4.1　任意角和弧度制、三角函数的概念 专题讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念等高考基础核心考点，按“概念梳理-方法提炼-应用突破”逻辑架构知识体系，通过考点自练自悟、母题探究、多维拓展等环节，帮助学生夯实基础，构建三角函数学习的思维框架。 资料以数学运算和直观想象素养为导向，设计扇形面积一题多变、三角函数定义多维探究等教学活动，配合A/B/C分层练习，精准突破象限角判断、弧度制应用等难点，有效提升学生解题能力，为教师把控复习节奏提供系统指导。

4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 课标要求 考情分析 1．了解任意角、弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． ◎考点考法：本讲内容高考一般不直接考查，但它是后续各讲学习的基础，是学习三角函数必须掌握的基本功． ◎核心素养：直观想象、数学运算、逻辑推理． 1．轴线角 2．α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 1．－870°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 3．若sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 5．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． 考点一　角及其表示　基础考点　自练自悟 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于90°的角是钝角 D．－165° 是第二象限角 2．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与2025°角终边相同的最小正角为(　　) A．25° B．135° C．225° D．335° 3．已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________． 1．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 考点二　弧度制及其应用　一题多变　母题探究 一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积． 1．(变结论)若本例条件不变，求扇形的弧长l及该弧所在弓形的面积． 2．(变条件)若将本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度制． (2)当求扇形面积的最大值时，常转化为求二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的扇形． 考点三　三角函数的定义及应用　多维探究　发散思维 角度1　三角函数值的定义 (1)(多选）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)，且sin α＝，则(　　) A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ (2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________________． 利用三角函数的定义解决问题的策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 角度2　三角函数值的符号 (1)设角α位于第二象限，且＝－cos ，则角位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知α＝985°，则＋＋＝________． 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号，如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 1．在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 2．若sin θcos θ＜0，＞0，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知角α的终边经过点P(－12a，5a)(a＜0)，则2sin α＋cos α的值为(　　) A．－ B． C．0 D．或－ A级　基础过关 1．如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若把某空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．3300千米 B．3334千米 C．3540千米 D．3640千米 3．若α是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是(　　) A．cos 2α B．cos C．tan D．sin 4．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 5．(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　) A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1 C．扇形的圆心角的弧度数是1 D．扇形的圆心角的弧度数是2 6．在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________． 7．sin 2·cos 3·tan 4的值________0.(填“＞”“＜”或“＝”) 8．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． B级　能力提升 9．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(　　) A． B．－ C． D．－ 10．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝(　　) A． B． C．1 D．2 11．(多选)已知点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限，则在[0，2π]内角θ的取值范围可能是(　　) A． B． C． D． 12．(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过 s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 13．(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0).已知点B(x1，y1) 在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．若y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的图形，其作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________． C级　拓广探索 15．如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A，B是圆上一点，M是劣弧的中点，设∠AOM＝θ(0＜θ＜π)，函数f(θ)表示弦AB的长与劣弧的长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________． 16．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具．它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具．如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个底面直径为60 cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100 cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为________ cm. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 课标要求 考情分析 1．了解任意角、弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． ◎考点考法：本讲内容高考一般不直接考查，但它是后续各讲学习的基础，是学习三角函数必须掌握的基本功． ◎核心素养：直观想象、数学运算、逻辑推理． 1．轴线角 2．α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 1．－870°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为－870°＝－1080°＋210°，所以－870°角的终边在第三象限．故选C. 答案　C 2．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ－45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确． 答案　C 3．若sin θ＜0且tan θ＜0，则角θ所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　若sin θ＜0，则角θ在第三或第四象限，也可能与y轴的负半轴重合，若tan θ＜0，则角θ在第二或第四象限，所以当sin θ＜0且tan θ＜0时，角θ在第四象限．故选D. 答案　D 4．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　|OP|＝＝13，∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 答案　D 5．某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了________弧度． 解析　某次考试时间为120分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针旋转了－720°，即－4π. 答案　－4π 考点一　角及其表示　基础考点　自练自悟 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于90°的角是钝角 D．－165° 是第二象限角 解析　对于A选项，钝角α的范围是90°<α<180°，第二象限角β的取值范围是k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，所以，钝角是第二象限角，A正确；对于B选项，120° 是第二象限角，390° 是第一象限角，但120°<390°，B错误；对于C选项，390°>90°，但390° 不是钝角，C错误；对于D选项，－90°<－165°<－180°，故－165° 是第三象限角，D错误．故选BCD. 答案　BCD 2．若角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，则与2025°角终边相同的最小正角为(　　) A．25° B．135° C．225° D．335° 解析　因为2025°＝360°×5＋225°，所以与2025°角终边相同的最小正角为225°.故选C. 答案　C 3．已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 解析　终边在30° 角的终边所在直线的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105° 角的终边所在直线的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}，所以角的取值范围是. 答案　 4．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________． 解析　如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为. 答案　 1．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 考点二　弧度制及其应用　一题多变　母题探究 一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积． [解析]　∵α＝，R＝10 cm， ∴S扇形＝αR2＝××102＝(cm2). 1．(变结论)若本例条件不变，求扇形的弧长l及该弧所在弓形的面积． 解析　l＝αR＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形＝－·R2·sin ＝－×102×＝(cm2). 2．(变条件)若将本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解析　由已知设扇形弧长为l cm，扇形半径为R cm，则l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10). 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度制． (2)当求扇形面积的最大值时，常转化为求二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的扇形． 考点三　三角函数的定义及应用　多维探究　发散思维 角度1　三角函数值的定义 (1)(多选）已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)，且sin α＝，则(　　) A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ (2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝________________． [解析]　(1)由题意可知sin α＝＝＝，所以a＝，b2＝8，A错误；由a＝>0，知角α为第二象限角，所以b<0，所以b＝－2，B正确；cos α＝＝－，C正确；tan α＝＝－＝－，D正确． (2)由题意可知，α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点(1，2)，∴sin α＝＝；若在第三象限，可在α的终边上任取一点(－1，－2)，∴sin α＝＝－. 综上，sin α＝±. [答案]　(1)BCD　(2)± 利用三角函数的定义解决问题的策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 角度2　三角函数值的符号 (1)设角α位于第二象限，且＝－cos ，则角位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)已知α＝985°，则＋＋＝________． [解析]　(1)因为α 为第二象限角，所以90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，所以45°＋k·180°<<90°＋k·180°，k∈Z. 当k＝2n时，为第一象限角； 当k＝2n＋1时，为第三象限角， 所以为第一象限角或第三象限角． 因为＝－cos ，所以cos <0，所以为第三象限角．故选C. (2)由题意得α＝985°＝2×360°＋265°， 故985°是第三象限角，则sin α<0，cos α<0，tan α>0，故＋＋＝＋＋＝－1－1＋1＝－1. [答案]　(1)C　(2)－1 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号，如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 1．在平面直角坐标系中，若角θ的终边经过点P，则cos θ等于(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　由角θ的终边经过点P，即P，所以cos θ＝＝－. 答案　D 2．若sin θcos θ＜0，＞0，则角θ是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析　由＞0，得＞0，所以cos θ＞0.又sin θ cos θ＜0，所以sin θ＜0，所以θ为第四象限角．故选D. 答案　D 3．已知角α的终边经过点P(－12a，5a)(a＜0)，则2sin α＋cos α的值为(　　) A．－ B． C．0 D．或－ 解析　因为x＝－12a，y＝5a，a＜0，所以r＝－13a，所以sin α＝－，cos α＝，则2sin α＋cos α＝2×＋＝. 答案　B A级　基础过关 1．如果点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，那么角θ所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　∵点P(2sin θ，sin θ·cos θ)位于第四象限，∴即∴角θ所在的象限是第二象限． 答案　B 2．若把某空间站运行轨道看作圆形轨道，距地球表面的距离取394千米，已知地球半径约为6370千米，则空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为(取π≈3.14)(　　) A．3300千米 B．3334千米 C．3540千米 D．3640千米 解析　空间站绕地球飞行的半径为394＋6370＝6764(千米)，所以空间站绕地球每旋转弧度，飞行的路程约为l＝αr＝6764×≈6764×≈3540(千米). 答案　C 3．若α是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是(　　) A．cos 2α B．cos C．tan D．sin 解析　由α是第四象限角可得为第二或第四象限角，所以tan ＜0. 答案　C 4．(多选)已知角θ的终边经过点(－2，－)，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 解析　因为角θ的终边经过点(－2，－)，所以sin θ＝－，A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点(－2，)，则α为第二象限角，但α不一定为钝角，B错误；cos α＝－，C正确；因为tan θ＝＞0，tan α＝－＜0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，D正确．故选ACD. 答案　ACD 5．(多选)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有(　　) A．扇形的半径为2 B．扇形的半径为1 C．扇形的圆心角的弧度数是1 D．扇形的圆心角的弧度数是2 解析　设扇形半径为r，圆心角弧度数为α，则由题意得解得或故选ABC. 答案　ABC 6．在平面直角坐标系xOy中，点P在角的终边上，且|OP|＝2，则点P的坐标为________． 解析　设点P的坐标为(x，y)，由三角函数定义得所以所以点P的坐标为(－1，). 答案　(－1，) 7．sin 2·cos 3·tan 4的值________0.(填“＞”“＜”或“＝”) 解析　∵＜2＜3＜π＜4＜，∴sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，∴sin 2·cos 3·tan 4＜0. 答案　＜ 8．已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________． 解析　∵在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为，∴所求角的集合为. 答案　 B级　能力提升 9．如图所示，已知⊙O的一条劣弧的长等于该圆内接正三角形ABC的边长，则从OA顺时针旋转到OE所形成的角α的弧度数是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析　设⊙O的半径为r，过O 作OD⊥AB 于点D，则D 为AB 边中点．因为AO＝r，∠OAD＝30°，AD＝r·cos 30°＝r， 所以边长AB＝2AD＝r，所以劣弧的长l＝AB＝r. 又α 是负角，所以α＝－＝－＝－.故选D. 答案　D 10．如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心，OB为半径作圆弧交OP于点A．若圆弧等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝(　　) A． B． C．1 D．2 解析　设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝r tan α，则△POB的面积为r·r tan α，由题意得r·r tan α＝2×αr2，∴tan α＝2α，∴＝. 答案　B 11．(多选)已知点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限，则在[0，2π]内角θ的取值范围可能是(　　) A． B． C． D． 解析　因为点P(sin θ－cos θ，tan θ)在第一象限， 所以即角θ位于第一象限或第三象限，且满足sin θ＞cos θ，所以当角θ位于第一象限时，θ∈，此时sin θ＞cos θ； 当角θ位于第三象限时，θ∈，此时sin θ＞cos θ.故选AB. 答案　AB 12．(多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则(　　) A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过 s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 解析　经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C错误；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝(s)，故D正确． 答案　ABD 13．(多选)如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点A(1，0).已知点B(x1，y1) 在圆O上，点T的坐标是(x0，sin x0)，则下列说法中正确的是(　　) A．若∠AOB＝α，则＝α B．若y1＝sin x0，则x1＝x0 C．若y1＝sin x0，则＝x0 D．若＝x0，则y1＝sin x0 解析　由于单位圆的半径为1，若∠AOB＝α，根据弧长公式有＝1·α＝α，所以A正确；由于点B是∠AOB的一边与单位圆的交点，则y1是对应∠AOB的正弦值，x1是对应∠AOB的余弦值，若y1＝sin x0，则x1＝cos x0，所以B错误；当y1＝sin x0时，∠AOB＝x0＋2kπ，k∈Z，即＝x0＋2kπ，k∈Z，所以C错误；反过来，当∠AOB＝x0，即＝x0时，y1＝sin x0一定成立，所以D正确． 答案　AD 14．勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的图形，其作法：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．已知等边三角形的边长为1，则勒洛三角形的面积是________． 解析　由题意得，勒洛三角形的面积为三个圆心角和半径均分别为和1的扇形面积之和减去两个边长为1的等边三角形的面积，即3×××12－2××12×sin ＝. 答案　 C级　拓广探索 15．如图，圆O：x2＋y2＝4交x轴的正半轴于点A，B是圆上一点，M是劣弧的中点，设∠AOM＝θ(0＜θ＜π)，函数f(θ)表示弦AB的长与劣弧的长之和．当函数f(θ)取得最大值时，点M的坐标是________． 解析　由题意知，圆O的半径为2.因为M是劣弧的中点，所以OM垂直平分线段AB，又∠AOM＝θ，所以|AB|＝2×2sin θ＝4sin θ，劣弧的长为θ·|OA|＝2θ，所以f(θ)＝4sin θ＋2θ，则f′(θ)＝4cos θ＋2，令f′(θ)＝0，得cos θ＝－，又0＜θ＜π，所以当θ∈时，f′(θ)＞0，f(θ)单调递增；当θ∈时，f′(θ)＜0，f(θ)单调递减，所以当θ＝时，f(θ)取得最大值，此时M，即M(－1, ). 答案　(－1, ) 16．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具．它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具．如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个底面直径为60 cm的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100 cm，碾滚最外侧正上方为点A，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A距碾盘的垂直距离约为________ cm. 解析　由题意碾滚最外侧滚过的距离为2π×100＝200π(cm)，碾滚的周长为2π×30＝60π(cm)，所以碾滚滚过＝(圈)，即滚过了×360°＝3×360°＋120°，所以点A距碾盘的垂直距离为30－30×cos (180°－120°)＝15(cm). 答案　15 学科网（北京）股份有限公司 $