第05讲 认识一元二次方程（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的定义、一般形式及解这三大核心知识点，先明确定义需满足整式方程、一个未知数、最高次数2的条件，再梳理一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）及各项系数，最后阐述解的意义与性质，形成递进式学习支架。 资料通过6类题型（含例题与变式）分层训练，结合探究式学习（如赋值法估算方程近似解）培养数学思维与创新意识，课后检测与复盘笔记助力学生巩固，课中便于教师系统授课，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

简一数理 初中专题讲义 第05讲 认识一元二次方程 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程的定义 2 知识点二、一元二次方程的一般形式 2 知识点三、一元二次方程的解 2 【题型1 一元二次方程的定义】 3 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 4 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 6 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 7 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 9 【题型6 一元二次方程的解的估算】 11 【探究式学习】 14 【课后检测】 14 【复盘笔记】 22 知识点一、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点二、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点三、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【题型1 一元二次方程的定义】 【例1】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程必须满足四个条件：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数为2；二次项系数不为0，逐一判断选项即可 【详解】解：一元二次方程必须是整式方程，选项A中是分式，该方程是分式方程， A不符合要求； 选项B中未规定，当时方程不是一元二次方程， B不符合要求； 对选项C，，可得，即二次项系数一定不为0，方程是只含一个未知数的整式方程，且最高次数为2，一定是一元二次方程， C符合要求； 整理选项D的方程得，当时二次项系数为0，方程不是一元二次方程， D不符合要求 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，故此选项符合题意； B、，含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，含有分式，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，当时不是一元二次方程，故此选项不符合题意． 【变式1-2】下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，注意二次项系数不为0的隐含条件，结合方程类型与未知数个数逐一判断． 【详解】解：A、当时，该方程不含二次项，不是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程； B、方程含有，两个未知数，所以该方程不是一元二次方程； C、方程分母含未知数，不是整式方程，所以该方程不是一元二次方程； D、方程只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，且二次项系数不为0，是一元二次方程． 【变式1-3】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程得到关于的方程，求解后再结合一元二次方程的定义排除不符合条件的值，即可得到结果. 【详解】解：是一元二次方程的一个根， ， 解得或， 又原方程是一元二次方程， 二次项系数，即， 而和都满足， 因此的值为或. 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 【例2】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【答案】C 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数的定义，求解即可． 【详解】解：∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为； ∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为， ∴一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为，或，． 【变式2-1】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据题意给出的一次项系数列方程求解即可． 【详解】解： 展开右侧得 移项合并同类项得 由题意，该方程一次项系数为，可得 解得． 【变式2-2】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A、方程含，两个未知数，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； B、方程含分式，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，故选项不符合题意； C、当时，方程为，是一元一次方程，不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、整理方程得，符合一元二次方程的定义，故选项符合题意． 【变式2-3】若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查配方法，熟练掌握配方法是解题的关键．将化为一般式，求出的值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵关于的方程是由方程配方后得到的， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义得出且，再求出k的值即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得． 故选：A． 【变式3-1】一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据一元二次方程的一般形式及其相关定义解答即可． 【详解】解：根据题意知，一元二次方程的二次项系数是， 故选：C． 【变式3-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 【变式3-3】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义列式计算即可． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且 ， 由得， ， 又， ， ． 故选：B． 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 【变式4-1】对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的一般式即可判断①；将代入即可判断②；将代入化简即可判断③；把代入，然后化简等式的左边与右边，即可判断④． 【详解】解：①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是，故①错误； ②把代入方程的左边，则， ∵， ∴方程左边等于0，即方程成立， ∴是方程的根，故②正确； ③将代入，则，则，由于，故，故③正确； ④若是一元二次方程的根，则，则 ∴，， ∴，故④正确， ∴正确的有3个． 【变式4-2】嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【答案】C 【分析】先根据写错的方程的根得到a与b的关系，再进行验证甲、乙说法的正确性，分别用到一元二次方程根的定义和根的判别式的性质． 【详解】解：由题意可知，写错一次项系数后的方程为， ∵该方程一个根为， ∴将代入得， 解得， 甲：∵原方程为， ∴将代入原方程得， 解得， ∴是原方程的根，甲说法正确； 乙：由题意得，， 代入得， ， 当时，，即， ∴原方程有两个不相等的实数根，乙说法正确． ∴甲、乙都对． 【变式4-3】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，即可解答．解题的关键是掌握方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵， 又把代入方程中得：， ∴这个方程必有一个根是． 故选：D． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【例5】已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据方程根的定义得到，将所求代数式化简降次后整体代入求值. 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， . 【变式5-1】若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】将方程的解代入方程得到，化简所求代数式后整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 整理得， ∴ ． 【变式5-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 【变式5-3】已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据a是方程的一个根，得出，从而得出，再将变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 【题型6 一元二次方程的解的估算】 【例6】根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 【变式6-1】根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【详解】解：∵当时，， ∴方程有一根为，故A正确，不符合题意． ∵当时，，当时，， ∴在之间存在使，即方程有一根的取值范围是，故B正确，不符合题意． 由上述推导仅能得到根在范围内，无法确定根一定是，故C错误，符合题意． ∵方程已有一根为，另一根在，两根不相等， ∴方程有两个不相等的实数根，故D正确，不符合题意． 【变式6-2】输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 【变式6-3】根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是方程解与对应数值变化的关系，利用“数值由负变正必经过”的逻辑是解题的关键．根据表格可知， 时函数值为（负）、时函数值为（正），进而确定方程的一个解的范围． 【详解】当时，； 当时，， 方程的一个解满足． 故选：． 【探究式学习】 1．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的近似解．仔细观察表中对应数据，找到x的取值范围是解答本题的关键． 根据表格得：当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，； ∴一元二次方程的近似解的大致范围为：． 故答案为：． 【课后检测】 1．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义判定，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2且二次项系数不为0，逐个验证每个方程即可得出结果． 【详解】解：①，由于题目未规定，当时方程不是二次方程，则①不是一元二次方程； ②展开整理得：，则②是一元二次方程； ③是分式方程，不是整式方程，则③不是一元二次方程； ④，由于，则，则④是一元二次方程； ⑤是无理方程，不是整式方程，则⑤不是一元二次方程； ⑥，满足一元二次方程所有定义条件，则⑥是一元二次方程； 综上所述，②④⑥是一元二次方程． 2．已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将两个方程进行展开，再根据两个方程的解相同进行比较求解即可． 【详解】解：由题意得， ； ， ∵关于的方程和的解相同， ∴，， ∴． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，结合方程有两个不相等的实数根可得根的判别式，解不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 且， 即， 解得， 实数的取值范围是且． 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义以及根的情况与判别式关系，列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，且． 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式性质求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式大于等于0，解不等式即可得到k的取值范围. 【详解】解：∵原方程是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数不为，即，得. ∵原方程有实数根， ∴根的判别式， 即， 化简得， 整理得， 解得. 综上，的取值范围是且． 6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义，结合方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式得出且，解不等式即可得答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 7．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义，得到二次项系数不为0，且根的判别式大于0，解两个不等式即可得到m的取值范围，选出正确选项． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的取值范围是． 8．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据一元二次方程定义，二次项系数不为0，方程有两个实数根得判别式非负，列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，且有两个实数根， ∴，且， 解不等式得， 又∵， ∴的取值范围是且． 9．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 【答案】B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式． 一元二次方程有两个不相等的实数根需同时满足两个条件：①二次项系数不为0；②根的判别式．先确定k的取值范围，判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 即且， 只有在该范围内． 故选：A． 11．若是方程的一个根，则___________． 【答案】2023 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，展开所求式子后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴. 12．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 13．若a是方程的一个解，则的值是________． 【答案】 【分析】将代入方程得到关系式，整理得到的值，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴把代入方程得， 整理得， 两边同除以得， ∴． 14．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 15．已知a是方程的一个实数根，求的值． 【答案】2032 【分析】由题意易得，然后整体代入求解即可． 【详解】解：由题意得：，即， ∴． 16．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 17．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【答案】(1) 把代入， 得，不成立， 故不是方程的根． (2) 证明：由题意，得， 则，即， 当时，方程，完全相同，不合题意， 当时，则，故（舍去），， 把代入，得． (3)， 【分析】（1）把代入方程求解即可； （2）根据题意可得，则有，然后分类进行求解即可； （3）由题意易得，，则有，，然后根据进行分类求解即可． 【详解】（1）解：略； （2）略； （3）解：由题意及一元二次方程根与系数的关系得，， ∵， ∴，， ∵， ∴． 当时，，可得，， ∴， 此时，舍去． 当时，即， 可得， ∴． 综上所述，，． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第05讲 认识一元二次方程 （新教材北师大版） 知识点一、一元二次方程的定义 2 知识点二、一元二次方程的一般形式 2 知识点三、一元二次方程的解 2 【题型1 一元二次方程的定义】 3 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 4 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 6 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 7 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 9 【题型6 一元二次方程的解的估算】 11 【探究式学习】 14 【课后检测】 14 【复盘笔记】 22 知识点一、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 知识点二、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 知识点三、一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． 【题型1 一元二次方程的定义】 【例1】下列各方程一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列关于的方程一定是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（     ） A．或2 B． C．2 D．0 【题型2 化成一元二次方程的一般形式】 【例2】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【变式2-1】一元二次方程化成一般形式后二次项的系数为，一次项的系数为，则的值为(   ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-3】若关于的方程是由方程配方后得到的，则的值为（   ） A． B． C．6 D． 【题型3 由一元二次方程的定义求参数】 【例3】如果方程是关于x的一元二次方程，则k的值是（    ）． A．2 B． C． D．3 【变式3-1】一元二次方程的二次项系数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】关于的方程是一元二次方程，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【题型4 判断是否是一元二次方程的解】 【例4】已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】对于一元二次方程，有下列说法： ①若a是该一元二次方程的二次项系数，则一次项系数是b； ②若，则是方程的根； ③若是方程的一个根，且，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4-2】嘉嘉在解关于x的一元二次方程时，不小心将一次项系数写成了，解出其中一个根是，现有以下两种说法： 甲：原方程必定有一个根是； 乙：当时，原方程有两个不相等的实数根． 则下列判断正确的是（   ） A．甲对，乙错 B．甲错，乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都错 【变式4-3】若一元二次方程满足，则这个方程必有一个根是（   ） A． B． C． D． 【题型5 由一元二次方程的解求参数】 【例5】已知a是方程的一个根，则代数式的值是（     ） A．1 B．－1 C．0 D．2 【变式5-1】若是关于的方程的一个解，则代数式的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【变式5-2】已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 【变式5-3】已知a是方程的一个根，则的值是（    ） A． B． C． D．1 【题型6 一元二次方程的解的估算】 【例6】根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【变式6-1】根据下列表格x与的对应值，对一元二次方程的根，下列说法错误的是（） x 0 1 0 A．方程有一根为1 B．方程有一根的取值范围是 C．方程有一根为 D．方程有两个不相等的实数根 【变式6-2】输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】根据下面表格中的对应值： 判断关于的方程的一个解的范围是（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．在探究一元二次方程的近似解时，小明所在的小组采用了赋值法，算结果如表： x 小组同学说，他们发现了该方程的一个近似解．这个近似解的大致范围是______． 【课后检测】 1．下列关于x的方程： ①；②；③；④；⑤，⑥，其中一元二次方程的是（     ） A．①②④ B．②④⑥ C．①③④ D．①④⑥ 2．已知关于的方程和的解相同，则与之间的等量关系为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D．，且 5．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 6．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．若方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（  ） A． B． C．且 D．且 9．已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．3 11．若是方程的一个根，则___________． 12．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 13．若a是方程的一个解，则的值是________． 14．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 15．已知a是方程的一个实数根，求的值． 16．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 17．已知关于的一元二次方程：（）． (1)判断是否是方程的根，并说明理由； (2)现有一个关于的一元二次方程：，若方程，仅有一个相同的根，求证：； (3)若，方程的两实数根，满足，求，的值． 【复盘笔记】 化繁为简，一通百通 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $