专题06相似多边形与位似多边形精讲学案 (核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦相似多边形与位似多边形核心知识点，系统梳理相似多边形的定义（对应角相等、对应边成比例）及性质（周长比、面积比与相似比关系），明确位似多边形的特殊定义（相似且对应顶点连线共点、对应边平行）和坐标变化规律，构建从基础概念到应用的学习支架。 本资料通过易错点警示（如多边形相似需双条件）、分层题型设计（12类题型含基础到拔高）和生活情境例题（如照相机位似原理），培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），提升推理能力（数学思维），强化应用意识（数学语言）。课中助力教师高效授课，课后便于学生针对性练习，弥补知识盲点。

专题06相似多边形与位似多边形精讲学案 核心立意 理解相似多边形、位似多边形的定义，掌握相似多边形边角、周长、面积的相关性质；厘清相似与位似的从属关系，掌握位似作图方法、平面直角坐标系中位似的坐标变化规律，能够利用位似对图形进行放大或缩小，渗透图形变换、数形结合思想。 相似多边形定义 边数相同的两个多边形，同时满足：对应角相等、对应边成比例，则两多边形相似；对应边的比值叫做相似比。 ⚠️补充关键：三角形相似有简化判定，边数≥4的多边形相似，两个条件必须同时成立，缺一不可。 相似多边形性质 对应角相等，对应边成比例；周长比=相似比；对应对角线之比=相似比；面积比=相似比的平方。 位似多边形定义 两个多边形相似，且每组对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行（或共线），则为位似多边形；公共交点称为位似中心，相似比又称位似比。 位似多边形性质 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； 对应顶点连线经过位似中心； 对应边平行或共线； 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 原点为位似中心的坐标变化规律 以原点为位似中心，位似比为k，点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；|k|>1图形放大，|k|<1图形缩小。 位似图形作图步骤 ①确定位似中心； ②连接位似中心与原图各顶点并延长； ③按位似比在射线上截取对应顶点； ④顺次连接新顶点，得到位似图形。 ① 判定四边形等多边形相似，仅对应角相等或仅对应边成比例，不能判定相似； ② 易出错：相似多边形面积比直接等于相似比，忘记平方； ③ 位似中心位置不唯一，可在图形内部、外部、边上、顶点处； ④ 原点位似容易漏解，只写(kx,ky)，漏掉异侧情况(-kx,-ky)； ⑤ 作图易错：位似图形对应顶点连线必须交于同一个位似中心； ⑥ 概念逻辑混淆：位似可以推出相似，相似不能推出位似。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★ 题型二 相似多边形的性质 ★★ 题型三 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★ 题型六 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型七 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型八 求位似图形的对应坐标 ★ 题型九 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★ 题型十 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型十一 在坐标系中画位似中心 ★★★ 题型十二 坐标与图形综合 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：相似多边形 解题思路：①确认两个多边形边数相同；②验证全部对应角相等；③验证全部对应边成等比；④两个条件同时成立才是相似多边形。 1．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）． A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边成比例． 根据相似多边形的性质逐一判断即可． 【详解】解： A选项：两个等腰梯形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似，故不符合题意； B选项：两个矩形的对应角均为相等，但对应边的比例不一定相等，不一定相似，故不符合题意； C选项：两个直角三角形仅直角相等，其余两个锐角不一定相等，对应边也不一定成比例，不一定相似，故不符合题意； D选项：等边三角形的边相等，角相等，所以任意两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例，一定相似，故符合题意． 故选：D． 2．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 3．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 题型二：相似多边形的性质 解题思路：①找准对应边、对应角；②利用对应角相等、对应边成比例列式计算；③周长比、对应对角线比等于相似比，面积比等于相似比的平方；④代入数据求解边长、角度、周长或面积。 4．如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的性质，如图，标记点E，F，则长方形长方形，根据对应边成比例列等式即可求解． 【详解】解：如图，标记点E，F，则长方形长方形， ， ， 长方形长方形， ， ， （负值舍去）， ， 故选：B． 5．如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，图形的变化规律，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题的关键． 根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质求出矩形的面积，总结规律，根据规律解答． 【详解】解：矩形的面积， 由勾股定理得：， 则矩形和矩形的相似比为， 矩形矩形， 矩形的面积； 同理，矩形的面积， 矩形的面积， 则的面积为； ∴矩形的面积为． 故答案为：． 6．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定和性质，连接，由矩形矩形可得，，又可证，得到，即得到，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵矩形矩形， ∴，， ∵， ∴， 又∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 题型三：位似图形相关概念辨析 解题思路：①先判断图形是否相似；②再看对应顶点连线是否交于同一点、对应边平行（或共线）；③牢记：位似一定相似，相似不一定位似；对照定义逐一甄别对错。 7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似图形的对应线段的比等于位似比，据此列出比例式计算即可 【详解】解：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 9．日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握位似图形的性质以及相似三角形的判定与性质． 根据位似图形的性质得到，，然后证明，再根据相似三角形性质求解即可． 【详解】解：∵底片上的与实物是位似图形，且位似比为2， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故选：B． 题型四：位似图形的识别 解题思路：①第一步判断两个图形是否相似；②第二步连接各组对应顶点，观察连线是否交于同一个点；③第三步检查对应边是否平行或共线；④三条同时满足即为位似图形。 10．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形，根据对应点的连线是否相交于一点即可判断求解，掌握位似图形的特点是解题的关键． 【详解】解：选项图形对应点的连线相交于一点，是位似图形，选项图形对应点的连线不会相交于一点，不是位似图形， 故选：． 11．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 【答案】A 【分析】本题考查图形变换的位似变换，特别是位似变换在实际场景（电影制作）中的应用． 【详解】首先分析题目中提到的电影制作中通过改变物体大小模拟远近变化这一现象； 然后依次回顾平移变换、对称变换、旋转变换和位似变换的定义和特点． 平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项不符合题意； 对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项不符合题意； 旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项不符合题意； 位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意． 故选A． 12．将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 【答案】C 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似三角形的判定、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据相似三角形的判定、位似三角形的判定分别判断即可． 【详解】解：分别延长相交于点O， 由题意得，， ， 故结论Ⅰ正确，符合题意； ， ， ， ，， ， ∴与是位似三角形， 故结论Ⅱ正确，符合题意． 故选：C． 题型五：判断位似中心 解题思路：①连接两组对应顶点，画出直线；②找到两条直线的交点；③该交点就是位似中心。 13．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换的性质．根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上，即可解答． 【详解】解：如图， ∵位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上， 点Q为位似中心． 故选：D． 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． 15．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 题型六：求两个位似图形的相似比 解题思路：①找出一组对应点；②分别算出两点到位似中心的距离；③用“新图形对应点距离 ÷ 原图形对应点距离”得到位似比（相似比）；注意分清前后顺序。 16．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据位似图形的定义可得，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵与位似，位似中心为O， ∴， ∵与的周长之比是， ∴． 17．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 18．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据位似比得出相邻两个三角形的相似比，进而得出与的相似比，利用面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 与的相似比为，与的相似比为，…，与的相似比为， 与的相似比为， ， ， ， 当时，． 题型七：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路：①选定位似中心；②连接位似中心与原图各个顶点并延长；③按n倍的比例在射线上截取新顶点；④顺次连接新顶点，得到位似图形。 19．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 【答案】C 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 20．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先由可得，再由矩形与矩形位似可得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形与矩形位似， ∴ ∵， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了位似的性质，根据题意得到是解答本题的关键． 21．如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求得、、的坐标，画出图形，根据求线段中点的坐标公式，即可求得． 【详解】解：、、，将向左平移4个单位，得到， 、、， 如图： 以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内， 的坐标为，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了平移和位似作图，熟练掌握和运用平移和位似作图的方法是解决本题的关键． 题型八：求位似图形的对应坐标 解题思路：①确认位似中心与位似比k；②若位似中心在原点，原坐标(x,y)对应点为(kx,ky)或(-kx,-ky)；③若位似中心不是原点，利用两点间缩放关系列式求解坐标。 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为与的位似比为，所以点与点的坐标之比为，又因为点在第三象限，所以点的横、纵坐标为负数． 【详解】解：与的位似比为，点的坐标为， 点的横坐标为，纵坐标为， 点的坐标为． 23．如图．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍，再绕原点O顺时针旋转得，则变换后的点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．(6，4)或(-6，-4) 【答案】B 【分析】先根据位似图形的性质可得点A的对应点的横坐标和纵坐标都扩大2倍，再根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍， ∴点A的对应点的坐标为，即． 再将绕原点O顺时针旋转得到， 所以点A的对应点的坐标为 24．如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出 、的值， 设点的坐标为， 点与点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点与点重合得到方程组， 解得 ， 即． 题型九：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 解题思路：①找到一组对应顶点坐标；②计算两组对应点到位似中心的距离；③距离之比即为位似比；④区分清楚放大、缩小，注意顺序。 25．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 【答案】6 【分析】本题考查坐标与位似．根据位似比等于相似比，周长比等于相似比，即可得出结果． 【详解】解：∵和是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴和的相似比为：， ∴和的周长比为：， ∵的周长为3， ∴的周长为6； 故答案为：6． 26．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 27．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，进而证明，根据相似三角形的性质求出，再进一步分析即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴， ∵矩形与矩形是位似图形，点E 的横坐标为， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， 解得：，， ∴，，故B错误，C正确， ∴， ∴，故A正确， ∴，故D正确． 故选：B． 题型十：在坐标系中画位似图形 解题思路：①确定位似中心、位似比；②求出原图所有顶点对应的位似点坐标；③在坐标系中标出新顶点；④顺次连接各点完成作图。 28．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的定义，画出位似中心，即可得出结果． 【详解】解：∵与是位似图形， 连接并延长，交于点，则点即为位似中心，如图所示： 由图可知：； 故选B． 【点睛】本题考查坐标系下求位似中心的坐标．熟练掌握位似图形的定义，确定位似中心的位置，是解题的关键． 29．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______． 【答案】 如图所示：就是所要求画的， 点的坐标是(-4,-2) 【分析】直接利用位似图形的性质画出三角形顶点的对应点，再顺次连接即可画出图形，根据点的位置写出坐标即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 30．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 题型十一：在坐标系中画位似中心 解题思路：①选取两组对应顶点，分别过两点作直线；②求出两条直线的交点坐标；③在坐标系中标注该交点，即为位似中心。 31．如图，与是位似图形，则位似中心为点______． 【答案】P 【分析】本题考查确定位似中心，根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】解：如图所示，连接，，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：． 32．在正方形网格建立如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1，若格点、成位似关系，则位似中心的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是位似图形的概念、根据位似中心的概念解答即可． 【详解】解： 如图， 由位似图形的概念可知：、位似中心是直线与直线的交点， ∴位似中心的坐标为． 故答案为：． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，直接利用位似图形的性质得出位似中心． 【详解】解：如图所示：位似中心的坐标为：， 故选：D． 题型十二：坐标与图形综合 解题思路：①先利用坐标求出边长、判断图形相似；②结合位似定义确定位似中心、位似比；③运用相似多边形周长、面积性质列式；④结合图像分类讨论同侧、异侧两种位似情况，最后作答。 34．已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．由点和点可得，，根据三角形的面积公式可得，即可求解． 【详解】解：点和点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于， ，即， 或， 故答案为：或． 35．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，到的位似比为2，从图中确定点与点在位似中心的同侧，因此坐标变换时符号不变，最后将点的横、纵坐标分别乘以位似比即可求解． 【详解】解：位似中心为原点，且位似比， ， 点的坐标为，由图可知，与在位似中心的同侧， 坐标符号保持一致， ， ， 点的坐标为． 故选：B． 36．已知，和在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，其中点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，结合坐标系，即可求解． 【详解】解：∵的坐标分别为， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为： 37．如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（    ） A．48 B．64 C．72 D．108 【答案】C 【分析】利用坐标的变化信息得到从到，需要向上平移个单位，从到，需要向右平移个单位，再利用割补法列式运算即可． 【详解】解：∵，， ∴从到，需要向上平移个单位， ∵，， ∴从到，需要向右平移个单位， 过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点；过作平行于轴的线段，交于作平行于轴的线段于点，交于作平行于轴的线段于点，如图所示： ∴由题意可得：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ． 解答题 1．如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似多边形，熟练掌握相似多边形性质，是解题的关键．相似多边形对应角相等，对应边成比例． （1）根据相似多边形对应角相等解答； （2）根据相似多边形对应边成比例解答． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴． 故答案为： （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 2．如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 【答案】(1) (2) 如图所示：      (3)与是位似图形，位似中心，位似比为 【分析】（1）根据两点间距离公式求解即可； （2）先确定点到，，的坐标，再画出图形，然后运用两点间距离公式求解即可； （3）先根据题意画出，再根据位似、位似中心、位似比的概念解答即可． 【详解】（1）解：． （2）解：由题意得：，，， ． （3）解：把、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标 与是位似图形，位似中心． 位似比为：． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式、位似作图、位似中心、位似的定义等知识点，掌握位似的相关概念是解答本题的关键． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 【答案】(1)如图，即为所求 (2) (3)如图，点即为所求，理由如下： 取格点E、F，连接，交于点M， ∵， ∴， ∴， ∴点即为所求． 【分析】（1）将、分别延长一倍得到、，再连接即可； （2）根据题意得与的相似比为，再根据周长比等于相似比即可得解； （3）如图，取格点E、F，利用网格构造相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵将放大2倍得到， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比为； （3）解：略 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形． (3)填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____． 【答案】(1) 解：即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3)，， 【分析】（1）分别作出点关于轴对称的，再顺次连接即可； （2）将的横纵坐标都除以得到点的坐标，再描点连接即可； （3）根据坐标系直接得到点的坐标，再根据位似图形的周长之比等于位似比，面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由图可得， ∵与是关于原点位似，位似比为， ∴与的周长比是；与的面积比是， 故答案为：，，． 5．如图，是反比例函数图象上的一点，点的坐标为，点的坐标为，连接，． (1)若，试判断的形状，并说明理由． (2)若为直角三角形，且，求点的坐标． 【答案】(1) 解：是等腰三角形，理由如下 ∵点在反比例函数图象上，且坐标为， ∴将代入反比例函数解析式，得， ∴，即点坐标为， ∴， ∵点的坐标为，， ∴， ∴， ∴，即， ∴是等腰三角形． (2)点的坐标． 【分析】本题主要考查反比例函数的点坐标求解、两点间距离公式、勾股定理(或等腰三角形判定)在平面直角坐标系中的综合应用． （）先利用勾股定理分别计算出、、的长度的平方，再根据勾股定理的逆定理或等腰、直角三角形的判定条件判断三角形形状； （）根据为直角三角形得，利用两点间距离公式表示出和，联立求解得到的值，进而得到点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：∵为直角三角形且， ∴， ∵点坐标为，由（）得点坐标为， ∴根据两点间距离公式，得 ，， ∴， 整理，得， 解得：， ∴点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06相似多边形与位似多边形精讲学案 核心立意 理解相似多边形、位似多边形的定义，掌握相似多边形边角、周长、面积的相关性质；厘清相似与位似的从属关系，掌握位似作图方法、平面直角坐标系中位似的坐标变化规律，能够利用位似对图形进行放大或缩小，渗透图形变换、数形结合思想。 相似多边形定义 边数相同的两个多边形，同时满足：对应角相等、对应边成比例，则两多边形相似；对应边的比值叫做相似比。 ⚠️补充关键：三角形相似有简化判定，边数≥4的多边形相似，两个条件必须同时成立，缺一不可。 相似多边形性质 对应角相等，对应边成比例；周长比=相似比；对应对角线之比=相似比；面积比=相似比的平方。 位似多边形定义 两个多边形相似，且每组对应顶点连线交于同一点、对应边互相平行（或共线），则为位似多边形；公共交点称为位似中心，相似比又称位似比。 位似多边形性质 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形； 对应顶点连线经过位似中心； 对应边平行或共线； 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 原点为位似中心的坐标变化规律 以原点为位似中心，位似比为k，点(x,y)的对应点坐标为(kx,ky)或(-kx,-ky)；|k|>1图形放大，|k|<1图形缩小。 位似图形作图步骤 ①确定位似中心； ②连接位似中心与原图各顶点并延长； ③按位似比在射线上截取对应顶点； ④顺次连接新顶点，得到位似图形。 ① 判定四边形等多边形相似，仅对应角相等或仅对应边成比例，不能判定相似； ② 易出错：相似多边形面积比直接等于相似比，忘记平方； ③ 位似中心位置不唯一，可在图形内部、外部、边上、顶点处； ④ 原点位似容易漏解，只写(kx,ky)，漏掉异侧情况(-kx,-ky)； ⑤ 作图易错：位似图形对应顶点连线必须交于同一个位似中心； ⑥ 概念逻辑混淆：位似可以推出相似，相似不能推出位似。 题型 考察方向 难度 题型一 相似多边形 ★ 题型二 相似多边形的性质 ★★ 题型三 位似图形相关概念辨析 ★★ 题型四 位似图形的识别 ★★ 题型五 判断位似中心 ★ 题型六 求两个位似图形的相似比 ★★ 题型七 画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 ★★ 题型八 求位似图形的对应坐标 ★ 题型九 在坐标系中求两个位似图形的比值 ★★ 题型十 在坐标系中画位似图形 ★★ 题型十一 在坐标系中画位似中心 ★★★ 题型十二 坐标与图形综合 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★拔高 题型一：相似多边形 解题思路：①确认两个多边形边数相同；②验证全部对应角相等；③验证全部对应边成等比；④两个条件同时成立才是相似多边形。 1．下列各组图形中一定是相似形的是（　　）． A．两个等腰梯形 B．两个矩形 C．两个直角三角形 D．两个等边三角形 2．如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 3．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 题型二：相似多边形的性质 解题思路：①找准对应边、对应角；②利用对应角相等、对应边成比例列式计算；③周长比、对应对角线比等于相似比，面积比等于相似比的平方；④代入数据求解边长、角度、周长或面积。 4．如图，把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若原长方形的长为6，则小长方形的长为（    ） A．2 B． C． D． 5．如图，在矩形中，，，连接AC，以对角线AC为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为______． 6．如图，中，，于点，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．若已知下列某个选项可求两矩形的相似比，则这个选项是（   ） A． B． C． D． 题型三：位似图形相关概念辨析 解题思路：①先判断图形是否相似；②再看对应顶点连线是否交于同一点、对应边平行（或共线）；③牢记：位似一定相似，相似不一定位似；对照定义逐一甄别对错。 7．如图，图形甲与图形乙是位似图形，是位似中心，位似比为，点，的对应点分别为点，．若，则的长为（     ） A．6 B．9 C．10 D．25 8．如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为________． 9．日常生活情境照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.    如图是其工作原理图，两条光线与相机透镜的交点O即为位似中心，底片上的与实物是位似图形，且位似比为2，点A，C的对应点分别为，，若，则的长为（     ） A．10 B．12 C．14 D．18 题型四：位似图形的识别 解题思路：①第一步判断两个图形是否相似；②第二步连接各组对应顶点，观察连线是否交于同一个点；③第三步检查对应边是否平行或共线；④三条同时满足即为位似图形。 10．下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（     ） A． B． C． D． 11．电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性．这种原理利用到的图形变换是（   ） A．位似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换 12．将的各边按如图所示的方式向外等距离扩，得到，有以下结论： ：与是相似三角形； ：与是位似三角形． 下列判断正确的是（   ） A．Ⅰ正确，不正确 B．Ⅰ不正确，Ⅱ正确 C．1，都正确 D．Ⅰ，Ⅱ都不正确 题型五：判断位似中心 解题思路：①连接两组对应顶点，画出直线；②找到两条直线的交点；③该交点就是位似中心。 13．如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 14．如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 15．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型六：求两个位似图形的相似比 解题思路：①找出一组对应点；②分别算出两点到位似中心的距离；③用“新图形对应点距离 ÷ 原图形对应点距离”得到位似比（相似比）；注意分清前后顺序。 16．如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为______． 17．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 18．如图，，，，…，是以点O为位似中心的位似图形，已知，的面积为1，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型七：画已知图形放大或缩小 n 倍后的位似图形 解题思路：①选定位似中心；②连接位似中心与原图各个顶点并延长；③按n倍的比例在射线上截取新顶点；④顺次连接新顶点，得到位似图形。 19．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 20．如图，矩形与矩形位似，点O是位似中心，已知，，则的值为（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 21．如图，将先向左平移4个单位，得到，再以原点O为位似中心，作的位似三角形，使它与的相似比为且在同一象限内，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型八：求位似图形的对应坐标 解题思路：①确认位似中心与位似比k；②若位似中心在原点，原坐标(x,y)对应点为(kx,ky)或(-kx,-ky)；③若位似中心不是原点，利用两点间缩放关系列式求解坐标。 22．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点O为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点C坐标为（   ） A． B． C． D． 23．如图．在平面直角坐标系中，已知点，以原点O为位似中心，在第二象限内将各边扩大为原来的2倍，再绕原点O顺时针旋转得，则变换后的点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D．(6，4)或(-6，-4) 24．如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（    ） A． B． C． D． 题型九：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 解题思路：①找到一组对应顶点坐标；②计算两组对应点到位似中心的距离；③距离之比即为位似比；④区分清楚放大、缩小，注意顺序。 25．如图，在平面直角坐标系中，和是以原点O为位似中心的位似图形．若，的周长为3，则的周长为________． 26．如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（    ）    A．18 B．12 C．24 D．9 27．如图，矩形与矩形是位似图形，点P是位似中心，若点B的坐标为，点E的横坐标为，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 题型十：在坐标系中画位似图形 解题思路：①确定位似中心、位似比；②求出原图所有顶点对应的位似点坐标；③在坐标系中标出新顶点；④顺次连接各点完成作图。 28．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是（　　） A． B． C． D． 29．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是______． 30．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 题型十一：在坐标系中画位似中心 解题思路：①选取两组对应顶点，分别过两点作直线；②求出两条直线的交点坐标；③在坐标系中标注该交点，即为位似中心。 31．如图，与是位似图形，则位似中心为点______． 32．在正方形网格建立如图所示平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1，若格点、成位似关系，则位似中心的坐标是______． 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，以某点为位似中心，作出与的位似比为的位似，则位似中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型十二：坐标与图形综合 解题思路：①先利用坐标求出边长、判断图形相似；②结合位似定义确定位似中心、位似比；③运用相似多边形周长、面积性质列式；④结合图像分类讨论同侧、异侧两种位似情况，最后作答。 34．已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于，则的值是______． 35．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若，则点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 36．已知，和在平面直角坐标系中的位置如图所示，且，其中点的坐标分别为，点在轴上，则点的坐标为___________． 37．如图，点的坐标分别是、，如果将线段平移至的位置，与坐标分别是和，那么线段在平移过程中扫过的图形面积为（    ） A．48 B．64 C．72 D．108 解答题 1．如图，已知四边形四边形，，，且． (1)的度数为_____； (2)若，求的长． 2．如图，已知，，．    (1)求线段的长； (2)把A、、三点的横坐标，纵坐标都乘2，得到，，的坐标，画出，并求的长； (3)与是位似图形吗？若是，请写出位似中心的坐标，并求出位似比． 3．在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到； (2)在（1）的条件下，与的周长之比为_________； (3)在线段上画一个点，使，并说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形； (2)以原点为位似中心，位似比为，在轴的左侧，画出缩小后的图形． (3)填空：直接写出点的坐标_____；与的周长比是_____；与的面积比是_____． 5．如图，是反比例函数图象上的一点，点的坐标为，点的坐标为，连接，． (1)若，试判断的形状，并说明理由． (2)若为直角三角形，且，求点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $