第04讲 特殊平行四边形压轴综合 讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦特殊平行四边形压轴综合，系统梳理直角三角形斜边上的中线性质与判定，菱形（四边相等、对角线垂直）、矩形（四角直角、对角线相等）、正方形（兼具菱形矩形特性）的性质与判定，以及中点四边形特性，构建从基础性质到综合应用的递进学习支架。 资料以“知识点-题型-探究-检测-复盘”闭环设计，通过中点四边形、动点问题等8类题型培养数学思维，如情景探究题引导抽象数学规律发展创新意识，综合题提升逻辑推理能力。课中辅助分层教学，课后检测与复盘助学生查漏补缺，强化知识应用。

简一数理 初中专题讲义 第04讲 特殊平行四边形压轴综合 （新教材北师大版） 知识点一．直角三角形斜边上的中线 2 知识点二．菱形的性质 2 知识点三．菱形的判定 2 知识点四．菱形的判定与性质 3 知识点五．矩形的性质 3 知识点六．矩形的判定 3 知识点七．矩形的判定与性质 4 知识点八．正方形的性质 4 知识点九．正方形的判定 4 知识点十．正方形的判定与性质 4 【题型1 中点四边形】 5 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 6 【题型3 利用特殊平行四边形的对称性求面积】 7 【题型4 四边形中线段最值问题】 8 【题型5 四边形的存在性问题】 9 【题型6 情景探究题】 12 【题型7 解答证明题】 16 【题型8 四边形综合】 20 【探究式学习】 24 【课后检测】 28 【复盘笔记】 35 知识点一．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点二．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点三．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点四．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 知识点五．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点六．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点七．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点八．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点九．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点十．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【题型1 中点四边形】 【例1】如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【变式1-1】某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪，，，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各中点得到的四边形，将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛的周长为（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【变式1-3】如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 【例2】已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【变式2-1】如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【变式2-2】如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【变式2-3】如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【题型3 利用特殊平行四边形的对称性求面积】 【例3】如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-1】如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【变式3-2】如图，的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E，F，的面积为24．求图中阴影部分的面积． 【变式3-3】已知和按如图方式摆放，其中边，分别与边，交于点，，，．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【题型4 四边形中线段最值问题】 【例4】如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（     ） A．小明的发现正确，小丽的发现错误 B．小明，小丽的发现都错误 C．小明的发现错误，小丽的发现正确 D．小明，小丽的发现都正确 【变式4-2】如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【题型5 四边形的存在性问题】 【例5】如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作，交线段于点，过点作于点．小明认为：总有；小红认为：存在四边形的面积和的面积相等的情况，此时要满足．则（     ） A．小明观点正确，小红观点错误 B．两人观点均正确 C．小明观点错误，小红观点正确 D．两人观点均错误 【变式5-1】在中，，（），对角线，交于点，点是边上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交于点，连接，． 给出下列四个结论： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是正方形． 其中所有正确结论的序号是__________． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且的面积是． (1)求出和的值． (2)以为边在第一象限内作正方形．在轴上找一点，使得的周长最小，并求出点的坐标． (3)点是第一象限内的动点，且满足，试探究：是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式5-3】【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） (1)请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是为了得到条件：_________；（选择序号） ①；②；③； 【类比探究】 (2)如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：； (3)如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请写出和的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【题型6 情景探究题】 【例6】情景呈现：小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． 提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ (1)探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①矩形中，，，则_______； ②在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ③如图1，在正方形中，，则_______；（请用含a的代数式表示） ④如图2，在矩形中，，，则_______．（请用含a、b的代数式表示） (2)猜想并证明：如图3，在中，，，大胆猜想与a、b的数量关系为_______，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． 【变式6-1】综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【变式6-2】情景再现：我们动手操作：把正方形沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时，问题也随旋转应运而生． 如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和． (1)问题呈现 我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形 ①若点P是平面内一动点，，，则线段的取值范围是 ．（直接写答案） ②直接写出线段与的关系是 ．（直接写答案） (2)我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线上，交直线于M． ①当点E在上时，如图③所示，求证：； ②当点E在的延长线上时，如图④所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 当点E在的延长线上时，如图⑤所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 【变式6-3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 【题型7 解答证明题】 【例7】如图，在中，，点D为线段上一点，且，点E是线段上一点（不与端点重合），连接，以为斜边在其右侧作，且． (1)当时， （i）若，证明：平分． （ii）连接，若点E是线段的中点，且，求的长． (2)当时，连接并延长交的延长线于点G，求证：． 【变式7-1】如图1，在正方形中，点在边上，于，于． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，判断的形状，并证明． 【变式7-2】如图，在正方形中，点在延长线上，点与点关于直线对称，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，在上取一点使得，连接． (1)求证：； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【变式7-3】已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【题型8 四边形综合】 【例8】综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． (1)【概念理解】 在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） (2)【性质探究】 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． (3)【判定探究】 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”． 【变式8-1】定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图1∶若四边形中，，，，四边形 “勾股四边形”(填“是”或“不是”)，若是则写出勾股边 ，若不是填无． 性质探究： (2)如图2，，，，，． ①求证：无论θ取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求θ的值． 拓展应用： (3)如图3， 和都是等边三角形，连接，当四边形 是以、为勾股边的勾股四边形时，若 求的长． 【变式8-2】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【变式8-3】小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【探究式学习】 1．按要求解答问题： (1)【感知】如图①所示，在正方形中，点在边上，平分．若分别延长与，交于点．求证：． (2)【探究】如图②所示，在矩形中，点是边的中点，点在边上，平分求证：． (3)【应用】在【探究】的条件下，若，，求的长． 2．综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米． 方案实施： 如图3，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系． (1)①直接写出、两点的坐标．②求直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图4，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 3．点、分别在正方形的边、上，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为中点，，求的面积； (3)如图，过点作交于点，过点作交于点，与相交于点，记矩形的面积为，矩形面积为，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 4．【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 (1)如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (2)求证：． (3)若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． (4)若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【课后检测】 1．如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 2．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 3．图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 4．直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在中，连结，，相交于点．从四个条件①；②；③；④中，选两个作为补充条件，则不能判定为正方形的是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②④ 7．下列条件中能判定一个四边形是正方形的是（     ） A．三个角是直角的四边形 B．对角线互相垂直的矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．有一个角是直角的平行四边形 8．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 9．如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 13．如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 14．如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 15．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 16．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 17．如图，在矩形中，对角线与交于点，，．求证：． 18．如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的周长为，求四边形的面积． 19．已知是直角三角形且 (1)如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． (2)如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 20．如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过点M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：． 21．在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 22．【初步感受】 (1)如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 93 页 第 1 页 共 93 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第04讲 特殊平行四边形压轴综合 （新教材北师大版） 知识点一．直角三角形斜边上的中线 2 知识点二．菱形的性质 2 知识点三．菱形的判定 2 知识点四．菱形的判定与性质 3 知识点五．矩形的性质 3 知识点六．矩形的判定 3 知识点七．矩形的判定与性质 4 知识点八．正方形的性质 4 知识点九．正方形的判定 4 知识点十．正方形的判定与性质 4 【题型1 中点四边形】 5 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 7 【题型3 利用特殊平行四边形的对称性求面积】 11 【题型4 四边形中线段最值问题】 15 【题型5 四边形的存在性问题】 21 【题型6 情景探究题】 31 【题型7 解答证明题】 43 【题型8 四边形综合】 53 【探究式学习】 62 【课后检测】 72 【复盘笔记】 94 知识点一．直角三角形斜边上的中线 （1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） （2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形． 该定理可以用来判定直角三角形． 知识点二．菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点三．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点四．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）　　（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． （4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形． 知识点五．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点六．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点七．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点八．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点九．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点十．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 【题型1 中点四边形】 【例1】如图，在四边形中，对角线，顺次连接其各边的中点得到的四边形是（     ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理，菱形的判定方法可得结论． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴，， 同理可知：， ∴， ∴四边形为平行四边形， ， ∴， ∴四边形为菱形． 【变式1-1】某学校计划将一块草坪改造成花坛，如图，矩形草坪，，，，，，分别是边，，，的中点，顺次连接各中点得到的四边形，将其用篱笆围起来作为花坛，则四边形花坛的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由矩形的性质得，，，再由中点的定义及勾股定理求四边形的边长，即可得四边形花坛的周长． 【详解】解：∵矩形草坪，，， ∴，，， ∵，，，分别是边，，，的中点， ∴，，，， 由勾股定理得， ∴四边形花坛的周长为． 【变式1-2】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点若四边形为菱形，则对角线，应满足的条件是（    ） A． B． C．与相互平分 D．不确定 【答案】B 【分析】先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，再根据平行四边形和菱形的关系即可解答． 【详解】解：∵四边形中，E，F，G，H分别是边的中点， ∴在中，为的中位线， ∴且； 同理：且；，， ∴且， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形为菱形， ∴应满足条件，即， ∴． 【变式1-3】如图，在四边形中，为其对角线，连结各边中点得到四边形，则下列判断正确的是（    ） A．若，则四边形菱形 B．若，则四边形菱形 C．若，则四边形为菱形 D．若，则四边形为菱形 【答案】B 【分析】本题考查了中点四边形，三角形的中位线定理，菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理和三角形的中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线定理证明，即可证明四边形为平行四边形，再由邻边相等即可证明为菱形． 【详解】解：∵分别为中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 同理可得：， ∴当时，， ∴四边形菱形， 故B符合题意，A、C、D均不符合题意， 故选：B． 【题型2 特殊平行四边形的动点问题】 【例2】已知，如图，在矩形中，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，其中为定点，、为动点，连接．当点从点移动到点的过程中，的面积（     ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，再减小 【答案】B 【分析】过点作交的延长线于点，通过证明得出为定值，再根据三角形面积公式结合的变化情况即可求解． 【详解】解：如图，过点 作 交 的延长线于点，连接， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是菱形， ，， ， ， ， 在 和 中， ， ， 为定点， 为定值，即 的高 不变， ， 当点 从 点移动到 点的过程中， 逐渐减小， 的面积逐渐减小． 【变式2-1】如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为，连接．当与全等时，的值为（　　） A．1 B．2 C．2或4 D．1或1.5 【答案】C 【分析】此题重点考查正方形的性质、全等三角形的性质．由正方形的性质得，，而，则，再分两种情况讨论，一是当，时，，此时，求得；二是当，时，，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵E为边上一点，且， ∴， 由题意得，则， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴， 综上，的值为2或4． 故选：C． 【变式2-2】如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若P，Q两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中：①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】设两点速度为每秒1个单位长度，则，，由题意可得四边形是平行四边形，再利用矩形，菱形，正方形的性质分别进行求解即可． 【详解】解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，， ∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， 当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确； 当四边形是菱形时，， 则，解得：，符合题意， 即：当时，四边形是菱形，故②正确； 当四边形是矩形时，，则，解得， 即：当时，四边形是矩形，故③正确； 当四边形是正方形时，， 则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确， 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题，特殊四边形的存在问题，特殊四边形的性质等知识点，理解并熟练掌握相关图象的性质是解决问题的关键． 【变式2-3】如图，点为矩形()的对称中心，点从点出发沿向点B运动，移动到点B停止，延长交于点，则四边形AECF形状是下列图形中的哪些：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形．（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，可得四边形形状的变化情况，由此可得结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵∠， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， 当点和点重合时，四边形是矩形，而且，故不可能是正方形， 可知四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形， 故选：A． 【点睛】考查了全等三角形的判定和性质、矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，根据EF与AC的关系即可求解． 【题型3 利用特殊平行四边形的对称性求面积】 【例3】如图，O是矩形的对角线上一点，过点O作，分别交于点E，F，连接．若，，则图中阴影部分的面积为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先作，可知四边形是矩形，再得出，然后根据得出答案． 【详解】解：过点O作，交于点P，Q， ∵四边形是矩形，且， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】如图，菱形的对角线，长分别为3和8，是对角线上的任一点（点不与点，重合），且交于，交于点，则阴影部分的面积是________． 【答案】6 【分析】设与相交于点．先证明四边形是平行四边形．利用平行四边形的性质可得，即，然后结合菱形的面积为对角线积的一半求解即可． 【详解】解：设与相交于点． ∵四边形为菱形， ，． ，， ，． 四边形是平行四边形． ． ． 【变式3-2】如图，的对角线，相交于点O，过点O的直线分别交和于点E，F，的面积为24．求图中阴影部分的面积． 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质得到，进而即可得到答案． 【详解】解：∵的对角线，相交于点O， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴阴影部分的面积． 【变式3-3】已知和按如图方式摆放，其中边，分别与边，交于点，，，．若，，，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，，，根据，求出结果即可． 【详解】解：如图，以线段，，，所在直线构建一个新的四边形，作于点O，作于点R， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∵和中，，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， 根据题意可得：，，，， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理：，，，， ∴ ． 【题型4 四边形中线段最值问题】 【例4】如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 【变式4-1】如图，正方形的边长为，点在上，，点，分别在，上，于点，连接，．两位同学经过深入研究，小明发现：线段的长度始终为；小丽发现：当时，取到最小值为．请对两位同学的发现作出判断（     ） A．小明的发现正确，小丽的发现错误 B．小明，小丽的发现都错误 C．小明的发现错误，小丽的发现正确 D．小明，小丽的发现都正确 【答案】D 【分析】首先通过构造全等三角形证明，从而验证小明的发现；其次利用轴对称性质（将军饮马模型）求出的最小值，并计算此时的度数，从而验证小丽的发现． 【详解】验证小明的发现： 如图1，过点作于点， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又 ，且在同一直线上，， ，即， 在和中， ， ， 在 中，， ，故小明的发现正确； 验证小丽的发现： 由可知， 设，则， 点在上，且在上方（由在上，在上及走向可知）， 点到的距离为， 点到的距离为， 在中，， 在中，， ，此式表示轴上一点到点和点的距离之和，如图， 作点关于轴的对称点，当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ， 设所在直线解析式为，代入坐标可得， 解得，所以所在直线解析式为，与轴交点坐标为， 所以， 当时，,, 设, ， 在中，， 在中，， ，解得，， 所以是等腰直角三角形，所以， 所以小丽的发现正确， 综上所述，小明和小丽的发现都正确． 【变式4-2】如图，在矩形中，，，，，，分别是，，，上的动点，且，，连接，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设、交于点，连接，，，由题意可知四边形，都是矩形，则，，得到，当点，，共线时，有最小值，为，即可求解． 【详解】如图，设、交于点，连接，，， 由题意可知四边形，都是矩形， ，， ， 当点，，共线时，有最小值，为， 即的最小值为． 【变式4-3】如图，四边形是菱形，点A，B，C，D均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是（     ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，轴对称性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求解即可． 【详解】解：菱形，， ，， ∴关于直线对称， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴三点共线时，取得最小值，且最小值为， 菱形，， ∴，，， ∴都是等边三角形， 点是的中点， ∴， 点， ， ，， ， 的最小值为6， 故的最小值为6； 【题型5 四边形的存在性问题】 【例5】如图，在正方形中，点在对角线上，连接，过点作，交线段于点，过点作于点．小明认为：总有；小红认为：存在四边形的面积和的面积相等的情况，此时要满足．则（     ） A．小明观点正确，小红观点错误 B．两人观点均正确 C．小明观点错误，小红观点正确 D．两人观点均错误 【答案】A 【分析】验证小明观点：过点作于，利用正方形性质和角平分线性质证明，从而得出； 验证小红观点：设，分别表示出四边形和的面积，建立方程求解与的关系，判断是否满足 【详解】验证小明观点： 过点作于 四边形是正方形，是对角线 ，平分 ， 四边形是正方形 在和中 故小明观点正确； 验证小红观点： 设 四边形是正方形 若 则 ， 即 小红观点错误 综上所述，小明观点正确，小红观点错误． 【变式5-1】在中，，（），对角线，交于点，点是边上的一个动点（不与点，重合），连接并延长交于点，连接，． 给出下列四个结论： ①对于动点，四边形始终是平行四边形； ②当时，至少存在一个点，使得四边形是矩形； ③不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是菱形； ④若，不论取何值，至少存在一个点，使得四边形是正方形． 其中所有正确结论的序号是__________． 【答案】①③/③① 【分析】由于经过平行四边形的中心O，故四边形一定也是平行四边形，这可以通过证明与相等来说明．然后只要让平行四边形再满足适当的特殊条件就可以变成对应的特殊平行四边形． 【详解】解：①∵四边形为平行四边形，对角线与交于点O， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 即E在上任意位置（不与A、B重合）时，四边形恒为平行四边形，故结论①正确． ②当时，， ∵， ∴不是矩形， ∴E在上任意位置，都不可能为矩形，故结论②错误． ③如图， 当时，为菱形，故结论③正确． ④由②可知，当时，不可能为矩形，更不可能为正方形，故结论④错误． 【变式5-2】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，且的面积是． (1)求出和的值． (2)以为边在第一象限内作正方形．在轴上找一点，使得的周长最小，并求出点的坐标． (3)点是第一象限内的动点，且满足，试探究：是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，， 【分析】（1）先根据点坐标和的面积求出点坐标，将和坐标代入直线解析式，即可求出和的值． （2）先利用正方形的面积和垂直的性质推出从而推出点坐标，根据勾股定理确定定值，结合周长最小，确定最小，利用轴对称的性质，知道最小，即三点共线，根据和坐标求出直线解析式，最后求出点坐标． （3）利用面积相等求出的面积，再根据的长度求出到的距离为定值，从而知道所在的直线解析式与平行，结合的距离和从而知道点所在的直线解析式就是直线解析式，根据平移的性质代入点坐标，求出点所在的直线解析式，设，根据等腰三角形的性质分情况讨论①②③，利用线段相等，结合点的坐标和勾股定理，列关于的方程，解出即可求出点坐标． 【详解】（1）解：， ． 的面积是， ， ， ． ，在直线上， 解得， （2）解： 过点作轴于点，如图所示， 为正方形， ，， ，， ， ，， ， ，，， ，， 在中，，， ，， 的周长最小，为固定值， 为最小时，的周长最小， 作点关于轴的对称点，则， 连接交于点，此时点即是满足最小值的点， ， ， 设直线的解析式为则，解得， ． 在轴上， ， ， ； （3）解：由（1）可知，，连接，如图所示， ， ， ， 设到直线的距离为， 即， ， 点在过点与直线平行的直线上，即直线． 由（1）可知，直线解析式中，， 直线解析式为， 设点所在的直线解析式为， ， ， ， 点所在的直线解析式为， 则， ①当时，则， 此时和点重合， ， . ②当时，过点作轴于点，如图所示， 则， 在中，， ，， ，即， ， ， ． ③当时，过点作轴于点，过点作轴于点如图所示， ，，，则，， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了一次函数和几何综合，涉及到正方形的性质，最短路径，等腰三角形的性质，勾股定理，一次函数的解析式，解题的关键是利用轴对称找出最小值，利用等腰三角形两腰相等分情况讨论，将点的坐标转化为线段相等． 【变式5-3】【回归教材】 如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．（提示：取的中点，连接．） (1)请思考，题目中“提示：取的中点，连接”，这样添加辅助线的意图是为了得到条件：_________；（选择序号） ①；②；③； 【类比探究】 (2)如图1，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变．求证：； (3)如图2，若点是边上任意一点（不与点，重合），其他条件不变，连接，交于点，是否存在常数，，使等式成立？若存在，请写出和的值，并证明你写出的的值和的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)证明：在上取点，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵交正方形外角的平分线于点， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； (3)解：存在常数，使等式成立，证明如下： 在上取点N，使，连接， 由（2）得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）结合正方形的性质可得； （2）在上取点，使，连接，可得为等腰直角三角形，证明，即可解答； （3）在取点N，使，连接，可得四边形为平行四边形，再证明，可得，即可解答． 【详解】（1）解：取的中点，连接，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴； （2）略 （3）略 【题型6 情景探究题】 【例6】情景呈现：小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系． 提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？ (1)探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度： ①矩形中，，，则_______； ②在菱形中，，，则_______； 再通过几何图形一般化具体分析找规律： ③如图1，在正方形中，，则_______；（请用含a的代数式表示） ④如图2，在矩形中，，，则_______．（请用含a、b的代数式表示） (2)猜想并证明：如图3，在中，，，大胆猜想与a、b的数量关系为_______，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程． 【答案】(1)①；②；③；④； (2)，证明如下， 方法一：采用几何法： 如图，过点A作于，过点D作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 设，则，， ∵，， ∴ 同理可得：， ∴． 方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则， 由平行四边形性质，点C的坐标为： ∴，，， ∴ ∴ 【分析】（1）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可； （2）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可． 【详解】（1）解：①∵矩形中， ∴，，， ∴，， ∴； ②如图， ∵在菱形中，，， ∴，， 根据勾股定理得， ∴， ∴； ③∵正方形的边长为，，， ∴， ∴； ④∵矩形中， ∴，，，， ∴， ∴； （2）略 【变式6-1】综合与探究 问题情景：数学课上，老师画出一个四边形（如图1所示），并依次标记了各边，，，的中点E，F，G，H．要求同学们对以下问题进行探究． (1)探究一：四边形是平行四边形吗？说明你的理由． (2)探究二：如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，猜想四边形的形状，并证明你的猜想； (3)探究三：若改变（2）中的条件，使，其他条件不变，请说出此时四边形的形状，并写出证明过程． 【答案】(1)四边形是平行四边形． 理由：如图1中，连接． ∵点E，H分别为边，的中点， ∴，． ∵点F，G分别为边，的中点， ∴，． ∴，． ∴四边形是平行四边形． (2)四边形是菱形． 证明：如图2中，连接，， ∵， ∴，即． 又∵，， ∴， ∴． ∵点E，F，G分别为边，，的中点， ∴，． ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． (3)四边形是正方形． 证明：如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N． ∵， ∴， ∵． ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【分析】（1）连接，根据三角形中位线的性质得到，，，，推出，，即可证明； （2）如图2中，连接，交于点O，证明，得到，然后结合三角形中位线的性质即可证明； （3）如图2中，设与交于点O，与交于点M，与交于点N，证明，结合四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【变式6-2】情景再现：我们动手操作：把正方形沿对角线剪开就分剪出两个等腰直角三角形，把其中一个等腰直角三角形与正方形重新组合在一起，图形变得丰富起来，当图形旋转时，问题也随旋转应运而生． 如图①把正方形沿对角线剪开，得两个等腰直角三角形和． (1)问题呈现 我们把剪下的两个三角形一个放大另一个缩小拼成如图②所示的图形 ①若点P是平面内一动点，，，则线段的取值范围是 ．（直接写答案） ②直接写出线段与的关系是 ．（直接写答案） (2)我们把剪下的其中一个三角形放大与正方形组合如图③④⑤所示，点E在直线上，交直线于M． ①当点E在上时，如图③所示，求证：； ②当点E在的延长线上时，如图④所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 当点E在的延长线上时，如图⑤所示，则线段具有的数量关系为 ；（直接写答案） 【答案】(1)①；②，； (2)①见解析；②；； 【分析】（1）①由点是平面内一动点，，可知点在以点为圆心，1为半径的圆上，当点在上时，有最小值，点在的延长线上时，有最大值，即可求解； ②由“”可证，即可求解； （2）①由“”可证，可得，，即可得结论； ②如图④，过点作，交的延长线于点，如图⑤，过点作于点，分别利用全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）解：①点是平面内一动点，， 点在以点为圆心，以1为半径的圆上， 当点在线段上时，有最小值，此时， 当点在线段的延长线上，有最大值，此时， ； ②如图②，设与的交点为， 和是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：；，； （2）①证明：如图③，过点作，交的延长线于点，连接， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 四边形是正方形， ， 又， 四边形是矩形， ， ，， ， 又， 四边形是正方形， ， ， ； ②解：如图④，过点作，交的延长线于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 又， ， ， ， 同理①可得四边形是正方形， ， ； 如图⑤，过点作于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， 同②可得四边形是正方形， ， ； 故答案为：，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 【变式6-3】综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作判断 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平； 操作二：在上选一点P，沿折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接，．根据以上操作，当点M在上时，________，________； (2)迁移探究 嘉豪将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下： 将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接． ①如图2，当点M在上时，________． ②改变点P在上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 在（2）的探究中，已知正方形纸片的边长为8，当时，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)①； ②，理由如下： 由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， (3)或 【分析】（1）由折叠得为的垂直平分线，，连接得，故为等边三角形，在中得，由折叠得； （2）①由折叠得，正方形中，故．由折叠得，故．在和中，证全等，得．由（1）得，故，从而，解得． ②同①证，即可得； （3）设，由折叠得．当在靠近的一侧，由正方形边长为8及是的垂直平分线得，．由得，．由（2）中全等得，故．在中，由勾股定理列方程，解得．当在靠近的一侧，同理列方程求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知，是的垂直平分线，， 连接，可得， ， 为等边三角形， ， ， ， 由折叠可知，， ． （2）解：①由折叠可知，， 在正方形中，， ， 在正方形中，， 由折叠可知，， ， 在和中， ， ， ， 由（1）可得， ， ②略 （3）解：如图，当在靠近的一侧， 设， 由折叠可知，，是的垂直平分线， 在正方形中，，， ，， ， ， 由（2）可得，， ， ， 在中， ，即， 解得， 如图，当在靠近的一侧， 设， 同理可得，，，， 在中， ，即， 解得， 综上， 或． 【题型7 解答证明题】 【例7】如图，在中，，点D为线段上一点，且，点E是线段上一点（不与端点重合），连接，以为斜边在其右侧作，且． (1)当时， （i）若，证明：平分． （ii）连接，若点E是线段的中点，且，求的长． (2)当时，连接并延长交的延长线于点G，求证：． 【答案】(1)（i）证明：如图1， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分． （ii）8 (2)证明：如图3，延长到，使，连接，在上取点，使，连接、 ， ∵是直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，即：， ∴， ∴， ∵，， 且， ∴， ∴，即：， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， 又∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）（i）根据，，求出的度数，再根据，即可求出的度数，再根据，可求出，再根据，可求出的度数，进而可求出，即可得，进而可判断平分． （ii）过点作于，再过作于，即可得、等于90度，根据条件，结合等腰三角形性质可得四边形是矩形，再证明，即可得四边形是正方形，根据正方形性质得，设，根据E是线段的中点，即可列方程求出 ，再根据，即可列方程解出的长． （2）延长到，使，连接，再在上取点，使，连接、 ，根据是直角三角形，即可得是的垂直平分线，进而得，根据等边对等角得，再根据等腰三角形性质，结合已知条件得，进而得，再在和中，运用三角形内角和定理推出，进而得，即可证明，根据全等性质得，再根据，进一步推理得，即可得，根据平行线性质得，即可证明，根据全等性质即可得． 【详解】（1）解：（i）略 （ii）如图2，过点作于，再过作于，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵是直角三角形，且，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， ∵E是线段的中点， ∴， ∴，， ， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， ∴， ∴的长为8． （2）略 【变式7-1】如图1，在正方形中，点在边上，于，于． (1)求证：； (2)如图2，若为的中点，判断的形状，并证明． 【答案】(1)证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)解：为等腰三角形，证明如下： 过作于点， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【分析】（1）利用正方形的性质得出，，再利用直角三角形两个锐角互余得出进一步得出，证明，由全等三角形的性质得出． （2）过作于点，同（1）证明，由全等三角形的性质得出，，设，，进一步得出，即可得出，则为等腰三角形． 【详解】（1）略； （2）略； 【变式7-2】如图，在正方形中，点在延长线上，点与点关于直线对称，连接并延长交的延长线于点，连接交于点，在上取一点使得，连接． (1)求证：； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：连接． ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点F与点B关于对称， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． (2)解：，证明如下： 设， 由轴对称可得， ∵在正方形中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 过点P作于点Q，则， ∴， ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴，． ∵在正方形中，， ∴， ∴，即， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴． 【分析】（1）连接．由正方形的性质得到，，由轴对称的性质得到，．证明，得到，证明，得到，即可得证结论； （2）设，由轴对称可得，则，，因此，得到，．过点P作于点Q，则，根据同角的余角相等得出，即可证明，因此，．根据线段的和差证明，因此在中，根据勾股定理得到，即可推出． 【详解】（1）略 （2）略 【变式7-3】已知：如图，四边形是平行四边形，平分，平分，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明：∵点F为线段中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴． (2) 四边形为正方形， 证明：∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形为矩形， ∴， ∵、分别平分、， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ∴四边形为正方形． 【分析】（1）根据题干中的几何关系找到能证明两三角形全等的条件即可． （2）当时结合四边形为平行四边形，可得到四边形为矩形，通过矩形的性质结合角平分线得到，最后再利用（1）得到的全等三角形即可进一步完成证明． 【详解】（1）略 （2）略 【题型8 四边形综合】 【例8】综合与实践 【定义学习】 若一个四边形有一组对角互补（即对角之和为），则称这个四边形为“圆满四边形”． (1)【概念理解】 在①矩形，②菱形中，是“圆满四边形”的是 _____ ；（请填写序号） (2)【性质探究】 如图1，已知四边形是“圆满四边形”，若，，对角线，求四边形的周长． (3)【判定探究】 如图2，已知平分，点在射线上，于点，于点，点在射线上，点在线段上，，连接，．求证：四边形为“圆满四边形”． 【答案】(1)① (2)14 (3)证明：平分，于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 四边形为“圆满四边形”． 【分析】（1）根据“圆满四边形”定义即可解决问题； （2）证明，得，根据“圆满四边形”定义和勾股定理即可解决问题； （3）证明，得，然后证明，即可解决问题． 本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解“圆满四边形”定义． 【详解】（1）解：矩形的四个内角都是， 矩形的两组对角的和为， 矩形是“圆满四边形”； 菱形的对角相等，若内角不是，则对角和不为，故菱形不一定是“圆满四边形”， 因此选①；   （2）解：，，， ， ， 四边形是“圆满四边形”， ， ， ，， ， 四边形的周长； （3）略 【变式8-1】定义：存在相邻两边的平方和等于其中一条对角线的平方的四边形叫做“勾股四边形”，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． (1)如图1∶若四边形中，，，，四边形 “勾股四边形”(填“是”或“不是”)，若是则写出勾股边 ，若不是填无． 性质探究： (2)如图2，，，，，． ①求证：无论θ取何值，四边形一定为“勾股四边形”． ②若四边形也为“勾股四边形”，且，为勾股边，求θ的值． 拓展应用： (3)如图3， 和都是等边三角形，连接，当四边形 是以、为勾股边的勾股四边形时，若 求的长． 【答案】(1)是；与 (2)①证明：，，，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即四边形一定为“勾股四边形”； ② (3)3 【分析】（1）根据“勾股四边形”的定义求解即可． （2）①由三角形内角和定理得出，由角的和差关系可知，然后根据勾股定理得出，即可证． ②先证明，由全等三角形的性质得出， 等量代换可得出，再由勾股四边形的定义可知，即可得出，由等边三角形的判定和性质即可求出的值． （3）连接，，过点作于点，证明，由全等三角形的性质得出，由，结合勾股四边形的定义进一步得出是直角三角形，且，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由等边三角形的性质得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴四边形 是“勾股四边形”，勾股边为与； （2）解：①略； ②解：， ． 在与中， ， ． 又， ． 四边形为“勾股四边形”， ，为勾股边， ∴勾股边的平方和不可能等于， ∴， ． 又， 是等边三角形， ， ． （3）解：连接，，过点作于点， 和是等边三角形， ，，， ． 即， 在和中， ， ， 四边形是以、为勾股边的勾股四边形，且， ， ， 是直角三角形，且， ， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，， ， 由勾股定理可得，， ． 【变式8-2】如图①，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． (1)求证：．并直接写出，与之间的数量关系； (2)在图①条件下，若，，求正方形的边长； (3)如图②，点，分别在边、上，且．点、分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可得： ∴，，，， ∴， ∴点，，三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． (2)正方形的边长为． (3)．理由如下： 将绕点顺时针旋转，点于点重合，得到，连接， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【分析】（1）由旋转可得，得出点，，三点共线；根据，，推出，根据全等三角形的判定和性质，得到，则，等量代换，即可； （2）由正方形的性质，可得，，根据勾股定理求出，推出，根据线段的数量关系，可得，求出，即可； （3）将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接，推出，，，，由全等三角形的判定和性质，可得，根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，推出，最后根据勾股定理，求出，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴正方形的边长为． （3）略 【变式8-3】小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号） (2)【类比学习】如图1，若，，则________； (3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明． (4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长． 【答案】(1)③④ (2) (3)，证明见解析 (4) 【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求． （2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算． （3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系． （4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算． 【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形． （2）解： ； （3）解：数量关系：，证明如下： 设对角线、交于点， 由勾股定理： ，， ∴； 同理，，， ∴， ∴． （4）解： ∵，分别是，的中点， ∴，，，且． 又∵，四边形是垂美四边形， 由（3）的结论得： ， 代入，，，得 ， 整理得， 解得（边长为正，舍去负根）． 【探究式学习】 1．按要求解答问题： (1)【感知】如图①所示，在正方形中，点在边上，平分．若分别延长与，交于点．求证：． (2)【探究】如图②所示，在矩形中，点是边的中点，点在边上，平分求证：． (3)【应用】在【探究】的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； (2)延长交的延长线于点， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，； ∵是中点， ∴， 在和中， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； (3) 【分析】（1）根据正方形得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得，由角平分线的性质可得，进而得到，根据等边对等角即可得证； （2）延长交的延长线于点，根据矩形的性质和角平分线的性质可证，可得，再根据角平分线的性质可得，进而得到；即可证得； （3）设，由（2）的结论，代入得，，在中由勾股定理： 代入数值计算即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3）∵是中点，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴ 设， 由（2）的结论，代入得； 在矩形中， ， 在中由勾股定理： ∴ ， ∴， 解得 即． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 2．综合与探究 问题情境：王老板的旧车棚老化狭窄，车辆常被雨水打湿、停放不便．为改善车辆遮护条件，他计划新建如图1所示的钢结构车棚，既提升遮雨效果，也拓宽停车空间． 方案设计：如图2是该车棚的横截面图，可以近似看成由等腰三角形和矩形构成的封闭图形，已知矩形的宽米，长米，最高点到的距离为米． 方案实施： 如图3，以所在直线为轴，过点作的垂线为轴，垂足为原点，建立平面直角坐标系． (1)①直接写出、两点的坐标．②求直线的函数表达式． (2)为了加固车棚，如图4，计划在车棚内安装三根支撑杆，，，其中，点，在线段和上，点，在地面上． 若四边形恰好是正方形，设点的横坐标为． ①点的横坐标为__________（用含的代数式表示）； ②请你帮王老板求出支撑杆的长度． 【答案】(1)①，；② (2)①；②支撑杆的长度为米 【分析】（1）①根据矩形的性质和等腰三角形三线合一性质求解； ②求出，然后利用待定系数法即可得到直线的函数表达式； （2）①根据等腰三角形，矩形和正方形的对称性求解； ②设与x轴交于点F，首先表示出米，得到点M的坐标，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形， ∴米，米，， ∵，等腰三角形，即， ∴米， ∴，，，； ②∵最高点到的距离为米， ∴米， ∴， 设直线的函数表达式为 将，代入得， 解得 ∴直线的函数表达式为； （2）解：①∵y轴垂直平分，四边形是矩形，四边形是正方形， ∴由轴对称性质可得，点M和点P关于y轴对称， ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为； ②如图，设与x轴交于点F， ∵点的横坐标为， ∴， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，和共线， ∴四边形是矩形， ∴米， ∴（米）， ∴点M的坐标为， ∵直线的函数表达式为，点M在直线上， ∴， ∴， ∴（米）， 答：支撑杆的长度为米． 3．点、分别在正方形的边、上，． (1)如图，若，求的度数； (2)如图，若点为中点，，求的面积； (3)如图，过点作交于点，过点作交于点，与相交于点，记矩形的面积为，矩形面积为，请探究是否为定值？若是，试求这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)15 (3)是定值，定值是2 【分析】（1）证明，得到，据此求解即可； （2）延长至M，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）设，，，由（2）知，得到，在中，利用勾股定理列式计算得到，分别用和表示出和，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：延长至M，使得，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为中点，， ∴， ∴设，则，， 在中，， 即， 解得， ∴； （3）解：延长至M，使得，连接， 设，，， 由题意得，， 则，， 由（2）知， ∴， 在中，， 整理得， ∴， ∴， ∴． 4．【综合与实践】 八年级下册课本第64页中的“数学活动”——“折纸”引起了许多同学的兴趣．于是，数学活动课上，老师引导同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 (1)如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点．由此，可判断与的数量关系为： ． 【初步应用】如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为． (2)求证：． (3)若，，求折痕的长． 【迁移探究】如图3，将矩形纸片换成正方形纸片，按照如下步骤操作： 步骤一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． 步骤二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接． (4)若正方形纸片的边长为，，直接写出的长． 【答案】(1) (2)证明：由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． (3)5 (4)的长为或 【分析】（1）由折叠的性质得出，由矩形的性质得出，进而可得出，由等角对等边得出． （2）由折叠的性质可得出，由矩形的性质得出，进而可得出，又，即可得出． （3）设，则，在中，，利用勾股定理求出x，进而求出． （4）由折叠的性质得出，，，，得出，由全等三角形的性质得出，然后分两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）略 （3）解：∵四边形沿所在直线折叠， ∴，，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴ ∴． （4）解：由折叠的性质得：，，， ， ∴， 又， ∴， ∴， 分两种情况： 当点Q在线段上时， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 当点Q在线段上时， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【课后检测】 1．如果点、、、分别是菱形四边、、、上的中点，那么四边形是（     ） A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】B 【分析】连接菱形的对角线，根据菱形的对角线性质和三角形的中位线定理先证明四边形是平行四边形，再证明，即证四边形是矩形． 【详解】解：如图，连接、相交于点； 四边形为菱形， ． 点，，，分别是菱形四边的中点， ，； 同理可证：，，， ，， 四边形为平行四边形； ，，， ， 四边形为矩形． 2．如图，将矩形纸片沿其对角线折叠，使点落到点的位置，与交于点，若，，则图中阴影部分的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠性质和矩形性质，将阴影部分周长转化为矩形周长计算解题． 【详解】∵四边形为矩形， ∴，， 由翻折可得， ∴阴影部分的周长为 ． 3．图中正方形、的边长分别为和，则正方形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的性质证明，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形、、均为正方形， ∴，，， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴正方形的面积为． 4．直角三角形斜边上的高和中线分别是3和4，则它的面积是（    ） A．24 B．20 C．15 D．12 【答案】D 【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线为4， ∴根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得斜边长为， ∵斜边上的高为3， ∴面积为． 5．如图，在正方形中，对角线、交于点，点是上一点，连接，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质可得，，，，则，，然后通过勾股定理和线段的和与差即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 6．如图，在中，连结，，相交于点．从四个条件①；②；③；④中，选两个作为补充条件，则不能判定为正方形的是（     ） A．①② B．③④ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】要判定是正方形，则需判定它既是菱形又是矩形，据此解答． 【详解】解：A．∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∵， ∴是矩形， ∴为正方形，故A不符合题意； B．∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∵， ∴是矩形， ∴为正方形，故B不符合题意； C．∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∵， ∴是矩形， ∴为正方形，故C不符合题意； D．∵四边形是平行四边形，， ∴是矩形， ∵， ∴是矩形， ∴不一定为正方形，故D符合题意． 7．下列条件中能判定一个四边形是正方形的是（     ） A．三个角是直角的四边形 B．对角线互相垂直的矩形 C．对角线互相垂直的平行四边形 D．有一个角是直角的平行四边形 【答案】B 【分析】正方形需同时满足矩形和菱形的判定条件，以此验证各选项. 【详解】解：∵ 三个角是直角的四边形是矩形，不一定是正方形，∴ A错误； ∵ 矩形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴ 对角线互相垂直的矩形既是矩形又是菱形，是正方形，B正确， ∵ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，∴ C错误； ∵ 有一个角是直角的平行四边形是矩形，不一定是正方形． 8．按如图方式从一个大正方形纸片中恰好截出面积分别为和的两个小正方形，则大正方形的边长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积公式计算出两小正方形的边长，再把两小正方形的边长相加即可得到大正方形的边长． 【详解】解：两小正方形的边长分别为：，， ∴大正方形的边长为． 9．如图1，点，分别从正方形的顶点，同时出发，沿正方形的边逆时针方向匀速运动，若点的速度是点速度的2倍，当点运动到点时，点，同时停止运动．图2是点，运动时，的面积随时间变化的图象，则正方形的边长是（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据图2可知，时，点Q运动到点C，点P运动到的中点，的面积为4，进行计算即可． 【详解】解：当点Q在上运动时，的面积为， 当时，的面积为4， 即， 此时点为的中点， 故， 解得：． 10．如图，在正方形中，E是边上的一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接、，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用折叠的性质证明，从而得出，并利用勾股定理求出的长度，进而逐一判断各个结论的真假． 【详解】解：如图，连接． ∵正方形，，， ∴，． 由折叠得：，，，， ∴， ∵，， ， ，， ，故①正确； 设，则，， 在中，由勾股定理， 即， ，解得， ∴，，， 若，则是等边三角形，， ∴， ∴，不符合题意， ∴， 即不是等边三角形，，故②错误； ， ， ， ，， ， ，故③正确， 在中，，， ∴， ∵和的顶点C相同，底边和在同一条直线上， ∴它们的高相等，面积之比等于底边之比， ∴， ∵，故④错误， 综上所述，正确的结论是①和③，共2个． 11．如图，有两张矩形纸片和，，，使重叠部分为平行四边形，且点与点重合．当两张纸片交叉所成的角为时，重叠部分的面积等于_______________． 【答案】 【分析】根据矩形对边平行的性质判定重叠部分为平行四边形，由交叉角为及矩形直角性质判定为等腰直角三角形，利用勾股定理求出平行四边形的底边长，结合矩形宽求出面积． 【详解】解：如下图，设与交于点N， ∵四边形和四边形是矩形， ∴， ∴重叠部分为平行四边形，且该平行四边形在边上的高为， ∵两张纸片交叉所成的角， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴重叠部分的面积． 12．如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为点E，且平分，则的长为________． 【答案】 【分析】证明，得出，根据矩形性质得出，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：（负值舍去）． 13．如图，在中， ，，，P为上任意一点，于F，于E，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】连接，证明四边形为矩形，得出，根据垂线段最短，得出当时，最小，根据等积法求出最小值即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 根据勾股定理得：， ∵此时， ∴． 14．如图，四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．当____________时，． 【答案】9或11 【分析】当，则四边形为平行四边形或等腰梯形时，再根据平行四边形和等腰梯形的性质求解即可． 【详解】解：依题意得：， ， ， ， ∵ 若，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时， 即， ， 解得， ②如图所示，当四边形为等腰梯形时， 过点作，交于点，过点作，交于点， ∵ ∴ ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 即， 解得； 综上可知，经过或时，． 15．如图，一块矩形纸片，长，宽，将这块矩形纸片沿对角线对折（折痕与折叠后得到的图形用虚线表示），得到，则___________． 【答案】/ 【分析】利用矩形性质和折叠性质，证明得到，，设，在中，利用勾股定理求得x值即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴，，又， ∴， ∴，， 设，则， 在中，由得， 解得，故． 16．如图，点是菱形对角线的交点，，，连接．求证：． 【答案】证明：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵菱形中，， 即， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵菱形中，， ∴． 【分析】由菱形的性质和矩形的判定，证明四边形是矩形，即可得到． 【详解】略 17．如图，在矩形中，对角线与交于点，，．求证：． 【答案】证明：，， 四边形是平行四边形， 矩形， 对角线和相等且互相平分， ， 是菱形， ． 【分析】先证四边形是平行四边形，再根据矩形的性质可证，从而可证是菱形，即可求证． 【详解】略 18．如图，在中，，分别延长，至点，，且，，连接，，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，四边形的周长为，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，， 是矩形， ， ， ∴平行四边形是菱形； (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，是矩形，进而得到，得到，即可得证； （2）根据菱形的周长求出菱形的边长，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理，求出的长，再利用矩形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知四边形为菱形，且， ，， ∵在中，， ， ， ， ， ． 19．已知是直角三角形且 (1)如图1，点在上，平分，点和点分别是边和上的点，请使用尺规作图作菱形（不写作法，保留作图痕迹），并证明四边形为菱形． (2)如图2，在（1）的条件下，连接和相交于点，若，，求菱形对角线的长． 【答案】(1) 证明：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形为菱形； (2) 【分析】（1）作的垂直平分线交于点E，交于点F，交于点O，连接，此时菱形即为所作；根据垂直平分线和角平分线证明，可得，进而即可证明四边形为菱形； （2）先根据勾股定理求出，再结合菱形的性质可得，最后运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴． 20．如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过点M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长交的延长线于点G． ∵F为边的中点， ∴， ∴． 在菱形中，对角线平分， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 【分析】（1）首先根据菱形性质得到对边平行和邻边、相等，根据平行线性质推出内错角，结合已知条件得到，再根据等角对等边以及垂线性质得到，求出的长，进而求解的长． （2）首先运用辅助线构造全等三角形，延长交的延长线于点G，根据菱形性质和已知条件证明，接着运用定理证明，得到；然后根据等角对等边得到；最后结合中线性质和平行线性质，运用定理证明，得到；将进行等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴（等角对等边）． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）略 21．在等腰中，，，点在边上，点在边的延长线上，且满足，连接交于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，在上截取，连接，设（），作点关于的对称点，连接、，与交于点，请你补全图形，并求（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点D作交于点M， 、 ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，即点G是的中点， ∴， 在中，， ∴． (2)根据题意作图如下， 【分析】（1）根据题意得到，过点D作交于点M，可证，，即点G是的中点，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解； （2）过点D作交于点，交于点，连接，证明，从而得到，再由（1）知，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点D作交于点，交于点，连接， 由已知以及对称的性质知：， ， ∴， 则， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， 且， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．【初步感受】 (1)如图1，在正方形中，点、、分别是、、边上的点，连接、．若，垂足为．将沿方向平移到，连接．求证：； 【迁移应用】 (2)如图2，在矩形中，点、、分别是、、边上的点，连接、，，垂足为．若，猜想与之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图3，王叔叔家有一个矩形菜地，他计划对其进行改造，点、分别在、边上，在改造的过程中始终要满足，连接，过点作交边于点，垂足为．他计划在四边形区域内种植茄子，在四边形区域内种植西红柿，并分别沿、修建灌溉水渠，经测量，米，米，为了控制成本，要求灌溉水渠（）的总长度尽可能的短，若不考虑其他因素，求灌溉水渠（）总长度的最小值．（水渠宽度忽略不计） 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，，， 将沿方向平移到， ，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，即， ∴、、、在一条直线上， ， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， ； (2)解：，理由如下： 如图2，取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接， ，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， ， ，点是的中点，点是的中点， ，，是的中位线， ， ， ， ， ； (3)米 【分析】（1）证明，即可证明结论； （2）取的中点，的中点，连接，将沿方向平移到，连接，同理（1）可得，，即可得结论； （3）过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形，，，取的中点，的中点，同理（2）可得，，在中，可得，则，在中，可得，再由，即可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3，过点作，过点作交于点，过点作于点，过点作于点，连接，则四边形是平行四边形， ，， ， 当、、在一条直线上时，取得最小值，最小值为的长． 四边形是矩形， ，， ， 四边形是矩形，， ，， ， ， ， ， ， ， 取的中点，的中点，连接， 则，，是的中位线， ∴，， ， ， ， ， ，， ， 在中，， ，     ，， ， 在中，， 的最小值为米， 故灌溉水渠（）总长度的最小值为米． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 93 页 第 1 页 共 93 页 学科网（北京）股份有限公司 $