专题06等腰三角形性质定理、判定定理同步培优讲义 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦等腰三角形性质定理与判定定理，系统梳理概念、性质（等边对等角、三线合一）、判定（等角对等边）及等边三角形知识，明确其作为后续直角三角形、勾股定理学习的基础支架。 资料以知识框架构建体系，题型覆盖定义、作图、性质应用等14类，渗透分类讨论（已知边求周长分腰与底边）和转化思想（证线段相等转化为证角相等），通过实例培养几何直观与推理能力，课中辅助教学，课后助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题06等腰三角形性质定理、判定定理同步培优讲义 ✺知识框架 1.等腰三角形概念：等腰三角形是两边相等的三角形，其腰、底边、顶角、底角是后续推理的基本元素 2.等腰三角形性质：由“边相等”推出“角相等”——等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）；等边三角形的各个内角都等于60°。 3.等腰三角形的判定：由“角相等”推出“边相等”——有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。 ✅本节知识围绕“等腰三角形”这一特殊三角形展开。学习时把握三点：其一，分清等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本元素，明确等腰三角形是轴对称图形；其二，牢记两条性质定理与一条判定定理——等边对等角、三线合一、等角对等边，并掌握等边三角形的性质与判定；其三，会用分类讨论（已知一角求角、已知两边求周长）与转化（证线段相等转化为证角相等）等思想方法解决问题。本节是后续学习直角三角形、勾股定理等内容的重要基础，务必熟练掌握。 ✺学习目标 1.理解等腰三角形及腰、底边、顶角、底角等概念，知道它是轴对称图形，能指出其对称轴。 2.掌握性质定理1：等边对等角，能进行角的计算与说理。 3.掌握性质定理2：三线合一，能证明线段相等、线段垂直与角平分。 4.掌握判定定理：等角对等边，能判定一个三角形是等腰三角形。 5.理解等边三角形的性质与判定：三个内角都等于60°；三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6.能综合运用性质、判定与全等知识进行较复杂的推理与计算。 7.掌握分类讨论：已知一角求角时按顶角、底角分类，已知两边求周长时按腰、底边分类，并用内角和定理与三边关系检验结果。 8.体会转化思想：证线段相等与证角相等可相互转化，能从“角平分线＋平行线”等基本图形中识别等腰三角形。 ✺题型归纳 题型1.等腰三角形的定义 题型2.作等腰三角形(尺规作图) 题型3.等边对等角 题型4.等边三角形的性质 题型5.三线合一 题型6.根据等角对等边证明等腰三角形 题型7.根据等角对等边证明边相等 题型8.根据等角对等边求边长 题型9.格点图中画等腰三角形 题型10.找出图中的等腰三角形 题型11.等腰三角形的性质和判定 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定和性质 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的有关概念 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也称正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形。 对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴（由对称性可知，这条直线同时是底边上的中线、底边上的高所在直线）。等边三角形有3条对称轴。 知识点二、等腰三角形的性质定理1（等边对等角） 文字语言：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言可表示为：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角）。 注意：（1）“等边对等角”成立的前提是“在同一个三角形中”；（2）该定理指明由“边相等”可以推出“角相等”。 知识点三、等腰三角形的性质定理2（三线合一） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”。 符号语言：在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者中的一种时，必有其余两种成立： （1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC（已知），∴BD＝DC，AD⊥BC； （2）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线（已知），∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； （3）∵AB＝AC，AD⊥BC（已知），∴BD＝DC，AD平分∠BAC。 注意：“三线合一”中的“三线”专指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高与顶角平分线不满足这一性质。运用三线合一时，“等腰三角形”是已知前提，不可漏写。 知识点四、等边三角形的性质 等边三角形的各个内角都相等，都等于60°。 说明：等边三角形三边都相等，任取两边都是等腰三角形，由性质定理1可知三个内角两两相等；再结合三角形内角和为180°，可得每个内角等于60°。 知识点五、等腰三角形的判定定理（等角对等边） 文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）。 注意：（1）判定定理与性质定理1互为逆定理，可以概括为“已知等腰用性质，要得等腰用判定”；（2）判定定理的证明可作顶角的平分线或底边上的高，利用AAS证明两个三角形全等；一般不作底边上的中线，否则难以直接证明全等。 知识点六、等边三角形的判定 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 说明：由三角形内角和为180°，三个角都相等时每个角都是60°，再结合“等角对等边”可得三边相等；等腰三角形中有一个角是60°时，无论该角是顶角还是底角，其余两个角也都等于60°，故三边相等。 知识点七、等腰三角形与等边三角形对比 比较项 等腰三角形 等边三角形 定义 有两边相等的三角形 三边都相等的三角形 角的特征 两个底角相等 三个内角都等于60° 对称轴条数 1条（顶角平分线所在直线） 3条 相互关系 等边三角形是特殊的等腰三角形 — ✺题型精讲 题型1.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分腰长为、腰长为两种情况讨论，结合三角形三边关系排除不成立的情况后计算周长． 【详解】解：等腰三角形的两边长分别为和， 分两种情况讨论： ①当腰长为时，三边长为，，， ， 不能构成三角形； ②当腰长为时，三边长为，，， ， 能构成三角形，周长为． 2．一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 【答案】 或 【分析】题目中给出的边长可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需要分两种情况计算，再根据三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况进行计算： 情况1：当为腰长时，底边长为 ， 此时三角形三边长为 ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为， ； 情况2：当为底边长时，腰长为， 此时三角形三边长为，， ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为 ； 综上，该等腰三角形的其他两边长为或． 3．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 【答案】证明：连接， 点为的中点， ， 与以，为底时高相同， ， ，， ，， ， 又， ， 是等腰三角形． 【分析】连接，利用面积法证明，则求证可得． 【详解】略 题型2.作等腰三角形(尺规作图) 1．利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 2．已知线段a，b，求作，使，． 【答案】 解：如图，为所作． 【分析】本题考查了作三角形．先作线段，然后分别以B、C两点为圆心，a为半径画弧，两弧相交于点A，再连接、，则满足条件． 【详解】略 3．已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 【答案】 即为所求． 【分析】根据基本作图的基本要求，规范作图即可． 本题考查了线段的基本作图，熟练掌握基本作图的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ， 1.作射线； 2.在射线上依次截取； 3.分别以A，B为圆心，以长为半径画弧，二弧交于点C， 4.连接, 则即为所求． 题型3.等边对等角 1．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 【答案】D 【分析】分两种情况：顶角为和底角为，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当顶角为时，则底角为，即另外两个角为和， 当底角为时，则顶角为，即另外两个角为和 ， 综上所述，另外两个角为和 或和． 2．填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 【答案】 /50度 /80度 /55度 【分析】根据等边对等角进行求解即可. 【详解】解：（1）另一个底角的度数也为，顶角度数为； （2）一个底角的度数为. 3．如图，点在上，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，根据等边对等角得出，即可得出． 【详解】证明：略 题型4.等边三角形的性质 1．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等边三角形“三线合一”的性质求出的度数，再利用等腰三角形及三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中线， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的度数为． 2．在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，可得平分，即可计算出的度数． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ， ∴平分， ． 3．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在与中， ， ∴； (2)证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，进而得到，根据即可证明； （2）根据等边三角形的性质得到，进而根据三线合一得到，根据全等三角形的性质得到，进而得到，即可证明． 【详解】（1）略； （2） 略． 题型5.三线合一 1．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由三角形中线的性质得出，从而可得，由等腰三角形的性质可得，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴． 2．如图，等腰的底边长为4，是边的中点，点M在线段的垂直平分线上，若周长的最小值为10，则的面积是________． 【答案】16 【分析】连接，先得出，，再得出周长的最小值为，进而求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等腰的底边长为4，是边的中点， ∴，， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∴周长的最小值为， 又∵周长的最小值为10， ∴， ∴， ∴的面积是． 3．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 【答案】正好处于水平位置，理由如下： ∵在三角测平架中，，D是的中点， ∴（三线合一）， 又∵自然下垂，即与水平线垂直， ∴处于水平位置． 【分析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可． 【详解】解：略 题型6.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，中线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．延长交于，如图，先证明得到，则利用等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式得到，，所以． 【详解】解：延长交于，如图， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：C． 2．如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理．利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有个． 故答案为： 3．如图，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】根据平行线的性质得出，进而得出，根据等角对等边即可得出． 【详解】略 题型7.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵和的平分线分别交于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 2．在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = =． 3．如图，在中，已知．求证：． 【答案】 证明： 在中，三角形内角和为，，， ， ， ． 【分析】根据三角形内角和可得出，再根据等角对等边即可得解． 【详解】略． 题型8.根据等角对等边求边长 1．在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用“等角对等边”即可直接求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴由等角对等边可得， 又∵， ∴． 2．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 【答案】5 【分析】首先根据角平分线的定义可知，根据平行线的性质可知，从而可知，根据等角对等边可证，同理可证，再根据线段的和与差求出的长度． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【答案】14 【分析】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质、角平分线的性质推知， 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； 同理，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 题型9.格点图中画等腰三角形 1．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①为腰；②为底边． 【详解】解：如图，①是腰时，红色的4个点可以作为点C，②是底边时，黑色的2个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是． 故选：A． 2．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 【答案】8 【详解】解：根据等腰三角形的定义分三种情况讨论： ①当点A为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ②当点B为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点； ③当点C为顶角顶点时，如图，符合条件的点为点，，，，，； 综上所述，点C的个数是8． 3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 【答案】 取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及用轴对称，两点之间线段最短． （1）利用等腰直角三角形的性质，即可求出的度数； （2）取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 【详解】（1）解：∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； （2）解：如图所示，点和即为所求， 方法：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称； 连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求， 故答案为：取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与直线所在的格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；同理，取格点，使，连接交直线于点，连接并延长与格线相交于点，由此得点与点关于直线对称；连接与分别相交于点和，利用轴对称性，可得的周长取得最小值为的长，即点和即为所求． 题型10.找出图中的等腰三角形 1．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长，所以应分开来讨论． 【详解】解：当为腰长时，存在个角等腰三角形； 如图 同理当为底边时，有个． 如图 所以题中共有个点使其为等腰三角形． 故选：C． 【点睛】此题考查等腰三角形的判定，关键是直线可为等腰三角形的底边，也可为腰长解答． 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形的判定，三角形的外角定理，三角形的内角和定理． 利用三角形的外角定理和三角形的内角和定理求出图中其他角的度数，根据“等角对等边”即可判定等腰三角形． 【详解】∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． ∵， ∴， ∴，是等腰三角形． 综上所述：图中等腰三角形有6个． 故答案为：6 3．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 【答案】(1)图中共有5个等腰三角形 (2)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【分析】（1）根据得到是等腰三角形，根据平行线的性质得出，因此是等腰三角形．根据角平分线的定义得出，因此是等腰三角形．根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，因此，都是等腰三角形，即可解答； （2）根据平行线的性质结合角平分线的定义得出，，得出，，因此根据线段的和差得到． 【详解】（1）解：∵， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，即是等腰三角形． ∵， ∴，， ∴，， ∴，，即，都是等腰三角形． 综上所述，图中共有5个等腰三角形． （3） 略 题型11.等腰三角形的性质和判定 1．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】利用等腰三角形性质和直角三角形两锐角互余的性质，通过计算三角形内角度数判断三角形形状． 【详解】解：在等腰，，是腰上的高，即， 由题意得，一腰上的高与底边夹角， ， ， 在中，， 又， ， ， 因此该三角形是有一个直角的等腰三角形，即等腰直角三角形． 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 【答案】 【分析】根据作图可得，是的垂直平分线，得到，再通过线段等量代换将的周长转化为，进而求出三角形周长． 【详解】解：由作图可知，， ， ， 由作图可知，直线是的垂直平分线， 点在直线上， ， ， 将代入得，， ，， ． 3．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明：是的外角， ， ，，， ， ， 是等腰三角形． (2)证明：由（1）得， ， ． 【分析】（1）根据三角形外角的性质可得，再由，可证明，得到，则是等腰三角形 （2）由三线合一定理即可证明． 【详解】（1）略 （2） 略 题型12.等边三角形的判定 1．在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定．根据等边三角形的定义和判定定理，逐一分析各结论的正确性． 【详解】解：①，由等边三角形定义可知为等边三角形，正确； ② ，只能推出为等腰三角形，但无法保证三边相等或三角均为，错误； ③ 有两个角都是，则第三个角为，三角均为，为等边三角形，正确； ④ 一个角为的等腰三角形，则其余两角也均为，为等边三角形，正确； 综上分析可知：正确的结论有①、③、④，共3个． 故选：C． 2．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 【答案】或 或 或或 【分析】根据等边三角形的判定，解答即可； 【详解】解：根据三边相等的三角形是等边三角形，可以填或； 根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，也可以填或或． 3．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，首先由得到，然后等量代换得到，推出，然后结合即可证明是等边三角形． 【详解】略 题型13.等边三角形的判定和性质 1．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、，根据等边三角形的性质得到，求出，，的度数，证，得到，进一步得到等边，推出，根据全等三角形的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：在下方取一点，使得三角形为等边三角形，连接、， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ． 2．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________． 【答案】 【分析】通过轴对称的性质，分别作点关于、的对称点，将转化为两点之间的线段，结合已知最小值与的长度，利用等边三角形的判定与性质求出的度数． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接、、，交于，交于，此时取得最小值． ∵点关于、的对称点为、， ∴，，，，． ∵的最小值为， ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． ∴． 3．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明：∵、都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴，， ∵分别是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【分析】（1）首先结合等边三角形的性质证明，进一步可得，然后利用“”证明即可； （2）首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 2．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两边相等的性质分三种情况讨论，结合三角形三边关系验证后计算周长． 【详解】解：分三种情况讨论： ① 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ② 当时， 解得， 此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； ③ 当时， 解得，此时三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系， ∴周长为； 综上所述，这个等腰三角形的周长是5或或14． 3．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接，根据等角对等边得出，再根据线段垂直平分线的性质得出，从而求得的长． 【详解】解：连接，如图 ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， 即点A，E之间的距离为4． 4．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 【答案】D 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明 是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解： ，即 是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是 的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若 平分 ，只能得到 ，无法推出 的内角为 或三边相等，故 D 符合题意． 5．如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等边对等角即可证明①正确；根据等腰三角形三线合一即可证明②正确；证明，即可证明③④正确． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵， ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴； 故②正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴；． 故③④正确； 综上可知，正确的是①②③④． 二、填空题 6．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查等边三角形的判定，解题的关键是掌握等边三角形的定义及等边三角形与等腰三角形的关系．根据等边三角形的判定定理填空即可． 【详解】解：有一个角是的等腰三角形是等边三角形， 若，则为等边三角形． 故答案为：（答案不唯一）． 7．如图，已知是等边三角形，，垂足为点，点在边上，，那么的度数是____________度． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，再根据“三线合一”的性质求出的度数，根据，结合等边对等角和三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ， ， 平分， ， ， ， ， ． 8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9．如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且，点在直线的上方），其中，．当两个三角形中与某条边互相平行时，的度数为_____． 【答案】或 【分析】由等边三角形的性质可得，再分两种情况：当时，当时，分别求解即可得出结果． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， 当时，如图1， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当时，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 三、解答题 10．如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，即为所求； 【分析】先作出的平分线，则点在的平分线上，然后根据等腰三角形的定义和垂直平分线的判定画垂直平分线即可作图． 【详解】略 11．如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形； (2) 【分析】（1）可证得是等边三角形，由，得到，，即可证得是等边三角形； （2）由等边三角形、线段垂直平分线、等腰三角形的性质可求得，由即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ，， ， ， 是等腰三角形； (2) 【分析】（1）证明，得到即可证明结论； （2）求出，根据和三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作交于点，通过证明得到，再利用等腰三角形三线合一得到，从而求得的长； （2）利用等腰三角形等边对等角以及第一问得到的角度关系，结合三角形内角和为计算出的度数． 【详解】（1）解：如图所示，过点作交于点． ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ． ，， ． （2）解：设的度数为， ， ， 又， ． ，， 为等腰直角三角形， ． 在中，根据三角形内角和为， ， 即， 解得， ． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积为的直角三角形； (2)在图②中，是面积为等腰三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】(1) 如图所示： (2) 如图所示： (3) 如图所示： 【分析】（1）作矩形的对角线，如图所示，即可得到面积为的直角； （2）作两个矩形的对角线，如图所示，即可得到面积为的等腰； （3）作矩形的对角线和矩形的对角线，如图所示，即可得到面积最大的等腰直角． 【详解】（1）解：， 则是面积为，且是直角三角形， 即为所求； （2）解：，边上的高是， 则是面积为，且是等腰三角形， 即为所求； （3）解：， ，， 在中，，则， ， 即为所求． 【点睛】本题考查在网格中用无刻度的直尺作图，涉及三角形面积公式、矩形性质、直角三角形定义、等腰三角形定义、全等三角形性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06等腰三角形性质定理、判定定理同步培优讲义 ✺知识框架 1.等腰三角形概念：等腰三角形是两边相等的三角形，其腰、底边、顶角、底角是后续推理的基本元素 2.等腰三角形性质：由“边相等”推出“角相等”——等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合（三线合一）；等边三角形的各个内角都等于60°。 3.等腰三角形的判定：由“角相等”推出“边相等”——有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三个角都相等的三角形是等边三角形，有一个角是60°的等腰三角形也是等边三角形。 ✅本节知识围绕“等腰三角形”这一特殊三角形展开。学习时把握三点：其一，分清等腰三角形的腰、底边、顶角、底角等基本元素，明确等腰三角形是轴对称图形；其二，牢记两条性质定理与一条判定定理——等边对等角、三线合一、等角对等边，并掌握等边三角形的性质与判定；其三，会用分类讨论（已知一角求角、已知两边求周长）与转化（证线段相等转化为证角相等）等思想方法解决问题。本节是后续学习直角三角形、勾股定理等内容的重要基础，务必熟练掌握。 ✺学习目标 1.理解等腰三角形及腰、底边、顶角、底角等概念，知道它是轴对称图形，能指出其对称轴。 2.掌握性质定理1：等边对等角，能进行角的计算与说理。 3.掌握性质定理2：三线合一，能证明线段相等、线段垂直与角平分。 4.掌握判定定理：等角对等边，能判定一个三角形是等腰三角形。 5.理解等边三角形的性质与判定：三个内角都等于60°；三个角都相等的三角形或有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 6.能综合运用性质、判定与全等知识进行较复杂的推理与计算。 7.掌握分类讨论：已知一角求角时按顶角、底角分类，已知两边求周长时按腰、底边分类，并用内角和定理与三边关系检验结果。 8.体会转化思想：证线段相等与证角相等可相互转化，能从“角平分线＋平行线”等基本图形中识别等腰三角形。 ✺题型归纳 题型1.等腰三角形的定义 题型2.作等腰三角形(尺规作图) 题型3.等边对等角 题型4.等边三角形的性质 题型5.三线合一 题型6.根据等角对等边证明等腰三角形 题型7.根据等角对等边证明边相等 题型8.根据等角对等边求边长 题型9.格点图中画等腰三角形 题型10.找出图中的等腰三角形 题型11.等腰三角形的性质和判定 题型12.等边三角形的判定 题型13.等边三角形的判定和性质 题型14.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、等腰三角形的有关概念 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形（也称正三角形）。等边三角形是特殊的等腰三角形。 对称性：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴（由对称性可知，这条直线同时是底边上的中线、底边上的高所在直线）。等边三角形有3条对称轴。 知识点二、等腰三角形的性质定理1（等边对等角） 文字语言：等腰三角形的两个底角相等。 符号语言可表示为：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等腰三角形的两个底角相等，即等边对等角）。 注意：（1）“等边对等角”成立的前提是“在同一个三角形中”；（2）该定理指明由“边相等”可以推出“角相等”。 知识点三、等腰三角形的性质定理2（三线合一） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”。 符号语言：在△ABC中，AB＝AC，AD是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三者中的一种时，必有其余两种成立： （1）∵AB＝AC，AD平分∠BAC（已知），∴BD＝DC，AD⊥BC； （2）∵AB＝AC，AD是BC边上的中线（已知），∴AD⊥BC，AD平分∠BAC； （3）∵AB＝AC，AD⊥BC（已知），∴BD＝DC，AD平分∠BAC。 注意：“三线合一”中的“三线”专指顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高；腰上的中线、腰上的高与顶角平分线不满足这一性质。运用三线合一时，“等腰三角形”是已知前提，不可漏写。 知识点四、等边三角形的性质 等边三角形的各个内角都相等，都等于60°。 说明：等边三角形三边都相等，任取两边都是等腰三角形，由性质定理1可知三个内角两两相等；再结合三角形内角和为180°，可得每个内角等于60°。 知识点五、等腰三角形的判定定理（等角对等边） 文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 符号语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC（等角对等边）。 注意：（1）判定定理与性质定理1互为逆定理，可以概括为“已知等腰用性质，要得等腰用判定”；（2）判定定理的证明可作顶角的平分线或底边上的高，利用AAS证明两个三角形全等；一般不作底边上的中线，否则难以直接证明全等。 知识点六、等边三角形的判定 定义法：三边都相等的三角形是等边三角形 判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形； 判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 说明：由三角形内角和为180°，三个角都相等时每个角都是60°，再结合“等角对等边”可得三边相等；等腰三角形中有一个角是60°时，无论该角是顶角还是底角，其余两个角也都等于60°，故三边相等。 知识点七、等腰三角形与等边三角形对比 比较项 等腰三角形 等边三角形 定义 有两边相等的三角形 三边都相等的三角形 角的特征 两个底角相等 三个内角都等于60° 对称轴条数 1条（顶角平分线所在直线） 3条 相互关系 等边三角形是特殊的等腰三角形 — ✺题型精讲 题型1.等腰三角形的定义 1．等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 2．一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 3．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形． 题型2.作等腰三角形(尺规作图) 1．利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 2．已知线段a，b，求作，使，． 3．已知线段a，求作等腰三角形，使三边分别为a、、． 题型3.等边对等角 1．等腰三角形的一个角为，则它的另外两个角为（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 或和 2．填空： （1）如果等腰三角形的一个底角为，那么其余两个角的度数分别为______和______； （2）如果等腰三角形的顶角为，那么它的一个底角的度数为______． 3．如图，点在上，，．求证：． 题型4.等边三角形的性质 1．如图，是等边的一条中线，且，则的度数为（） A． B． C． D． 2．在等边中，若过点作，垂足为点，则________． 3．如图，已知：与都是等边三角形，点B、C、D在一直线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型5.三线合一 1．如图，在中，，是边上的中线，是的角平分线，若，，则的长度为（     ）    A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，等腰的底边长为4，是边的中点，点M在线段的垂直平分线上，若周长的最小值为10，则的面积是________． 3．在如图所示的三角测平架中，，在边的中点D处挂一个重锤，自然下垂．调整架身，使点A恰好在重锤线上．试问：此时是否正好处于水平位置？为什么？ 题型6.根据等角对等边证明等腰三角形 1．如图，的面积为，平分，，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，，点在上，且，则图中的等腰三角形有______个． 3．如图，，．求证：． 题型7.根据等角对等边证明边相等 1．如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 2．在中，，和的平分线分别交于点、，若，，求______． 3．如图，在中，已知．求证：． 题型8.根据等角对等边求边长 1．在中，，，则的长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，，分别平分，交于点，过点作交于点，交于点．若，，则等于_______． 3．如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 题型9.格点图中画等腰三角形 1．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图是的正方形网格，已知A，B是两格点，在网格中找一点C，使得为等腰直角三角形，则这样的点C有（   ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 2．如图，在的正方形网格中，A，B两点都是网格的格点，若是等腰三角形，且点C也是该网格的格点，则点C的个数是_______． 3．如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，分别为格点，点为格线上一定点，点和分别为和上的动点． （1）_____ （2）请利用无刻度直尺，在如图所示的网格中，画出点和的位置，满足的周长取得最小值，并简要说明画法不要求证明______． 题型10.找出图中的等腰三角形 1．如图，已知线段的端点在直线上（与不垂直）请在直线上另找一点，使是等腰三角形，这样的点能找（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，，，则图中的等腰三角形有 ___________个． 3．在中，，平分，平分，过O点作，使． (1)图中共有几个等腰三角形？ (2)线段与线段，之间有什么数量关系？你能说明理由吗？ 题型11.等腰三角形的性质和判定 1．等腰三角形一腰上的高与底边夹角为，则这个三角形是（     ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，若，，则的周长为___________． 3．如图，在中，点D、C在上，连接、，，，过点F作于E． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：． 题型12.等边三角形的判定 1．在中，①若，则为等边三角形；②若，则为等边三角形；③有两个角都是的三角形是等边三角形；④一个角为的等腰三角形是等边三角形．上述结论中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列关系图中，①处可以填的条件是_______． 3．如图，在中，．点是边延长线上一点，，且．求证：是等边三角形． 题型13.等边三角形的判定和性质 1．如图所示，在中，，，在内，，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，点是内任意一点，，点和点分别是射线和射线上的动点，若的最小值是，则的度数是_________． 3．如图，已知：、都是等边三角形，连接分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求证：是等边三角形． ✺课堂小练 一、单选题 1．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 2．已知等腰三角形的三边长分别为，，，则这个等腰三角形的周长是（     ） A．5 B．5或 C．或14 D．5或或14 3．如图，在中，点是内一点，连接，，垂直平分，若，，则点，之间的距离为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定成为等边三角形的是（     ） A． B． C． D．平分 5．如图，已知是的角平分线，点是上一点，且，连接，与交于点，连接．则下列结论正确的是（     ） ①；②；③；④． A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④ 二、填空题 6．小曹同学复习时将几种三角形的关系整理如图，请帮他在横线上__________填上一个适当的条件． 7．如图，已知是等边三角形，，垂足为点，点在边上，，那么的度数是____________度． 8．如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 9．如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且，点在直线的上方），其中，．当两个三角形中与某条边互相平行时，的度数为_____． 三、解答题 10．如图，已知，点在边上，请利用尺规作图法在内部求作一点，使得，且是等腰三角形．（作出一个即可，保留作图痕迹，不写作法） 11．如图，在中，，，点是外一点，连接、，，过点作分别交、于点、． (1)求证：是等边三角形； (2)连接交于点，若，，求的长． 12．如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)如果，求的度数． 13．如图，中，，点在上，点在上，，． (1)若，求的长． (2)的度数为______． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，其中每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． (1)在图①中，是面积为的直角三角形； (2)在图②中，是面积为等腰三角形； (3)在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $