按照项的次数或其中某一个字母的次数由低到高排列叫做升幂排列；若按照项的次数或其中某一个字母的次数由高到低排列叫做降幂排列。 ★ 重点　把多项式各项按某个字母的指数从小到大排列叫升幂排列，从大到小排列叫降幂排列。 ⚠ 易错　重排时必须带着各项前面的符号一起移动；指定按某字母排列时，只看该字母的指数。 ◆ 方法　先在每项前补齐正负号，再整体搬动，可避免符号错误。 三、即学即练 1.　在式子，x+y，0，﹣a，﹣3x2y，中，单项式的个数是（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 2.　单项式的系数是（　　） A．　　B．−　　C．﹣5　　D． 3.　已知单项式（m﹣1）x|m|y4的次数是5，则m的值为（　　） A．﹣1　　B．0　　C．1　　D．﹣1或1 4.　按一定规律排列的单项式：﹣2x，4x4，﹣6x9，8x16，﹣10x25，……，则第7个单项式是（　　） A．7x7　　B．﹣7x7　　C．14x49　　D．﹣14x49 5.　下列式子：①abc；②x−2xy+；③；④；⑤−x+y；⑥；⑦中，单项式的个数是（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 6.　多项式2x2y3﹣5xy2﹣3的次数和项数分别是（　　） A．5，3　　B．5，2　　C．8，3　　D．3，3 7.　关于多项式−abx−x+9的说法错误的是（　　） A．有三项，次数是4 B．常数项为9 C．不含二次项 D．各项分别是﹣abx2，x，9 四、典例精析 题型 1 　单项式的判断　 例1　下列式子不是单项式的是（　　） A．4x　　B．a　　C．2+x　　D．3.14 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】C解：A.4x，是单项式；B．a，是单项式；C.2+x，是多项式；D.3.14，是单项式． 变式1　下列式子中，是单项式的是（　　） A．﹣m2﹣n2　　B．a+b　　C．xy　　D． ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】C．解：A．﹣m2﹣n2是多项式；B．a+b是多项式；C．xy是单项式；D．分母中含有字母，不是单项式． 变式2　在代数式x﹣3，﹣22，−，2πb2中，不是单项式的是（　　） A．2πb2　　B．﹣22　　C．−　　D．x﹣3 【答案】D解：不是单项式的是x﹣3． 题型 2 　单项式的系数与次数　 例2　关于单项式−，下列说法中正确的是（　　） A．次数是3　　B．次数是2　　C．系数是　　D．系数是﹣2 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】A解：−的系数是−，次数是1+2＝3， 变式1　下列说法中，正确的是（　　） A．0不是单项式 B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5 C．6πx3的系数是6 D．−的系数是﹣2，次数是3 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】B解：A．数字0是单项式，此选项不符合题意；B．﹣a2b3的系数是﹣1，次数是5，此选项符合题意；C．6πx3的系数是6π，原说法错误，此选项不符合题意；D． −的系数是−，次数是3，原说法错误，故此选项不符合题意． 变式2　单项式−xyz的系数和次数分别为（　　） A．−，5　　B．，5　　C．−，6　　D．，6 【答案】C．解：根据单项式系数、次数的定义，单项式−xyz的系数与次数分别是−，6． 题型 3 　利用单项式的系数与次数求未知字母　 例3　若单项式−xy的系数是m，次数是n，则m+n＝（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】C解：由题意得：m=−，n＝4．∴m+n=−+4=． 变式1　若单项式﹣2x2y的系数是m，次数是n，则m2n的值为（　　） A．﹣18　　B．18　　C．﹣12　　D．12 【答案】D解：根据单项式系数、次数的定义，单项式﹣2x2y的系数与次数分别是﹣2，3，所以m2n＝（﹣2）2×3＝12． 变式2　已知（m﹣3）xy|m|+1是关于x，y的五次单项式，则m的值是 ． 【答案】解：由题意得，|m|+1+1＝5，m﹣3≠0，解得，m＝﹣3 题型 4 　单项式中的规律题　 例4　有下列式子：﹣3a，6a2，﹣9a3，12a4，﹣15a5，⋯，则第8个式子是（　　） A．18a6　　B．﹣21a8　　C．24a8　　D．﹣24a8 【答案】C 【解析】解：∵﹣3a＝（﹣1）1×3×1•a1，6a2＝（﹣1）2×3×2•a2，﹣9a3＝（﹣1）3×3×3•a3，12a4＝（﹣1）4×3×4•a4，﹣15a5＝（﹣1）5×3×5•a5，⋯⋯， 依此类推，第n个式子为：（﹣1）n•3n•an， 根据此规律可得：第8个式子为：（﹣1）8×3×8•a8＝24a8， 变式1　按照一定规律排列的式子：，，，⋯⋯，第7个式子是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 【答案】B解：按照一定规律排列的式子：，，，⋯⋯，第7个式子是， 题型 5 　多项式的判断 例5　下列式子ab，，+，2x2+3x﹣4中，多项式有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】B．解：式子，2x2+3x﹣4，符合多项式的定义，是多项式；式子+，分母中含有字母，不是多项式；式子ab，是单项式． 变式1　下列式子中，多项式有（　　） ，ax2，，x＞1，4，，，x2+2x+1 A．6个　　B．5个　　C．4个　　D．3个 ⚠ 易错　判断单项式 / 多项式 / 整式，第一眼先看分母有没有字母——分母含字母一律不是整式；π 是常数不是字母，不影响判断。 【答案】D．解：式子，，x2+2x+1，符合多项式的定义，是多项式；式子，分母中含有字母，不是多项式；式子x＞1是不等式，不是多项式；式子ax2，4是单项式． 变式2　下列式子：①abc；②x2﹣2xy+；③；④；⑤−x+y；⑥；⑦．其中是多项式的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 【答案】A．解：式子−x+y，，符合多项式的定义，是多项式；式子x−2xy+，，，分母中含有字母，不是多项式；式子abc，，是单项式． 题型 6 　整式的判断 例6　在代数式，﹣xy，，，﹣2，中，是整式的有（　　） A．5个　　B．4个　　C．3个　　D．2个 【答案】B．解：式子，﹣xy，，﹣2，符合整式的定义，是整式；式子，，分母中含有字母，不是整式． 变式1　下列各式；2a，，2x(x−1)，πr，，，，−中是整式的有（　　） A．3个　　B．5个　　C．6个　　D．8个 【答案】C解：2a，2x（x﹣1），πr2，，，−是整式，共有6个． 题型 7 　多项式的项（项数）与次数　 例7　关于多项式2a2﹣3a4+1，下列说法中正确的是（　　） A．它是六次三项式 B．它是四次二项式 C．它的最高次项的系数是3 D．它的常数项是1 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】D解：多项式2a2﹣3a4+1是四次三项式，它的最高次项的系数是﹣3，它的常数项是1， 变式1　已知代数式4x2﹣3x+5，下列说法中错误的是（　　） A．它是一个多项式 B．它的项分别是4x2，3x，5 C．它的次数是2 D．它的常数项是5 ⚠ 易错　系数必须连同前面的符号一起写（−3ab 的系数是 −3）；次数只把字母的指数相加，数字与 π 都不计入次数，且省略不写的指数是 1 而非 0。 【答案】B解：A．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，故选项A正确；B．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的项分别是4x2，﹣3x，5，故选项B错误；C．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的次数是2，故选项C正确；D．代数式4x2﹣3x+5是一个多项式，它的常数项是5，故选项D正确． 题型 8 　利用多项式的项数和次数求未知字母　 例8　多项式3x|m|y3﹣（m+1）x+2是四次三项式，n是最高次项的系数，则mn的值为（　　） A．1　　B．﹣1　　C．3　　D．﹣3 【答案】A解：由条件可知|m|+3＝4，∴m＝±1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，∴m＝1， ∵n是最高次项的系数，∴n＝3，∴mn＝13＝1． 变式1　单项式﹣4x2y3与多项式2xmy2﹣5x3y﹣1的次数相同，则m＝（　　） A．1　　B．2　　C．3　　D．4 【答案】C解：根据题意可知，单项式﹣4x2y3的次数为：5，∴多项式2xmy2﹣5x3y1﹣1的次数为5； ∴m+2＝5，∴m＝3． 变式2　若多项式x+(m−5)x+8是关于x的五次三项式，则m的值是（　　） A．5　　B．﹣3　　C．﹣5　　D．5或﹣5 【答案】C．解：∵多项式x+(m−5)x+8是关于x的五次三项式， ∴|m|＝5，m﹣5≠0，∴m＝﹣5． 五、分层训练 A 档 　基础巩固 1.　在整式5abc，﹣7x2+1，−，21，中，单项式共有（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 2.　单项式﹣2x2y系数与次数分别是（　　） A．2，2　　B．2，3　　C．﹣2，3　　D．﹣2，2 3.　下列说法中，正确的是（　　） A．2不是单项式 B．6πx3的系数是6 C．﹣ab2的系数是﹣1，次数是3 D．−的系数是﹣2 4.　下列整式中，是二次单项式的是（　　） A．x2﹣1　　B．2x2y　　C．xy　　D．﹣2x 5.　若单项式−的系数是m，次数是n，则mn的值为（　　） A．﹣2　　B．﹣6　　C．﹣4　　D．− 6.　已知a、b互为倒数，m是单项式﹣3xy2的次数，则ab﹣m的值为（　　） A．﹣4　　B．﹣2　　C．2　　D．4 7.　单项式3xny2是关于x，y的四次单项式，则n＝ ． 8.　下列式子：2ab，3xy−2y，，4，−m，，其中是多项式的有（　　） A．2个　　B．3个　　C．4个　　D．5个 9.　对于多项式x2﹣5x﹣6，下列说法正确的是（　　） A．它是三次三项式 B．它的常数项是6 C．它的一次项系数是﹣5 D．它的二次项系数是2 10.　已知关于y的多项式2y﹣3yn+7与my3+4y2﹣5的次数相同，那么﹣5n2的值是（　　） A．﹣80　　B．﹣45　　C．﹣80或﹣45　　D．﹣45或﹣20 B 档 　巩固提升　 1.　①单项式−的系数是−；②ab的次数、系数都是1；③与都是单项式；④单项式的2πr系数是2π．以上说法中正确的有（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个 2.　已知（m﹣2）xy|m|+1是关于x，y的四次单项式，求m2+4m+4的值． 3.　关于多项式5x2+6x+1与﹣5x2+x﹣1，下面说法正确的有（　　） ①项数相同；②次数相同；③都是按照x的降幂排列；④和仍是多项式． A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 C 档 　提高拓展　 1.　已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m是单项式﹣3xy3的次数，求5（a+b）+3cd﹣m的值． 2.　已知多项式2x4﹣（a+1）x3+（b﹣2）x2﹣3x﹣1是关于x的四次三项式，则ab＝ ． D 档 　压轴挑战　 1.　探索规律：观察下面的一列单项式：x、﹣3x2、5x3、﹣7x4、9x5、…，根据其中的规律得出的第9个单项式是（　　） A．﹣15x9　　B．19x9　　C．17x9　　D．﹣17x9 2.　已知单项式−xy与﹣22x2y2的次数相同． （1）求m的值； （2）求当x＝﹣9，y＝﹣2时单项式−xy的值． 3.　已知多项式ym+xy3﹣3x4﹣5是五次四项式． （1）求出m的值． （2）单项式5xny6﹣m的次数与已知多项式的次数相同，求n的值． 4.　定义：f（x，y）是关于x，y的多项式，如果f（x，y）＝f（y，x），那么f（x，y）叫做“对称多项式”．例如：f（x，y）＝x2+x+y+y2，则f（y，x）＝y2+y+x+x2，显然f（x，y）＝f（y，x），所以f（x，y）＝x2+x+y+y2是“对称多项式”． （1）试说明f（x，y）＝x2﹣2xy+y2是“对称多项式”； （2）请写出一个“对称多项式”：f（x，y）＝ （不多于四项）； （3）如果f1（x，y）和f2（x，y）均为“对称多项式”，那么f1（x，y）+f2（x，y）一定是“对称多项式”吗？如果一定是请说明理由，如果不一定是，请举例说明． 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $