第1节 任意角和弧度制及三角函数的概念 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念等高考核心考点，依据考试要求构建“角的概念推广-弧度制-三角函数定义”的逻辑体系。通过知识点填空梳理、思考辨析诊断、考点例题精讲、真题跟踪训练的教学流程，帮助学生系统突破终边相同角判定、弧度与角度互化、三角函数定义应用等难点。 讲义突出“问题驱动-思维建模”特色，如在弧度制应用中，通过扇形周长与面积关系转化为二次函数求最值，培养学生运算能力与推理意识。设置基础辨析题、中档例题、综合跟踪训练的分层练习，配合感悟提升总结方法，有效提升学生用数学语言表达和解决问题的能力，为教师精准把控复习节奏提供清晰路径。

第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念 考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的_____旋转所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于_______的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝_____ 弧长公式 弧长l＝_____ 扇形面积公式 S＝_____＝_____ 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与_____交于点P(x，y) 定义 正弦 _____叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝_____ 余弦 _____叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝_____ 正切 _____叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝_____(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝_____；cos α＝_____，tan α＝_____(x≠0). 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 3.(2026·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(　　) A.sin α＝ B.cos 2α＝－ C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－ 4.若α为第四象限角，则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 5.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________. 6.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________. 考点一　象限角及终边相同的角 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 2.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ 3.已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 4.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 感悟提升　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 考点二　弧度制及其应用 例1 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 感悟提升　应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 跟踪训练1 (1)(多选)(2026·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 (2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 考点三　三角函数的定义及应用 角度1　三角函数的定义 例2 (1)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________. (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 角度2　三角函数值符号的判定 例3 (1)已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 感悟提升　1.三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 跟踪训练2 (1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于(　　) A.－ B. C. D. (2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 (3)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　) A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1节　任意角和弧度制及三角函数的概念 考试要求　1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝；cos α＝，tan α＝(x≠0). 1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用. 3.象限角 4.轴线角 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)小于90°的角是锐角.(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 解析　(1)锐角的取值范围是. (2)第一象限角不一定是锐角. 2.(多选)已知角2α的终边在x轴的上方，那么角α可能是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　AC 解析　因为角2α的终边在x轴的上方，所以k·360°＜2α＜k·360°＋180°，k∈Z， 则有k·180°＜α＜k·180°＋90°，k∈Z. 故当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜α＜n·360°＋90°，n∈Z，α为第一象限角； 当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°＜α＜n·360°＋270°，n∈Z，α为第三象限角.故选AC. 3.(2026·肇庆二模)已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边与以O为圆心的单位圆相交于A点.若A的横坐标为，则(　　) A.sin α＝ B.cos 2α＝－ C.sin 2α＝－ D.tan 2α＝－ 答案　B 解析　由三角函数的定义，可得cos α＝，则sin α＝±，cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝±，tan 2α＝±，所以选B. 4.若α为第四象限角，则(　　) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0 D.sin 2α<0 答案　D 解析　∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________. 答案　 解析　与角－终边相同的角是 2kπ＋(k∈Z)， 令k＝1，可得与角－终边相同角是. 6.(易错题)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－，则y＝________. 答案　－3 解析　因为sin θ＝－＜0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y＜0， 由三角函数的定义，得＝－. 解得y＝－3. 考点一　象限角及终边相同的角 1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 答案　C 解析　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样； 当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样，故选C. 2.设集合M＝，N＝{x|x＝·180°＋45°，k∈Z}，那么(　　) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ 答案　B 解析　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N. 3.已知角θ在第二象限，且＝－sin ，则角在(　　) A.第一象限或第三象限 B.第二象限或第四象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　∵角θ是第二象限角， ∴θ∈，k∈Z， ∴∈，k∈Z， ∴角在第一或第三象限. ∵＝－sin ，∴sin ＜0， ∴角在第三象限. 4.终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案　 解析　在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π； 在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为. 感悟提升　(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. (2)确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置. 考点二　弧度制及其应用 例1 已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l. (1)若α＝，R＝10 cm，求扇形的弧长l. (2)若扇形的周长是20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积. 解　(1)因为α＝，R＝10 cm， 所以l＝|α|R＝×10＝(cm). (2)由已知得，l＋2R＝20， 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25. 所以当R＝5时，S取得最大值， 此时l＝10，α＝2. (3)设弓形面积为S弓形，由题意知l＝ cm， 所以S弓形＝××2－×22×sin ＝cm2. 感悟提升　应用弧度制解决问题时应注意： (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 跟踪训练1 (1)(多选)(2026·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2 答案　ABC 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α， 则由题意得解得或 可得圆心角的弧度数是4或1. (2)中国折叠扇有着深厚的文化底蕴.如图，在半圆O中作出两个扇形OAB和OCD，用扇环形ABDC(图中阴影部分)制作折叠扇的扇面.记扇环形ABDC的面积为S1，扇形OAB的面积为S2，当S1与S2的比值为时，扇面的形状较为美观，则此时扇形OCD的半径与半圆O的半径之比为(　　) A. B. C.3－ D.－2 答案　B 解析　设∠AOB＝θ，半圆的半径为r，扇形OCD的半径为r1，依题意，有＝，即＝，所以＝＝＝，从而得＝. 考点三　三角函数的定义及应用 角度1　三角函数的定义 例2 (1)已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________. 答案　－　－或 解析　设P(x，y).由题设知x＝－，y＝m， 所以r2＝OP2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝， 所以sin α＝＝＝， 所以r＝＝2， 即3＋m2＝8，解得m＝±. 当m＝时，cos α＝＝－， tan α＝－； 当m＝－时，cos α＝＝－，tan α＝. (2)已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为(　　) A.－ B.－ C. D. 答案　C 解析　由题意得点P(－8m，－3)， r＝， 所以cos α＝＝－， 所以m>0，解得m＝. 角度2　三角函数值符号的判定 例3 (1)已知点P(cos α，tan α)在第二象限，则角α在(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　C 解析　点P(cos α，tan α)在第二象限，则所以角α在第三象限. (2)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在 答案　A 解析　因为＜2＜3＜π＜4＜，所以2 rad和3 rad的角是第二象限角，4 rad的角是第三象限角，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2·cos 3·tan 4＜0. 感悟提升　1.三角函数定义的应用 (1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值. (2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值. 2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解. 跟踪训练2 (1)已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋等于(　　) A.－ B. C. D. 答案　D 解析　因为角α的终边经过点(3，－4)，所以sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋＝－＋＝.故选D. (2)设θ是第三象限角，且＝－cos ，则是(　　) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 答案　B 解析　由θ是第三象限角知，为第二或第四象限角， 又＝－cos ，所以cos <0， 综上可知，为第二象限角. (3)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为，则角α的最小正角为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　角α的终边上一点M的坐标为，即M，故点M在第四象限，且tan α＝＝－1，则角α的最小正角为，故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $