28.2 相似三角形的性质（3）分类练习 2026--2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册

本讲义聚焦相似三角形的性质这一核心知识点，系统梳理对应角相等，对应边、高、中线、角平分线的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比平方的递进关系，构建从基础性质到应用的知识支架。 该资料通过“线段周长比=原比，面积比=平方比”等口诀强化记忆，分类归纳基础求值、周长计算、面积必考及综合题型，结合飞虹塔测量等实际应用培养数学眼光，解题技巧与易错点提示助力学生形成条理化数学思维，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺。

沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2（3） 相似三角形的性质 学习目标 知识详解 【知识点01】 对应角性质 相似三角形对应角全部相等。 【知识点02】对应线段性质 对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比=相似比k 【知识点03】周长性质 相似三角形的周长之比 = 相似比 k 【知识点04】面积性质（重中之重） 相似三角形的面积之比 = 相似比的平方 k² 口诀：线段周长比=原比，面积比=平方比 常考题型归纳 1. 基础边长、高线、中线求值题型 已知相似比，直接求对应高、对应边、对应中线长度，属于送分基础题。 2. 周长比例计算题型 利用周长比等于相似比，已知一个三角形周长，求另一个三角形周长。 3. 面积比例必考题型（考试最多、最易错） 利用「面积比是相似比平方」求解面积、求相似比、求图形阴影面积。 4. 相似性质+判定综合题 先证三角形相似，再用相似性质求边长、高、面积，是期末、月考大题必考题型。 万能解题技巧 1. 做题第一步：先找相似比 题目只要出现相似，优先算出 相似比k，所有问题都围绕k展开。 2. 分清“一维”和“二维” 边长、高、中线、角平分线、周长 → 用k 面积 → 永远用 k² 3. 求相似比万能逆向法 已知边长/周长比 → 相似比 = 比值 已知面积比 → 先开平方，才是相似比 4. 图形面积题固定套路 证相似→写相似比→平方得面积比→列比例式求面积 高频易错点 1. 最常错：面积比直接等于相似比（必须平方！） 2. 对应边找反、相似比前后写反，导致答案倒数出错 3. 不区分“单个三角形面积”和“图形差值面积” 4. 高线、中线不找对应线段，乱套比例 极简考场口诀 边角周长同比率， 面积一定要平方， 已知面积先开方， 所有对应不乱章。 题型精讲 【题型1 相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比】 【例1-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【例1-2】已知∽，点分别与点对应，分别是，的角平分线，且，，则 【例1-3】．已知∽，点分别与点对应,且， ，边上的中线为，则边上的中线为 ． 【变式1-1】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、 B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长． 似比． 【变式1-2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，, 的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长． 【变式1-3】求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【变式1-4】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【变式1-5】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【变式1-6】如图，和中，AD和BE是的高，和是的高， 且，． 求证： 【变式1-7】如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上， AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．A B C E F G D H P 【变式1-8】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加 工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）． A B C D E F A B C D E F G H 【题型2 相似三角形的对应周长比等于相似比】 【例2-1】相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【例2-2】如图，在中，，分别是边，的中点，若的周长为8，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例2-3】已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【例2-4】如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【变式2-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为 厘米． 【变式2-2】如图，在中，，，，AD是BC边上的高．将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． A B C D E F 【变式2-3】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． 【变式2-4】如图，∽,点分别与点对应。设与的相似比为；求证： 【题型相似三角形的面积的比等于相似比的平方．】． 【例3-1】如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】．如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【变式3-2】．如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，把一张三角形纸片沿中位线剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置，则__________． 【变式3-4】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积． A B C D E F 【变式3-5】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【变式3-6】．如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DE． 求的值．A B C D E F K G H 【变式3-7】．梯形ABCD的面积为S，AB//CD，AB = b，CD = a（a < b），对角线AC、BD 相交于点O，的面积为，求a:b的值． 【变式3-8】．如图，，于点F，，，且CE = 5， 求：（1）BC的长；（2）． A B C D E F 【相似三角形的性质应用题】 【例4-1】黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【例4-2】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【例4-3】在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【变式4-1】．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【作业1】 【变式4-2】如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 强化训练 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 2．若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 4.∽且，，DE边上的中线长为10，则AB边上的中 线长为 ． 5.已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 3 周长的比 面积的比 100 0.01 6.两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形 的面积为 ． 7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米．A B C D O 8.如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 9.如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点．    (1)求边上高的值； (2)如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，当与相似时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $ 沪教版五四制2026学年九年级上册 28.2（3） 相似三角形的性质 学习目标 知识详解 【知识点01】 对应角性质 相似三角形对应角全部相等。 【知识点02】对应线段性质 对应边、对应高、对应中线、对应角平分线的比=相似比k 【知识点03】周长性质 相似三角形的周长之比 = 相似比 k 【知识点04】面积性质（重中之重） 相似三角形的面积之比 = 相似比的平方 k² 口诀：线段周长比=原比，面积比=平方比 常考题型归纳 1. 基础边长、高线、中线求值题型 已知相似比，直接求对应高、对应边、对应中线长度，属于送分基础题。 2. 周长比例计算题型 利用周长比等于相似比，已知一个三角形周长，求另一个三角形周长。 3. 面积比例必考题型（考试最多、最易错） 利用「面积比是相似比平方」求解面积、求相似比、求图形阴影面积。 4. 相似性质+判定综合题 先证三角形相似，再用相似性质求边长、高、面积，是期末、月考大题必考题型。 万能解题技巧 1. 做题第一步：先找相似比 题目只要出现相似，优先算出 相似比k，所有问题都围绕k展开。 2. 分清“一维”和“二维” 边长、高、中线、角平分线、周长 → 用k 面积 → 永远用 k² 3. 求相似比万能逆向法 已知边长/周长比 → 相似比 = 比值 已知面积比 → 先开平方，才是相似比 4. 图形面积题固定套路 证相似→写相似比→平方得面积比→列比例式求面积 高频易错点 1. 最常错：面积比直接等于相似比（必须平方！） 2. 对应边找反、相似比前后写反，导致答案倒数出错 3. 不区分“单个三角形面积”和“图形差值面积” 4. 高线、中线不找对应线段，乱套比例 极简考场口诀 边角周长同比率， 面积一定要平方， 已知面积先开方， 所有对应不乱章。 题型精讲 【题型1 相似三角形的对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比】 【例1-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，根据相似三角形对应线段的比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是． 故答案为：． 【例1-2】已知∽，点分别与点对应，分别是，的角平分线，且，，则 6； 【例1-3】．已知∽，点分别与点对应,且， ，边上的中线为，则边上的中线为 5； ． 【变式1-1】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，BE、 B1E1分别是它们的对应中线，且．求B1E1的长． 【难度】★ 【答案】4． 【解析】解：，、分别是对应中线， 即， 【总结】本题考查相似三角形对应中线的比等于相似比． 【变式1-2】已知∽，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，，, 的平分线A1D1的长为6，求的平分线的长． 【难度】★ 【答案】8． 【解析】解：，、分别是、的平分线， 即，即的平分线的长为8． 【总结】本题考查相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【变式1-3】求证：相似三角形对应高的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、的高． 求证：． 证明：，，； 又、分别是、的高， ，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 【变式1-4】求证：相似三角形对应中线的比等于相似比． 【难度】★★ 【答案】略 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是边、的 中线． 求证：． 证明：， ，； 又、分别是边、的中线，，， ，，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的运用． 【变式1-5】求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．A B C D E A1 E1 D1 C1 B1 【难度】★★ 【答案】略 【解析】已知：如图，，且相似比为，、分别是、 的角平分线． 求证：． 证明：， ，，； 又、分别是、的角平分线， ，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质． 【变式1-6】如图，和中，AD和BE是的高，和是的高， 且，． 求证： 【难度】★★ 【答案】略 【解析】 证明：，又，， ，又，， 又、分别是、的高，，． 【总结】本题考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 【变式1-7】如图，矩形DEFG的边EF在的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上， AH为BC边上的高，AH交DG于点P，已知，，设DG的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析式及其定义域．A B C E F G D H P 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】解：矩形，， ，又是高，， ,, ，， ，又，，， ，． 【总结】本题考查三角形一边的平行线定理，矩形的面积等知识． 【变式1-8】一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5m，面积为1.5m2，现需把它加 工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学设计加工方案，甲设计方案如图（1），乙设计方案如图（2）．你认为哪位同学设计的方案较好？请说明理由（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）． 【难度】★★★ 【答案】甲同学方案好，理由略． A B C D E F A B C D E F G H 【解析】解：,又， 在中，． 1 按甲的设计：设，正方形，， ,，，， ，； ②按乙的设计：过点作交于点，得，, 设，则，正方形，， ，， ，，， ，； 综上，甲设计方案好． 【总结】本题考查了三角形一边的平行线，正方形的面积等知识，本题考查了最优化问题． 【题型2 相似三角形的对应周长比等于相似比】 【例2-1】相似三角形的对应高之比为，那么对应周长之比为_____． 【答案】 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应高的比为， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴ 相似三角形的对应周长之比为． 【例2-2】如图，在中，，分别是边，的中点，若的周长为8，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【详解】解：∵ 分别是边 的中点 ， ∴是的中位线， ∴，且， ∴, ∴ ， ∴ ∵的周长为：8 ∴的周长为： 【例2-3】已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． 【例2-4】如果两个相似三角形的周长分别是、，那么这两个三角形对应角平分线的比是（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查想点三角形的性质，掌握相似三角形的周长的比、对应中线的比、高线的比、角平分线的比都等于相似比解题即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的周长比、对应角平分线的比都等于相似比， ∴这两个三角形对应角平分线的比是， 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）如果两个相似三角形的对应高的比为，且它们的周长差为15厘米，则周长较小的三角形的周长为 厘米． 【答案】30 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形性质．根据相似三角形的周长比等于相似比解题． 【详解】解：∵两个相似三角形的对应高的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴设较大三角形的周长是，较小三角形的周长是，则， 解得， 那么较小三角形的周长是（厘米）， 故答案为：30． 【变式2-2】如图，在中，，，，AD是BC边上的高．将沿EF折叠，使点A与点D重合，则的周长为 ． 【难度】★★A B C D E F 【答案】． 【解析】由折叠得垂直平分，是上的高， ，，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的性质和判定． 【变式2-3】如图，梯形ABCD的周长为16厘米，上底厘米，下底厘米，分别延长AD和BC交于点P，求的周长． 答案： 【变式2-4】如图，∽,点分别与点对应。设与的相似比为；求证： 参考答案：∵∽ ∴ ∴（等比性质） 【题型相似三角形的面积的比等于相似比的平方．】． 【例3-1】如图，在中，点D，E分别在，上，且，，，则和面积的比值为（     ） A． B． C． D． 【详解】解：， ， ． 【变式3-1】．如图，在中，点D，E分别为，上的点，若，，则________． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【变式3-2】．如图，中，点D，E分别是，的中点，，分别表示，的面积，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明即可解答． 【详解】解：点D，E分别是，的中点， ，， ， ． 【变式3-3】如图，把一张三角形纸片沿中位线剪开后，在平面上将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置，则__________． 【详解】解：将绕着点E顺时针旋转，点D到了点F的位置， ， ， ， 是三角形的中位线 ，， ， 相似比为， ， ． 【变式3-4】如图，在中，，，D、E分别为垂足．若，，求四边形DEAB的面积． A B C D E F 【答案】3． 【解析】解：，． ，，． ，，， ，，又， ，，，， ，． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识． 【变式3-5】如图，中，点D是BC延长线上一点，直线EF//BD交AB于点E， 交AC于点G，交AD于点F，若，求的值． A B C D E F G 【答案】． 【解析】解：，，， ，， ，，，， 是中线，,． 【变式3-6】．如图，BE、CD是的边AC、AB上的中线，且相交于点F，联结DE． 求的值．A B C D E F 【难度】★★ 【答案】． 【解析】分别过点A、F作、， 交BC分别于点H、G，得，．K G H 联结AF并延长交BC于点K． 、是的中线，，， 是重心，，． ， ，． 【总结】本题考查三角形一边的平行线，重心的意义，三角形中位线及三角形的面积等． 【变式3-7】．梯形ABCD的面积为S，AB//CD，AB = b，CD = a（a < b），对角线AC、BD 相交于点O，的面积为，求a:b的值． 【难度】★★ 【答案】略． 【解析】解：如图，设的面积为， 的面积为，， ，， ，， 得......① ，......② 联立①②，， 解得：，， ，， ， ， ， ． 【总结】本题考查了梯形的对角线分割成的四个三角形的面积关系． 【变式3-8】．如图，，于点F，，，且CE = 5， 求：（1）BC的长；（2）． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）15．A B C D E F 【解析】解：（1），， ，，， ，，， 又，，，． ，，； （2） ，，，， 又，． 【总结】本题考查相似三角形的性质及判定，直角三角形的性质等知识． 【相似三角形的性质应用题】 【例4-1】黑神话：悟空正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象黑神话：悟空游戏中选取的处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测 量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤：把长为米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，测得米； 步骤：将标杆沿着的方向平移到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，测得米，米；以上数据均为近似值 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明，得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ． ，，， ． ， ， ． ，，， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为米． 【例4-2】阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物，这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是____________． 【答案】36 【分析】首先根据题意证明，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度． 【详解】解：由图可知，，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得． 【例4-3】在矩形中，，，点是线段上的一动点（不与点、重合），过点作，交射线于点，连接． (1)如图1，当点与点重合时，求的长； (2)当直线与直线交于点时，设，； 如图2，点在线段的延长线上，求关于的函数关系式，并写出定义域； 如果与相似，求的长． 【答案】(1)； (2)；的值为或. 【知识点】相似三角形——动点问题、根据矩形的性质求线段长 【分析】()证明，利用相似三角形的性质求解； ()证明，可得，推出，由，推出，由此构建关系式，可得结论； 分两种情形：当点在线段的延长线上；当点在线段的延长线上，分别求解即可． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵，且点不可能在线段上， ∴与相似有两种可能: 当点在线段的延长线上 (如图中) ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 当点在线段的延长线上 (如图中)， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上所述，的值为或. 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式4-1】．学习了相似三角形知识后，小丽同学准备用自制的直角三角形纸板测量校园内一棵古树的高度．已知三角形纸板的斜边长为0.5米，较短的直角边长为0.3米．    (1)小丽先调整自己的位置至点P，将直角三角形纸板的三个顶点位置记为A、B、C（如图①），斜边平行于地面（点M、P、E、N在一直线上），且点D在边（较长直角边）的延长线上，此时测得边距离地面的高度为1.5米，小丽与古树的距离为16米，求古树的高度； (2)为了尝试不同的思路，小丽又向前移动自己的位置至点Q，将直角三角形纸板的三个顶点的新位置记为（如图②），使直角边（较短直角边）平行于地面（点M、Q、E、N在一直线上），点D在斜边的延长线上，且测得此时边距离地面的高度依然是1.5米，那么小丽向前移动了多少米？ 【答案】(1)古树的高度为13.5米 (2)小丽向前移动了7米 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用和勾股定理的应用： （1）先在中，由勾股定理求得，再利用和相似求得的长，加上，即可求得树高； （2）利用和相似求得的长，即可求得小丽向前移动了多少米． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在中， ∵， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：古树的高度DE为13.5米； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：小丽向前移动了7米． 【作业1】 【变式4-2】如图，RtABC中，，，，P是AB边上的一个动点． (1)当时，求AP的长； (2)当CP平分∠ACB时，求点P到BC的距离； (3)过点P作，PQ交边CB于Q，设，，求y关于x的函数关系式并写出定义域． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】相似三角形——动点问题、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、角平分线的性质定理 【分析】（1）由勾股定理求，作，等积法求，由勾股定理求，三线合一求即可． （2）作，，由角平分线性质得，由求，再求即可； （3）由得，即可求y关于x的函数关系式，由的长度确定定义域即可． 【详解】（1）解： 如图： 中，，，， ． 作， 即， 在中 ； 故答案为：； （2）解：如图 过点作，，垂足分别为、， 平分， ， ， ， ，即，解得． 故答案为：； （3）解： 如图，过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等采三角形三线各一，勾股定理及相似三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键． 强化训练 1．如果，相似比为，且的面积为，那么的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：，相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为． 2．若，且与的相似比为，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵ ，相似比为 ∴ ． 3．如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 4.∽且，，DE边上的中线长为10，则AB边上的中 线长为 ． 【难度】★ 【答案】5． 【解析】解：， DE边上的中线与AB边上的中线的比等于相似比 相似比为，AB边上的中线长为5． 【总结】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应中线比等于相似比． 5.已知两个三角形相似，根据下列数据填表： 相似比 3 周长的比 面积的比 100 0.01 【难度】★ 【答案】，；，；，；，；，；，；，． 【解析】略． 【总结】相似三角形的周长比等相似比，面积比等于相似比的平方． 6.两个相似三角形的相似比为，且面积的和为130cm2，那么较大的三角形 的面积为 ． 【难度】★ 【答案】． 【解析】略． 【总结】相似三角形的面积比等于相似比的平方． 7.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，= 4平方米，= 9平方米，则 平方米．A B C D O 【难度】★★ 【答案】25． 【解析】解：，, ，． ， ，． 【总结】本题考查相似三角形的面积比等于相似比的平方，同高三角形的面积比等于底边的比． 8.如图，在和中，，．    (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解决本题的关键． （1）先根据得到，再根据即可证明； （2）根据得到，进而得到，根据，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 9.如图，在梯形中，且，，，点是边上一动点，交延长线于点，与相交于点．    (1)求边上高的值； (2)如图（2），设，，求关于的函数关系式，并写出定义域； (3)连接，当与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】函数解析式、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，函数关系式，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）运用勾股定理可得，由即可求解； （2）根据题意，证明，得到，设，则，，解得，即，再证明，得到，整理得，由此即可求解； （3）如图所示，设交于点，可得，分类讨论：当时，，得；当时，，得；由此即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， 解得，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 当点与点重合时， ∵，且， ∴四边形是菱形，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设交于点， ∵，， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（2）可知， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式有意义， ∴； 当时，， ∴， 如图所示，连接并延长交于点， ∵，， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， 由（2）可知， ∴，整理得，， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴； 综上所述，的长为或． 学科网（北京）股份有限公司 $