第二章有理数及其运算单元检测卷 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

**基本信息** 北师大七年级上册数学第二章有理数单元卷，以生活情境与数学探究为特色，覆盖有理数概念、运算及应用，适配单元复习，提升运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/24|非负数、科学记数法等|第4题结合电影票房考科学记数法，体现时代性| |填空题|5/15|数轴距离、相反数|第11题数轴上点C表示的数，考查几何直观| |解答题|8/61|综合应用与探究|第17题轨道交通计费规划、第20题“幸福中心”动态问题，培养应用意识与创新思维|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年北师大新教材七年级上册数学 · 第二章有理数及其运算单元检测卷 · 建议用时：90分钟，满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．大统华超市出售的三种品牌的月饼袋上，分别标有质量为，的字样，从中任意拿两袋月饼，它们的质量最多相差（　　） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．在数，，，，，0中，非负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中①；②；③，则；④若，且，则或．正确的有________个．（    ） A． B． C． D． 6．若数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 7．观察下列等式：，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．3 B．2 C．9 D．0 8．如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 二、填空题（每小题3分，共15分） 9．的相反数是____________． 10．比较大小：______．（填“”、“”或“”） 11．已知数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数a、b，且，并且A、B两点间距离是30，点C到点A的距离是3，则点C表示的数是___________． 12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 13．已知A，B两点在数轴上分别表示和2，若数轴上有一点C，且C，B两点间的距离是C，A两点间距离的2倍，则C点对应的数是________． 三、解答题（12+6+7+8+8+8+10+10=61分） 14．计算 (1) (2) (3) 15．现有数：． (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数； (2)按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (3)这些数中，非负整数有________． 16．有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 箱数（箱） (1)最重的一箱比最轻的一箱重　　　千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 17．根据以下素材，探索完成任务． 如何规划游玩路线？ 素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：） 素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车． 素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈． 问题解决 分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元． 任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费． 确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由． 18．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．    (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上表示的点；第　 　次滚动后，点距离原点最远． 19．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 20．在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”；若点到点，的距离之和为，则称点为点，的“幸福中心”． (1)如图1，点表示的数是，则点的“幸福点”表示的数是______． (2)如图2，点表示的数是，点表示的数是，若点为点，的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填两个即可）； (3)如图3，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点从点出发，以单位的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点是点，的“幸福中心”？ 试卷第8页，共17页 试卷第7页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年北师大新教材七年级上册数学 · 第二章有理数及其运算单元检测卷 · 建议用时：90分钟，满分：100分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．大统华超市出售的三种品牌的月饼袋上，分别标有质量为，的字样，从中任意拿两袋月饼，它们的质量最多相差（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正负数的实际应用、有理数减法的实际应用、有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查了正负数的意义、有理数比较大小以及有理数运算，正确理解题意是解题关键．根据题意，分别确定三种品牌的月饼质量的取值范围，比较大小并由最大值减去最小值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，该超市出售的三种品牌的月饼，质量的最大值和最小值分别为和，和，和， ∵， ∴从中任意拿两袋月饼，它们的质量最多相差． 故选：D． 2．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算、有理数加法运算律 【分析】根据有理数加减运算法则，有理数的乘法运算法则即可解答． 【详解】解：∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴正确， 故项符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了有理数加减运算法则，有理数的乘法运算法则，掌握对应法则是解题的关键． 3．在数，，，，，0中，非负数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】有理数的分类、有理数的乘方运算、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了有理数的分类及乘方运算，先计算，再根据有理数的分类方法，可得非负数包括正数和0，据此判断即可． 【详解】解：，，， 则，非负数是：，，，0， 则非负数的个数是4个， 故选：B． 4．电影《志愿军：存亡之战》以亿元票房领跑2024年国庆档电影票房．其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：亿． 故选：B． 5．我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．如：，，．下列说法中①；②；③，则；④若，且，则或．正确的有________个．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、其他问题(一元一次方程的应用)、方程的解 【分析】本题考查新定义、一元一次方程的应用与方程的解，根据新定义即可判断①②；根据新定义得到，求解后即可判断③；求出或的判断④．其中正确理解新定义法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，故说法①正确； ，故说法②正确； ∵， ∴， 解得：，故说法③正确； 当时，，，， 当时，，，，故说法④正确． 故选：D． 6．若数，，在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查数轴、有理数的运算等知识点，根据数轴确定数、、的关系成为解题的关键． 根据数轴得到且，再根据有理数的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可得且， A．因为，所以，故A错误； B．因为，所以，故B正确； C．因为，所以，故C错误； D．因为，所以，故D错误． 故选：B． 7．观察下列等式：，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是（    ） A．3 B．2 C．9 D．0 【答案】A 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探究，先找出3的幂次的个位数字的循环规律，再计算每一组循环的个位数字和，接着确定总数包含多少个完整循环及剩余个数，最后计算总和的个位数字． 【详解】解：∵的个位数字是3，的个位数字是9，的个位数字是7，的个位数字是1，的个位数字是3，…， ∴3的幂的个位数字以3，9，7，1为周期循环，周期为4． ∵每个周期内个位数字的和为，个位数字为0． ∵从到共有2025个数． ∵，即包含506个完整周期，剩余1个数． ∴剩余数的个位数字为3（与的个位数字相同）． ∵506个周期的和的个位数字为0，． ∴的结果的个位数字是3． 故选A． 8．如图，在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上原点O出发，按竖直向上、水平向右、竖直向下、水平向右的方向依次移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到，第2次移动到，第3次移动到，…，第n次移动到，则三角形的面积是（   ）． A．514 B． C． D．1011 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律，根据题意可得点在数轴上，可得的位置，由此可得，根据三角形面积的计算方法即可求解，掌握数轴上点的移动规律是解题的关键． 【详解】解：根据题意，可得分别表示的数为， ∴点在数轴上，， ∵， 如图所示，      ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：C ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9．的相反数是____________． 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】求一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号． 【详解】解：根据相反数的定义，得相反数是． 故答案为： 【点睛】考点：相反数． 10．比较大小：______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】运用两个负数比较大小的法则：绝对值大的负数反而小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，即可判断原数的大小关系． 【详解】解：，，且， 则． 11．已知数轴上，点A和点B分别表示互为相反数的两个数a、b，且，并且A、B两点间距离是30，点C到点A的距离是3，则点C表示的数是___________． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、有理数的除法运算、相反数的定义 【分析】本题考查了数轴两点间的距离、相反数的定义、有理数的运算，由题意得，，得出点A表示的数是，再分点C在点A左侧或右侧讨论，分别求出点C表示的数即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴点A表示的数是， 当点C在点A左侧时，则点C表示的数是； 当点C在点A右侧时，则点C表示的数是； ∴综上所述，点C表示的数是或． 故答案为：或． 12．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：______． 【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、整式的加减运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题主要考查了数轴、绝对值的性质以及整式的化简，熟练掌握绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是）是解题的关键． 先根据数轴判断、、的正负及绝对值大小关系，确定绝对值内式子的符号，再根据绝对值的性质化简式子． 【详解】解：由数轴可知：， ，，， ， 故答案为： 13．已知A，B两点在数轴上分别表示和2，若数轴上有一点C，且C，B两点间的距离是C，A两点间距离的2倍，则C点对应的数是________． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离、带有字母的绝对值化简问题、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查数轴，数轴上点的特征以及两点间距离，设点C在数轴上对应的数为x，根据题意得，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设点C在数轴上对应的数为x，根据题意得： ， 解得，或， 所以，C点对应的数是或， 故：或 三、解答题（12+6+7+8+8+8+10+10=61分） 14．计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3)31 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算： （1）利用交换律进行简便运算； （2）变分数除法为乘法，约分化简，再计算减法； （3）先计算括号内的减法，再计算乘除，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 15．现有数：． (1)画出数轴并在数轴上表示上面各数； (2)按从小到大的顺序用“”把这些数连接起来； (3)这些数中，非负整数有________． 【答案】(1) 画数轴表示数如下： (2) (3)0，2． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带“非”字的有理数、用数轴上的点表示有理数、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求绝对值，在数轴上表示有理数，运用数轴比较有理数的大小及有理数的分类． （1）先求出，再在数轴上表示有理数即可； （2）运用数轴比较有理数的大小，即可作答； （3）根据非负整数的定义即可解答． 【详解】（1）解： （2）解：； （3）解：这些数中，非负整数有0，2， 故答案为：0，2． 16．有20箱苹果，以每箱10千克为标准，超过10千克的数记为正数，不足10千克的数记为负数，称重记录如下： 与标准质量的差（千克） 箱数（箱） (1)最重的一箱比最轻的一箱重　　　千克； (2)求这20箱苹果的总质量； (3)若这批苹果的批发价是8.5元/千克，售价是15元/千克，运输和出售过程中有的苹果腐烂无法出售，则出售这20箱苹果能盈利多少元？ 【答案】(1) (2)这20箱苹果的总质量为201千克 (3)元 【知识点】有理数乘法的实际应用、正负数的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题主要考查有理数的四则运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得：最重的一箱比最轻的一箱重的千克数，然后进行计算即可解答； （2）根据有理数的乘法，加法法则进行计算，即可解答； （3）根据总售价总进价，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： （千克）， ∴最重的一箱比最轻的一箱重千克； （2）解： （千克）， ∴ （千克）， 答：这20箱苹果的总质量为203千克； （3）解： （元）， 答：出售这20箱苹果能盈利1005元． 17．根据以下素材，探索完成任务． 如何规划游玩路线？ 素材1 温州轨道交通实行里程分段计价票制，起步价元，可乘坐（含），至（含）每元可乘（不足按元算）．如：桐岭站到动车南站共，收费元．部分站点距离见下图（单位：） 素材2 一名成年乘客可免费携带一名身高不足米（含米）的儿童乘车． 素材3 小明一家四口将乘坐轻轨出游．小明家住在新桥站附近，家庭成员如下：小明（身高米）、弟弟（身高米）、爸爸、妈妈． 问题解决 分析规划 任务1 从新桥站到桐岭站为______，单人单程乘坐需车费______元． 任务2 小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要多少车费． 确定方案 任务3 小明一家从新桥站出发，计划共用元车费出行（往返），请你为小明一家规划一个尽可能远的游玩站点，并说明理由． 【答案】任务1：；； 任务2：元； 任务3：解：最远游玩站点是科技城． 理由：由题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车， ∴一家三口每人元， ∵起步价元可乘， ∴元可乘， ∴最远可行， ∵向桐岭方向里程为， ∴向瑶溪方向：， 即最远游玩站点是科技城． 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查有理数混合运算的应用， 任务1：依据题意，根据所给素材1进行计算可以得解； 任务2：依据题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算可以得解； 任务3：依据题意，单程费用元，由于弟弟免费乘车，从而每人元，起步价元可乘，元可乘，故可求出最远可行公里数，进而可以判断得解； 正确理解题意列出算式并熟练运用运算法则是解题的关键． 【详解】解：任务1：由题意， 从新桥站到桐岭站为：， 此时单人单程乘坐需车费：（元）， 故答案为：；； 任务2：由题意，弟弟免费乘车，其他三人按照里程数进行计算： 从新桥站到三坪湿地站的里程为：， ∴需要车费为：（元）； ∴小明一家乘坐轻轨从新桥站到三垟湿地站，需要元车费； 任务3：略 18．如图，直径为个单位长度的圆片上有一点A与数轴上的原点重合．    (1)把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (2)把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是　 　； (3)圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的情况记录如下：，，，，． ①当圆片结束滚动时，求点对应的数是多少？ ②在滚动过程中，共经过　 　次数轴上表示的点；第　 　次滚动后，点距离原点最远． 【答案】(1) (2)或6 (3)①；②； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、正负数的实际应用、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、圆的周长公式，数轴； （1）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点C对应的数； （2）利用圆的周长以及滚动周数，结合数轴，即可得出点D对应的数； （3）①利用滚动的方向即周数，结合数轴，算出最后A点位置；②根据（1）得出圆片沿数轴滚动周，点在数轴上是个单位，然后再根据圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，滚动次的记录分别得出滚动过程，即可得出答案． 【详解】（1）解：， 把圆片沿数轴向左滚动半周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是， 故答案为：； （2）解：， 把圆片沿数轴滚动周，点到达数轴上点的位置，点对应的数是或6， 故答案为：或6； （3）解：①，即向左滚动了周， ， 圆片结束滚动时，点对应的数是； ②第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，经过数轴上表示的点； 第次：从滚动到了，不经过数轴上表示的点； 共有次经过数轴上表示的点，第次滚动后，点距离原点最远． 故答案为：，． 19．完成下列题目： (1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为． ①两点之间的距离为_______； ②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合； ③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______； 绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______． (3)若满足时，则的值是_______． 【答案】(1)①；②；③或 (2)， (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、求一个数的绝对值 【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解； （）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键 【详解】（1）解：①两点之间的距离为， 故答案为：； ②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为， 设与表示的点重合的点对应的数为， 则， ∴， 即表示的点与表示的点重合， 故答案为：； ③设点所表示的数为，分以下两种情况： 当点在之间时，则， 解得； 当点在点右侧时，则， 解得； 综上，点所表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：数轴上表示和两点之间的距离为， ∵， ∴式子表示到与到的距离之和， ∵， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵， ∴式子表示到与到的距离之和， 当时，， ∴只能在的左边或右边， 当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上，的值是或， 故答案为：或． 20．在数轴上，若点到点的距离恰好是，则称点为点的“幸福点”；若点到点，的距离之和为，则称点为点，的“幸福中心”． (1)如图1，点表示的数是，则点的“幸福点”表示的数是______． (2)如图2，点表示的数是，点表示的数是，若点为点，的“幸福中心”，则点表示的数可以是______（填两个即可）； (3)如图3，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，点从点出发，以单位的速度沿数轴向左运动，经过多少时间点是点，的“幸福中心”？ 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，一元一次方程的应用，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程时间速度，认真理解新定义． （1）根据幸福点的定义即可求解； （2）根据幸福中心的定义即可求解； （3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论． 【详解】（1）解：A的幸福点C所表示的数应该是：或； （2）解：， 故C所表示的数可以是或或0或1或2或3或4； （3）解：设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有： ①， 解得； ②， 解得； 故当经过秒或秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 试卷第8页，共17页 试卷第7页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $