第二章 有理数及其运算章节检测二 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 聚焦有理数核心概念与运算，通过数轴动态问题、规律探索及气温图表分析，培养抽象能力、运算能力与推理意识，适配七年级单元复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|相反数、绝对值、科学记数法|基础概念辨析，如第6题考查有理数分类| |填空题|5/15|绝对值方程、新运算定义|能力提升，如第13题定义新运算| |解答题|7/61|混合运算、数轴动点、规律探索|创新应用，如第20题数轴动点问题，第19题裂项相消规律|

第二章　有理数及其运算 北师大版 · 七年级数学上册 · 章节检测（二） 满分：100 分建议用时：90 分钟难度：★★★ 班级：＿＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿＿日期：＿＿＿＿＿＿得分：＿＿＿＿＿＿ 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1. −2026 的相反数是（ ） A. 2026　　　　B. −2026　　　　C. 1/2026　　　　D. −1/2026 2. 在 −3，−1，0，2 这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. −3　　　　B. −1　　　　C. 0　　　　D. 2 3. 如图，数轴上点 A 表示的数是 −3，点 B 在原点右侧，且到原点的距离是 5 个单位长度，则 A、B 两点间的距离是（ ） A. 2　　　　B. 8　　　　C. −8　　　　D. 2 或 8 4. 计算 (−1)2027 + (−1)2026 的结果是（ ） A. 2　　　　B. 1　　　　C. 0　　　　D. −2 5. 用科学记数法表示的数 3.06×105，它的原数是（ ） A. 30 600　　　　B. 306 000　　　　C. 3 060 000　　　　D. 30 600 000 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有理数分为整数和分数　　　　B. −a 一定是负数　　　　C. 带负号的数一定是负数　　　　D. 绝对值等于它本身的数一定是正数 7. 若 a < 0，则 |a| + a 的值是（ ） A. 0　　　　B. 2a　　　　C. −2a　　　　D. a 8. 观察下列一列数：−2，4，−8，16，−32，…，按照这个规律，第 8 个数是（ ） A. 256　　　　B. −256　　　　C. 128　　　　D. 512 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 9. 在数轴上，表示 −4 的点与表示它的相反数的点之间的距离是          . 10. 计算：(−2)3 − (−3)2 =           . 11. 若 |a − 1| = 2，则 a =           . 12.已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a + b) − cd =            . 13. 对于任意四个有理数，，，定义新运算：，则的值为           ． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 61 分） 14. 计算： （8分） (1) 15 − (−8) + (−11) − 20 (2) (−5/6) ÷ (5/12) × (−1/2) 15. 计算： （8分） (1) −24 + 16 ÷ (−2)3 − |−3| (2) (−1)2026 × (−2)3 − (−3)2 ÷ 9 16. 数轴与有理数分类： （8分） (1) 4分 在如图所示的数轴上表示下列各数：−4，1.5，0，−2.5，3，并回答：这五个数中，哪个数到原点的距离最大？这个距离是多少？ (2) 4分 把下列各数分别填入相应的集合内：−7，2.4，0，−3/5，+8，−2026，1.5。 正数集合：{ } 负数集合：{ } 整数集合：{ } 分数集合：{ } 17. 下图是某城市冬季某日 6:00 到 18:00 的气温变化情况（每隔 2 小时记录一次）。观察图象，解答下列问题。 （9分） (1) 3分 这一天中，气温最高的时刻是几时？最高气温是多少摄氏度？最低气温是多少摄氏度？ (2) 3分 求这一天中最高气温与最低气温的差。 (3) 3分 求这一天记录的 7 个气温数据的平均数。 18. 已知 |x| = 2，|y| = 3，且 xy < 0。 （9分） (1) 4分 求 x、y 的值。 (2) 5分 求 x − y 的值。 19. 规律探索：观察下列各式： = 1 − 1/2； = 1/2 − 1/3； = 1/3 − 1/4；…… （10分） (1) 3分 请写出第 4 个等式：            (2) 3分 请猜想第 n 个等式（n 为正整数）：            (3) 4分 利用上面的规律计算： + + + … + 。 20. 如图，数轴上点 A 表示的数为 −4，点 B 表示的数为 8。点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。设运动时间为 t 秒（t > 0）。 （9分） (1) 2分 求 A、B 两点间的距离，并求线段 AB 的中点表示的数。 (2) 3分 当 t = 2 时，求点 P、Q 表示的数，并求此时 P、Q 两点间的距离。 (3) 2分 当 t 为何值时，P、Q 两点重合？ (4) 2分 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 4 个单位长度？ 第二章　有理数及其运算 北师大版 · 七年级数学上册 · 章节检测（二）（教师解析版） 满分：100 分建议用时：90 分钟 答案速查 1 A 2 C 3 B 4 C 5 B 6 A 7 A 8 A 9 8 10 −17 11 3 或 −1 12 −1 13 2 选择题详解 1. −2026 的相反数是（ ） A. 2026　　　　B. −2026　　　　C. 1/2026　　　　D. −1/2026 【解析】 只有符号不同的两个数互为相反数，−2026 的相反数是 2026（即 −(−2026) = 2026）。故选 A。易错点：C、D 是"倒数"的干扰项——1/2026 是 2026 的倒数，−1/2026 是 −2026 的倒数，"相反数"是只变符号，"倒数"是分子分母交换位置，两者不要混淆。 【答案】A 2. 在 −3，−1，0，2 这四个数中，绝对值最小的数是（ ） A. −3　　　　B. −1　　　　C. 0　　　　D. 2 【解析】 先求绝对值：|−3| = 3，|−1| = 1，|0| = 0，|2| = 2。因为 0 最小，所以绝对值最小的数是 0。故选 C。点拨：绝对值表示点到原点的距离，原点本身到原点的距离是 0，所以"绝对值最小的数一定是 0"，这个结论可以直接使用。 【答案】C 3. 如图，数轴上点 A 表示的数是 −3，点 B 在原点右侧，且到原点的距离是 5 个单位长度，则 A、B 两点间的距离是（ ） A. 2　　　　B. 8　　　　C. −8　　　　D. 2 或 8 【解析】 点 B 在原点右侧且到原点的距离是 5，所以点 B 表示的数是 5。A、B 两点间的距离 = |−3 − 5| = |−8| = 8（个单位长度）。故选 B。易错点：距离一定是正数，C 错；题目已明确点 B 在原点右侧，不存在"2 或 8"两种情况，D 错。 【答案】B 4. 计算 (−1)2027 + (−1)2026 的结果是（ ） A. 2　　　　B. 1　　　　C. 0　　　　D. −2 【解析】 (−1)2027 的指数 2027 是奇数，结果为 −1；(−1)2026 的指数 2026 是偶数，结果为 1。所以原式 = −1 + 1 = 0。故选 C。点拨：(−1) 的奇次幂是 −1，偶次幂是 1；底数是 −1（带括号）时才这样算，若是 −12027（不带括号），底数是 1，结果恒为 −1。 【答案】C 5. 用科学记数法表示的数 3.06×105，它的原数是（ ） A. 30 600　　　　B. 306 000　　　　C. 3 060 000　　　　D. 30 600 000 【解析】 105 = 100 000，3.06×105 = 3.06×100 000，相当于把 3.06 的小数点向右移动 5 位，得 306 000。故选 B。检验：306 000 是 6 位数，写成科学记数法时小数点向左移动 5 位得 3.06，即 306 000 = 3.06×105，与题目一致。 【答案】B 6. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有理数分为整数和分数　　　　B. −a 一定是负数　　　　C. 带负号的数一定是负数　　　　D. 绝对值等于它本身的数一定是正数 【解析】 A 对：有理数按定义分为整数和分数两大类（整数包含正整数、0、负整数，分数包含正分数、负分数）。B 错：a 本身可以表示负数，如 a = −2 时，−a = 2 是正数。C 错：−(−5) 带负号，但化简后等于 5，是正数，判断一个数的符号要先化简。D 错：|0| = 0，绝对值等于它本身，但 0 既不是正数也不是负数，应为"非负数"。故选 A。 【答案】A 7. 若 a < 0，则 |a| + a 的值是（ ） A. 0　　　　B. 2a　　　　C. −2a　　　　D. a 【解析】 因为 a < 0，由绝对值的代数意义可知 |a| = −a，所以 |a| + a = −a + a = 0。故选 A。点拨：字母取值范围不确定时先分类讨论；本题也可以取特殊值验证，如取 a = −3，则 |−3| + (−3) = 3 − 3 = 0，快速锁定答案。 【答案】A 8. 观察下列一列数：−2，4，−8，16，−32，…，按照这个规律，第 8 个数是（ ） A. 256　　　　B. −256　　　　C. 128　　　　D. 512 【解析】 这列数的绝对值依次为 2，4，8，16，32，…，第 n 个数的绝对值是 2n；符号为负、正交替，第奇数个是负数，第偶数个是正数。第 8 个数是偶数位置，符号为正，绝对值为 28 = 256，所以第 8 个数是 256。故选 A。（也可从"每次乘 −2"验证：−32×(−2) = 64，64×(−2) = −128，−128×(−2) = 256。） 【答案】A 填空题详解 9. 在数轴上，表示 −4 的点与表示它的相反数的点之间的距离是＿＿＿＿＿。 【解析】 −4 的相反数是 4，即求表示 −4 的点与表示 4 的点之间的距离：|−4 − 4| = |−8| = 8。也可以这样想：这两个点分居原点两侧，到原点的距离都是 4，所以两点间的距离为 4 + 4 = 8 个单位长度。 【答案】8 10. 计算：(−2)3 − (−3)2 = ＿＿＿＿＿。 【解析】 先算乘方：(−2)3 = −8，(−3)2 = 9。原式 = −8 − 9 = −17。易错点：(−3)2 的底数是 −3，结果是 9 而不是 −9；减去 9 要写成"加 −9"，符号处理是本题的关键。 【答案】−17 11. 若 |a − 1| = 2，则 a = ＿＿＿＿＿。 【解析】 |a − 1| = 2 表示"a 与 1 的差"的绝对值是 2，即 a − 1 = 2 或 a − 1 = −2，所以 a = 3 或 a = −1。点拨：绝对值方程一般有两解；把 a − 1 看成一个整体，问题就转化为 |a| = 2 的基本型。 【答案】3 或 −1 12. 已知 a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，则 (a + b) − cd = ＿＿＿＿＿。 【解析】 由 a、b 互为相反数，得 a + b = 0；由 c、d 互为倒数，得 cd = 1。所以 (a + b) − cd = 0 − 1 = −1。点拨：这类题不需要（往往也不能）求出每个字母的值，要把"a + b""cd"当成整体代入，这是"整体思想"的典型应用。 【答案】−1 13. 对于任意四个有理数，，，定义新运算：，则的值为           ． 【解析】 由 题意得：=. 【答案】2 解答题详解 13. 计算： （8分） (1) 15 − (−8) + (−11) − 20 【解析】原式 = 15 + 8 − 11 − 20（减去一个数等于加上它的相反数） = (15 + 8) − (11 + 20)（同号分段求和，便于口算） = 23 − 31 = −8 【答案】−8 (2) (−5/6) ÷ (5/12) × (−1/2) 【解析】 原式 = (−5/6) × (12/5) × (−1/2)（除以一个数等于乘这个数的倒数） = (−2) × (−1/2)（先把前两个数相乘，约分得 −2） = 1（负负得正） 易错点：乘除混合运算必须从左到右依次进行，不能先算后面的 × (−1/2)；除以 5/12 时要乘它的倒数 12/5，不要忘记颠倒。 【答案】1 15. 计算： （8分） (1) −24 + 16 ÷ (−2)3 − |−3| 【解析】 原式 = −16 + 16 ÷ (−8) − 3（先算乘方与绝对值） = −16 + (−2) − 3（再算除法） = −21（最后算加减） 易错点：−24 的底数是 2，表示 24 的相反数，等于 −16；它与 (−2)4 = 16 完全不同，先认清底数再动笔。 【答案】−21 (2) (−1)2026 × (−2)3 − (−3)2 ÷ 9 【解析】 原式 = 1 × (−8) − 9 ÷ 9（先算乘方：(−1)2026 = 1，(−2)3 = −8，(−3)2 = 9） = −8 − 1（再算乘法与除法） = −9 点拨：(−1) 的偶次幂是 1、奇次幂是 −1，这个结论要熟练；乘方算完后再按"先乘除、后加减"的顺序收尾。 【答案】−9 16. 数轴与有理数分类： （8分） (1) 4分 在如图所示的数轴上表示下列各数：−4，1.5，0，−2.5，3，并回答：这五个数中，哪个数到原点的距离最大？这个距离是多少？ 【解析】 描点：−4 在原点左侧 4 个单位处，1.5 在 1 与 2 的正中间，0 是原点本身，−2.5 在 −3 与 −2 的正中间，3 在原点右侧 3 个单位处。 一个数到原点的距离就是它的绝对值：|−4| = 4，|1.5| = 1.5，|0| = 0，|−2.5| = 2.5，|3| = 3。 因为 4 最大，所以 −4 到原点的距离最大，这个距离是 4 个单位长度。 点拨：负数到原点的距离看绝对值大小，不要误以为"数越小、距离越小"。 【答案】描点见解析；−4 到原点的距离最大，是 4 个单位长度 (2) 4分 把下列各数分别填入相应的集合内：−7，2.4，0，−3/5，+8，−2026，1.5。 【解析】 正数集合：{ 2.4，+8，1.5 } 负数集合：{ −7，−3/5，−2026 } 整数集合：{ −7，0，+8，−2026 } 分数集合：{ 2.4，−3/5，1.5 } 易错点：① 0 是整数，但它既不是正数也不是负数；② 有限小数（如 2.4、1.5）都能写成分数，属于分数集合；③ −2026 是负整数，填负数集合与整数集合都可以。 【答案】见解析 17. 下图是某城市冬季某日 6:00 到 18:00 的气温变化情况（每隔 2 小时记录一次）。观察图象，解答下列问题。 （9分） (1) 3分 这一天中，气温最高的时刻是几时？最高气温是多少摄氏度？最低气温是多少摄氏度？ 【解析】 观察折线图：最高点出现在 14:00，气温为 6℃；最低点出现在 6:00，气温为 −5℃。 读图时先看横轴定时刻，再看纵轴定温度；−5℃ 在 0℃ 刻度线下方 5 格处。 【答案】14:00 最高，是 6℃；最低是 −5℃ (2) 3分 求这一天中最高气温与最低气温的差。 【解析】 最高气温与最低气温的差 = 6 − (−5) = 6 + 5 = 11（℃）。 易错点：减去负数要转化为加它的相反数；温差一定是正数，不能写成 −11℃。 【答案】11℃ (3) 3分 求这一天记录的 7 个气温数据的平均数。 【解析】 7 个气温数据依次为 −5，−2，0，3，6，4，1。 总和 = (−5 − 2) + (0 + 3 + 6 + 4 + 1) = −7 + 14 = 7（正、负数分别相加再合并）。 平均数 = 7 ÷ 7 = 1（℃）。 点拨：求含负数的一组数据的平均数，先正负分段求和，可减少符号错误。 【答案】1℃ 18. 已知 |x| = 2，|y| = 3，且 xy < 0。 （9分） (1) 4分 求 x、y 的值。 【解析】 由 |x| = 2 得 x = 2 或 x = −2；由 |y| = 3 得 y = 3 或 y = −3。 因为 xy < 0，积为负数，所以 x、y 必须异号（一正一负）。 逐一检验：x = 2，y = 3 时，xy = 6 > 0，舍去；x = −2，y = −3 时，xy = 6 > 0，舍去。 所以只有两种符合要求的情形：x = 2，y = −3 或 x = −2，y = 3。 【答案】x = 2，y = −3 或 x = −2，y = 3 (2) 5分 求 x − y 的值。 【解析】 ① 当 x = 2，y = −3 时，x − y = 2 − (−3) = 2 + 3 = 5； ② 当 x = −2，y = 3 时，x − y = −2 − 3 = −5。 所以 x − y 的值是 5 或 −5。 点拨："xy < 0"的作用是先筛掉同号的情形；剩下的两种组合都要计算，不要漏解。 【答案】5 或 −5 19. 规律探索：观察下列各式： = 1 − 1/2； = 1/2 − 1/3； = 1/3 − 1/4；…… （10分） (1) 3分 请写出第 4 个等式：            【解析】 观察前 3 个等式：左边分数的分母是相邻两个整数的积（1×2，2×3，3×4）；右边是两个分子为 1 的分数相减，分母分别等于左边相乘的前一个数和后一个数。 所以第 4 个等式为： = 1/4 − 1/5。 验证：左边 = 1/20；右边 = 1/4 − 1/5 = 5/20 − 4/20 = 1/20，两边相等。 【答案】 = 1/4 − 1/5。 (2) 3分 请猜想第 n 个等式（n 为正整数）：            【解析】 按 (1) 中发现的规律，第 n 个等式左边分母为 n(n+1)，右边为 − ，即 = − 用通分检验： − = = ，猜想成立。 【答案】 = − (3) 4分 利用上面的规律计算： + + + … + 。 【解析】 把每一项按规律拆开： 原式 = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + (1/3 − 1/4) + … + ( − ) 中间的项一加一减恰好两两抵消，只剩下首尾两项： = 1 − = 点拨：这种"拆项相消"是规律探索题中的经典方法：前一项的减数与后一项的被减数相同，求和时全部抵消，直接写首尾即可，千万不要硬算。 【答案】 20. 如图，数轴上点 A 表示的数为 −4，点 B 表示的数为 8。点 P 从点 A 出发，以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；同时点 Q 从点 B 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动。设运动时间为 t 秒（t > 0）。 （9分） (1) 2分 求 A、B 两点间的距离，并求线段 AB 的中点表示的数。 【解析】A、B 两点间的距离 = |−4 − 8| = |−12| = 12（个单位长度）。 线段 AB 的中点在 A、B 的正中间，它表示的数是两数的平均数：(−4 + 8) ÷ 2 = 4 ÷ 2 = 2。【答案】距离为 12 个单位长度；中点表示的数是 2 (2) 3分 当 t = 2 时，求点 P、Q 表示的数，并求此时 P、Q 两点间的距离。 【解析】点 P 从 −4 出发向右运动 2 秒：−4 + 3 × 2 = 2； 点 Q 从 8 出发向左运动 2 秒：8 − 2 × 2 = 4； P、Q 两点间的距离 = |2 − 4| = 2（个单位长度）。 点拨：向右运动用加、向左运动用减；路程 = 速度 × 时间。 【答案】P 表示 2，Q 表示 4，距离为 2 个单位长度 (3) 2分 当 t 为何值时，P、Q 两点重合？ 【解析】运动 t 秒后，点 P 表示的数为 −4 + 3t，点 Q 表示的数为 8 − 2t。 两点重合即它们表示同一个数：−4 + 3t = 8 − 2t， 移项得 3t + 2t = 8 + 4，即 5t = 12，所以 t = 12/5。 答：当 t = 12/5 秒时，P、Q 两点重合。 【答案】t = 12/5 秒 (4) 2分 当 t 为何值时，P、Q 两点间的距离为 4 个单位长度？ 【解析】点 P 表示 −4 + 3t，点 Q 表示 8 − 2t，两点间的距离为 |(−4 + 3t) − (8 − 2t)| = |5t − 12|。令 |5t − 12| = 4，分两种情况： 1 相遇前（P 在 Q 左侧）：5t − 12 = −4，解得 t = 8/5； 2 相遇后（P 在 Q 右侧）：5t − 12 = 4，解得 t = 16/5。 答：当 t = 8/5 秒或 t = 16/5 秒时，P、Q 两点间的距离为 4 个单位长度。 点拨：数轴上两点的距离要加绝对值，所以"相遇前、相遇后"两种情况都要考虑，不要漏解。 【答案】t = 8/5 秒或 16/5 秒 学科网（北京）股份有限公司 $