江苏南通市启东市2026-2027学年上学期九年级期初质量监测数学试题

2026～2027学年度新初三年级期初质量监测 数学试题参考答案与评分标准 说明：本评分标准每题给出的解法仅供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准给分． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B D C D A C D B 二、填空题（本题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每小题6分，共26分） 11． 12．（答案不唯一） 13．72 14．5.2 15． 16．3； 三、解答题（本题共9小题，共94分） 17．解：（1）原方程移项可得：， 1分 ， 2分 原方程的根为，； 4分 （2），， 5分 原方程的根为，． 8分 18．解：这辆小汽车超速了． 2分 理由：在中，， ， 5分 小汽车的速度为 7分 这辆小汽车超速了． 8分 19．解：（1）根据题意得， 1分 解得， 3分 此直线的解析式为； 4分 （2）当时，． 6分 ，一次函数值随着的增大而增大， 7分 设直线上位于点上方点的纵坐标为， ． 9分 20．（1）解：尺规作图如图所示； 3分 （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 4分 平分，， 5分 ， ， 6分 ，， 7分 ， 四边形是平行四边形， 8分 ， 四边形是菱形． 10分 21．【定理证明】证明：是斜边上的中线，， 1分 ，四边形是平行四边形， 2分 ，平行四边形是矩形， 3分 ， 4分 ； 5分 【定理应用】解：如图②，连接，， ，点、分别为、的中点， ，， 6分 ， 7分 点为的中点， ，， 8分 在中，由勾股定理得：， 9分 ． 10分 22．解：（1）90；92； 2分（每空1分） （2）70；96； 6分（每空2分） 箱线图： 8分 （3）乙组竞赛成绩较好． 9分 理由：乙组的平均数86.3大于甲组平均数84.6，乙组的方差73.41小于甲组的方差171.44， 乙组平均分更高，成绩更稳定， 乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 11分 23．解：（1）200，2000； 2分（每空1分） （2）设该玩偶的售价为元，则每个玩偶的销售利润为元，每天可卖出个， 4分 根据题意得：， 5分 整理得：， 解得，． 6分 要尽快清空库存，销售量的值要尽量大， 7分 答：该玩偶的售价为44元； （3）商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 8分 理由：假设商店每天销售该玩偶的利润能达到2500元，设该玩偶的售价为元，则每个玩偶的销售利润为元，每天可卖出个， 根据题意得：， 9分 整理得：， ，原方程没有实数根， 10分 假设不成立， 11分 即商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 12分 24．解：（1）在和中，， ， ，， 1分 又正方形中，，， ，， 2分 ， ； 4分 （2）①补全图形，如图2即为所求； 6分 ②； 7分 证明：如图3，连接， 设，，， ，，， 又，， ，， 8分 又，， ， 又，， ， 在中，， 即， 解得，则， ， 9分 在和中，， ， ，即， 10分 又为中点，， 取中点为，连接， ，， ， 又，， ，， 11分 在和中，， ， ， 12分 又中点为， ． 13分 25．解：（1）直线分别交轴和轴于点和，则点、的坐标分别为：，， 则，， 2分 则； 3分 （2）① ，1； 5分（每空1分） ②由①知，，，， 则； 8分 （3）由点、的坐标得，直线的表达式为：，设直线的表达式为：， 联立上述两式得：， 解得，则点， 9分 由点、的坐标得，，则， 由直线的解析式知，点，则， 10分 ，即， 解得， 11分 则， 12分 当时，， 即直线过定点． 13分 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期初质量监测 数学试题 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题纸指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题纸上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上． 1．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是 A．金额 B．数量 C．单价 D．商品名称 2．在平行四边形中，，则的度数为 A． B． C． D． 3．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成，这四个图案中是中心对称图形的是 A． B． C． D． 4．DeepSeek模型的能力与其训练数据量密切相关．假设在某研发阶段，DeepSeek模型的初始训练数据量为360万亿个标记．研发团队通过两次数据扩容，使最终的训练数据量达到640万亿个标记，求这两次数据扩容的平均增长率．设两次数据扩容的平均增长率为，则可列方程 A． B． C． D． 5．为加强体育管理，某校规定学生的学期体育综合成绩计算办法为：平时成绩占，期中成绩占，期末成绩占．小华同学的三项成绩依次为93，88，86，则他的学期体育综合成绩是 A．90 B．93 C．88 D．91 6．手机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1英寸）为单位．某5.8英寸的手机，有可能用以下哪种尺寸的长方形口袋完全装下 A．宽，长的口袋 B．宽，长的口袋 C．宽，长的口袋 D．宽，长的口袋 7．已知，则下列结论正确的是 A．是方程的根 B．是方程的根 C．方程有两个不相等实数根 D．方程的两根，满足 8．某电信运营商推出一款手机流量套餐，套餐内包含一定免费流量，超出部分额外计费．该套餐总费用（元）与超出流量的部分数据如表： 超出流量 0 1 2 3 4 … 总费用（元） 18 21 24 27 30 … 已知总费用（元）是超出流量的一次函数，小李使用此套餐后支付的总费用为63元，则他使用的流量共超出 A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，在和上分别有点，，连，，．点关于的对称点，点关于的对称点，若，刚好都落在对角线上，则的长为 A． B． C． D． 10．如图，在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内且满足，若一次函数图象经过，，则下列判断正确的是 A．当时， B．当时， C．若，则 D．若，则 二、填空题（本题共6小题，第11～15题每小题4分，第16题每小题6分，共26分）不需写出解答过程，把最后结果填在答题纸对应的位置上． 11．正九边形的内角和度数为 ▲ ． 12．已知一次函数（为常数，且）的图象经过第一、二、四象限，请写出一个符合条件的的值为 ▲ ． 13．明代数学文献中的“五星幻图”是中国古代唯一在算书中出现五角星的数学文献，如图所示的五角形图案绕点至少旋转 ▲ 度才能与自身重合． 14．若把数据6，7，8，8，8，8，7，10，9分成6，7，7，8和8，8，8，9，10两组，则它们的组内离差平方和为 ▲ ． 15．如图，矩形中，，，长方形内有一个点，连接，，，已知，，延长交于点，则 ▲ ． 16．已知一元二次方程有两个相等的实数根． （1）当，时，则的值为 ▲ ； （2）若，，，则的值为 ▲ ． 三、解答题（本题共9小题，共94分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请在答题纸对应的位置和区域内解答． 17．（本小题满分8分） 解方程：（1）；（2）． 18．（本小题满分8分） 如图，一辆小汽车在一条限速为的公路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方的处，过了2 s后，测得小汽车（位于处）与车速检测仪的距离为，这辆小汽车超速了吗？请说明理由？ 19．（本小题满分9分） 已知直线过点和． （1）求此直线的解析式； （2）如果点在该直线上，且点的横坐标为，求该直线上所有位于点上方的点的纵坐标的取值范围． 20．（本小题满分10分） 如图，在平行四边形中，点在上，且． （1）尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形． 21．（本小题满分10分） 【教材呈现】如图是新人教版八年级下册数学教材第69页的部分内容． 在学习矩形内容中，同学们发现了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 这一猜想：如图1，接下来让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图2，在中，是斜边上的中线． 求证：． 【定理证明】 小明根据教材图2的提示，证明过程为：延长至点，使，连接，，结合图①帮助小明完成直角三角形的性质；“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明． 【定理应用】 如图②，已知，点，分别为，的中点，，． 求的长． 22．（本小题满分11分） 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 84.6 70 171.44 乙 86.3 90 73.41 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ▲ ， ▲ ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ▲ ，第三四分位数 ▲ ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 23．（本小题满分12分） 综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 （1）若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 ▲ 个，每天的利润为 ▲ 元； （2）已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； （3）商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 24．（本小题满分13分） 已知正方形，射线交于点，点为线段上一点（不与点、重合），且，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，过点作垂直交射线于点，取线段中点，连接． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段与的数量关系，并证明． 25．（本小题满分13分） 在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法，下面是一个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程． 【问题呈现】：过点的直线（，为常数且）分别交轴的正半轴和轴的正半轴于点和，探究并说明是定值． （1）特例探究：如图1，过点的直线分别交轴和轴于点和，求的值； （2）一般证明：①时，直接写出 ▲ ；，时，直接写出 ▲ ； ②求出的值； （3）类比推广如图2，已知，，点在轴的正半轴上，过且不与轴平行的直线交直线于第一象限点，若总有，请探究：直线是否过定点，如果是，请求出这个定点坐标；如果否，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $